专题强化训练(五) 三角函数

专题强化训练(五) 三角函数

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．已知角θ的终边上一点P (a ，－1)(a ≠0)，且tan θ＝－a ，则sin θ的值是( )

A ．±2

2 B ．－2

2 C.22

D ．－12

B [由题意得tan θ＝－1

a ＝－a ， 所以a 2＝1，

所以sin θ＝－1a 2＋(－1)2

＝－

2

2.] 2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 C [设扇形的半径为r ，中心角为α，

根据扇形面积公式S ＝12lr 得6＝1

2×6×r ，所以r ＝2， 所以α＝l r ＝6

2＝3.]

3．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标

不变)，再将所得的图象向左平移π

3个单位，得到的图象对应的解析式为( )

A ．y ＝sin 1

2x B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12x －π2

C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12x －π6

D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －π6 C [函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得y ＝

sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12x －π3，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝sin 12x ＋π3－π3＝

sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x －π6.] 4．函数y ＝cos 2⎝ ⎛

⎭⎪⎫x －π12＋sin

2⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋π12－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数

C [y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝ ⎛

⎭

⎪

⎫2x ＋π62－1

＝12cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π6－12cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋π6

＝12⎝

⎛

cos 2x cos π6＋sin 2x sin π6－cos 2x cos π6

⎭⎪⎫＋sin 2x sin π6＝1

2

sin 2x ，

∴f (x )是最小正周期为π的奇函数．]

5．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z

B.⎝ ⎛

⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1

4，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z D [由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫

54－14＝2，

∴2π

ω＝2，∴ω＝π.

由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫πx ＋π4.

由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14

4，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛

⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.]

二、填空题

6．已知sin α＝1

3，且α是第二象限角，那么cos(3π－α)的值为________． 223

[cos(3π－α)＝－cos α＝－(－1－sin 2

α)＝1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫132＝223.] 7．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________.

4 [观察图象可知

函数y ＝sin(ωx ＋φ)的半个周期为π

4， 所以2πω＝π

2，ω＝4.]

8．若α、β为锐角，且满足cos α＝45，cos(α＋β)＝5

13，则sin β＝________. 33

65 [∵α、β为锐角，∴α＋β∈(0，π)． 由cos α＝45，求得sin α＝3

5， 由cos(α＋β)＝513求得sin(α＋β)＝12

13，

∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝1213×45－513×3

5＝3365.]

三、解答题

9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋π3＋1 (1)求函数f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的值； (2)求函数f (x )的单调递增区间．

[解] (1)当2x ＋π3＝2k π＋π2，取x ＝k π＋π

12(k ∈Z )时，f (x )max ＝3. (2)当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π

2，

即k π－5π12≤x ≤k π＋π

12时，函数f (x )为增函数． 故函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡

⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．

10．已知函数f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)若π4＜α＜π2，且f (α)＝－52

13，求sin 2α的值． [解] (1)因为f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x ， 所以f (x )＝sin 2x －sin 2x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π4，

所以函数f (x )的最小正周期是π.

(2)f (α)＝－5213，即2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2α＋π4＝－5213，

sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2α＋π4＝－513. 因为π4＜α＜π2，所以3π4＜2α＋π4＜5π4， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－1213， 所以sin 2α＝sin ⎣

⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛

⎭⎪⎫2α＋π4－π4 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－22×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1213＝72

26.

[等级过关练]