2005年10月浙江省自考试题近世代数
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浙江省2005年10月高等教育自学考试
近世代数试题
课程代码:10025
一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分,共15分)
1. 设Z是整数集,σ(a)= 则σ是R的( ).
A. 满射变换
B. 单射变换
C. 一一变换
D. 不是R的变换
2. 下列法则,哪个是集A的代数运算( ).
A. A=N, ab=a+b-2
B. A=Z,ab=
C. A=Q, ab=
D. A=R, ab=a+b+ab
3. 设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法,则以下映射作成A 到A的一个子集的同态满射的是( ).
A. x→-x
B. x→
C. x→
D. x→5x
4. 在3次对称群S3中,阶为3的元有( ).
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
5. 剩余类环Z6的子环有( ).
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
二、填空题(每小题3分,共27分)
6. 设A={a,b,c},则A到A的一一映射共有__________个.
7. 整数加群Z有__________个生成元.
8. 在4次对称群S4中,(123)(1324)-1=__________.
9. 每一个有限群都与一个__________群同构.
10. 剩余类环Z5的零因子个数等于__________.
11. 剩余类环Z7的可逆元有__________个.
12. 整环I={所有复数a+bi(a,b是整数)},则I的单位是__________.
13. 设Q是有理数域,则Q()=__________.
14. 2+i在实数域R上的极小多项式是__________.
三、解答题(第15小题10分,第16,17小题各12分,共34分)
15. 在实数集R中定义二元运算“O”如下:aOb=a+b-2(a,b∈R),问R对运算“O”是否作成群?试说明理由.
16. 找出模16的剩余类加群Z16的所有子群,并找出Z16的全部生成元.
17. 设Z是整数环,p、q是两个不同的素数,(p)∩(q)、(p,q)是Z的怎样一个理想?(p)∪(q)是Z的理想吗?为什么?
四、证明题(每小题8分,共24分)
18. 设G=,于是G对于方阵的乘法作成群.令
H=,证明:H是G的不变子群.
19. 设R是实数域,f(x)∈R[x],f(x)=a0+a1x+…+a n x n,令:f(x)|→a0. 证明:是R[x]到R的满同态,ker=?
20. 设A=关于矩阵的加法和乘法构成一个环,证明:
U=是A的理想,商环A/U由哪些元组成?