2012年福建专升本高等数学真题试卷
专升本 高等数学 2012年专升本高等数学(二)参考答案
第一部分 极限和连续同步练习题1.1参考答案一、选择题1.C2.A3. A 二、填空题4. [4,2][2,4]-- 。
5. π。
6.3cos x 。
三、解答题7.2,1,tan ,12y u u v v w z z x ==+==-。
8.222112111()1()2()1()()21xf x f x x x x x x =++=++→=++。
同步练习题1.2参考答案一、选择题1.D2.C3.D4. C5.B6.C7.C 二、填空题8.2,3 9. 1 10. 0 11. 2-三、解答题12 (1)2121230113lim lim 230332433nn n n n n n n ++→∞→∞⎛⎫+ ⎪++⎝⎭===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
(2) 221...111lim lim 1...111n n n n n n a a a a b b b b b a b a →∞→∞++++---=⨯=++++---。
(3)111lim ...1335(21)(21)111111111lim 1...lim 12335(21)(21)2(21)2n n n n n n n n →∞→∞→∞⎡⎤++⎢⎥⨯⨯-+⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-=-=⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦(4)1lim[ln(1)ln]lim ln(1)ln1xx xx x x ex→+∞→+∞+-=+==。
(5)1114x xx→→→===(6)16x x→→==。
(7)22lim2x xx x→→==--(8)0001(1)11lim lim lim()112x x x x x xx x xe e e e e ex x x x---→→→------==+=+=-。
13.100lim(1)lim[(1)]nmn mnx mxx xmx mx e→→+=+=。
14. ()lim(1)lim[(1)]txt x xt tf x et tπππππ→∞→∞=+=+=,(ln3)3fπ=。
2012年数学与应用数学专升本真题
2012年数学与应用数学专升本真题09级2班金文整理心理学的选择题、判断题；教育学的选择题、判断题；中外数学史的选择题没有。
教育学一、名词解释：1、教育；2、教育目的；3、教学；4、学制；5、教育评价二、论述题：请描述你心目中未来的“学生”形象，并说说如何才能实现？心理学一、名词解释：1、感受性；2、思维；3、意义识记；4、想象；5、情绪二、论述题：1、在教学中如何利用主义的规律组织课堂教学？2、创造型人格具有哪些特点？3、影响问题解决的心理因素有哪些？中外数学史概论一、填空题1、阿基米德对穷竭法的运用代表了（）的最高水平。
2、亚历山大后期，希腊数学的一个重要特征是突破了（）。
3、古典希腊时期最著名的数学家是（ ）。
4、《九章算术》注释中最杰出的代表是（ ）。
二、论述题1、简述刘徽所生活的朝代、代表著作以及在数学上的主要成就。
2、简述笛卡尔的生活年代、所在国家、代表著作以及在数学上的主要成就。
3、叙述费马大定理，并简述该定理的证实过程。
高等代数一、 选择题1、设A 、B 均为n 阶矩阵，A*是A 的伴随矩阵，下列运算正确的是（ ）。
A 、|-A|=-|A|B 、|A*|=|A|C 、|AB|=|A||B|D 、A^2-B^2=(A-B)(A+B) 2、设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,0,1-0,1-01-0,1x ，， B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y -1,0,1-0,2-01-01，，，,且A=B ，则下列正确的是（ ）。
A 、x=1,y=0B 、x=-1,y=0C 、x=0,y=1D 、x=0,y=-1 3、下列陈述，正确的是（ ）。
A 如果向量组a1,a2,a3,a4线性无关，则向量组a1,a2和a3,a4均线性无关。
B 如果向量组a1,a2,a3,a4线性相关，则向量组a1,a2和a3,a4均线性无关。
C 如果向量组a1,a2和a3,a4线性无关，则向量组a1,a2,a3,a4线性无关。
D 如果向量组a1,a2和a3,a4线性相关，则向量组a1,a2,a3,a4线性相关。
2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案
2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案第一篇：2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2012年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
参考答案：A参考答案：C参考答案：D参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：C参考答案：B参考答案：A参考答案：B二、填空题：本大题共10小题。
每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。
第11题参考答案：0 第12题设y=sin(x+2)，则Y'=_________ 参考答案：cos(x+2)第13题设y=ex-3，则dy=_________．第14题参考答案：5sinx+C 第15题第16题曲线Y=x2-x在点(1，0)处的切线斜率为_________．参考答案：1 第17题设y=x3+2，则y''=__________．参考答案：6x 第18题设z=x2-y，则dz=_________．参考答案：2xdx-dy 第19题过点M(1，2，3)且与平面2x—Y+z=0平行的平面方程为_________．参考答案：2x—y+z=3 第20题参考答案：3π三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。
解答应写出推理，演算步骤。
第21题参考答案：第22题参考答案：第23题设函数f(x)=x-1nx，求f(x)的单调增区间．参考答案：第24题参考答案：第25题参考答案：第26题参考答案：第27题设L是曲线y=x2+3在点(1,4)处的切线。
求由该曲线，切线L及y轴围成的平面图形的面积S．参考答案：第28题参考答案：第二篇：2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案2013年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
参考答案：C参考答案：A参考答案：B参考答案：D参考答案：B参考答案：A参考答案：D参考答案：B参考答案：C参考答案：A二、填空题：本大题共10小题。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文史类、理工类试卷真题及参考答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文史类、理工类数学试卷真题及答案2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数等于（ ）A ．B ．C ．D ．2. 已知集合，，下列结论成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．3. 已知向量，，则的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（） A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱5. 已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．6. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于（ ）A ．B ．C ．0D ．7. 直线与圆相交于两点，则弦的长度等于（ ）A ．B ．C ．D ．18. 函数的图像的一条对称轴是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 设，，则值为（ ）A ．1B ．0C ．D ．10. 若直线上存在点满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+mx y x y x 03203，则实数的最大值为（ ）A ．B ．1C ．D ．211. 数列的通项公式，其前项和为n S ，则等于（ ）A ．1006B ．2012C ．503D ．012. 已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④。
其中正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在答题卡的相应位置。
13.在中，已知，，，则_______。
14.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。
按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______。
15.已知关于x的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围是_________。
2012年福建卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)理科数学本试卷共21题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数z 满足i zi −=1，则z 等于（ ）A ．i −−1B ．i −1C ．i +−1D ．i +1 2. 等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3. 下列命题中，真命题是（ ）A ．0,00≤∈∃x e R xB ．22,x R x x>∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1−=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 5. 下列不等式一定成立的是（ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x x x ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+6. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．41B ．51C ．61D ．717. 设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数8.双曲线22214x y b−=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） A ．5 B ．24C ．3D ．59. 若直线xy 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤−−≤−+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为A ．21B ．1C ．23D ．2 10. 函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对任意],[,21b a x x ∈，有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，则称)(x f 在],[b a 上具有性质P 。
2012年高数专升本真题及其参考答案.
Passage four Animals seem to have the sense to eat when they are hungry and they do not eat more than their bodies need. It has been demonstrated that rats will, when given a choice over a period of time, prefer water with vitamins to water without vitamins even though there is no difference in taste or smell between the two water bottles. When a fragrant flavor was added to the vitamin-enriched fluid, the rats did seem to develop a taste for it and kept drinking it ,even after the vitamins were switched to the clear water. In time, however ,they broke the habit and went back to where the necessary vitamins were.In a classic experiment, babies of 6 to 12 months old were placed in a cafeteria feeding arrangement, with a wide selection of baby food before them. They were given whatever food they pointed to or appeared interested in. We are told that at first they showed some unusual eating patterns, but that over a period of time they managed to select well-balanced diet.So, in selecting food, rats and babies do seem to know and act on what's best for them. Apparently, there is a kind of "body wisdom,＂which humans soon lose. Most of us do not eat as wisely as we could. Many of our food preferences are culturally determined and influenced by long-established habits. Some people eat fox, dog and blackbirds ,while we eat cows and pigs. So what people eat and how much they eat seems to be greatly influenced by what is going on around them.76. In the experiment on rats, a fragrant flavor was added to the rat's drinking water to___.A. encourage rats to drink vitamin-enriched water B. find out rats preference in flavor C. test whether rats know which drink is good for them D. demonstrate that vitamins are tasteless 77. The expression "the habit" (para.1, sentence 4 refers to drinking water which_________. A. has no smell B. is tasteless C. has vitamins D. is flavored 78. According to the passage ,adults eating habits differ from those of babies because_____.A. adults know better than babies what kind of food are good for their healthB. adults usually cannot resist the temptation of various delicious foodsC. adults' eating habits areclosely related to the social and cultural customs D. adults have more choices of food than babies in eating patterns 79. The author implied in the passage that most ofus_________. A. eat a balanced dietB. choose the food that is of nutritionC. have the habits influenced by the surroundingsD. like to eat the food with a fragrant flavor80. As far as their eating habits are concerned, babies and rats are similar inthat______. A. both have the wisdom to choose a balanced diet B. both prefer flavored food and drinkC. both have the same eating patternsD. both develop a taste for the same kinds of flavors Part IV. Translation . ( 30pointSection A: Directions: There are 10 sentences in this section. Please translate sentences 81-85 from Chinese into English, and translate sentences 86-90 from English into Chinese. Write your answer on the Answer Sheet.81 我们向李先生学习，因为他有丰富的工作经验。
2012专转本高数试卷解析
2012专转本高数试卷解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y = (ln(x + 1))/(√(x - 1))的定义域为（）A. (-1,+∞)B. (1,+∞)C. [-1,+∞)D. [1,+∞)2. 当x→0时，f(x)=x - sin x是x的（）A. 高阶无穷小。
B. 低阶无穷小。
C. 同阶但非等价无穷小。
D. 等价无穷小。
3. 设y = f(x)在点x = x_0处可导，则limlimits_Δ x→0frac{f(x_0-Δ x)-f(x_0)}{Δ x}=（）A. f^′(x_0)B. -f^′(x_0)C. 0D. 不存在。
4. 曲线y = x^3-3x^2+1在点(1,-1)处的切线方程为（）A. y = -3x + 2B. y = 3x - 4C. y=-xD. y = x - 25. 设y=ln(cos x)，则y^′=（）A. tan xB. -tan xC. cot xD. -cot x6. 若∫ f(x)dx = F(x)+C，则∫ f(ax + b)dx=（a≠0）（）A. F(ax + b)+CB. (1)/(a)F(ax + b)+CC. aF(ax + b)+CD. (1)/(a)F(x)+C7. ∫_0^1(1)/(1 + x^2)dx=（）A. (π)/(4)B. (π)/(2)C. πD. 2π8. 下列广义积分收敛的是（）A. ∫_1^+∞(1)/(x)dxB. ∫_1^+∞(1)/(x^2)dxC. ∫_1^+∞√(x)dxD. ∫_1^+∞(1)/(√(x))dx9. 已知向量→a=(1, - 1,0)，→b=(1,0, - 1)，则→a×→b=（）A. (1,1,1)B. (-1, - 1, - 1)C. (1, - 1,1)D. (-1,1, - 1)10. 二次曲面x^2+y^2-z^2=1的类型是（）A. 椭球面。
B. 抛物面。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)—数学(理)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分·在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的·1、若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 考点：复数的运算· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可·解答：iiz -=1 111)())(1(--=--=---=i i i i i i ·2、等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点：等差数列的定义· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=·解答：273104211=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a · 3、下列命题中，真命题是（ ） A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 考点：逻辑· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定· 解答：A 中，,R x ∈∀0>xe·B 中，22,4,2x x x x===∃，22,x x x<∃·C 中，⎩⎨⎧≠=+00b b a 的充要条件是1-=b a·D 中，1,1>>b a 可以得到1>ab ，当1>ab 时，不一定可以得到1,1>>b a · 4、一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 考点：空间几何体的三视图· 难度：易·分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可· 解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆· 5、下列不等式一定成立的是（ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+ 考点：不等式及基本不等式· 难度：中·分析：本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质· 解答：A 中，)410(4122x x x x x =+=≥+时，当· B 中，])1,0((sin 2sin 1sin ∈≥+x x x ；))0,1[(sin 2sin 1sin -∈-≤+x xx · C 中，)(0)1|(|1||222R x x x x ∈≥-=+-·D 中，)](1,0(112R x x ∈∈+· 6、如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．41B ．51C ．61D ．71考点：积分的计算和几何概型·难度：中·分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型· 解答：111)(=⨯=ΩS ，⎰-=10)()(dx x x A S 61|)2132(10223=-=x x · 所以61)()()(=Ω=A S S A P ·7、设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数考点：分段函数的解析式及其图像的作法· 难度：中·分析：本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定· 解答：A 中，)(x D 由定义直接可得，)(x D 的值域为}1,0{·B 中，)(x D 定义域为R ，)(,0,1)(x D x x x D =⎩⎨⎧=-为无理数为有理数，所以)(x D 为偶函数·C 中，)(,0,1)1(xD x x x D =⎩⎨⎧=+为无理数为有理数，所以可以找到1为)(x D 的一个周期· D 中，......1)2(,0)2(,1)1(===D D D ，所以不是单调函数·8、双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．5B ．24C ．3D ．5考点：双曲线的定义· 难度：中·分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义· 解答：抛物线x y 122=的焦点为)0,3(· 双曲线中，5492=-=b · 双曲线渐近线方程为x y 25±=· 所以焦点到渐近线的距离5)25(12532=+=d ·9、若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．2 考点：线性规划· 难度：中·分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像·所以，若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则mm 23≥-，即1≤m ·10、函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对任意],[,21b a x x ∈，有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，则称)(x f 在],[b a 上具有性质P ·设)(x f 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的； ②)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若)(x f 在2=x 处取得最大值1，则1)(=x f ，]3,1[∈x ； ④对任意]3,1[,,,4321∈x x x x ，有)]()()()([41)2(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++·其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立· 解答：A 中，反例：如图所示的函数)(x f 的是满足性质P 的，但)(x f 不是连续不断的·B 中，反例：x x f -=)(在]3,1[上具有性质P ，22)(x x f -=在]3,1[上不具有性质P ·C 中，在]3,1[上，)]4()([21)2)4(()2(x f x f x x f f -+≤-+=， 1)(1)2()()4(1)2()()(2)4()(max max =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==≤-==≤≥-+x f f x f x f f x f x f x f x f ， 所以，对于任意1)(],3,1[,21=∈x f x x ·D 中，=+++)2(4321x x x x f )2)()((4321x x x x f +++)]()()()([41))]()((21))()((21[21)]2()2([21432121214321x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x x f +++≤+++≤+++≤· 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分·把答案填在答题卡的相应位置·11、4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________·【2】 考点：二项式定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可· 解答：4)(x a +中含3x 的一项为r rr r x aC T -+=441，令3=r ，则83434=-a C ，即2=a ·12、阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s 值等于_____________________·【3-】考点：算法初步· 难度：易·分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可· 解答： 1,1==s k ；2,1112==-⨯=k s ； 3,0212==-⨯=k s ； 4,3302=-=-⨯=k s ；结束·13、已知ABC ∆_________·【42-】 考点：等比数列和余弦定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用· 解答：设ABC ∆三边为m c m b m a 2,2,===， 则可得C ∠所对的边最大，且22cos 222=-+=abc b a C · 14、数列}{n a 的通项公式12cos+=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________·【3018】 考点：数列和三角函数的周期性· 难度：中·分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和· 解答： 1012cos )14(12)14(cos )14(14+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ， 1)24(1cos )24(12)24(cos )24(24++-=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ，10123cos )34(12)34(cos )34(34+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ，14412cos )44(12)44(cos)44(44++=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ， 所以++14n a ++24n a ++34n a 644=+n a · 即30186420122012=⨯=S · 15、对于实数b a ,，定义运算“*”：⎩⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是_____·【)0,1631(-】 考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数·解答：由题可得，⎩⎨⎧>--≤-=0),1(0),12()(x x x x x x x f可得0,21),41,0(132<=+∈x x x m ， 且↑↑→||,,41132x x x m 所以41=m 时，=max 321||x x x 1631-， 所以∈m )0,1631(-·三、解答题：本大题共6小题，共84分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤·16、（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿my =车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由· 考点：统计概率及随机变量·难度：易· 分析： 解答：（I ）首次出现故障发生在保修期内的概率为2315010P +== （II ）随机变量1X 的分布列为 随机变量2X 的分布列为（III ）1139123 2.86255010EX =⨯+⨯+⨯=(万元) 2191.82.9 2.791010EX =⨯+⨯=(万元) 12EX EX > 所以应该生产甲品牌汽车·17、（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数· （1）02217cos 13sin 17cos 13sin -+； （2）02215cos 15sin 15cos 15sin -+；（3）02212cos 18sin 12cos 18sin -+； （4）00020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-； （5）00020255cos )25sin(55cos )25(sin --+-·（I ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论· 考点：三角恒等变换· 难度：中· 分析： 解答：（I ）选择（2）：22013sin 15cos 15sin15cos151sin 3024+-=-= （II ）三角恒等式为：22003sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=22002222sin cos (30)sin cos(30)11sin sin )sin sin )22333sin cos 444αααααααααααα+---=++-+=+=（lby lfx ）18、（本小题满分13分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点· （Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由·（Ⅲ）若二面角11A E B A --的大小为030，求AB 的长·考点：立体几何· 难度：中· 分析： 解答：（Ⅰ）长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA 得：1111111111,,AD A D AD A B A DA B A A D ⊥⊥=⇔⊥面11A B CD1B E ⊂面11A B CD 11B E AD ⇒⊥（Ⅱ）取1AA 的中点为P ，1AB 中点为Q ，连接PQ 在11AA B ∆中，111111//,////////22PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ⇒⇒⇒面AE B 1 此时11122AP AA == （Ⅲ）设11A DAD O =，连接AO ，过点O 作1OH B E ⊥于点H ，连接AH1AO ⊥面11A B CD ，1O H B E ⊥1A H B E⇒⊥ 得：AHO ∠是二面角11A E B A --的平面角30AHO ο⇒∠=在Rt AOH ∆中，30,90,2AHO AOH AH OH οο∠=∠==⇒=在矩形11A B CD 中，1,CD x AD ==11112222222228B OE x xS x ∆=--⨯-⨯=1222x =⇔=得：2AB =19、（本小题满分13分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ·过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8· （Ⅰ）求椭圆E 的方程·（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q ·试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由·考点：三角恒等变换·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）设c 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y += （Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x220031434x x y y y k y '+=⇒==⇒=- 直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Q x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*） （*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=， 得(1,0)M20、（本小题满分14分）已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ·考点：导数·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）2()()2x x f x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-由题意得：(1)200f e a e a '=+-=⇔=()01,()0x f x e e x f x x ''=->⇔><⇔<得：函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞（Ⅱ）设00(,())P x f x ； 则过切点P 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---；则0()0g x =切线与曲线只有一个公共点P ()0g x ⇔=只有一个根0x000()()()2()xx g x f x f x e e a x x '''=-=-+-，且0()0g x '=（1）当0a ≥时，00()0,()0g x x x g x x x ''>⇔><⇔<得：当且仅当0x x =时，min 0()()0g x g x ==由0x 的任意性，0a ≥不符合条件（lby lfx ）（2）当0a <时，令00()2()()20ln(2)x x x h x e e a x x h x e a x x a ''=-+-⇒=+=⇔==- ①当0x x '=时，00()0,()0h x x x h x x x ''>⇔><⇔<当且仅当0x x =时，0()()0()g x g x g x ''≥=⇒在x R ∈上单调递增()0g x ⇔=只有一个根0x②当0x x '>时，()0,()0h x x x h x x x ''''>⇔><⇔<得：0()()0g x g x '''<=，又,(),,()x g x x g x ''→+∞→+∞→-∞→+∞存在两个数0x x ''<使，0()()0g x g x ''''==得：00()0()()0g x x x x g x g x '''''<⇔<<⇒<=又,()x g x '→+∞→+∞存在1x x ''>使()0g x ''=，与条件不符·③当0x x '<时，同理可证，与条件不符从上得：当0a <时，存在唯一的点(ln(2),(ln(2))P a f a --使该点处的切线与曲线只有一个公共点P21、本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分·如果多做，则按所做的前两题计分·作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中·（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设曲线12222=++y xy x 在矩阵 ⎝⎛=b a A 0(0)1a ⎫>⎪⎭对应的变换作用下得到的曲线为122=+y x ·（Ⅰ）求实数b a ,的值· （Ⅱ）求2A 的逆矩阵·解：（Ⅰ）设曲线12222=++y xy x 上任一点(,)P x y 在矩阵A 对应变换下的像是(,)P x y ''' 则220()()11x a x ax x ax ax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧==⇔⇒++=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 得：222222()212,221,1a b x bxy y a b b a b +++=⇒+==⇔==（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21010101011111121A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21101()21A A -⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想、（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系·已知直线l上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）·（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系·【解析】（Ⅰ）由题意知(2,0),M N ，因为P 是线段MN中点，则P因此OP 直角坐标方程为：.y x =（Ⅱ）因为直线l 上两点(2,0),(0,3M N∴l 30y -=，圆心(2,，半径2r =、32d ∴==<r ,故直线l 和圆C 相交、 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想·（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(，且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-·（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若R c b a ∈,,，且m cb a =++31211，求证：932≥++c b a · 【解析】（1）∵(2)f x m x x +=-≥0,≤∴m ，∴0m m x m >⇒-<< (2)0111f x x m +≥⇔-≤≤⇒= （2）由（1）知1111,,,23a b c R a b c++=∈,由柯西不等式得（lby lfx ） 11123(23)()23a b c a b c a b c +++++++29≥= 【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)—数学(理)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分·在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的·1.若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 考点：复数的运算· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可·解答：iiz -=1 111)())(1(--=--=---=i i i i i i ·2.等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点：等差数列的定义· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=·解答：273104211=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a · 3.下列命题中，真命题是（ ） A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 考点：逻辑· 难度：易·分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定· 解答：A 中，,R x ∈∀0>xe·B 中，22,4,2x x x x===∃，22,x x x<∃·C 中，⎩⎨⎧≠=+00b b a 的充要条件是1-=b a·D 中，1,1>>b a 可以得到1>ab ，当1>ab 时，不一定可以得到1,1>>b a · 4.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 考点：空间几何体的三视图· 难度：易·分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可· 解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆· 5.下列不等式一定成立的是（ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+ 考点：不等式及基本不等式· 难度：中·分析：本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质· 解答：A 中，)410(4122x x x x x =+=≥+时，当· B 中，])1,0((sin 2sin 1sin ∈≥+x x x ；))0,1[(sin 2sin 1sin -∈-≤+x xx · C 中，)(0)1|(|1||222R x x x x ∈≥-=+-·D 中，)](1,0(112R x x ∈∈+· 6.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．41B ．51C ．61D ．71考点：积分的计算和几何概型·难度：中·分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型· 解答：111)(=⨯=ΩS ，⎰-=10)()(dx x x A S 61|)2132(10223=-=x x · 所以61)()()(=Ω=A S S A P ·7.设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是（ ）A ．)(x D 的值域为}1,0{B ．)(x D 是偶函数C ．)(xD 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数考点：分段函数的解析式及其图像的作法· 难度：中·分析：本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定· 解答：A 中，)(x D 由定义直接可得，)(x D 的值域为}1,0{·B 中，)(x D 定义域为R ，)(,0,1)(x D x x x D =⎩⎨⎧=-为无理数为有理数，所以)(x D 为偶函数·C 中，)(,0,1)1(xD x x x D =⎩⎨⎧=+为无理数为有理数，所以可以找到1为)(x D 的一个周期· D 中，......1)2(,0)2(,1)1(===D D D ，所以不是单调函数·8.双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．5B ．24C ．3D ．5考点：双曲线的定义· 难度：中·分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义· 解答：抛物线x y 122=的焦点为)0,3(· 双曲线中，5492=-=b · 双曲线渐近线方程为x y 25±=· 所以焦点到渐近线的距离5)25(12532=+=d ·9.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．21 B ．1 C ．23D ．2 考点：线性规划· 难度：中·分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像·所以，若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则mm 23≥-，即1≤m ·10.函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对任意],[,21b a x x ∈，有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，则称)(x f 在],[b a 上具有性质P ·设)(x f 在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①)(x f 在]3,1[上的图像时连续不断的； ②)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若)(x f 在2=x 处取得最大值1，则1)(=x f ，]3,1[∈x ； ④对任意]3,1[,,,4321∈x x x x ，有)]()()()([41)2(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++·其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立· 解答：A 中，反例：如图所示的函数)(x f 的是满足性质P 的，但)(x f 不是连续不断的·B 中，反例：x x f -=)(在]3,1[上具有性质P ，22)(x x f -=在]3,1[上不具有性质P ·C 中，在]3,1[上，)]4()([21)2)4(()2(x f x f x x f f -+≤-+=， 1)(1)2()()4(1)2()()(2)4()(max max =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==≤-==≤≥-+x f f x f x f f x f x f x f x f ， 所以，对于任意1)(],3,1[,21=∈x f x x ·D 中，=+++)2(4321x x x x f )2)()((4321x x x x f +++)]()()()([41))]()((21))()((21[21)]2()2([21432121214321x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x x f +++≤+++≤+++≤· 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分·把答案填在答题卡的相应位置·11.4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________·【2】 考点：二项式定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可· 解答：4)(x a +中含3x 的一项为r rr r x aC T -+=441，令3=r ，则83434=-a C ，即2=a ·12.阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s 值等于_____________________·【3-】考点：算法初步· 难度：易·分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可· 解答： 1,1==s k ；2,1112==-⨯=k s ； 3,0212==-⨯=k s ； 4,3302=-=-⨯=k s ；结束·13.已知ABC ∆_________·【42-】 考点：等比数列和余弦定理· 难度：易·分析：本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用· 解答：设ABC ∆三边为m c m b m a 2,2,===， 则可得C ∠所对的边最大，且22cos 222=-+=abc b a C · 14.数列}{n a 的通项公式12cos+=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________·【3018】 考点：数列和三角函数的周期性· 难度：中·分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和· 解答： 1012cos )14(12)14(cos )14(14+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ， 1)24(1cos )24(12)24(cos )24(24++-=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ，10123cos )34(12)34(cos )34(34+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ，14412cos )44(12)44(cos)44(44++=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ， 所以++14n a ++24n a ++34n a 644=+n a · 即30186420122012=⨯=S · 15.对于实数b a ,，定义运算“*”：⎩⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是_____·【)0,1631(-】 考点：演绎推理和函数· 难度：难·分析：本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数·解答：由题可得，⎩⎨⎧>--≤-=0),1(0),12()(x x x x x x x f可得0,21),41,0(132<=+∈x x x m ， 且↑↑→||,,41132x x x m 所以41=m 时，=max 321||x x x 1631-， 所以∈m )0,1631(-·三、解答题：本大题共6小题，共84分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤·16.（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿my =车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由· 考点：统计概率及随机变量·难度：易· 分析： 解答：（I ）首次出现故障发生在保修期内的概率为2315010P +== （II ）随机变量1X 的分布列为 随机变量2X 的分布列为（III ）1139123 2.86255010EX =⨯+⨯+⨯=(万元) 2191.82.9 2.791010EX =⨯+⨯=(万元) 12EX EX > 所以应该生产甲品牌汽车·17.（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数· （1）02217cos 13sin 17cos 13sin -+； （2）02215cos 15sin 15cos 15sin -+；（3）02212cos 18sin 12cos 18sin -+； （4）00020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-； （5）00020255cos )25sin(55cos )25(sin --+-·（I ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论· 考点：三角恒等变换· 难度：中· 分析： 解答：（I ）选择（2）：22013sin 15cos 15sin15cos151sin 3024+-=-= （II ）三角恒等式为：22003sin cos (30)sin cos(30)4αααα+---=22002222sin cos (30)sin cos(30)11sin sin )sin sin )22333sin cos 444αααααααααααα+---=++-+=+=（lby lfx ）18.（本小题满分13分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点· （Ⅰ）求证：11AD E B ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由·（Ⅲ）若二面角11A E B A --的大小为030，求AB 的长·考点：立体几何· 难度：中· 分析： 解答：（Ⅰ）长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA 得：1111111111,,AD A D AD A B A DA B A A D ⊥⊥=⇔⊥面11A B CD1B E ⊂面11A B CD 11B E AD ⇒⊥（Ⅱ）取1AA 的中点为P ，1AB 中点为Q ，连接PQ 在11AA B ∆中，111111//,////////22PQ A B DE A B PQ DE PD QE PD ⇒⇒⇒面AE B 1 此时11122AP AA == （Ⅲ）设11A DAD O =，连接AO ，过点O 作1OH B E ⊥于点H ，连接AH1AO ⊥面11A B CD ，1O H B E ⊥1A H B E⇒⊥ 得：AHO ∠是二面角11A E B A --的平面角30AHO ο⇒∠=在Rt AOH ∆中，30,90,2AHO AOH AH OH οο∠=∠==⇒=在矩形11A B CD 中，1,CD x AD ==11112222222228B OE x xS x ∆=--⨯-⨯=1222x =⇔=得：2AB =19.（本小题满分13分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ·过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8· （Ⅰ）求椭圆E 的方程·（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q ·试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由·考点：三角恒等变换·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）设c 则2212342c e a c a b a ==⇔=⇔= 2ABF ∆的周长为22121288482,1AB AF BF AF AF BF BF a a b c ++=⇔+++=⇔=⇔===椭圆E 的方程为22143x y += （Ⅱ）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x220031434x x y y y k y '+=⇒==⇒=- 直线00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒ 000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x M P M Q x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--（*） （*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=， 得(1,0)M20.（本小题满分14分）已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ·考点：导数·难度：难·分析：解答：（Ⅰ）2()()2x x f x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-由题意得：(1)200f e a e a '=+-=⇔=()01,()0x f x e e x f x x ''=->⇔><⇔<得：函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞（Ⅱ）设00(,())P x f x ； 则过切点P 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---；则0()0g x =切线与曲线只有一个公共点P ()0g x ⇔=只有一个根0x000()()()2()xx g x f x f x e e a x x '''=-=-+-，且0()0g x '=（1）当0a ≥时，00()0,()0g x x x g x x x ''>⇔><⇔<得：当且仅当0x x =时，min 0()()0g x g x ==由0x 的任意性，0a ≥不符合条件（lby lfx ）（2）当0a <时，令00()2()()20ln(2)x x x h x e e a x x h x e a x x a ''=-+-⇒=+=⇔==- ①当0x x '=时，00()0,()0h x x x h x x x ''>⇔><⇔<当且仅当0x x =时，0()()0()g x g x g x ''≥=⇒在x R ∈上单调递增()0g x ⇔=只有一个根0x②当0x x '>时，()0,()0h x x x h x x x ''''>⇔><⇔<得：0()()0g x g x '''<=，又,(),,()x g x x g x ''→+∞→+∞→-∞→+∞存在两个数0x x ''<使，0()()0g x g x ''''==得：00()0()()0g x x x x g x g x '''''<⇔<<⇒<=又,()x g x '→+∞→+∞存在1x x ''>使()0g x ''=，与条件不符·③当0x x '<时，同理可证，与条件不符从上得：当0a <时，存在唯一的点(ln(2),(ln(2))P a f a --使该点处的切线与曲线只有一个公共点P21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分·如果多做，则按所做的前两题计分·作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中·（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设曲线12222=++y xy x 在矩阵 ⎝⎛=b a A 0(0)1a ⎫>⎪⎭对应的变换作用下得到的曲线为122=+y x ·（Ⅰ）求实数b a ,的值· （Ⅱ）求2A 的逆矩阵·解：（Ⅰ）设曲线12222=++y xy x 上任一点(,)P x y 在矩阵A 对应变换下的像是(,)P x y ''' 则220()()11x a x ax x ax ax bx y y b y bx y y bx y''=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧==⇔⇒++=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪''+=+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 得：222222()212,221,1a b x bxy y a b b a b +++=⇒+==⇔==（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21010101011111121A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21101()21A A -⎛⎫=⇒= ⎪-⎝⎭【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系·已知直线l上两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π，圆C 的参数方程θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）·（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系·【解析】（Ⅰ）由题意知(2,0),M N ，因为P 是线段MN中点，则P因此OP 直角坐标方程为：.y x =（Ⅱ）因为直线l 上两点(2,0),(0,3M N∴l 30y -=，圆心(2,，半径2r =.32d ∴==<r ,故直线l 和圆C 相交. 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想·（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数R m x m x f ∈--=|,2|)(，且0)2(≥+x f 的解集为]1,1[-·（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若R c b a ∈,,，且m cb a =++31211，求证：932≥++c b a · 【解析】（1）∵(2)f x m x x +=-≥0,≤∴m ，∴0m m x m >⇒-<< (2)0111f x x m +≥⇔-≤≤⇒= （2）由（1）知1111,,,23a b c R a b c++=∈,由柯西不等式得（lby lfx ） 11123(23)()23a b c a b c a b c +++++++29≥= 【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(福建卷,解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷，解析版）第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足zi=1-i，则z等于A.-1-IB.1-iC.-1+ID.1=i2.等差数列{a n}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为A.1B.2C.3D.43.下列命题中，真命题是A. B.C.a+b=0的充要条件是ab=-1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件【解析】A，B，C 均错，D正确【答案】D【考点定位】此题主要考查逻辑用语中的充分必要条件，考查逻辑推理能力、分析判断能力、必然与或然的能力.4.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱【解析】分别比较ABC的三视图不符合条件，D符合.【答案】D【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图，考查空间想象能力、逻辑推理能力.5.下列不等式一定成立的是A. B.C. D.6.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A.14B.15C.16D.177.设函数则下列结论错误的是A.D（x）的值域为{0,1}B. D（x）是偶函数C. D（x）不是周期函数D. D（x）不是单调函数【解析】A,B.D 均正确，C错误。
【答案】C【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性，全面掌握很关键.8.已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于【解析】∵抛物线的焦点是F（3,0），∴双曲线的半焦距c=3，9.若函数y=2x图像上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为A．12B.1C.32D.210.函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有则称f（x）在[a,b]上具有性质P。
2012年福建专升本高等数学真题
机密★启用前 B 012012 年福建省高职高专升本科入学考试高等数学试卷(考试时间 120 分钟，满分150 分)答题说明：请将答案写在答题纸相应的位置上。
注意事项：答案写在试卷上一律不给分。
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题3 分，共30 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将正确答案代码填写在答题纸相应位置上。
1. 函数f (x) = arccos(x - 4)的定义域是（）A. [4,4]B. [3,5]C. [4,5]D. [3,4]2. 当x 0 时，无穷小x - sin x 与x 比较是（）A ．同阶无穷小B.等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小3.若函数y=f(x)在点x=x 0处连续，则y=f(x)在点x=x 0处（）A ．可导 B.不可导 C.不一定可导 D. 可微4.设f(x)在x=a 处可导，则=( ) A.21f '(a) B.2 f '(a) C. f '(a) D. - f '(a)5.设f (x)=(x-1)(x-2)(x-3) ,则f '(x)=0有（）A.一个实根B. 两个实根C. 三个实根D. 无实根6.设函数f (x)=ax 2+x+1在x=1处取得极大值，则（）A. a=41 B. a= -41 C. a= -21D. a=217.dx d(x t 20sin dt) = ( )A ．sin t B.0C.2sin2xD.sin2x 8.广义积分0211x dx= ( ) A ．-2 B. 2 C. D.发散9. 略10. 略请将答案写在答题纸相应的位置上。
11.若f (x)=,则f (x-1)=_______________。
12．,则k=______________.13.若y=x x (x>0), 则y'=_____________.14.若y=xlnx ,则x=3=___________.15.曲线y=x2+1在点（1,2）处的法线方程为_________.16.曲线y=2x3-3x2+4的拐点为________________.17.不定积分=_____________________.18.定积分=_______________.19.略20.略三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共56分）请将答案写在答题纸相应的位置上。
高等数学2012专升本试题及答案
北京建筑工程学院高职升本科基础课考试高 等 数 学（2012年 3月25日）一、选择题：（共30分，每题3分）1.函数是()ln sec f x x x =-是().A. 奇函数B. 偶函数C. 周期函数D. 有界函数2.极限()1lim 1n n n →∞⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭( ).A. 1-B. 0C. 1eD. 13.下列级数中，收敛的级数是( ).A. ()111nn n ∞=-∑ B.n ∞= C. 11n n∞=∑ D. 11ln n n∞=∑ 4.不定积分arctan d x =⎰ ( ). A. arctan x B. 211x + C. arctan x C + D. 211C x++ 5. 设(0)f '存在，则()()0limx f x f x∆→∆-=∆( ).A. 2(0)f '-B. (0)f '-C. (0)f 'D. 2(0)f '6. 函数1sin y x=( ).A. 当0x →时，是较x 低阶的无穷小量B. 当0x →时，是较x 高阶的无穷大量C. 在区间()0,1内有界D. 在区间()0,1内无界7. 设()f x 可导, 且(1)1f '=, 而()y f x =-, 则1x dy ==( ). A. dx - B. dx C. 1- D. 1 8.下列各广义积分中, 收敛的是( ).A.1+∞⎰B.211dx x+∞⎰C. 1⎰D.11dx x+∞⎰9.设x y z e +=, 则dz =( ).A. x y e +B. x y e dx +C. x y e dy +D. ()x y e dx dy ++ 10. 微分方程50y y '''+=的通解为( ). A. 512x y C x C e -=+ B. 512x y C C e -=+ C. 12y C C x =+ D. 212y C x C x =+二、计算题：（共49分，每题7分）1. 求ln x xdx ⎰.2. 求微分方程 22y y x x'+= 的通解.3. 求极限：202lim sin x x x e e x-→+-.4. 设2xy x=，(0)x > 求dy dx.5.对复合函数lnz u v=，u x y=+，v x y=-，求zx∂∂，zy∂∂.6.设()2ln1arctanx ty t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d ydx.7.设,02(),24kx xf xkx x≤<⎧=⎨-≤≤⎩，且4()4f x dx=-⎰，求常数k.三、应用题（共21分，每题7分）从四个角各截去大小一样的小正方形，做一个无盖的方盒. 试问截去边长为多少的小正方形时才能使做成的方盒的容积最大？2. 求由曲线1xy =及直线y x =, 2y =所围成的图形的面积.3. 计算二重积分 ()22cos Dxy dxdy +⎰⎰，其中D :222x y R +≤.2202sin cos R dr r r d Rπθπ==⎰⎰原式参考答案1-5 BDACC 6-10 CABDB二、 1. c x x x +-2241ln 21 2. 23151x x + 3. 14. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x12ln ln 225.()y x y x y x x z -++-=∂∂ln ()yx yx y x y z -+--=∂∂ln 6. tt 412+7. K=1三、 1. 1/22. 2ln 23211-==⎰⎰yy dx dy S 3. 2202sin cos R dr r r d Rπθπ==⎰⎰原式。
2013年～2017年福建专升本高等数学真题试卷
目录2013年福建省普通高职（专科）专升本招生统一考试 (2)2014年福建省普通高职（专科）专升本招生统一考试 (7)2015年福建省普通高校专升本招生考试 (11)2016年福建省普通高校专升本招生考试 (16)2017年福建省普通高校专升本招生考试 (21)机密★启用前2013年福建省普通高职（专科）专升本招生统一考试高等数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）考生答题注意事项：1、答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名（答题卡背面只需填写姓名）。
考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2、本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
非选择题用0.5毫米黑色签字笔并严格按照题号顺序在答题卡上书写作答，在试题卷上作答无效。
3、考试结束后，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
4、合理安排答题空间，超出答题区域无效。
第一部分选择题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将答题卡的相应代码涂黑。
未涂、错涂或多涂均无分．1．函数()12f x x =+-A．[]2,2-B．(]2,2-C．[)2,2-D．()2,2-2．函数()f x 在0x x =处有定义是极限()0lim x x f x →存在的A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分且必要条件D．既非充分又非必要条件3．当0x →时，1cos x -是tan x 的A．高阶无穷小B．同阶无穷小，但非等价无穷小C．低阶无穷小D．等价无穷小4．0x =是函数()1cosf x x =的A．可去间断点B．跳跃间断点C．无穷间断点D．振荡间断点5．函数()f x x =在0x =处A．不连续B．连续C．可导D．可微6．函数2x y =的2013阶导数是()2013y=A．()20112ln 2x B．()20122ln 2x C．()20132ln 2x D．()20142ln 2x 7．若函数()f x 的一个原函数是ln x ，则()f x '=A．21x -B．21x C．1x D．ln x 8．使广义积分21kdx x +∞⎰发散的k 的取值范围是A．(],2-∞B．(],1-∞C．[)2,+∞D．[)1,+∞9．在空间直角坐标系中，点()1,1,1-关于原点的对称点是A．()1,1,1--B．()1,1,1---C．()1,1,1--D．()1,1,1--10．常微分方程230y y y '''--=的通解是y =A．312x x C e C e +（1C ，2C 为任意常数）B．312x x C e C e --+（1C ，2C 为任意常数）C．312x x C e C e -+（1C ，2C 为任意常数）D．312x x C e C e -+（1C ，2C 为任意常数）第二部分非选择题（请用0.5毫米黑色签字笔并严格按照题号顺序在答题卡上书写作答）二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）请在答题卡相应位置上作答．11．设()()22f x x x +=+，则()2f x -=______．12．极限32lim 13x x x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．13．设()14f '=，则()()011lim 4h f h f h →--=______．14．曲线cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩()02t π≤≤过点22⎛ ⎝⎭的切线方程是______．15．曲线()23y x x =-的拐点是______．16．函数2x y e =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的ξ=______．17．设()20cos x f x t dt =⎰，则f '=______．18．()1201315sin 2tan 3x x dx --+=⎰______．19．点()1,1,0-到平面2260x y z +--=的距离d =______．20．常微分方程x y dy e dx-=满足初始条件()00y =的特解是______．三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共56分）请在答题卡相应位置上作答．21．求极限2301sin lim x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭．22．已知函数()31sin ,0,,0,,0x x x x f x b x a e x ⎧>⎪⎪==⎨⎪+<⎪⎩在0x =处连续，求a ，b 的值．23．已知函数()2sin ln x y e x =，求dy ．24．已知函数()y y x =由方程22xy x ye =+所确定，求y '．25．求不定积分cos 2x xdx ⎰．26．求定积分10⎰．27．求同时垂直于平面1π：52690x y z -+-=和2π：3210x y z -+-=，且过点()3,2,2-的平面方程．28．求常微分方程222x y xy xe -'+=的通解．四、应用题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）请在答题卡相应位置上作答．29．已知由曲线y =，直线6x y +=以及x 轴所圈成的平面图形为D ，（1）求D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．30．依订货方要求，某厂计划生产一批无盖圆柱形玻璃杯，玻璃杯的容积为16π立方厘米．设底面单位面积的造价是侧壁单位面积造价的2倍，问底面半径和高分别为多少厘米时，才能使玻璃杯造价最省？五、证明题（本大题6分）请在答题卡相应位置上作答．31．证明：当0x <时，()22arctan ln 1x x <+．机密☆启用前2014年福建省普通高职（专科）专升本招生统一考试高等数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）考生答题注意事项：1、答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
2012-2013(2)专升本高数结业试卷
2012-2013学年专升本 高等数学选修课结业考试拟试卷姓名_________ 系_______ 班级专业___________一、 选择题（每小题1分，共30分每小题选项中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填在括号内）1、 函数)32(log 21---=x x y a 的定义域为 （ ） （A ）［2，+∞）， （B ）［0，+∞）， （C ）（2，+∞）， （D ）（0，+∞）； 2、 已知 121)11(++=+x x x f ，则 )(x f 等于 （ ） （A ）2+x ， （B ）1+x ， （C ）11+x ， （D ）1+x x； 3、 设x x f 2sin )(=，x x g tan )(=，则当0→x )(x f 是)(x g 的 （ ） （A ）高阶无穷小，（B ）低阶无穷小，（C ）等价无穷小，（D ）同阶但不等价无穷小；4、 设sin ,0,0bxx y xx a⎧≠⎪=⎨=⎪⎩是连续函数 ，则a 为 （ ） （A ）0， （B ）1， （C ）b ， （D ）b -；5、 设)(x f 可导，且1)()2(lim000=-+→hx f h x f h ，则)(0x f '为 （ ）（A ）1， （B ）2， （C ）0， （D ）21； 6、 设x e y 2cos =，则dy 等于 （ ） （A ）dx e e x x 2sin -，（B ）x x e e 2sin 2-，（C ）dx e e x x 2sin ， （D ）dx e x 2sin 2-；7、 已知椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==t y t x sin 2cos 3，则椭圆在点（)22,23处的切线斜率为 （ ）（A ）32， （B ）23， （C ）—23， （D ）—32；8、 函数)1ln(2-=x y 在),1(+∞上是 （ ）（A ）单调减少， （B ）单调增加， （C ）具有最小值， （D ）具有最大值；9、 曲线13-=x x y 的渐近线 （ ）（A ） 水平， （B ）竖直， （C ）一条水平、一条竖直， （D ）无；10、 下列函数中函数值可以在［—1，1］上的是 （ ）（A ）x y =， （B ）3x y =， （C ）2x y =， （D ）xy 1=； 11、设)(x f 是连续函数，则dt t f x)12(21+⎰等于 （ ）（A ）)12(2+x f ，（B ）)12(2+t f ，（C ）4)14(+x f ，（D ）C x f ++)14(4； 12、如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上一定 （ ）（A ）可导， （B ）存在微分， （C ）存在原函数， （D ）存在极值； 13、设⎰=1021dx x I ， ⎰=132dx x I 。
2012福建高考数学(文科)试卷与答案(word)(1)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 复数2)2(i +等于（ ）A ．i 43+B ．i 45+C ．i 23+D ．i 25+ 2. 已知集合}4,3,2,1{=M ，}2,2{-=M ，下列结论成立的是（ ）A ．M N ⊆B ．M N M =YC ．N N M =ID ．}2{=N M I 3. 已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥b a 的充要条件是（ ）A ．21-=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱5.已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为)0,3(，则该双曲线的离心率等于（ ） A ．31414 B ．324 C ．32 D ．436.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于（ ）A ．3-B ．10-C ．0D ．2- 7.直线023=-+y x 与圆422=+y x 相交于B A ,两点，则弦AB 的长度等于（ ）A ．25B ．23C ．3D ．1 8.函数)4sin()(π-=x x f 的图像的一条对称轴是（ ）A ．4π=x B ．2π=x C ．4π-=x D ．2π-=x9.设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，则))((πg f 值为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．π=x10.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为( )A ．1-B ．1C ．23D．2 11.数列}{n a 的通项公式2cos πn n a n =，其前n 项和为n S ，则2012S 等于（ ）A ．1006B ．2012C ．503D ．012.已知c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23，且0)()()(===c f b f a f ，现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④0)3()0(<f f 。
2012年专升本高数(一)
2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．．一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应的题号的信息点上．．．．．．．．．．．．．。
1、sin lim2x x x→∞= A. 12 B. 1 C.2 D.不存在 2、设函数31,0() 0nx x f x a x ⎧-≠=⎨=⎩，在0x =处连续，则a = A. 1 B. 0 C. -1 D.-23、设2y x =，则y ''=A. 2xB. xC.12x D.2x 4、设3ln y x =，则dy =A. 3dx xB. 3x e dxC. 13dx xD.13x e dx 5、设2cos y x =-，则(0)y '=A. 1B. 0C.-1D.-26、3xdx =⎰A. 26x C +B.23x C +C. 22x C +D.232x C + 7、40x e dx =⎰A. 21e +B. 2eC. 21e -D.22e -8、设2z x y =，则z x∂=∂ A. xy B. 2xy C. 2x D.22xy x +9、微分方程6y ''=有特解y =A. 6xB. 3xC. 2xD.x10、下列点中，为幂级数212n n n x ∞=∑收敛点的是 A. 2x =- B.1x = C.2x = D.3x =二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。
将答案填写在答题卡上相应题号后．．．．．．．．．。
11、21lim 1x x x →∞-=+ 。
12、设sin(2)y x =+，则y '= 。
13、设3x y e -=，则dy = 。
14、5cos xdx =⎰ 。
15、211dx x=⎰ 。
16、曲线3y x x =-在点(1,0)处的切线斜率为 。
2012年高数专升本真题及其参考答案
2012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效. 一、选择题 （每小题2 分，共60 分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1．函数 xx y 1arctan 4++=的定义域是 （ ）A ．[4-,+∞）B ．(4-,+∞)C ．[4-, 0）⋃(0,+∞)D ．（4-, 0）⋃(0,+∞) 【答案】C.【解析】 x +4要求04≥+x ，即4-≥x ；x1arctan 要求0≠x .取二者之交集，得∈x [4-, 0）⋃(0,+∞) 应选C.2．下列函数为偶函数的是（ ）A ．()x x y -+=1log 32B ．x x y sin =C ． ()x x ++1ln D. x e y =【答案】B.【解析】 显然A ，D 中的函数都是非奇非偶，应被排除；至于C ， 记 ()()x x x f ++=1ln 2 则 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-x x x f 1ln 2()x x-+=1ln2=++=xx 11ln2()().1ln 2x f x x -=++-所以()x f 为奇函数，C 也被排除.应选B.3．当0→x 时，下列无穷小量中与)21ln(x +等价的是（ ）A ． xB ．x 21C ．2xD ．x 2 【答案】D.【解析】因为12)21ln(lim0=+→xx x ，所以应选D.4．设函数()xx f 1sin 2=， 则0=x 是()x f 的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点 【答案】D ．【解析】 因为()x f 在0=x 处无定义，且无左、右极限，故0=x 是()x f 的第二类间断点.选D ． 5．函数3x y =在0=x 处A ．极限不存在B ．间断C ．连续但不可导D ．连续且可导 【答案】C.【解析】因为3x y =是初等函数，且在0=x 处有定义，故()x f 在0=x 处连续；又321.31x y ='，故()x f 在0=x 处不可导.综上，应选 C.6．设函数()()x x x f ϕ= ，其中()x ϕ在0=x 处连续且的()00≠ϕ，则()0f '（ ）A ．不存在B ．等于()0ϕ'C ．存在且等于0D ．存在且等于()0ϕ 【答案】A. 【解析】()()()00lim 00--='-→-x f x f f x ()xx x x 0lim0--=-→ϕ()()0lim 0ϕϕ-=-=-→x x ； ()()()00lim 00--='+→+x f x f f x ()x x x x 0lim 0-=+→ϕ()()0lim 0ϕϕ==+→x x ； 因为()≠'-0f ()0+'f ，所以()0f '不存在，选A. 7．若函数()u f y =可导，x e u =，则=dy （ ）A ．()dx e f x 'B ．()()x x e d e f 'C ．()dx e x f x .'D ．()[]()x x e d e f '【答案】D B.【解析】根据一阶微分形式的不变性知 ()()()x x e d e f du u f dy '='=，故选B. 8．过曲线()x f y 1=有水平渐进线的充分条件是（ ） A ．()0lim =∞→x f x B ．()∞=∞→x f x limC ．()0lim 0=→x f x D ．()∞=→x f x 0lim【答案】B.【解析】根据水平渐进线的定义： 如果()C x f x =∞→lim 存在，则称C y =为曲线()x f y =的一条水平渐进线，易判断出应选B.9．设函数x x y sin 21-=，则=dydx（ ） A ． y cos 211- B ．x cos 211-C ．ycos 22- D ．x cos 22-【答案】D .【解析】因为x x x dx dy cos 211sin 21-='⎪⎭⎫⎝⎛-=，所以，=-==x dx dy dy dx cos 21111xc o s 22-，选D . 10．曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()1,0处的切线斜率是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B.【解析】 因为()()()00lim00--='-→-x f x f f x ()x x x 1sin 1lim 0-+=-→1sin lim 0==-→xx x ； ()()()00lim00--='+→+x f x f f x ()111l i m 0=-+=+→xx x ，故()10='f 存在. 所以，曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()1,0处的切线斜率是()10='f ，选B.11． 方程033=++c x x （其中c 为任意实数）在区间()1,0内实根最多有（ ） A ．4个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个 【答案】D ．【解析】 令c x x y ++=33.则0332>+='x y ，因此曲线c x x y ++=33在()1,0内是上升的，它至多与x 轴有一个交点，即方程033=++c x x 在区间()1,0内至多有一个实根.选D ．12．若()x f '连续，则下列等式正确的是（ ）A ．()[]()x f dx x f ='⎰ B ．()()x f dx x f ='⎰ C ．()()x f x df =⎰ D ．()[]()x f dx x f d =⎰【答案】A ．13．如果()x f 的一个原函数为x x arcsin -，则()=⎰dx x f 在（ ） A ．C x +++2111 B ．C x+--2111 C ．C x x +-arcsin D ．C x+-+2111【答案】C.【解析】根据原函数及不定积分的定义，立知()=⎰dx x f C x x +-arcsin ，选C. 14．设()1='x f ，且()10=f ，则()=⎰dx x f （ ）A ．C x +B ．C x x ++221C ．C x x ++2D ．C x +221【答案】B.【解析】因为()1='x f ，故 ()C x dx x f +==⎰1 .又()10=f ，故.1=C 即 ()1+=x x f .所以，()=⎰dx x f ().2112C x x dx x ++=+⎰选B. 15． =-⎰dt t dx d x2012sin 2)cos (（ ） A ．2cos x - B ．()x x cos .sin cos 2C ． 2c o s x xD ． ()2i n c o s x【答案】B. 【解析】 =-⎰dt t dx d x 2012sin 2)cos (()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--x x sin .sin cos 2()x x cos .sin cos 2=，选B. 16．=-⎰dx e x x 2132（ ）A ．1B ．0C ．121--eD ．11--e 【答案】C. 【解析】=-⎰dx e x x 2132)(212x e d x -⎰-（分部）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--21010222|x d e e x x x 11121|2----=--=e ee x .选 C.17．下列广义积分收敛的是（ ）A ． ⎰10ln 1xdx x B.⎰10031dx xxC ．⎰+∞1ln 1xdx xD ．dx e x ⎰+∞--35 【答案】D. 【解析】因为 ⎰+→+100ln 1lim εεxdx x ()⎰+→=10ln ln lim εεx xd∞==+→|120ln 21lim εεx ，所以，⎰10031dx xx 发散； 因为 ⎰+→+10031lim εεdx xx ⎰-→+=1034lim εεdx x ∞=-=+→|1031lim 3εεx ，所以，⎰10ln 1xdx x发散； 因为⎰+∞1ln 1xdx x ()⎰+∞=1ln ln x xd ∞==+∞|12ln 21x ，所以，⎰+∞1ln 1xdx x发散；dx e x⎰+∞--35()()151535355105151551|e e e x d e x x =--=-=--=+∞--+∞--⎰收敛。
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机密★启用前B 01
2012年福建省高职高专升本科入学考试
高等数学试卷
(考试时间120分钟，满分150分)
答题说明：请将答案写在答题纸相应的位置上。
注意事项：答案写在试卷上一律不给分。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将正确答案代码填写在答题纸相应位置上。
1.函数f (x )=arccos(x -4)的定义域是（）
A.[4,4]
B.[3,5]
C.[4,5]
D.[3,4]
2.当0→x 时，无穷小x x sin -与x 比较是（）
A ．同阶无穷小 B.等价无穷小 C.高阶无穷小 D.低阶无穷小
3.若函数)(x f y =在点0x x =处连续，则)(x f y =在点0x x =处（）
A．可导 B.不可导
C.不一定可导
D.可微4.设)(x f 在0x x =处可导，则x x a f x a f x ）-(-)(lim
0+→()A.)('21a f B.)
('2a f C.)('a f D.-)('a f 5.设)3-)(2-)(1-()(x x x x f =,则0)('=x f 有（）
A.一个实根
B.两个实根
C.三个实根
D.无实根
6.设函数1)(2++=x ax x f 在1=x 处取得极大值，则（）
A.a=41
B.a=-41
C.a=-21
D.a=2
17.dx d (∫x t 20
sin dt)=()A．sin t
B.0
C.2sin2x
D.sin2x 8.广义积分
∫+∞+0211x dx =()A．-2π B.2π C.π D.发散
9.微分方程x y cos ''=的通解是（）
A.21cos c x c y +=
B.x
c x c y 21cos +=
C.21cos c x c x y ++=
D.2
1cos -c x c x y ++=10.已知3),(,3,2π===b a b a r r r r ，则
b a r r 3-2=（）A.61 B.61 C.39 D.39
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
请将答案写在答题纸相应的位置上。
11.若f (x )=,则f (x-1)=_______________。
12．若,3sin 1lim
0=→kx x x ,则k =.13.若y=x x (x>0),则'y =
.
14.若y=xlnx ,则x=3=.15.曲线y =x 2+1在点（1,2）处的法线方程为.
16.曲线y =2x 3-3x 2+4的拐点为.
17.不定积分xdx ∫ln =.
18.定积分∫+11-22)tan (dx x x x =.
19.微分方程y xy y'=+的通解y =
.20.过点M 0（-1,2,1）且平行于直线{4202=+=+y x z y 的直线方程是
三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共56分）
请将答案写在答题纸相应的位置上。
21.求极限（x x e
x 1-1lim 0→.22.设{1
,1,2)(≤>+=x x x b ax x f ,为使函数)(x f 在x =1处连续且可导，a、b 应取什么值？
23.已知方程y =sin(x +y )确定了y是x的函数y =y (x),求dy .
24.求由参数方程{t
x t y sin 2cos ==确定的y是x的函数)(x y y =的二阶导数2
2dx y d 25.求不定积分∫
xdx x 32sin cos .26.求定积分∫2
ln 01-dx e x .
27.求直线{0
1--01-=+=++z y x z y x 在平面0=++z y x 上投影直线方程.
28.求微分方程x y y cos '-=满足00==x y 下的特解。
四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
请将答案写在答题纸相应的位置上。
29.计算有抛物线
=x ,直线y=2-x及x轴所围平面图形的面积以及该图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体
积。
30.已知某厂生产x 件产品的成本C=25000+200x +40
2
x (元)问（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
五、证明题（本大题共1小题，每小题8分，共8分）
请将答案写在答题纸相应的位置上。
31.设)(x f 在[0,1]上连续，且)(x f <1,求证：方程∫=x
dt t f x 01)(-2在（0,1）内有且仅有一个实根。