高二上学期期中考试数学试题 含答案
2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年安徽省芜湖市安师大附中高二第一学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a =(1,5,−1)，b =(−3,2,3)，则a−b =( )A. (−4,−3,4)B. (4,3,−4)C. (−4,3,−4)D. (4,3,4)2.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN 等于( )A. −23a +12b +12c B. 12a +12b−12c C. 23a +23b−12cD. −23a +23b−12c3.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P(1,2,5)，点Q(−1,2,−5)，则( )A. 点P 和点Q 关于x 轴对称 B. 点P 和点Q 关于y 轴对称C. 点P 和点Q 关于z 轴对称D. 点P 和点Q 关于原点中心对称4.已知直线l 的斜率的范围为[−1,1]，则直线l 的倾斜角α的取值范围为( )A. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α≤180∘ B. 45∘≤α≤135∘C. 45∘<α<135∘D. 0∘≤α≤45∘或135∘≤α<180∘5.已知点A(−4,−2)，B(−4,2)，C(−2,2)，则△ABC 外接圆的方程为( )A. (x +3)2+y 2=5 B. x 2+(y−3)2=20C. x 2+(y +3)2=5D. (x−3)2+y 2=206.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )A. x 24+y 23=1 B.y 26+x 2=1 C. x 26+y 2=1D. x 28+y 25=17.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为6.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为16，则椭圆C 的离心率为( )A. 15B. 45C. 35D.2158.已知M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)是圆C:(x +3)2+(y−5)2=4上的两个不同的点，若|MN|=22，则|x 1−y 1|+|x 2−y 2|的取值范围为( )A. [12,20]B. [10,14]C. [8,16]D. [4 2,82]二、多选题：本题共4小题，共24分。
上海市徐汇区董恒甫高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
2024~2025学年董恒甫高级中学高二（上）期中考试数学试卷一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．空间内，两异面直线所成角的取值范围是_______．2．已知，则点P 与直线l 的位置关系用相应的符号表示为_______．3．设和的两边分别平行，若，则的大小为_______．4．分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是_______．5．己知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的表面积为_______．6．将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_______．7．如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为_______．8．在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为_______．9．如图，己知平面，则二面角的大小为_______．10．已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则三棱锥的表面积是_______．11．一圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_______．12．如图，圆锥形容器的高为h ，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥倒置，水面高为，则等于_______．,,,l m n m n P αβαβ=⊂⊂= A ∠B ∠45A ∠=︒B ∠30︒1cm 2cm 2cm 2cm O A B ''' OAB 3,4O A OB '''==OAB 1111ABCD A B C D -11B C 11A D C PA⊥,,2,ABC AC BC AB BC PB ⊥===P BC A --1h 113h h =2h 2h二、单选题（本大题共4题，满分20分）13．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）A ．三点确定一平面B ．不共线三点确定一平面C ．两条相交直线确定一平面D ．两条平行直线确定一平面14．设是平面M 外的两条直线，且，那么是的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要15．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④16．己知正方体，点P 在直线上，Q 为线段的中点．则下列说法不正确的是（ ）A ．存在点P ，使得B ．存在点P ，使得C ．直线始终与直线异面D ．直线始终与直线异面三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．如图，正四棱柱的底面边长，若与底面所成的角的正切值为．（1）求正四棱柱的体积；a b 、//a M //a b //b M ,m n ,αβ,,m n n m αβα=⊂⊥ αβ⊥,m m αβ⊥⊥//αβ//,,//m n m ααβ⊂//n β,,m n m n αβ⊥⊥⊥αβ⊥1111ABCD A B C D -1AD BD 11PQ A C ⊥1//PQ A B PQ 1CC PQ 1BC 1111ABCD A B C D -2AB =1BDABCD 1111ABCD A B C D -（2）求异面直线与所成的角的大小．18．如图，是正方形，平面．（1）求证：；（2）求二面角的大小．19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，O 是与的交点，平面是的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值．20．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年故入世界文化遗产名景（如图1）现测量一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．C 是母线的一个三等分点（靠近点S ）．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处取3.14，结果精确到个位）；（2）从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．21．如图，是圆柱的直径且是圆柱的母线且，点C 是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的侧面积和体积；1A A 1B C ABCD SD ⊥,2ABCD SD AD ==AC SB ⊥S AC D --P ABCD -ABCD AC BD 45,2,ADC AD AC PO ∠=︒==⊥,2,ABCD PO M =PD //PB ACM AM ABCD Trullon SO AB 12m SA 18m SA πAB 2AB PA =，3PA =（2）求三棱锥体积的最大值；（3）若是的中点，点E 在线段上，求的最小值．P ABC -1AC D =，PB PA CE ED +参考答案1．【答案】2．【答案】3．【答案】或4．【答案】平行或异面5．【答案】6．【答案】7．【答案】1289．【答案】10．【答案】111213．【答案】B15．【答案】D16．【答案】C17．【答案】（1）16；（2）18．（1）连接，如图，因是正方形，则，又平面平面，则，而，且平面，于是得平面，又平面，所以；π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦P l∈45︒135︒12π4ππ41arctan2,AC BD ABCD AC BD ⊥SD ⊥,ABCD AC ⊂ABCD AC SD ⊥BD SD D = ,BD SD ⊂SBD AC ⊥SBD SB ⊂SBD AC SB ⊥（2）取线段中点O ，连接，由题意易知，，且是正方形，，故，，故为二面角的平面角，由平面，可知，故故二面角的大小为．19．（1）连接，在平行四边形中，为与的交点，为的中点，又M 为的中点，，又平面平面平面；（2）取的中点N ，连接，为的中点，，且，由平面，得平面，是直线与平面所成的角，，在中，，，从而，AC DO SO 、,SD AD SD CD ⊥⊥ABCD 2SD AD ==2,AD CD DO AC ==⊥SA SC SO AC ==⊥SOD ∠S AC D --SD ⊥ABCD SD DO ⊥tan SD SOD OD∠===S AC D --OM ABCD O AC BD O ∴BD PD //PB MO ∴PB ⊂,ACM MO ⊂,//ACM PB ∴ACM DO ,MN AN M PD //MN PO ∴112MN PO ==PO ⊥ABCD MN ⊥ABCD MAN ∴∠AM ABCD 45,2,45,90ADC AD AC ACD ADC CAD ∠=︒==∴∠=∠=︒∴∠=︒ Rt DAO 12,12AD AO AC ===DO ∴=12AN DO ==在中，直线与平面．20．【答案】（1）20347朵；（2）．21．【答案】（1）；（2）1；（3）Rt ANM tan MN MAN AN ∠===∴AM ABCD 6π,3πS V ==侧52。
湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题含答案
湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1,2,10)P -关于Oxy 平面的对称点为（）A.(1,2,10)--B.(1,2,10)-C.(2,1,10)--D.(1,2,10)--【答案】A 【解析】【分析】根据平面对称的特征求解.【详解】(1,2,10)P -关于平面Oxy 的对称点的特征为,x y 坐标不变，z 取相反数，故所求坐标为(1,2,10)P --.故选：A.2.若直线1:(1)210l m x y +++=与直线2:210l x y -+=平行，则m 的值为（）A.2±B.2C.2- D.5-【答案】C 【解析】【分析】由两线平行的判定列方程求参数.【详解】由题设1212121m m +=≠⇒=--.故选：C3.近几年7月，武汉持续高温，市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是12.某人用计算机生成了10组随机数，结果如下：726127821763314245521986402862若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，依据该模拟实验，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）A.15B.310C.12 D.25【答案】D 【解析】【分析】根据0，1，2，3，4表示高温橙色预警，在10组随机数中列出3天中恰有2天发布高温橙色预警的随机数，根据古典概型的公式计算即可得解.【详解】3天中恰有2天发布高温橙色预警包括的随机数有：127，821，245，521共4个，所以今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是42105=.故选：D.4.某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件A 为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与A 互为对立事件的是（）A.甲、乙、丙恰有两人中奖B.甲、乙、丙都不中奖C.甲、乙、丙至少有一人不中奖D.甲、乙、丙至多有一人不中奖【答案】C 【解析】【分析】根据题设及对立事件的定义写出A 事件的对立事件即可.【详解】事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”.故选：C5.已知点(2,1),(3,)A B m -，若[1]m ∈--，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（）A.π3π,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C.π2π0,,π43⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.ππ3π,,π324⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】利用两点式求斜率，结合参数范围有[AB k ∈-，根据斜率与倾斜角关系确定倾斜角范围.【详解】由题设11[32AB m k m +==+∈--，则直线AB 的倾斜角的取值范围为π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B6.如图所示，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，1,1,3,AD AB AA BAD '===∠=90,60BAA DAA ︒''︒∠=∠=，则BD '的长为（）A.B.C.D.5【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量加减的几何意义得到BD AA AD AB ''=+-，应用向量数量积的运算律求长度.【详解】由题设BD BB B D AA BD AA AD AB ''''''=+=+=+-，所以22222()222BD AA AD AB AA AD AB AA AD AA AB AD AB'''''=+-=+++⋅-⋅-⋅91133011=+++--=，所以BD '=.故选：B7.已知实数x ，y 满足22280x y x +--=，则22x y +的取值范围是（）A.[4,10]B.[8,10]C.[4,16]D.[8,16]【答案】C 【解析】【分析】由方程确定圆心和半径，进而得到圆上点到原点距离范围，根据22x y +表示圆上点到原点距离的平方求范围.【详解】将22280x y x +--=化为22(1)9x y -+=，即圆心为(1,0)，半径为3，由22x y +表示圆上点到原点距离的平方，而圆心(1,0)到原点的距离为1，又()0,0在圆内，所以圆上点到原点距离范围为[2,4]，故22x y +的取值范围是[4,16].故选：C8.如图，边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使14AD BC ⋅=，则三棱锥D ABC -的体积为（）A. B.C.273D.4143【答案】D 【解析】【分析】由题设得,OB AC OD AC ⊥⊥且()()AD BC AO OD BO OC ⋅=+⋅+，结合已知条件求得3cos 4BOD ∠=-，再利用棱锥体积公式求体积.【详解】若O 为正方形的中心，由题设知,OB AC OD AC ⊥⊥，所以()()14AD BC AO OD BO OC ⋅=+⋅+=，且OA OC OB OD ====，所以14AO BO AO OC OD BO OD OC ⋅+⋅+⋅+⋅= ，即14AO OC OD BO ⋅+⋅=，所以88cos(π)14BOD +-∠=，则3cos 4BOD ∠=-，则7sin 4BOD ∠=，所以三棱锥D ABC -的体积为11414sin 323OD BOD AB BC ⨯⨯∠⨯⨯⨯=.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线:20l kx y -+=和圆22:(3)(4)16M x y -+-=，则下列选项正确的是（）A.直线l 恒过点(0,2)B.直线l 与圆M 相交C.圆M 与圆22:1C x y +=有三条公切线D.直线l 被圆M 截得的最短弦长为【答案】ABC 【解析】【分析】根据定点的特征即可求解A;根据定点在圆内判断B;判断圆与圆的位置关系确定公切线条件判断C;根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解D.【详解】对于A ，由直线的方程:20l kx y -+=，当0x =时，2y =，可知直线恒经过定点(0,2)P ，故A 正确；对于B ，因为直线恒经过定点(0,2)，且22(03)(24)16-+-<，定点在圆内，所以直线l 与圆M 相交，故B 正确；对于C ，由圆的方程22:(3)(4)16M x y -+-=，可得圆心()3,4M ，半径14r =，又由直线:20l kx y -+=，圆22:1C x y +=，圆心()0,0C ，半径21r =，此时541CM ===+，所以圆M 与圆相外切，有三条公切线，故C 正确；对于D ，由PM ==，根据圆的性质，可得当直线l 和直线PM 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为=，故D 错误，故选：ABC.10.柜子里有3双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（）A.“取出的鞋成双”的概率等于25B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于15C.“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于25D.“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于12【答案】BC 【解析】【分析】用列举法列出事件的样本空间，即可直接对选项进行判断.【详解】记3双不同的鞋子按左右为121212,,,,,a a b b c c ，随机取2只的样本空间为()()()()(){1211121112,,,,,,,,,a a a b a b a c a c ()()2122,,,,a b a b ()()()()()()()()}2122121112212212,,,,,,,,,,,,,,,a c a c b b b c b c b c b c c c ，共15种，则“取出的鞋成双”的概率等于31155=，A 错；“取出的鞋都是左鞋”的概率等于31155=，B 正确；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于62155=，C 正确；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于62155=，D 错.故选：BC11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，且点P 满足1BP BC BB λμ=+，则下列说法正确的是（）A.若0,1λμ==，则1//D P 平面1A BDB.若11,2λμ==，则⊥PO 平面1A BD C.若12λμ==，则P 到平面1A BD 3D.若1,01λμ=≤≤时，直线DP 与平面1A BD 所成角为θ，则36sin ,33θ∈⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据各项参数确定P 的位置，分别应用线面平行的判定定理判断A ；线面垂直的判定定理判断B ；由P 到平面1A BD 的距离，即为1C 到平面1A BD 的距离的一半，几何法求点面距离判断C ；应用向量法求线面角，进而求范围判断D.【详解】A ：1BP BB =，即1,P B 重合，故1D P 即为11D B ，又11//D B DB ，即1//D P DB ，由1D P ⊄面1A BD ，DB ⊂面1A BD ，则1//D P 面1A BD ，对；B ：112BP BC BB =+，易知P 为1C C 的中点，此时1CP =，且2OC OD ==所以3,5OP PD ==222OP OD PD +=，即OP OD ⊥，根据正方体的结构特征，易得11//DA CB ，若E 为BC 的中点，则1//PE C B ，又11CB C B ⊥，则1CB PE ⊥，显然OE ⊥面11BCC B ，1CB ⊂面11BCC B ，则1OE CB ⊥，由PE OE E = 且在面POE 内，则1CB ⊥面POE ，OP ⊂面POE ，则1CB OP ⊥，所以1DA OP ⊥，又1DA OD D = 都在面1A BD 内，则OP ⊥面1A BD ，对；C ：11122BP BC BB =+，即P 是面11BCC B 的中心，易知P 到平面1A BD 的距离，即为1C 到平面1A BD 的距离的一半，根据正方体的结构特征，11C A BD -为正四面体，且棱长为22，所以1C 到平面1A BD 22238(22)(22)83233-⨯⨯=-=所以P 到平面1A BD 的距离为23，错；D ：1BP BC BB μ=+，则P 在线段1CC 上运动，如图构建空间直角坐标系，所以1(2,0,2),(2,2,0),(0,2,)A B P t ，且02t ≤≤，故(0,2,)DP t =，令面1A BD 的一个法向量为(,,)m x y z =，且()()12,0,2,2,2,0DA DB == ，所以1220220m DA x z m DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =-，则(1,1,1)m =- ，故2||2sin ||||34m DP m DP tθ⋅==⨯+ ，令2[2,4]x t =+∈，则2t x =-，所以2211sin 841113138()42x x x θ==⨯-+⨯-+111[,42x ∈，故36sin ,33θ∈，对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据各项参数值确定对应P 点的位置为关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过(0,2),(1,4)A B -两点的直线的方向向量为(1,)k ，则k 的值为______.【答案】2-【解析】【分析】利用两点式求斜率，结合斜率与方向向量的关系列方程求参数.【详解】由题设422101kk -=⇒=---.故答案为：2-13.已知空间向量(4,7,),(0,5,2),(2,6,)a m b c n ==-=，若,,a b c 共面，则mn 的最小值为__.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】先利用题给条件求得,m n 之间的关系，再利用二次函数即可求得mn 的最小值.【详解】空间向量(4,7,),(0,5,2),(2,6,)a m b c n ==-=，若,,a b c 共面，则可令(,R)a b c λμλμ=+∈，则427562m n μλμλμ=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解之得2122m n μλ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩则2(22)22mn n n n n =+=+二次函数222y x x =+的最小值为12-，则222mn n n =+的最小值为12-.故答案为：12-14.由1,2,3,,2024 这2024个正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则12a b >的概率为___.【答案】34##0.75【解析】【分析】利用古典概型即可求得12a b >的概率.【详解】12a b >即2b a <，当1a =时，b 可以取1，有211⨯-种取法；当2a =时，b 可以取1，2，3，有221⨯-种取法；当3a =时，b 可以取1，2，3，4，5，有231⨯-种取法；当1012a =时，b 可以取1，2，3，L ,2023，有210121⨯-种取法；当10132024a ≤≤时，b 可以取1，2，3，L ,2024，有2024种取法；()()()211221210121101220241220242024a P b ⨯-+⨯-++⨯-+⨯⎛⎫>=⎪⨯⎝⎭ 759310124==故答案为：34四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC 的顶点(1,3)A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为10x y +-=，边AC 上的高BH 所在直线方程为21y x =+.（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程.【答案】（1）()5,6-（2）74110x y ++=【解析】【分析】（1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解；（2）结合（1）先求H 点坐标可得H 与A 重合，再利用AB 中点M 在直线10x y +-=上，即可求出B 点坐标，进而得出直线BC 的方程.【小问1详解】由题知，BH AC ⊥，C 在直线CM 上，设(),C m n ，则321110n m m n -⎧⨯=-⎪-⎨⎪+-=⎩，解得56m n =-⎧⎨=⎩，即点C 坐标为()5,6-.【小问2详解】设()00,B x y ，则000013102221x y y x ++⎧+-=⎪⎨⎪=+⎩，解得0011x y =-⎧⎨=-⎩，即()1,1B --，所以直线BC 的方程为()()()()611151y x ----=+---，即74110x y ++=.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,,ABCD AD BC AB BC E ⊥为PD 的中点.（1）若CD AC ⊥，证明：EA EC =；（2）若224,1AD PA BC AB ====，求平面ACE 和平面ECD 的夹角θ的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）79.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定及性质定理证PA AD ⊥、CD PC ⊥，结合直角三角形性质即可证结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.【小问1详解】由PA ⊥平面ABCD ，,CD AD ⊂平面ABCD ，则PA CD ⊥，PA AD ⊥，而CD AC ⊥，PA AC A = 且都在面PAC 内，则CD ⊥面PAC ，由PC ⊂面PAC ，则CD PC ⊥，即,△△PAD PCD 均为直角三角形，且PD 为斜边，由E 为PD 的中点，故12AE CE PD ==，得证.【小问2详解】由题意，易知ABCD 为直角梯形，且AB BC ⊥，//AD BC ，且PA ⊥平面ABCD ，以A 为原点，建立如下图示空间直角坐标系，则(1,2,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,2,1)C D P E ，所以(0,2,1),(1,2,0),(1,0,1),(1,2,0)AE AC CE CD ===-=- ，若(,,),(,,)m x y z n a b c == 分别是面ACE 、面ECD 的法向量，则2020m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =-，则(2,1,2)m =- ，且020n CE a c n CD a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1b =，则(2,1,2)n = ，所以7cos ,9m n m n m n ⋅== ，故平面ACE 和平面ECD 的夹角余弦值为79.17.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组，据统计新生通过考核选拔进入这三个兴趣小组成功与否相互独立.2024年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组的概率依次为12m n 、、，已知三个兴趣小组他都能进入的概率为124，至少进入一个兴趣小组的概率为34，且m n <.（1）求m 与n 的值；（2）该校根据兴趣小组活动安排情况，对进入“绘画”兴趣小组的同学增加校本选修学分1分，对进入“书法”兴趣小组的同学增加校本选修学分2分，对进入“诗词”兴趣小组的同学增加校本选修学分3分.求该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率.【答案】（1）1143m n ==，（2）14【解析】【分析】（1）由于进入这三个兴趣小组成功与否相互独立，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式来列出方程求解.（2）分析该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的情形有三种，即分数为4分，5分，6分，然后进行相互独立事件同时发生的概率乘法计算，再用分类事件加法原理求解即可.【小问1详解】由题意得：()()1122413111124mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎪⎩，解得：1413m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；【小问2详解】设该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分的分数为X ，则()11114143212P X ⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭，()1111514328P X ⎛⎫==-⨯⨯= ⎪⎝⎭，()1111643224P X ==⨯⨯=，所以()11114128244P X ≥=++=.即该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率为14.18.如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，1124,,AB A B E F ==分别为DC ，BC 的中点，上下底面中心的连线1O O 垂直于上下底面，且1O O 与侧棱所在直线所成的角为45︒.（1）求证：1//B D 平面1C EF ；（2）求点1D 到平面1C EF 的距离；（3）在线段1BD 上是否存在点M ，使得直线1A M 与平面1C EF 所成的角为45︒，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2；（3）5或.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设平面1C EF 的一个法向量为(,,)n x y z = ，判断10BD n ⋅= 即可；（2）应用向量法求1D 到平面1C EF 的距离即可；（3）假设在1BD 上存在点M ，且1(3,3,)MB D B λλλ== ，01λ≤≤，结合线面角正弦值列方程，求参数即可；【小问1详解】由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系，故111(4,4,0),(0,2,0),(2,4,0)A B D C E F ，所以11(2,2,0),(3,3,EF EC D B === ，若平面1C EF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则12200n EF x y n EC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1x =，则(1,1,0)n =- ，显然10BD n ⋅= ，而1⊄BD 面1C EF ，所以1//BD 面1C EF ；【小问2详解】由（1）知：11(0,2,0)D C =uuuu r ，所以1D 到平面1C EF的距离为11||||n D C n ⋅== 【小问3详解】假设在1BD 上存在点M，且1(3,3,)MB D B λλλ== ，01λ≤≤，则1111(1,3,(3,3,)(13,33A M A B MB A B D B λλλλλ=-=-=-=--，直线1A M 与平面1C EF 所成的角为45︒，故11||2||||n A M n A M ⋅= ，所以22(13)11(1)4λλ-+-=，即2572(52)(1)0λλλλ-+=--=，可得2=5λ或1λ=，2=5λ时，66(,,55MB =，则455BM ==，1λ=时，(3,3,MB =，则BM ==，综上，BM 长为455或19.已知动点M 与两个定点(1,1),(1,4)A B --的距离的比为12，记动点M 的轨迹为曲线Γ.（1）求曲线Γ的方程，并说明其形状；（2）已知(1,0)D -，过直线5x =上的动点(5,)P p 分别作曲线Γ的两条切线PQ ，(,PR Q R 为切点），连接PD 交QR 于点N ，（ⅰ）证明：直线QR 过定点，并求该定点坐标；（ⅱ）是否存在点P ，使ADN △的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，半径为2的圆；（2）（ⅰ）证明见解析，定点为1(,0)3-；（ⅱ）存在，(5,0)P .【解析】【分析】（1）根据已知及两点距离公式有2222(1)(1)1(1)(4)4x y x y ++-=++-，整理即可得曲线方程；（2）（ⅰ）根据题设知,R Q 在以PD 为直径的圆上，并写出对应方程，结合,R Q 在22(1)4x y ++=上，即可求直线RQ ，进而确定定点坐标；（ⅱ）根据（ⅰ），若定点为1(,0)3T -，易知N 在以DT 为直径的圆上，根据圆的性质判断ADN △面积最大时N 的位置，即可确定P 的坐标.【小问1详解】设(,)M x y ，则22||1||4MA MB =，即2222(1)(1)1(1)(4)4x y x y ++-=++-，所以2223(1)4(1)(4)x y y ++-=-，整理得22(1)4x y ++=.【小问2详解】（ⅰ）由题设，易知,,,P R D Q 四点共圆，即,R Q 在以PD 为直径的圆上，而,P D 的中点坐标为(2,2p ，||PD =以PD 为直径的圆为222(2)()924p p x y -+-=+，又,R Q 在22(1)4x y ++=上，即RQ 为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线RQ 为620x py ++=，显然该直线恒过定点1(,0)3T -，得证.（ⅱ）存在，(5,0)P ，理由如下：由（i ）及题设，易知N 在以DT 为直径的圆上，即2(,0)3-为圆心、半径为13，且AD x ⊥轴，则|1AD =|，且2(,0)3-到直线AD 的距离为13，故N 到直线AD 的最大距离为23，所以，当N 与1(,0)3T -重合时，ADN △面积最大，此时(5,0)P .。
山东省德州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案
高二数学试题（答案在最后）2024.11主考学校：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟.注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第Ⅰ卷选择题（共58分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知直线l 320y --=，则l 的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A 【解析】【分析】由直线方程计算直线斜率，由斜率得到倾斜角.【详解】由题意得，直线斜率为3k =，即tan 3α=，又0180α≤< ，则30α=︒.故直线的倾斜角为30︒.故选：A.2.已知直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行，则m 的值为（）A.3-B.1- C.2D.3-或2【答案】A 【解析】【分析】由两直线平行公式计算m 的值，代入验证排除直线重合的情况即可得到结果.【详解】由两直线平行得：(1)230m m +-´=，解得2m =或3m =-.当2m =时，1:3210l x y ++=，2:3210l x y ++=，两直线重合，不合题意.当3m =-时，1:2210l x y -++=，即2210x y --=，23310:x y l -+=，两直线平行，符合题意.故m 的值为3-.故选：A.3.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>，若点()0,2到E的渐近线距离为3，则双曲线E 的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式结合已知条件求出ba的值，即可求出该双曲线的离心率的值.【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a=±，即0bx y a ±=，因为点()0,2到E 的渐近线距离为233，即233=，解得ba=，因此，该双曲线的离心率为c e a ====.故选：B.4.在四面体O ABC -中，点D 为BC 的中点，点E 在AD 上，且2AE ED =，用向量OA ，OB ，OC 表示OE ，则OE =（）A.111333OA OB OC-++u u ur u u u r u u u r B.1133OA OB OC-+u u u r u u u r u u u rC.111333OA OB OC +-u u ur u u u r u u u r D.111333OA OB OC ++【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.【详解】如图，由题意得，()221332OE OA AE OA AD OA AB AC=+=+=+⋅+ ()11113333OA OB OA OC OA OA OB OC =+-+-=++ .故选：D.5.已知圆()()221x m y n -+-=不经过坐标原点，且与圆224x y +=相切，则mn 的最大值为（）A.1B.32C.92D.814【答案】C 【解析】【分析】根据两圆相切以及()()221x m y n -+-=不过原点先求解出,m n 的关系式，然后结合基本不等式求解出最大值.【详解】因为()()221x m y n -+-=与224x y +=相切，21=+21=-，所以229m n +=或221m n +=，因为()()221x m y n -+-=不经过原点，所以221m n +≠，所以229m n +=，又因为222m n mn +≥，所以22922m n mn +≤=，当且仅当2m n ==±时取等号，所以mn 的最大值为92，故选：C.6.已知菱形ABCD 的边长为2，60BAC ∠=︒，现将ACD 沿AC 折起，当BD =时，二面角D AC B--平面角的大小为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】B 【解析】【分析】设AC BD E = ，由菱形的性质得出BED ∠就是二面角D AC B --的平面角，求出BED 的边长可得答案.【详解】设AC BD E = ，菱形ABCD 满足2AB BC ==，60BAC ∠=︒，则ABC V 和ADC △都为等边三角形，所以2AC =，BE DE ==，又AC BD ⊥，则,BE AC DE AC ⊥⊥，所以BED ∠就是二面角D AC B --的平面角，由于BD =，所以BE DE BD ==，所以BED 是等边三角形，所以60BED ∠=︒，即二面角D AC B --平面角的大小为60︒.故选：B.7.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上存在两点M 、N 关于直线10x y --=对称.若椭圆离心率为33，则MN 的中点坐标为（）A.()5,4 B.()4,3 C.()3,2 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】设点1,1、2,2，线段MN 的中点为()00,E x y ，由已知条件可得出2223b a =，利用点差法以及点M 在直线10x y --=上，可得出关于0x 、0y 的值，解出这两个量的值，即可得出线段MN 的中点坐标.【详解】设点1,1、2,2，线段MN 的中点为()00,E x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意，椭圆的离心率为3c e a ===，可得2223b a =，因为M 、N 关于直线10x y --=对称，且直线10x y --=的斜率为1，则12121MN y y k x x -==--，将点M 、N 的坐标代入椭圆方程可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上述两个等式作差可得22221212220x x y y a b--+=，可得222121212222121212y y y y y y b x x x x x x a -+-=⋅=--+-，即()0022123y x ⋅-=-，即0023y x =，即0023x y =，①又因为点()00,E x y 在直线10x y --=上，则0010x y --=，②联立①②可得0032x y =⎧⎨=⎩，故线段MN 的中点为()3,2E .故选：C.8.已知四棱锥P ABCD -的各侧棱与底面所成的角都相等，其各个顶点都在球O 的球面上，满足4PA =，6AB AD ==，120BCD ∠=︒，则球O 的表面积为（）A.100πB.64πC.36πD.32π【答案】B 【解析】【分析】首先根据侧棱与底面所成角相等推出顶点在底面的射影是底面外接圆的圆心，然后利用底面四边形的条件求出底面外接圆的半径，再结合四棱锥的棱的长度求出该几何体外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出表面积即可.【详解】因为四棱锥P ABCD -的各侧棱与底面所成的角都相等，所以顶点P 在底面ABCD 的射影O '是底面四边形ABCD 外接圆的圆心.因为6AB AD ==，所以△ABD 为等腰三角形.因为120BCD ∠=︒，所以60BAD ∠=︒，故△ABD 为等边三角形，则6BD =.设底面四边形ABCD 外接圆半径为r ，则根据正弦定理得2sin BD r BAD =∠，即62sin60r =，解得r =.设线段BD 的中点E ,则AE BD ⊥，那么由勾股定理可知AE ===，所以32AE r =，故O '是等边三角形ABD 的中心，则2PO '===.设球O 的半径为R ，根据题意可知球心O 在射线PO '上，当球心O 在线段PO '上时，如图1所示，则222OA O A O O ''=+，即222(2)R r R =+-，解得4R =，此时220R -=-<，不符合题意舍去.当球心O 在射线PO '上且在平面ABD 的下方时，如图2所示，222OA O A O O ''=+，即222(2)R r R =+-，解得4R =，此时220R -=>符合题意，故球O 的半径4R =，所以根据球体的表面积公式知该四棱锥外接球的表面积为24π64πR =.故选：B.【点睛】求解几何体外接球问题的关键是通过找到球体球心的位置确定球体的半径.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知空间中四点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，()1,1,1D ，则（）A.3AB = B.AC BD⊥ C.BC 在AD上的投影数量为 D.,AB AD为锐角【答案】BCD 【解析】【分析】A ：表示出AB的坐标，利用模长公式计算；B ：表示出,AC BD 的坐标，然后根据数量积判断是否垂直；C ：计算出,BC AD AD ⋅ ，根据BC AD AD⋅可计算出投影数量；D ：根据AB AD ⋅的正负并结合是否共线作判断.【详解】A ：因为()2,1,0AB =，所以AB == ，故错误；B ：因为()()1,2,1,1,1,1AC BD =-=-- ，所以1210AC BD ⋅=-+= ，所以AC BD ⊥ ，故正确；C ：因为()()3,1,1,1,0,1BC AD =-= ，所以312BC AD ⋅=-+=-，AD == ，所以BC 在AD上的投影数量为BC AD AD ⋅==，故正确；D ：因为()()2,1,0,1,0,1AB AD == ，所以20AB AD ⋅=>，由坐标可知,AB AD不共线，所以,AB AD 为锐角，故正确；故选：BCD.10.已知直线:0-+=l kx y k ，圆22:430C x y x +-+=，()00,P x y 为圆C 上任意一点，则（）A.直线l 过定点()1,0B.若圆C 关于直线l 对称，则0k =C.00y x的最大值为3D.2200x y +的最大值为3【答案】BC 【解析】【分析】A ：将直线方程化为():10l k x y +-=，根据100x y +=⎧⎨=⎩可确定出定点坐标；B ：考虑直线经过圆心的情况；C ：根据0y x 的几何意义，考虑OP 与圆相切；D ：根据2200x y +的几何意义，先计算max OP ，然后可求结果.【详解】22:430C x y x +-+=化为标准方程为()22:21C x y -+=，圆心为2,0，半径为1；A ：因为():0:10l kx y k l k x y -+=⇔+-=，令100x y +=⎧⎨=⎩，可得10x y ⎧⎨⎩=-=，所以l 过定点()1,0-，故错误；B ：若圆C 关于l 对称，则l 过圆心2,0，所以200k k -+=，解得0k =，故正确；C ：0y x 表示OP 连线的斜率，设:OP y kx =，即:0OP kx y-=，如下图，当:0OP kx y -=与()22:21C x y -+=相切时，此时k 取最值，1=，解得3k =±，所以k的最大值为3，即00yx的最大值为3，故正确；D ：2200x y +表示2OP ，因为max 213OP OC r =+=+=，所以()2max9OP=，故错误；故选：BC.11.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，AB =，1AC =，12AA =，点M 为线段1CC 的中点，N 为线段1A M 上的动点，则（）A.1BM A M⊥B.存在点N 使得1C N 垂直于平面1A BM C.若1//C N 平面ABM ，则1A N NM =D.直线BN 与平面11ACC A 所成角的最大值为π4【答案】ACD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项判断即可.【详解】如图，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则())()()()()110,0,0,,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,1,1A BC A C M ，对于A，因为()()1,0,1,1BM A M ==-，所以()1011110BM A M ⋅=+⨯+⨯-=，则1BM A M ⊥，即1BM A M ⊥，故A 正确；对于B ，由A知，()()1,0,1,1BM A M ==-，设()1101A N A M λλ=≤≤ ，则()10,,A N λλ=-，即()0,,2N λλ-，所以()10,1,C N λλ=--，又1C N ⊥平面1A BM ，则1111010C N BM C N A M λλλλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，无解，所以不存在点N 使得1C N 垂直于平面1A BM ，故B 错误；对于C ，由B 知，设()1101A N A M λλ=≤≤ ，可得()10,1,C N λλ=--，又()(),0,1,1BM AM ==，设平面ABM 的一个法向量为 =1,1,1，则11111100m BM y z m A M y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11y =，得()0,1,1m =- ，因为1//C N 平面ABM ，所以1C N m ⊥，则110C m N λλ⋅=-+= ，解得12λ=，此时1A N NM =，故C 正确；对于D ，由B 知，设()1101A N A M λλ=≤≤，可得()0,,2N λλ-，所以(),2BN λλ=- ，易知平面11ACC A 的一个法向量为()1,0,0n =，设直线BN 与平面11ACC A 所成角为θ，则sin cos ,BN n BN n BN nθ⋅===⋅，所以当1λ=时，sin θ取得最大值2，即直线BN 与平面11ACC A 所成角的最大值为π4，故D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知ABC V 的三个顶点()2,1A -，()2,13B ，()5,12C ，则AB 边上的高为________.【答案】10【解析】【分析】求出直线AB 的方程，再利用点到直线的距离公式即可.【详解】131322AB k -==+，则直线AB 的方程为()132y x -=+，即370x y -+=，则点()5,12C 到直线AB 351271010⨯-+=，则AB 10.10.13.在三棱锥P ABC -中，已知1AB AC AP ===，2BC =P 到AC ，AB 的距离均为32，那么点P 到平面ABC 的距离为________.【答案】22【解析】【分析】如图，取BC 中点为D ，连接PD ，AD ，过P 作AD 垂线，垂足为G ，可证PG 与平面ABC 垂直及D 和G 重合，即可得答案.【详解】过P 作AC ，AB 垂线，垂足为E ，F ，由题，则32PE PF ==.又π2PA PA PE PF PEA PFA ==∠=∠=，，，则PAE PAF ≅△△，又1AP =，32PE PF ==，则1212AE AF FB EC ==⇒==.则1212AE AF FB EC ==⇒==，又由勾股定理，可得1PB PC ==.取BC 中点为D ，连接PD ，AD .由以上分析可知PD BC AD BC ⊥⊥，.因PD AD D PD AD ⋂=⊂，，平面PAD ，则⊥BC 平面PAD .过P 作AD 垂线，垂足为G ，则PG AD ⊥，又PG ⊂平面PAD ，则PG BC ⊥.因BC AD D BC AD ⋂=⊂，，平面ABC ，则PG ⊥平面ABC ，即PG 为P 到平面ABC 的距离.在PBC △中，因1PB PC ==，2BC =，则22PD =.又在ABC V 中，12AB AC BC ===，，则22AD =；又1AP =，则APD △为以D 为直角顶点的直角三角形，则PD AD⊥即D 和G 重合，则22PD PG ==.故答案为：2214.已知直线24y x =-+与抛物线()220y px p =>交于A 、B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则p =________；AOB V 的面积为________.【答案】①.1②.17【解析】【分析】设点1,1、2,2，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出0OA OB ⋅= ，结合韦达定理可求得p 的值，然后利用三角形的面积公式可求得AOB V 的面积.【详解】设点1,1、2,2，联立2242y x y px =-+⎧⎨=⎩可得240y py p +-=，2160p p ∆=+>，由韦达定理可得12y y p +=-，124y y p =-，所以，221212*********y y OA OB x x y y y y p p⋅=+=+=-= ，解得1p =，所以，121y y +=-，124y y =-，则()2121212411617y y y y y y -=+-=+=，直线24y x =-+交x 轴于点()2,0E ，所以，12112171722OAB S OE y y =⋅-=⨯= 故答案为：117.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点(3，()3,2，且圆关于x 轴对称.（1）求圆C 的标准方程；（2）已知直线l 经过点()0,1，与圆C 交于A ，B 两点，若2AB =，求直线l 的方程.【答案】（1）()2234x y -+=（2）770x y -+=或10x y +-=【解析】【分析】（1）设出圆心并根据圆上的两点坐标，即可得出圆心和半径可得圆C 的标准方程；（2）利用弦长公式计算求得圆心到直线的距离，即可求得直线方程.【小问1详解】由圆关于x 轴对称可知圆心在x 轴上，设圆心(),0C a ，半径为r ；即可得()(()()2222203302a a -+-=-+-，解得3a =，半径2r =，所以圆C 的标准方程为()2234x y -+=【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，直线方程为0x =，显然不合题意；当直线l 的斜率存在时，设方程为1y kx =+；易知圆心到直线1y kx =+的距离d =又AB ==可解得17k =或1k =-，即直线l 的方程为770x y -+=或10x y +-=.16.已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，点()2,P m 在抛物线上，且4PF =.（1）求抛物线的方程及m ；（2）斜率为2的直线l 与抛物线的交点为A 、B （A 在第一象限内），与x 轴的交点为M （M 、F 不重合），若2AM MB =，求ABF △的周长.【答案】（1）抛物线方程为28y x =，4m =±（2）14+【解析】【分析】（1）由抛物线的定义结合4=PF 可求得p 的值，可得出抛物线的方程，再将点P 的坐标代入抛物线方程，即可求得m 的值；（2）设点(),0M n ，则2n ≠，可得直线l 的方程为12x y n =+，设点1,1、2,2，则10y >，由平面向量的坐标运算可得出122y y =-，将直线l 的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求出n 、1y 、2y 的值，进而可求得ABF △的周长.【小问1详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由抛物线的定义可得242p PF =+=，可得4p =，所以，抛物线的方程为28y x =，将点P 的坐标代入抛物线方程可得28216m =´=，解得4m =±.【小问2详解】设点(),0M n ，则2n ≠，因为直线l 的斜率为2，则直线l 的方程为12x y n =+，设点1,1、2,2，则10y >，由2AM MB =，可得()()1122,2,n x y x n y --=-，则122y y -=，可得122y y =-，联立2128x y n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2480y y n --=，16320n ∆=+>，可得12n >-，由韦达定理可得124y y +=，128y y n =-，所以，1211111422y y y y y +=-==，可得18y =，24y =-，所以，12832n y y -==-，可得4n =，所以，12122AB y y =-=⨯=，()12121484284142AF BF x x y y +=++=+++=++=，所以，ABF △的周长为14AF BF AB ++=+.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，4PA =，60PAD ∠=︒，120PDC ∠=︒.（1）求证：AD PC ⊥；（2）求平面DPA 与平面BPA 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）1313【解析】【分析】（1）通过线面垂直的判定定理证明AD ⊥平面PCD 即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】在PAD △中，由余弦定理得222142cos cos 602242PD PAD +-∠===⨯⨯ ，解得23PD =所以222PD AD PA +=，故AD PD ⊥，又,,,AD CD CD PD D CD PD ⊥=⊂ 平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD ，又PC ⊂平面PCD ，所以AD PC ⊥；【小问2详解】以D 为坐标原点，,DA DC 分别为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,3,3)D A B P -，所以(2,0,0),(0,3,3),(0,2,0),(2,3,3)DA DP AB AP ====--，设平面DPA 的一个法向量为111(,,)m x y z = ，则11120330m DA x m DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11z =，则110,3x y ==3,1)m = ，设平面BPA 的一个法向量为222(,,)n x y z = ，则222220230n AB y n AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令23x =，则220,2y z ==，所以(3,0,2)n = ，故cos ,13m n m n m n ⋅=== ，所以平面DPA 与平面BPA所成角的余弦值为13.18.已知双曲线G22−22=1>0,>0过点2,30y -=.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若点P 为双曲线右支上一点，()(),00A t t >，求PA 的最小值；（3）过点()2,0F 的直线与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，求证：11||||MF NF +为定值.【答案】（1）2213y x -=（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案；（2）设()000,,1P x y x ≥，表示出PA ，结合二次函数性质，讨论即可得答案；（3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出11||||MF NF +的表达式，化简即可证明结论.【小问1详解】由题意知双曲线G 22−22=1>0,>0过点2,30y -=，则22491a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故双曲线C 的标准方程为2213y x -=；【小问2详解】点P 为双曲线右支上一点，设()000,,1P x y x ≥，()(),00A t t >，则PA ====当14t ≤，即04t <≤时，PA1t =-，当14t >，即4t >时，PA；【小问3详解】当过点()2,0F 的直线斜率不存在时，方程为2x =，此时不妨取(2,3),(2,3)M N -,则11112||||333MF NF +=+=；当当过点()2,0F 的直线斜率存在时，设直线方程为()()1122(2),,,,y k x M x y N x y =-，不妨令122,12x x ><<，联立22(2)13y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()222234430k x k x k -+--=，由于直线过双曲线的右焦点，必有0∆>，直线与双曲线C 的右支交于M ，N两点，需满足k >k <则22121222443,33k k x x x x k k---+==--，则11MF NF +=()()121212112222x x x x x x ⎛⎫-=+=⎪----⎭()12121224x x x x x x -=+--1212=222433k k=-----⎪--⎝⎭293k=-26129933k --===--，综合以上可知11||||MF NF +为定值.【点睛】难点点睛：本题考查了直线和双曲线位置关系的综合应用，综合性强，计算量大，难点在于证明定值问题，解答时要注意计算的准确性，基本都是字母参数的运算，需要十分细心.19.已知椭圆的中心为坐标原点，左、右焦点分别为1F ，2F 1-，直线:l y x m =+与椭圆交于A 、B 两点（其中点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方），当AB 过1F 时，2ABF △的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面12A F F '）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面12B F F '）垂直.①当B 为椭圆的下顶点时，求折叠后直线1A F '与平面2A B F ''所成角的正弦值；②求三棱锥12A B F F ''-体积的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2）①15025；②1445【解析】【分析】（1）由题意列出方程组，解得,,a b c 的值，直接写出椭圆方程；（2）①求出平面中,A B 坐标，再建立空间直角坐标系得到,A B ''坐标，利用空间向量求得线面角的正弦值；②在平面内求出,A B 坐标的关系，再建立空间直角坐标系得到,A B ''坐标，从而列出三棱锥的体积的表达式，利用二次函数求得最大值.【小问1详解】由题意可得221442ABF a c C a ⎧-=⎪⎨==⎪⎩ 21a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩1b =，∴椭圆的标准方程为：2212x y +=，【小问2详解】翻折后，如图：①当B 为椭圆的下顶点时，由题意知()0,1B -，直线:1l y x =-，联立方程组可得22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，∴41,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭令原来y 轴负半轴为z 轴，则41,,033A ⎛'⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1B '，()11,0,0F -，()21,0,0F ，∴171,,033A F ⎛⎫=--⎪⎝⎭' ，41,,133A B ''⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，211,,033A F ⎛⎫=--⎪⎝⎭' ，设 =s s 为平面2A B F ''的一个法向量，则24103311033A B n a b c A F n a b ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩'-''-= ，令1a =，所以111a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即()1,1,1n =- ，设直线1A F '与平面2A B F ''的夹角为θ，则()1122212271015033sin cos ,257111133A F n A F n A F n θ-++⋅===⎛⎫⎛⎫-+-⨯+-+ '''⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，②联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2234220x mx m ++-=，()()222Δ443222480m m m =-⨯⨯-=->，∴33m -<<，设1,1，2,2，则1243m x x +=-，212223m x x -=，()()222212121212224542333m m m m y y x m x m x x x x m m ---=++=+++=-+=，()11,,0A x y '，()22,0,B x y -，∴()121212112111542233239A B F F B F F y y m m V y S y y ''-'-++==⨯⨯⨯-=-= ，令函数()(2542,f m m m m =-++<，由二次函数的对称轴：25m =，∴()21455f m f ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以当25m =时，12A B F F ''-的体积最大，此时121445A B F F V ''-=.【点睛】方法点睛：本题由平面解析几何转变成立体几何，需要自己建立新的坐标系，并能通过平面直角坐标系的点坐标得到对应在空间直角坐标系的坐标，然后利用立体几何的知识来解得答案.。
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案
2024年下学期期中检测试题高二数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a 满足6786a a a ++=，则7a 等于（）A.1B.2C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的性质进行求解.【详解】 6787736,2a a a a a ++==∴=故选：B2.若圆224820x y x y m +-++=的半径为2，则实数m 的值为（）A.-9B.-8C.9D.8【答案】D 【解析】【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.【详解】由224820x y x y m +-++=，得22(2)(4)202x y m -++=-，所以2r ==，解得8m =.故选：D.3.若抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A.1x =-B.1x =C.2x =D.2x =-【答案】D 【解析】【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆22195x y +=的右焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2x =-，故选：D.4.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[)0,50、[)50,100、[)100,150、[)150,200、[)200,300和[]300,500六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）．A.这14天中有5天空气质量为“中度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量指数的中位数是214D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】B 【解析】【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A 选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A 选项错误；B 选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B 选项正确；C 选项：这14天中空气质量指数的中位数是179214196.52+=，C 选项错误；D 选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D 选项错误；故选：B.5.已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A.220x -25y =1B.25x -220y =1C.280x -220y =1D.220x -280y =1【答案】A 【解析】【详解】由题意得，双曲线的焦距为10，即22225a b c +==，又双曲线的渐近线方程为by x a=0bx ay ⇒-=，点1(2)P ，在C 的渐近线上，所以2a b =，联立方程组可得，所以双曲线的方程为22=1205x y -．考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．6.定义22⨯行列式12142334a a a a a a a a =-，若函数22cos sin ()πcos 22x xf x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则下列表述正确的是（）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π2x =对称C.()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 是最小正周期为π的奇函数【答案】C 【解析】【分析】由行列式运算的定义，结合三角恒等变换，求出()f x 解析式，AB 选项关于函数图象的对称性，代入检验即可判断；整体代入验证单调性判断选项C ；公式法求最小正周期，检验函数奇偶性判断选项D.【详解】由题中所给定义可知，22ππ()cos sin 2cos 222cos 223f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π(π)2cos103f ==≠，点(π,0)不是()f x 图象的对称中心，故A 错误；ππ2cos 1223f ⎛⎫=-=-≠± ⎪⎝⎭，直线π2x =不是()f x 图象的对称轴，故B 错误；π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,333x ⎡⎤⎢⎥-⎣-∈⎦-，2ππ,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是余弦函数的单调递增区间，所以()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；()f x 的最小正周期2ππ2T ==，但(0)0f ≠，所以函数不是奇函数，故D 错误.故选：C7.已知ABC V 中，6AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，则AD =（）A.25B.19C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意可得：1()2AD AB AC =+，结合向量的数量积运算求模长.【详解】由题意可得：16,4,64122AB AC AB AC ==⋅=⨯⨯=uu u r uuu r uu u r uuu r ，因为D 为BC 的中点，则1()2AD AB AC =+，两边平方得，()22212194AD AB AC AB AC =++⋅=，即AD =uuu r .故选：C.8.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF F Q =，则椭圆C 的离心率为（）A.255B.2C.155D.217【答案】D 【解析】【分析】由2PF x ⊥轴可得：22||b PF a=，不妨设点2(,)b P c a ，设0(Q x ，0)y ，由11||4||PF F Q =，解得0x 、0y ，代入椭圆方程化简即可求解．【详解】解：由2PF x ⊥轴可得：22||b PF a=，不妨设点2(,)b P c a ，设0(Q x ，0)y ，由11||4||PF F Q =，得032c x =-，204b y a =-，代入椭圆方程得：222291416c b a a+=，结合222a b c =+，化简上式可得：2237c a =，所以椭圆的离心率为7c e a ==，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设i 为虚数单位，下列关于复数z 的命题正确的有（）A.2025i 1=-B.若1z ，2z 互为共轭复数，则12=z z C.若1z =，则z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆D.若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则1m =-【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，利用复数的乘方运算得到A 正确；B 选项，设1i z a b =+，2i z a b =-，则12=z z ；C 选项，由复数的几何意义得到C 正确；D 选项，根据纯虚数的定义得到方程，求出1m =-.【详解】对于A ：()()1012101220252i i i 1i i =⋅=-⋅=，A 错；对于B ：令1i z a b =+，2i,,R z a b a b =-∈，1z =，2z =所以12=z z ，故B 正确；对于C ：1z =，故z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆，C 正确；对于D ：若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则10,10m m +=-≠，即1m =-，故D 正确.故选：BCD10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱CD 上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（）A.三棱锥11A B D E -的体积为定值B.11EB AD ⊥C.存在某个点E ，使直线1A E 与平面ABCD 所成角为60o D.二面角11E A B A --的平面角的大小为π4【答案】BD 【解析】【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；B.结合正方体的性质，由垂影必垂斜即可判断；C.结合正方体的性质即可判断；D.根据二面角的平面角定义即可判断.【详解】对于选项A ：三棱锥11E AB D -的底面积为定值，高变化，体积不为定值，故选项A 不正确；对于选项B ：1,B E 两点在平面11ADD A 上的射影分别为1,A D ,即直线1B E 在平面11ADD A 上的射影为1A D ，而11A D AD ⊥,根据三垂线定理可得11EB AD ⊥.故选项B 正确；对于选项C ：因为1A A ⊥平面ABCD ,直线1A E 与平面ABCD 所成角为1AEA ∠,当点E 和点D 重合时，1A E 在平面ABCD 射影最小，这时直线1A E 与平面ABCD 所成角θ最大值为π4，故选项C 不正确；对于选项D ：二面角11E A B A --即二面角11D A B A --，因为111DA A B ⊥，111AA A B ⊥，1DA ⊂平面11E AB ，1AA ⊂平面11AA B ，所以1DA A ∠即为二面角11E A B A --的平面角，在正方形11ADD A 中，1π4DA A ∠=，所以二面角11E A B A --的大小为π4，故选项D 正确.故选：BD.11.数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线()32222:16C x y x y +=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）A.方程()()32222160x y x y xy +=<，表示的曲线在第二和第四象限；B.曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；C.曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；D.曲线C 上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点）.【答案】AB 【解析】【分析】本题首先可以根据0xy <判断出A 正确，然后根据基本不等式将()3222216x y x y +=转化为224x y +≤，即可判断出B 正确，再然后根据曲线C 构成的面积小于以O 为圆心、2为半径的圆O 的面积判断出C 错误，最后根据曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2以及曲线C 的对称性即可判断出D 错误.【详解】A 项：因为0xy <，所以x 、y 异号，在第二和第四象限，故A 正确；B 项：因为222x y xy +≥，当且仅当x y =时等号成立，所以222x yxy ≤+，()()22232222222161642x y x y x y x y ⎛⎫++=≤=+ ⎪⎝⎭，即224x y +≤2£，故B 正确；C 项：以O 为圆心、2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 构成的四叶玫瑰线面积小于圆O 的面积，故C 错误；D 项：可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，因为曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2，所以可将()0,0、()2,0、()1,0、()1,1、()0,1、()0,2代入曲线C 的方程中，通过验证可知，仅有点()0,0在曲线C 上，故结合曲线C 的对称性可知，曲线C 仅经过整点()0,0，故D 错误，故选：AB.【点睛】本题是创新题，考查学生从题目中获取信息的能力，考查基本不等式的应用，考查数形结合思想，体现了综合性，是中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A ，B ，则公共弦AB 所在的直线的方程是________.【答案】4410x y -+=【解析】【分析】两圆相减得到公共弦所在的直线的方程.【详解】由题意可知圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=相交，两圆方程相减得，2222244441025x x y x y x x y y ++=--+--+--=-，故公共弦AB 所在的直线的方程是4410x y -+=.故答案为：4410x y -+=13.若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n ∈N ，d 为常数），则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12202220220b b b +++= ，则12022b b 的最大值是________.【答案】100【解析】【分析】根据题设易知正项数列{}n b 为等差数列，公差为d ，应用等差数列前n 项和公式得1202220b b +=，应用基本不等式求12022b b 最大值.【详解】由题意，正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，则1n n d b b +=-（d 为常数），所以正项数列{}n b 为等差数列，公差为d ，则()120221220222022202202b b b b b +++==⨯+ ，则1202220b b +=，则2212022120222010022b b b b +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当0122110b b ==时等号成立），所以12022b b 的最大值是100.故答案为：10014.如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心且AB =，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN ＋取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为____________．【答案】643π.【解析】【分析】根据题意有=B AN MN N MN BM ≥＋＋,动点M 恰为PD 的中点即4BP BD ==,及可求出PO =，则可求出外接球的半径，方可求出其表面积．【详解】由题意知=B AN MN N MN BM ≥＋＋当BM PD ⊥时BM 最小，因为M 为PD 的中点，故而为PD 的中点，即=4BP BD =，2BO =PO ∴=，设外接球的半径为r ，则22)4r r =+．解得433r =.故外接球的表面积为26443r ππ=.【点睛】本题考查锥体的外接球表面积，求出其外接球的半径，即可得出答案，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，84a =，1122S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值.【答案】（1）320n a n =-（2）-57【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组求出117,3,a d =-⎧⎨=⎩即可得，（2）由通项公式可求得当6n ≤时，0n a <，从而可得当6n =时，n S 取到最小值，进而可求出其最小值【小问1详解】设数列 的公差为d ，则8111174115522a a d S a d =+=⎧⎨=+=-⎩，解得1173a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)320n a a n d n =+-=-.【小问2详解】令3200n a n =->，解得203n >，所以当6n ≤时，0n a <.故当6n =时，n S 取到最小值，为6161557S a d =+=-.16.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n=（2）199(1)8n n n +-++【解析】【分析】（1）设出公差，利用题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）29nn b n =+，利用分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案.【小问1详解】根据{}n a 为等差数列，设公差为0d ≠.10110S =，即11101045a d =+①，1a ，2a ，4a 成等比数列∴2214a a a =⋅，()()21113∴+=+a d a a d ②，由①②解得：122a d =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.【小问2详解】由232329n a n n n n b a n n =+=+=+，数列{}n b 的前n 项和()()122212999nn n T b b b n =++⋯+=⨯+++++++ ()1919(1)992(1)2198n n n n n n +-+-=⨯+=++-.17.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，122PA PB AD BC ====，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点，（1）证明：//DE 平面PAB ；（2）若直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取PB 中点M ，连接AM ，EM ，通过证明四边形ADEM 为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，可得,,,,GF PG AG BG AB ，建立以G 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问1详解】取PB 中点M ，连接AM ，EM ，E 为PC 的中点，//ME BC ∴，12ME BC =，又AD //BC ，12AD BC =，//ME AD ∴，ME AD =，∴四边形ADEM 为平行四边形，//DE AM ∴，DE ⊄ 平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，//DE ∴平面PAB ；【小问2详解】平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB BC =⊂平面ABCD ，,BC AB BC ⊥∴⊥平面PAB ，取AB 中点G ，连接FG ，则//,FG BC FG ∴⊥平面PAB ，()160,32GPF GF AD BC ∴∠=︒=+=，3tan60,PG PG∴︒=∴=2,1,2PA PB AG GB AB ==∴===，如图以G 为坐标原点，GB 为x 轴，GF 为y 轴，GP 为z轴建立空间直角坐标系，(()(),1,4,0,1,2,0P C D ∴-，(()1,4,,2,2,0PC CD ∴==-- ，设平面PCD 的一个法向量，()1,,n x y z = ，则1140220n PC x y n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取1y =，则(1n =- ，平面PAB 的一个法向量可取()20,1,0n = ，设平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角为θ，1212cos5n nn nθ⋅∴==，所以平面PAB与平面PCD 所成锐二面角的余弦值55.18.已知抛物线2:2(0)C x py p=>上一点(,6)P m到焦点F的距离为9.（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且倾斜角为5π6的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且MA MB⊥，求MAB△的面积.（3）过点(2,0)Q的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得TC TD⋅为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由.【答案】（1）212x y=（2）（3）存在定点191,93T⎛⎫⎪⎝⎭，TC TD⋅为常数37081.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义得02pPF y=+，计算出p得抛物线方程；（2）直线方程与抛物线方程联立方程组，求出,A B两点坐标，利用0MA MB⋅=求出M点坐标，求出M 点到直线l的距离和弦长AB，可求MAB△的面积；（3）设()00,T x y，()33,C x y，()44,D x y，过点Q的直线为(2)y k x=-，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理表示出TC TD⋅，求出算式的值与k无关的条件，可得TC TD⋅为定值的常数.【小问1详解】由拋物线的定义得02pPF y=+，解得692p+=，6p=.∴抛物线的方程为212x y=.【小问2详解】设()11,A x y，()22,B x y，由（1）知点(0,3)F，∴直线l的方程为0x +-=.由20,12,x x y ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩可得21090y y -+=，则1210y y +=，129y y =，12121061622p p AB AF BF y y y y p ⎛⎫⎛⎫∴=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不妨取11y =，29y =，则点A ，B的坐标分别为，(-.设点M 的坐标为(,3)t -，则,4)MA t =-uuu r，(,12)MB t =--uuu r ，则)()4120MA MB t t ⋅=--+⨯= ，解得t =-.即(3)M --，又点M 到直线l的距离d =d =，故MAB △的面积12S d AB =⋅=；【小问3详解】设()00,T x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，过点Q 的直线为(2)y k x =-，2(2)12y k x x y =-⎧⎨=⎩联立消去y 得：212240x kx k -+=，0∆>时，3412x x k +=，3424x x k =，联立消去x 得：()22241240y k k y k +-+=，234124y y k k +=-，2344y y k =，()()()()30403040TC TD x x x x y y y y ⋅=--+-- ()()22340343403400x x x x x y y y y y x y =-++-+++()2222000024124124k x k k y k k x y =-⋅+--++()()2220000024124412x y k y k x y =-++-++要使()()2220000024124412x y k y k x y -++-++与k 无关，则00241240x y -+=且04120y -=，0199x ∴=，013y =，存在191,93T ⎛⎫ ⎪⎝⎭此时TC TD ⋅ 为定值37081.19.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1：在纸上画一个圆A ，并在圆外取一定点B ；步骤2：把纸片折叠，使得点B 折叠后与圆A 上某一点重合；步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A ，并在圆外取一定点,4B AB =，按照上述方法折纸，点B 折叠后与圆A 上的点T 重合，折痕与直线TA 交于点,P P 的轨迹为曲线C .（1）以AB 所在直线为x 轴建立适当的坐标系，求C 的方程；（2）设AB 的中点为O ，若存在一个定圆O ，使得当C 的弦PQ 与圆O 相切时，C 上存在异于,P Q 的点,M N 使得//PM QN ，且直线,PM QN 均与圆O 相切.（i ）求证：OP OQ ⊥；（ii ）求四边形PQNM 面积的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）[)6,+∞.【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据双曲线定义可得双曲线方程；（2）假设存在符合条件的圆，依据条件，可得四边形PQNM 为菱形，设直线,OP OQ 的斜率分别为1,k k -，将直线,OP OQ 分别与双曲线方程联立求得||,||OP OQ ，通过计算O 到直线PQ 的距离可得定圆的方程.【小问1详解】以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.则()()2,0,2,0A B -.由折纸方法可知：PB PT =，所以2PB PA PT PA TA AB -=-==<.根据双曲线的定义，C 是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线，设其方程为()222210,0,x y a b a b-=>>则1,2a c ===，所以221,3a b ==.故C 的方程为2213y x -=.【小问2详解】（i ）假设存在符合条件的圆O ，如图所示：由//PM QN 可得180MPQ NQP ∠+∠=︒，根据切线的性质可知，,MPO OPQ NQO OQP ∠=∠∠=∠,所以90OPQ OQP ∠+∠=︒，即OP OQ ⊥.（ii ）分别作,P Q 关于原点O 的对称点,N M ''，则,N M ''均在C 上，且四边形PQN M ''为菱形，所以,PM QN ''均与O 相切，所以M '与M 重合，N '与N 重合，所以四边形PQNM 为菱形.显然，直线,OP OQ 的斜率均存在且不为0.设直线,OP OQ 的斜率分别为1,k k-，则直线OP 的方程为y kx =，直线OQ 的方程为1=-y x k .设()()1122,,,P x y Q x y ，则由22,13y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2233k x -=，所以230k ->，且21233x k =-，所以203k <<，且1||OP ==.同理可得：213k >，且||OQ =所以四边形PQNM 的面积2||||S OP OQ =⋅=.设241,43t k t =+<<，故S ==.设1=u t ，则1344u <<，所以S =因为216163y u u =-+-在11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以(]0,1y ∈.所以[)6,S ∈+∞.所以四边形PQNM 的面积的取值范围是[)6,+∞.。
安徽省池州市贵池区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题含答案
2024～2025学年第一学期高二期中检测数学（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章～第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()1,2,4a =，()1,0,2b =-r，则a b ⋅的值为（）A.()1,0,8- B.9C.－7D.7【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量数量积坐标运算法则进行计算.【详解】()()1,1,2,00874,21a b ⋅⋅=-=-++=.故选：D2.直线+1=0x 的倾斜角为（）A.34π B.4π C.2π D.不存在【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角的定义可得结果【详解】因为直线+1=0x 即直线1x =-垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为2π，故选:C.3.与直线20x y +=垂直，且在x 轴上的截距为-2的直线方程为（）．A.220x y -+=B.220x y --= C.220x y -+= D.220x y --=【答案】A 【解析】【分析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.【详解】由题得所求直线的斜率为12，∴所求直线方程为10(2)2y x -=+，整理为220x y -+=．故选：A【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）.4.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1BE AA x AB y AD =++，则（）A.11,22x y =-=B.11,22x y ==-C.11,22x y =-=-D.11,22x y ==【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】根据题意，得；11()2BE BB BA BC =++11122AA BA BC=++111,22AA AB AD =-+ 1BE AA xAB y AD =++ 又11,,22x y =-=∴故选：A5.已知向量()0,0,2a = ，()1,1,1b =- ，向量a b + 在向量a上的投影向量为（）．A.()0,0,3 B.()0,0,6C.()3,3,9- D.()3,3,9--【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.【详解】由题意可知()1,13a b +=-，，()6,2a b a a +⋅== ，所以向量a b + 在向量a上的投影向量为()()()60,0,20,0,322a b a a a a +⋅⋅=⨯=⋅ .故选：A6.若圆()()2213425O x y -+-=:和圆()()()222228510O x y r r +++=<<:相切，则r 等于A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得r 的值并验证510r <<即可得结果.【详解】圆()()2213425O x y -+-=:的圆心()13,4O ，半径为5；圆()()2222:28O x y r +++=的圆心()22,8O --，半径为r.＝|r－5|，求得r＝18或－8，不满足5<r<10.＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故选C．【点睛】本题主要考查圆的方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题.两圆半径为,R r ，两圆心间的距离为d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()2,1,0D ，向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，则点O 到平面DEF 的距离为（）A.21B.7C.21D.21【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算点O 到平面DEF 的距离.【详解】因为()2,1,0D ，所以()2,1,0OD = ，又向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，所以()4,1,2m =是平面DEF 的一个法向量所以点O 到平面DEF的距离为7OD m d m ⋅===.故答案为：7.8.已知直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ），点P 在圆221x y +=上，则点P 到直线l 的距离的最大值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D 【解析】【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解.【详解】解：直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ）即为()()340x y m -+-=，所以直线过定点()3,4Q ，所以点P 到直线l的距离的最大值为16OQ r +=+=，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线2y x =与0x y a ++=交于点()1,P b ，则（）A.3a =-B.2b =C.点P 到直线30ax by ++=的距离为13D.点P 到直线30ax by ++=的距离为13【答案】ABD 【解析】【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a 、b ，进而应用点线距离公式求P 到直线30ax by ++=的距离即可.【详解】由题意，得：210b b a =⎧⎨++=⎩，解得3a =-，2b =，故A 、B 正确，∴()1,2到直线3230x y -++=的距离13d ==，故C 错误，D 正确.故选：ABD.10.已知空间向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，则下列说法正确的是（）A.()32//a b a+B.()57a a b⊥+C.a =D.b =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解.【详解】因为向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，可得214,10a a b =⋅=-，对于A 中，由()323,3,8a b +=-，设32a b a λ+= ，即()3,3,8(3,1,2)λ-=--，可得33382λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，此时方程组无解，所以32a b + 与a 不平行，所以A 错误；对于B 中，由()257575147(10)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯-=，所以()57a a b ⊥+，所以B 正确；对于C中，由a ==，所以C 正确；对于D中，由b == D 正确.故选：BCD.11.直线2y x m =+与曲线y =恰有两个交点，则实数m 的值可能是（）A.4B.5C.3D.4110【答案】AD 【解析】【分析】做出函数图象，数形结合，求出m 的取值范围，再进行选择.【详解】做出函数2y x m =+与y =的草图.设2y x m =+与圆224x y +=2=⇒m =m =-（舍去）.因为函数2y x m =+与y =有两个交点，所以4m ≤<.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在空间直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2,)3-，点B 的坐标为(0,1,4)--，点A 与点C 关于x 轴对称，则||BC =___________.【答案】【解析】【分析】首先根据对称求出点C 的坐标，然后根据两点间的距离公式求||BC 的值即可.【详解】因为点A 与点C 关于x 轴对称，所以点C 的坐标为()1,2,3-，又因为点B 的坐标为(0,1,4)--，所以BC ==．13.过点()2,4作圆224x y +=的切线，则切线方程为___________．【答案】2x =或34100x y -+=【解析】【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程.【详解】①直线的斜率不存在时2x =满足，②直线斜率存在时，设切线方程为()42y k x -=-，则324d k ==⇒=，所以切线方程为4y -=()324x -，即34100x y -+=．故答案为：2x =或34100x y -+=.14.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________．【答案】【解析】【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos∠AOB＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D，则cos∠AOB＝2cos 2∠AOD－1＝－35，得cos 2∠AOD＝15.又圆心到直线的距离为OD＝=，所以cos 2∠AOD＝15＝22OD r＝22r ，所以r 2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知直线l 过点()2,1P -．（1）若直线l 与直线230x y ++=垂直，求直线l 的方程（2）若直线l 在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l 的方程．【答案】（1）240x y --=；（2）20x y +=或30x y --=．【解析】【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.【小问1详解】因为直线l 与直线230x y ++=垂直，所以可设直线l 的方程为20x y m -+=，因为直线l 过点()2,1P -，所以()2210m -⨯-+=，解得4m =-，所以直线l 的方程为240x y --=【小问2详解】当直线l 过原点时，直线l 的方程是2xy =-，即20x y +=．当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a -=，把点()2,1P -代入方程得3a =，所以直线l 的方程是30x y --=．综上，所求直线l 的方程为20x y +=或30x y --=16.已知向量()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=.（1）若a b ⊥ ，求t 的值；（2）求b a -的最小值.【答案】（1）2（2）5【解析】【分析】（1）由空间向量垂直得到方程，求出答案；（2）计算出()1,21,0b a t t -=+-，利用模长公式得到b a -= ，求出最小值.【小问1详解】因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅=，即()()22110t t t t -+-+=，解得2t=；【小问2详解】()1,21,0 b a t t-=+-所以b a-=.所以当15t=时，b a-取得最小值为5.17.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，//AD BC，AB BC⊥，AP⊥平面ABCD，Q为线段PD上的点，2DQ PQ=，1AB BC PA===，2AD=．（1）证明：//BP平面ACQ；（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用三角形相似得2MD MB=，结合2DQ PQ=，则有//MQ BP，利用线面平行的判定即可证明；（2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法即可得到答案.【小问1详解】如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，∵//BC AD，2AD BC=，则AMD CMB，∴2MD ADMB CB==，2MD MB=，∵2DQ PQ=，∴//MQ BP，BP ⊄ 平面ACQ ，MQ Ì平面ACQ ，∴//BP 平面ACQ ；【小问2详解】AP ⊥ 平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ,,AP AB AP AD ∴⊥⊥，因为底面AB BC ⊥,则AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，各点坐标如下：()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,1P ，220,,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面ACQ 的法向量为(),,m x y z =，由()1,1,0AC = ，220,,33AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，有02233AC m x y AQ m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，1y =-，1z =，可得()1,1,1m =- ，由()1,1,1CP =-- ，有1CP m ⋅=，CP m ==，则1cos ,3CP m == ．故直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为13．18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,F G 分别是棱1,CC AD 的中点，E 为棱AB 上一点，且异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值为25.（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）4242【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨令正方体的棱长为2，设()2,,0E a ，利用111cos ,B E BG B E BG B E BG⋅= ，解得1a =，即可证得；（2）分别求得平面1B EF 与平面11ABC D 的法向量m n ，，利用cos ,m n m n m n⋅=⋅ 求解即可.【小问1详解】证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.不妨令正方体的棱长为2，则()0,0,0D ，()1,0,0G ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，()0,2,1F ，设()2,,0E a ，则()10,2,2B E a =-- ，()1,2,0BG =-- ，所以()1121422cos ,5524B E BG a B E BG B E BG a ⋅-===-+ ，所以2430a a -+=，解得1a =（3a =舍去），即E 为AB 的中点.【小问2详解】由（1）可得()10,1,2B E =-- ，()2,1,1EF =- ，设(),,m x y z = 是平面1B EF 的法向量，则12020m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ .令2z =，得()1,4,2m =-- .易得平面11ABC D 的一个法向量为()12,0,2n DA == ，所以cos ,42m n m n m n ⋅===⋅ .所以所求锐二面角的余弦值为42.19.已知圆C 过点(1,0)M -且与直线20x +-=相切于点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线:30l kx y k --+=与圆C 交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与x 轴的正半轴交于点P ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +是定值．【答案】（1）221x y +=（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）确定圆心和半径，可得圆C 的方程.（2）把直线方程与圆C 方程联立，得到12x x +，21x x ，再表示出12k k +，运算整理即可.【小问1详解】过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭且与直线20x +-=垂直的直线为：1022x y ⎛⎫⎫---= ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭0y -=.又线段MN，其中1,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的垂直平分线为：()222213122x y x y ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0y +=.由00y y -=+=，得圆心()0,0C ，又221r CM ==.故圆C 的方程为：221x y +=.【小问2详解】将()3y kx k =+-代入221x y +=得：()2231x kx k ⎡⎤++-=⎣⎦，整理得：()()()222123310k x k k x k ++-+--=.由0∆>⇒()()()22224341310k k k k ⎡⎤--+-->⎣⎦⇒43k >.设1,1，2,2，则()122231k k x x k -+=+，()2122311k x x k --=+.又()1,0P ，所以()111111133111k x y k k x x x -+===+---，同理：2231k k x =+-.所以121233211k k k x x +=++--()()()121236211x x k x x +-=+--()()1212123621x x k x x x x +-=+-++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++18629k k --=+23=-.所以1223k k +=-为定值.。
山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期期中考试 数学(A卷)含答案
2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A ）（答案在最后）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线:571l x y +=平行的直线是（）A.10142x y += B.570x y -= C.750x y -= D.15211x y +=2.已知椭圆C ：2219x y m+=，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知曲线2216x y +=，从曲线上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P'，且14PN PP'=，则点N 的轨迹方程为（）A.221169x y +=B.221916x y += C.22116x y += D.22116y x +=4.已知不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=被圆225x y +=所截得的线段长的最小值为（）A.B. C.D.5.已知椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，且C 过点()0,24A ，则m n +=（）A.10B.49C.50D.12016.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()6,0F ，点()6,5P 在C 上，则C 的离心率为（）A.32 B.23C.65D.567.直线l ：60x ay --=与圆22124360x y x y +---=的公共点个数为（）A.0B.1C.2D.1或28.已知椭圆C ：221x y m n+=（0m >，0n >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，直线1PF ，2PF 的斜率分别为12，2-，且12PF F 是面积为4的直角三角形.则C 的方程为（）A.221169x y += B.22116x y += C.22194x y += D.221259x y +=二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A .两条平行直线B.两条相交直线C.圆D.椭圆10.设抛物线C ：214y x =的准线为l ，点P 为C 上的动点，过点P 作圆A ：228150x y x +-+=的一条切线，切点为Q ，过点P 作l 的垂线，垂足为B .则（）A.l 与圆A 相交B.当点P ，A ，B 共线时，PQ =C.2PB =时，PAB 的面积为2或6D.满足PA PB =的点P 恰有2个11.已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，则（）A.双曲线C 的离心率e >B.若22::OF MF OQ QM =，则C 的渐近线方程为3y x =±C.若1MF =，则C 的渐近线方程为y =D.若224QF MF =，则C 的渐近线方程为2y x=±三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆2222340x y x y λ++--=与x 轴相切，则λ=__________.13.已知抛物线C ：2y ax =的焦点F 恰为圆222240x y y +--=的圆心，点P 是C 与圆的一个交点，则点P 到直线OF 的距离为__________，点F 到直线OP 的距离为__________.14.已知曲线C 是椭圆2211612x y +=被双曲线2213y x -=（0x >）所截得的部分（含端点），点P 是C 上一点，()2,0A -，()2,0B ，则PA PB -的最大值与最小值的比值是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式πS ab =，（a ，b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：2211216x y +=.（1）求C 的面积；（2）若直线l ：2y x =+交C 于A ，B 两点，求AB .16.已知椭圆C ：2212x y +=上的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB面积是2F AB 面积的3倍，求m 的值.17.已知椭圆C ：221925x y +=，直线l 过原点，且与C 相交于A ，B 两点，并与点()0,4D 构成三角形.（1）求ABD △的周长的取值范围：（2）求ABD △的面积S 的最大值.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，点31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 的右顶点为B ，过B 作直线l 与椭圆E 交于另一点C ，且||||7BC AB =，求直线l 的方程．19.若平面内的曲线C 与某正方形A 四条边的所在直线均相切，则称曲线C 为正方形A 的一条“切曲线”，正方形A 为曲线C 的一个“切立方”.（1）圆221x y +=的一个“切立方”A 的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A 四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A 的方程为2x y +=，且正方形A 为双曲线22221x y a b-=的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e 的取值范围；（3）设函数312y x x =-的图象为曲线C ，试问曲线C 是否存在切立方，并说明理由.2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A ）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线:571l x y +=平行的直线是（）A.10142x y +=B.570x y -= C.750x y -= D.15211x y +=【答案】D 【解析】【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断12210A B A B -=是否成立，注意分析重合情况.【详解】:571:5710l x y l x y +=⇔+-=，对于A ：101425710x y x y +=⇔+-=，可知两直线重合，不符合；对于B ：()57750⨯--⨯≠，所以不平行，不符合；对于C ：()55770⨯--⨯≠，所以不平行，不符合；对于D ：5217150⨯-⨯=，1152115703x y x y +=⇔+-=，且113-≠-，所以两直线平行，符合；故选：D.2.已知椭圆C ：2219x y m+=，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆几何性质，根据焦点坐标与9,m 之间的关系式可得结论.【详解】若34m =可得221934x y +=得一个焦点坐标为()0,5，即充分性成立；若“点()0,5为C 的一个焦点”，则可得295m -=，即34m =，可知必要性成立，因此，“34m =”是“点()0,5为C 的一个焦点”的充要条件.故选：C3.已知曲线2216x y +=，从曲线上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P'，且14PN PP'=，则点N 的轨迹方程为（）A.221169x y += B.221916x y += C.22116x y += D.22116y x +=【答案】B 【解析】【分析】由向量找到三点的关系，设所求点N 的坐标，由三点关系得到P 的坐标，然后代入曲线2216x y +=，得到点N 的轨迹方程.【详解】∵14PN PP'= ，∴,,'P N P 三点共线，且3''4P N PP =又∵'PP y ⊥轴，∴设(),N x y ，则()'0,P y ，4,3P x y ⎛⎫⎪⎝⎭，∵点P 在2216x y +=上，∴224163x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即221916x y +=.故选：B.4.已知不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=被圆225x y +=所截得的线段长的最小值为（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】求出直线l 所过定点A 的坐标，分析可知，当OA l ⊥时，圆心到直线l 的距离最大，此时，直线l 截圆所得弦长最小，结合勾股定理即可得解.【详解】因为不全为零的实数a 、b 、c 满足2a c b +=，则直线:20l ax by c -+=的方程可化为()0ax a c y c -++=，即()()10a x y c y -+-=，由010x y y -=⎧⎨-=⎩可得1x y ==，即直线l 过定点()1,1A ，因为22115+<，即点A 在圆内，圆225x y +=的圆心为原点O ，半径为r =，当OA l ⊥时，圆心到l 的距离取最大值，且最大值为OA ==，所以，直线l 被圆截得的弦长的最小值为==故选：B.5.已知椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，且C 过点()0,24A ，则m n +=（）A.10B.49C.50D.1201【答案】D 【解析】【分析】由条件知椭圆的焦点在x 轴上，半焦距长7c =，短半轴长24b =，根据,,a b c 的关系，可求,m n .【详解】椭圆C ：221x y m n +=的一个焦点为()7,0，过点()0,24A ，∴24924m n n -=⎧⎨=⎩，∴625576m n =⎧⎨=⎩，∴1201m n +=.故选：D.6.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()6,0F ，点()6,5P 在C 上，则C 的离心率为（）A.32 B.23C.65D.56【答案】A 【解析】【分析】由已知列方程组求得,a b ，再由离心率公式计算．【详解】点()6,5P 在C 上，右焦点为()6,0F ，0,0a b >>，则22223625136a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得4a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以离心率为6342c e a ===，故选：A ．7.直线l ：60x ay --=与圆22124360x y x y +---=的公共点个数为（）A.0 B.1 C.2D.1或2【答案】C 【解析】【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论.【详解】由22124360x y x y +---=整理得：()()226276x y -+-=，可知圆22124360x y x y +---=圆心坐标为()6,2，半径为r =，再由直线l ：60x ay --=恒过点()6,0，由圆心()6,2到点()6,0的距离为2，可知2<所以点()6,0在圆的内部，即直线l 与圆一定有两个交点.故选：C.8.已知椭圆C ：221x y m n+=（0m >，0n >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，直线1PF ，2PF 的斜率分别为12，2-，且12PF F 是面积为4的直角三角形.则C 的方程为（）A.221169x y += B.22116x y += C.22194x y += D.221259x y +=【答案】C 【解析】【分析】由直线斜率的关系得到两直线垂直，且知道直角三角形中121tan 2PF F ∠=，得到122PF PF =，由面积求出12,PF PF 的值，由椭圆定义和椭圆的性质求出,m n 的值，得到椭圆方程.【详解】∵121PF PF k k ⨯=-，∴12π2F PF ∠=，∵12112PF PF k PF ==，∴设112,PF n PF n ==，则12212112422PF F S PF PF n n n ==⋅== ，∴2n =，∴126PF PF =+=，∴9m =，∵122c F F ===，∵c ==∴4n =，∴椭圆方程为：22194x y +=.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形（）A.两条平行直线B.两条相交直线C.圆D.椭圆【答案】CD 【解析】【分析】分平面与底面平行和平面与底面的夹角为锐角两种情况，得到图形为圆和椭圆.【详解】一个平面去截一个圆柱的侧面，若平面与底面平行，则得到的图形为圆，若平面与底面的夹角为锐角时，可以得到的图形为椭圆.故选：CD10.设抛物线C ：214y x =的准线为l ，点P 为C 上的动点，过点P 作圆A ：228150x y x +-+=的一条切线，切点为Q ，过点P 作l 的垂线，垂足为B .则（）A.l 与圆A 相交B.当点P ，A ，B共线时，PQ =C.2PB =时，PAB 的面积为2或6D.满足PA PB =的点P 恰有2个【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由抛物线与圆的方程，可得准线方程与圆心半径，根据直线与圆的位置关系，可得答案；对于B ，由题意作图，求得点的坐标，根据圆的切线性质与勾股定理，可得答案；对于C ，根据抛物线的性质求得点的坐标，利用分类讨论，结合图象，可得答案；对于D ，根据抛物线的性质，求得固定线段的中垂线，联立方程求交点，可得答案.【详解】对于A ，由抛物线21:4C y x =，即24x y =，则准线:1l y =-，由圆22:8150A x y x +-+=整理可得()2241x y -+=，则圆心()4,0A ，半径=1，由圆心A 到直线=−1的距离为1r =，则圆A 与直线l 相切，故A 错误；对于B ，由题意作图如下：由,,P A B 共线，且()4,0A ，当4x =时，21444y =⨯=，则()4,4P ，()4,1B -，4PA =，PQ ===，故B 正确；对于C ，由2PB =，则令1y =，2114x =，解得2x =±，当()2,1P 时，PAB 的高为422-=，面积为1222PB ⨯⨯=，如下图：当()2,1P -时，PAB 的高为()426--=，面积为1662PB ⨯⨯=，如下图：故C 正确；对于D ，由题意可作图如下：.由抛物线21:4C y x =整理可得24x y =，则其焦点()0,1F ，易知PF PB =，由直线AF 的斜率011404k -==--，线段AF 中点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则线段AF 的中垂线方程为()1422y x -=-，整理可得1542y x =-，联立2154214y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消y 可得216300x x -+=，()2164301360∆=--⨯=>，所以线段AF 的中垂线与抛物线存在两个交点，故D 正确.故选：BCD.11.已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，则（）A.双曲线C 的离心率2e >B.若22::OF MF OQ QM =，则C 的渐近线方程为33y x =±C.若16MF OM =，则C 的渐近线方程为2y x=±D.若224QF MF =，则C 的渐近线方程为2y x=±【答案】AC 【解析】【分析】利用2tan a MF O b∠=可得l ak b =-，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率e ，知A 正确；根据斜率关系可知直线OM 为双曲线C 的一条渐近线，利用2cos QOF ∠可构造方程求得B 正确；分别利用1cos MOF ∠和cos QOF ∠可构造方程求得CD 正误.【详解】对于A ，2OM MF ⊥ ，2OF c =，OM a =，2MF b ∴==，2tan a MF O b ∴∠=，l ak b∴=-，又l 与第二象限内的渐近线交于点Q ，a bb a ∴->-，即2222a bc a <=-，222c a ∴>，c e a∴=>，A 正确；对于B ，由A 知：l ak b =-，又2OM MF ⊥，OM b k a∴=，∴直线OM 即为双曲线C 的一条渐近线，22::OF MF OQ QM = ，::OQ QM c b ∴=，又222OQ QM a -=，OQ c ∴=，QM b =，2222222242cos 2c c b c b QOF c c+--∴∠==，2tan b QOF a ∠=- ，2cos a QOF c ∴∠=-，2222c b ac c -∴=-2222c b a c c-∴=-，整理可得：()2222222c b c c a ac -=--=-，2220c ac a ∴--=，()()22210e e e e ∴--=-+=，2e ∴=，2=，解得：b a =C ∴的渐近线方程为y =，B 错误；对于C ，1MF == ，22222165cos 22a c a c a MOF ac ac +--∴∠==，12tan tan b MOF MOF a ∠=-∠=- ，1cos aMOF c∴∠=-，2252c a aac c -∴=-，整理可得：22252c a a -=-，即22223c a b a =+=，222b a ∴=，ba∴=，C ∴的渐近线方程为y =，C 正确；对于D ，2244QF MF b == ，3QM b ∴=，OQ ∴=22222222cos QOF ∴∠=，2tan b QOF a ∠=- ，2cos a QOF c ∴∠=-，222ac=-，整理可得：()()22222239a b a a b -=+，422915b a b ∴=，2253b a ∴=，3b a ∴=，C ∴的渐近线方程为3y x =±，D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近线斜率构造关于,,a b c 的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆2222340x y x y λ++--=与x 轴相切，则λ=__________.【答案】98-【解析】【分析】整理圆的方程为标准式，明确圆心与半径，由切线建立方程，可得答案.【详解】由圆的方程整理可得圆()2232514216x y λ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭，则圆心3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =，由圆与x 1=，解得98-.故答案为：98-.13.已知抛物线C ：2y ax =的焦点F 恰为圆222240x y y +--=的圆心，点P 是C 与圆的一个交点，则点P 到直线OF 的距离为__________，点F 到直线OP 的距离为__________.【答案】①.4②.22【解析】【分析】由圆标准方程得到圆心，从而知道焦点F 坐标和a 的值，写出抛物线方程后联立方程组，解得P 点坐标，根据点到直线的距离公式求得结果.【详解】∵圆的标准方程：()22215x y +-=，∴圆心为0,1，半径=5r ，∴114a =，即14a =，即抛物线C ：24x y =，0,1联立方程组22242240x y x y y ⎧=⎪⎨⎪+--=⎩，解得4y =或y =-6（∵204xy =≥舍去）∴4x =±∴()4,4P 或()4,4P -∵直线OF 与y 轴重合，∴点P 到直线OF 的距离为4，由对称性可知，无论取哪个点P ，点F 到直线OP 的距离相等，∴取()4,4P ，直线:0OP x y -=，∴点F 到直线OP的距离2d ==，故答案为：①414.已知曲线C 是椭圆2211612x y +=被双曲线2213y x -=（0x >）所截得的部分（含端点），点P 是C 上一点，()2,0A -，()2,0B ，则PA PB -的最大值与最小值的比值是__________.【答案】2【解析】【分析】由椭圆的定义，可得焦半径的和，整理所求差值为函数，利用分类讨论并结合图象，可得答案.【详解】由椭圆2211612x y +=，则4,a b ==，2c =，易知,A B 为椭圆的左右焦点，由P 为椭圆上的点，则28PA PB a +==，可得8PB PA =-，所以28PA PB PA -=-，联立22221161213x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2249x y ⎧=⎨=⎩，当()2,3P 时，PA5=，则PA PB -取得最小值2如下图：；当()4,0P 时，PA 取得最大值()426--=，则PA PB -取得最大值4，如下图：.所以PA PB -的最大值与最小值的比值为2.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式πS ab =，（a ，b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C ：2211216x y +=.（1）求C 的面积；（2）若直线l ：2y x =+交C 于A ，B 两点，求AB.【答案】（1）（2）487【解析】【分析】（1）由椭圆C 的方程可知,a b 的值，代入椭圆的面积公式即可；（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求解.【小问1详解】由椭圆C 的方程可知4a =，b =所以，椭圆C的面积πS ab ==；【小问2详解】联立22112162x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2712360x x +-=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12127x x +=-，12367x x =-，∴122427x x -==，所以，122424877AB x =-==.16.已知椭圆C ：2212x y +=上的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB面积是2F AB 面积的3倍，求m 的值.【答案】12-【解析】【分析】根据1F AB 与2F AB 同底不等高的特点将面积比表示为高之比，结合直线与椭圆联立后所得方程的判别式∆求解出m 的值.【详解】解：将直线y x m =+与椭圆联立2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得2234220x mx m ++-=，因为直线与椭圆相交于,A B 点，则()22Δ1643220m m =-⨯->，解得m <<，设1F 到AB 的距离为1d ，2F 到AB 的距离为2d ，易知1−1,0，21,0，则1d =，2d =所以12131F AB F ABS m S m-+===+ ，解得12m =-或2-(舍去)，故12m =-.17.已知椭圆C ：221925x y +=，直线l 过原点，且与C 相交于A ，B 两点，并与点()0,4D 构成三角形.（1）求ABD △的周长的取值范围：（2）求ABD △的面积S 的最大值.【答案】（1）[)16,20（2）12【解析】【分析】（1）由椭圆定义得到ABD △的周长为10AB +，设()3cos ,5sin A θθ，[)0,2πθ∈且π3π,22θ≠，求出[)6,10AB =，求出周长的取值范围；（2）表达出2ABD A B S x x =- ，结合06A B x x <-≤，得到面积的最大值.【小问1详解】由题可得5a =，3b =，则22216c a b =-=，故4c =，所以()0,4D 为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为()0,4E -，连接,AE BE ，由对称性可知，DB AE =，故210AD DB AD AE a +=+==，则ABD △的周长为10AB +，设()3cos ,5sin A θθ，[)0,2πθ∈，因为,,A B D 三点构成三角形，故,,A B D 不共线，所以π3π,22θ≠，故[)0,2πθ∈且π3π,22θ≠，则222229cos 25sin 2916sin AB AO θθθ==+=+因为[)2sin0,1θ∈，故[)22916sin 6,10AB θ=+，所以ABD △的周长[)1016,20AB +∈；【小问2详解】114222ABD AOD BOD A B A B A B S S S OD x x x x x x =+=⋅-=⨯⋅-=- ，,,A B D 不共线，故06A B x x <-≤，所以(]20,12ABD A B S x x =-∈ ，S 的最大值为12.18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，点31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 的右顶点为B ，过B 作直线l 与椭圆E 交于另一点C ，且7||||7BC AB =，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=（252250x y --=【解析】【分析】（1）利用给的条件列方程求得,a b 的值，进而得到椭圆的标准方程；（2）联立圆与椭圆的方程，先求得点C 的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得．【小问1详解】由题可知2c a =，其中222c a b =-，所以12b a =,又点1,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆E 上，所以221314a b+=，即22131a a +=，解得224,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．【小问2详解】由椭圆E 的方程2214x y +=，得(2,0)B ，所以2AB ==，设()00,C x y ，其中00[2,2),[1,1]x y ∈-∈-，因为||||17BC AB ==，所以()220021x y -+=，又点()00,C x y 在椭圆22:14x E y +=上，所以220014x y +=，联立方程组()20022002114x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，得200316160x x -+=，解得043x =或04x =（舍），当043x =时，03y =±，即4,33C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或4,33C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以当C的坐标为4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，直线l20y +-=；当C的坐标为4,33⎛⎫-⎪⎪⎝⎭时，直线l20y --=．综上，直线l的方程为20y+-=20y--=.19.若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.（1）圆221x y+=的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A的方程为2x y+=，且正方形A为双曲线22221x ya b-=的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围；（3）设函数312y x x=-的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.【答案】（1）y x=±，y x=-±（2）(（3）曲线C存在切立方，理由见解析【解析】【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方”A的四条边所在直线的方程即可；（2）根据“切立方”的定义，联立2x y+=与双曲线22221x ya b-=，由于相切，则∆=，根据0∆=，即可求出双曲线的离心率e的取值范围；（3）设第一个切点为()3111,12x x x-，则切线为()23113122y x x x=--，根据函数312y x x=-的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为()23113122y x x x=-+，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可.【小问1详解】根据“切立方”的定义，设直线方程y x m=+，y x n=-+可得1d==，m=，1d ==，n =y x =，y x =-±；【小问2详解】由正方形A 的方程为2x y +=，则2y x =±+，由正方形A 为双曲线22221x y a b-=的一个“切立方”，则222212x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=±+⎩，联立整理得22222112110x x a b b b ⎛⎫-±--= ⎪⎝⎭，则422216114Δ410b a b b ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得224b a =-，即2224c a =-，由图可知2a >，则()22222224421,2c a e a a a -===-∈，所以(e ∈【小问3详解】由曲线312y x x =-，设切点为()3111,12x x x -，联立()()311131212y x x k x x y x x ⎧--=-⎪⎨=-⎪⎩，得()()331111212x x x x k x x ---=-，即2211120x x x x k ++--=，点()3111,12x x x -在曲线和直线上，整理得21312k x =-，则过该点的一条切线方程为()()()32111112312y x x x x x --=--，即()23113122y x x x =--，由函数312y x x =-为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C 是存在“切立方”，则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：()23113122y x x x =-+，设第三个切点为()3222,12x x x -（20x >），同理可得另两条切线为()33223122y x x x =-±，若存在正方形，即()()2212333123121x x ⎧--=-⎪⎪=由此可设()10,2x ∈，22x>，3310x -=，设()33f x x =，由()1.90f >，()1.950f <，且在()1.9,1.95x ∈上，函数图象连续不间断，则由零点存在性定理可知()0f x =在()1.9,1.95x ∈上有解，因此曲线C 存在切立方.【点睛】关键点点睛：本题的第三问的关键是采用设线法，再结合对称性和零点存在性定义即可证明.。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+y−12=0的倾斜角是( )A. π4B. π2C. 3π4D. π32.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|等于A. 5B. 34C. 41D. 523.长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为A. x29+y2=1 B. x281+y29=1C. x29+y2=1或y281+x29=1 D. y29+x2=1或x281+y29=14.已知方程x22+m −y2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围为A. (−2,−1)B. (−∞,−2)∪(−1,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)5.在正四棱锥P−ABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值是( )A. 612B. 68C. 38D. 56246.已知椭圆C:x29+y25=1的右焦点为F,P是椭圆上任意一点，点A(0,23)，则▵APF的周长的最大值为A. 9+21B. 14C. 7+23+5D. 15+37.已知A(−3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为A. 210B. 6C. 26D. 268.已知A,B两点的坐标分别是(−1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为A. y=−x2+1(x≠±1)B. y=x2+1(x≠±1)C. x=−y2+1(y≠±1)D. x=y2+1(y≠±1)二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A(−3,−4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则a的值可取A. −13B. 13C. −79D. 7910.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，过点F1的直线与C的左支相交于P,Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|=3|PF2|，则( )A. |PQ|=4aB. 3PF1=PQC. 双曲线C的渐近线方程为y=±223x D. 直线PQ的斜率为411.已知椭圆C1:x29+y25=1，将C1绕原点O沿逆时针方向旋转π2得到椭圆C2，将C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆C3，动点P,Q在C1上，且直线PQ的斜率为−12，则A. 顺次连接C1,C2的四个焦点构成一个正方形B. C3的面积为C1的4倍C. C3的方程为4x29+4y25=1D. 线段PQ的中点R始终在直线y=109x上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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2018-2019学年重庆市第18中学高二（上）期中考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线30x y a +-=与0126=++y x 的位置关系是 A ．相交B ．平行C ．重合D ．平行或重合2．设n m ,是两条直线，βα,是两个平面，给出四个命题①,,//,//m n m n αββα⊂⊂βα//⇒ ②,//m n m n αα⊥⊥⇒ ③αα////,//n n m m ⇒ ④,m m αβαβ⊥⊂⇒⊥ 其中真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．33．圆1O ：0222=-+x y x 和圆2O ：0422=-+y y x 的位置关系是 A ．相离 B ．内切 C ．外切 D ．相交 4．空间四边形ABCD 中，2==BC AD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，3=EF ，则异面直线AD ，BC 所成的角的补角为A ．120 B ．60 C ．90 D ．305．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是6．已知圆C ：0422=-++mx y x 上存在两点关于直线03=+-y x 对称，则实数m 的值为 A ．8B ．4-C ．6D ．无法确定7．过点)4,1(A ，且横纵截距的绝对值相等的直线共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条侧视图正视图 F E DBA8．将你手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放，总能在教室地面上画一条直线，使之与笔所在的直线A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直9．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是 A ．4 B ．5 C．1 D．10．已知点),(n m P 是直线052=++y x 上的任意一点，则22)2()1(++-n m 的最小值为A ．5B ．5C ．558 D ．5511．已知圆C ：()()14322=-+-y x 和两点)0,(m A -，)0,(m B )0(>m ，若圆C 上存在点P ，使得090=∠APB ，则m 的最大值为 A ．7B ．6C ．5D ．412．已知点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，2==BC AB ，AC =22。
若四面体ABCD 体积的最大值为34，则该球的表面积为 A ．π9 B ．π8 C ．π316D ．π12二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13．如果直线012=++y ax 与直线02=-+y x 互相垂直，则a 的值为14．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为15．过点)1,21(M 的直线l 与圆C ：4)1(22=+-y x 交于A ，B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为________16．过直线4=x 上动点P 作圆O ：422=+y x 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 是切点，则下列结论中不正确的是_________（填结论的序号）俯视图侧视图正视图3①OP 的最小值是4； ②0=⋅AB OP ； ③4=⋅OA OP ； ④存在点P ，使OAP ∆的面积等于11； ⑤任意点P ，直线AB 恒过定点。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。
17．（本小题满分10分)直线过点)1,3(-P ，且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点. (Ⅰ)若点P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程； (Ⅱ)若PB AP 2=，求直线l 的方程.18．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中, 曲线265y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上。
(Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,CA CB ⊥求a 的值.19．（本小题满分12分）已知四棱锥ABCD P -的底面为矩形，PA ⊥平面ABCD ，2==AB PA ，1=AD ，点M 为PC 中点，过A 、M 的平面α与此四棱锥的面相交，交线围成一个四边形，且平面α⊥平面PBC .（1）在图中画出这个四边形(不必说出画法和理由）； （2）求平面α与平面ABM 所成锐二面角的余弦值.DCBA MP20．（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B AB 1⊥. （Ⅰ）证明：111AB C A =；（Ⅱ）若1AB AC ⊥，1201=∠BCC ，BC AB =，求二面角111C B A A --的余弦值．21．（本小题满分12分）ABC ∆为等腰直角三角形，4==BC AC ， 90=∠ACB ，D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 、F 分别是边AD 和BE 的中点，平面BCH 与AE 、AF 分别交于I 、G 两点．C 1B 1A 1CBA高二半期考试理科数学答案 一、选择题DBDAC CCDAB BA 二、填空题13、2- 14、54 15、0342=+-y x 16、④ 三、解答题17、(本题满分10分)（Ⅰ）设(,0),(0,)A a B b ，则362122a a b b ⎧-=⇒=-⎪⎪⎨⎪=⇒=⎪⎩360x y ⇒-+=. (5)分 （Ⅱ）(3,1),(3,1)AP a PB b =--=-936269031222a a AP PB x yb b =-⎧--=⎧⎪=⇒⇒⇒-+=⎨⎨=-=⎩⎪⎩. (10)分18、(本题满分12分)（Ⅰ）曲线265y x x =-+与坐标轴的交点为(0,5),(1,0),(5,0)A B C ，设圆C 的方程220x y Dx Ey F ++++=，则2550610525506E F D D F E D F F ++==-⎧⎧⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪++==-⎩⎩226650x y x y ⇒+--+=，即22(3)(3)13x y ⇒-+-=……………………8分 （Ⅱ）由,CA CB ⊥得ABC ∆为等腰直角三角形，,AB =d a === ……………………12分19、(本题满分12分)(1) ……5分(2)建立如图直角坐标系)1,1,0(),0,2,0(),2,0,0(),1,1,21(),0,0,0(N B P M A平面AMB 的法向量)1,0,2(-=n 平面α的法向量)2,2,0(-=PB所以平面α与平面AMB 所成二面角的余弦值1010cos ==n PB θ…………………12分20、(本题满分12分)(1)证明：连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO ，因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 及BC 1的中点． 又AB ⊥B 1C ，所以B 1C ⊥平面ABO . 故B 1C ⊥AO . 又B 1O ＝CO ，故AC ＝AB 1. 又AC=A 1C 1 所以AB 1 =A 1C 1…………5分(2)因为AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，所以AO ＝CO .又因为AB ＝BC ，所以△BOA ≌ △BOC .故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，OB 1两两垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，设|OB |=1，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .NDCBAMP因为601=∠CBB ，所以△CBB 1为等边三角形，又AB ＝BC ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛33,0,0A ，B (1，0，0)， )0,33,0(1B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,33,0C . 设),,(z y x n =是平面AA 1B 1的法向量，则即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-03303333z x z y ， 所以可取)3,3,1(=n ．设m 是平面A 1B 1C 1的法向量，则同理可取)3,3,1(-=m ．则71==所以结合图形知二面角C B A A --11的余弦值为71……………12分21、(本题满分12分)(1)AED BC AED ED ED BC 面，面⊄⊂,// AED BC 面//∴ 又面IH AED BCH =面 ,IH BC //∴ ……………5分(2)建立如图直角坐标系，则)0,2,0(),2,0,0(),0,4,2(),0,0,2(),0,0,0(E A B C D平面GIC 就是平面BCH ，设平面BCH 的法向量为),,(z y x n = 则0,0=⋅=⋅CH n CB n ，)2,0,1(=n 直线AF 与平面GIC 所成角θ70703sin ==θB所以直线AE 与平面GIC 所成角正弦值为70703 ……………12分 22、(本题满分12分)解(1)设),(y x M ,动点),(11y x P ,由中点的坐标公式得⎪⎩⎪⎨⎧=+=22411y y x x ,解得⎩⎨⎧=-=y y x x 24211, 由362121=+y x ,得36)2()42(22=+-y x ,∴点M 的轨迹方程是9)2(22=+-y x………………4分（2）当直线L 的斜率不存在时，直线L ：0=x ，与圆M 交于)5,0(),5,0(-B A ， 此时021==x x ，不合题意。
………………6分 当直线L 的斜率存在时，设直线L ：3-=kx y ，则⎩⎨⎧=+--=9)2(322y x kx y ，消去y ，得04)64()1(22=++-+x k x k ， 221164kk x x ++=+，22114k x x += 由已知717,10172472212212221==⇒=+-⇒=+k k k k x x x x ，经检验0>∆。
综上：直线L 为：021717,03=--=--y x y x 。
………………12分。