华罗庚金杯数学邀请赛决赛初二组练习题(含答案)

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组) 总分
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题（初中二年级组·练习用）
一、填空题（每小题10 分, 共80 分）
2019 2 2 1009 2 2018
1.计算
1 2 2018
.
2. 一块正三角形草坪边长为 12 米，三个顶点处都安有喷水装置，每个喷水装
置都可以从三角形的一边到另一边旋转60º来回喷水．假定三个喷水装置
的射程相等，要使草坪上所有区域都可以被喷水覆盖，那么被重复喷水的
最小面积是平方米．
3. 从 2， 3， 4， 5 这四个数中，任取两个数p,q( p q) ，构成函数y px 2 和
y x q ，如果这两个函数图象的交点在直线x 2 的左侧，那么这样的有序数对( p,q) 共有个．
4. 设p 为质数，如果二次方程x
2 2px p2 5p 1 0的两个根都是整数，那么
p 可能取的值有个.
5. 如果1295 (6n 1) （其中n 是整数，且1986≤n≤2018 ），那么满足条件的n 的
个数是.
6. 如图所示，在正六边形ABCDEF 内放有一个正方形
MNPQ ，正方形的顶点分别在正六边形的 4 条边上，
且MN //BC ．若正方形MNPQ 的面积为12 6 3 平方
厘米，则正六边形ABCDEF 的面积是平方厘米．
7. 将 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 这 11 个数排成一行，使得任意 5
个相邻的数的和都是 5 的倍数．那么这样的排列方法有种．
8. 四张卡片，每张写着一个自然数，任取 2 张，或者 3 张，或者 4 张，把卡
片上的数求和，可以得到 11 个不同的和，那么 4 张卡片上所有数的和最小
为．
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组)
二、解答下列各题（每小题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）
9. 有 A ，B 两队野外徒步旅行，A 队在 B 队的西偏北 45 度处，两队相距8 2
千米．如果 A 队向东继续行走， B 队同时沿西偏南45 度路线行走，且 A
队与 B 队的速度比是 2 ，求A，B 两队最近时的距离．
10. 如果实数x, y,z 同时满足关系式x( y
2 z) z(z xy) ，y(z2 x) x(x yz) ，
z(x2 y) y( y zx) ，那么，实数x, y,z 是否一定都相等？请给出证明．
11. 如图，在四边形ABCD 中， ABC BCD 120 ，
AB BC ．对角线AC ，BD 相交于点E ．
若AE 3CE ，求证：AB 2CD ．
12. 从 76 个连续自然数 1，2，…，76 中任取 39 个数，其中必有 2 个数的差是
p ，求p 的值．
三、解答下列各题（每小题15 分, 共30 分, 要求写出详细过程）
13. 如图，在五边形ABCDE 中，AB AE 1 ， CAD 45 ， E D
E EAB B 90 ，求点A到直线CD 的距离． C
A B
14. 如图，一个由 81 个小方格组成的9 9 网格．先将其中的
任意n 个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某
个方格至少与 2 个黑格都恰好有 1 个公共顶点，那么就
将这个方格染黑．现在要按照这个方法将整个棋盘都染
成黑色，那么n的最小值是多少？说明你的结论．
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中二年级组)
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题·练习用参考答案
（初中二年级组）
一、填空题（每小题10 分, 共 80 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案2018 1 24π 36 3 5 2 8
3 3
2
2304 14
二、解答下列各题（每小题10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
16 10
5
9. 【答案】A ，B 两队最近时的距离是
千米．
【解答】如图，以B 队初始位置为原点，正东、正北方向为x 轴和y 轴的正
方向，建立平面直角坐标系，B(0,0) ，A( 8,8)．不妨
y
设B 队的速度为 1，那么A队的速度为 2 ，经过时间t A A1
x
后，B 队所在位置是 2 2
B ( t, t) ，A队所在位置是
1
2 2
B1
B
A1( 8 2t,8) ，于是此时两队的距离d 满足
2 2 2 2 2 2
8 2
d ( 8 2t t) (8 t) 5t 16 2t 128，当t 时，d
取到最
2 2 5
小值512 16 10
千
米．
5 5
10. 【答案】x, y,z 一定都相等．
【证明】将原关系式变形，得xy(y z) z(z x) ①，yz(z x) x(x y) ②，
zx(x y) y(y z) ③．
（1）当(x y()y z ()zx) 0 时，不妨设x y ，由③得y 0 或者y z ．若y z ，
则x y z ；若y 0 ，有x 0 ，代入①，得z 0 或者z x 0 ，即x y z 0 ．
（2）当(x y)(y z)(z x) 0 时，将①②③相乘得xyz(xyz 1) 0，即xyz 0 或
xyz ．如果xyz 0 ，不妨设y 0 ，由（1）知z 0或者z x ，矛盾！如果xyz 1，1
- 1 -
不妨设x≥y≥z ，显然x 0 ．假设x y ，考虑②式，有x(x y) 0 ，又1yz 0
，
x
z x ，所以yz(z x) 0 ．矛盾！所以x y z ．
证毕！
11. 【证明】作BM AC于M.
因为△ABC 中，AB BC ， ABC=120 ，
所以AM CM, CAB ACB 30 ．
因此AB 2BM ．
由于 ACB 30 ，所以 ACD 90 ．
又由AE 3CE 和AM CM 得：AM ME 3CE ，即CM ME 3CE ．即(ME CE) ME 3CE 所以2ME 2CE ，故ME CE ．在 Rt△BME 与 Rt△DCE 中，
因为ME CE ， BEM DEC ，
所以Rt△BME ≌Rt△DCE ．因此BM CD ．
由于AB 2BM （已证），所以AB 2CD ．
12. 【答案】p 的值为 1，2，19，38．
【解答 1】p 的值是 1，2，19，38．
做抽屉，每个抽屉内有差为p 的两个数，或仅有一个数：
当p≥39 时, 有两类抽屉，
第一类，每个抽屉有 2 个非零自然数，差是p ：{76,76 p}，{75, 75 p}，…，{p 2,2}，{p 1,1}，个数是76 p ；
第二类，每个抽屉仅有 1 个不大于p 的非零自然数，但与p 的和大于76：
{77 p}，{78 p}，…，{p}个数是76 2 (76 p) 2p 76 ．
此时，抽屉总数是p 个．从每个抽屉各取一个数，因为p≥39 ，这些数中不
存在差是p 的两个数．
当p≤38时，做抽屉：
{1, p 1},{2, p 2},{3, p 3} ,{4, p 4}…{p,2 p} ,
{2p 1,3p 1},{2p 2,3p 2},{2p 3,3p 3} ,…{3p,4p} ,
……,
- 2 -
76 76 76 76
2p 1 1, 2p 1 p 1 , 2p 1 2, 2p 1 p 2 ,
2p 2p 2p
2p
76 76
．
2p p,2p
2p
2p
①若
76 76
2p 2p
，则抽屉到此为止，共有 38 个抽屉，从中任取 39 个，必
有
2 个取自同一个有两个数的抽屉，差是p ．所以，p 1, 2,19, 38 ．
②若
76 76
2p 2p
，则还有抽屉：
76 76
2p 1 , 2p 2 ,
{76}，
2p 2p
76
个数是76 2p
2p
．得到抽屉的个数是：
76 76 76 76 76 76
p p p p p
76 2 76 76 38
p p p p p p
2 2 2 2 2 2
76 76 76
其中，
2p 2p
2p ，此时，p
76
≥1，抽屉的个数≥39．从其
中 39
2p
个抽屉各取 1 个数，不存在两个数的差是p ．
所以，p 的值是 1, 2, 19, 38．
【解答 2】记76 kp r ，0 r p ，把 1 到 76 按照下面排成p 行，
1 2
r p 1 p
2 p
r 2p
2
p
1 (k
1)
2
r
p
(k
1) p
(k
1) p
kp
1
kp
2
kp
r
kp
k 为偶数时，记k 2l （注,当k 为偶数时，由于 76 是偶数，r 也是偶数），
则前r 行可以取l 1个数，后p r 行可以取l 个数，这
lp 个数任意两个数的差不等于p ．kp 76 r r
r r r 38
2 2 2
k 为奇数时，记k 2l 1（注,当k 为奇数时，由于 76 是偶数，p r 也是偶
数），则前r 行可以取l 1个数，后p r 行也可以取l 1个数，这
2(l 1) p (2l 1) p p kp p 76 r p p r
(l 1) p 38 个数任意两个数
2 2 2 2 2
的差不等于p ．
r 当r 0时， 0
2
p r
与 0，因此任取 38+1=39 个数时，任意两个数的差
2
- 3 -。