【中考数学压轴题专题突破05】二次函数中的角的存在性问题

【中考压轴题专题突破】

二次函数中的角的存在性问题

1．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；

①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；

②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，

使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过点B和点C，与x轴交于另一点A，连接AC．

（1）求点A的坐标；

（2）若点Q在直线BC上方的抛物线上，连接QC，QB，当△ABC与△QBC的面积比等于2：3时，直接写出点Q的坐标：

（3）在（2）的条件下，点H在x轴的负半轴，连接AQ，QH，当∠AQH＝∠ACB时，直接写出点H的坐标．

3．如图1，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，连接AC、BC，点D是线段BC上方抛物线上的一个动点，当S△BCD＝S

时，求点D的坐标；

△ABC

（3）在抛物线上是否存在点P，使得∠CPO＝∠BPO？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴分别交于点C，其中点A（﹣1，0），点C（0，2），且∠ACB＝90°

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P是线段ABC一动点，过P作PD∥AC交BC于D，当△PCD面积最大时，求点P的坐标．

（3）点M是位于线段BC上方的抛物线上一点，当∠ABC恰好等于△BCM中的某个角时，求点M的坐标．

5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；

（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．

6．在平面直角坐标系中，已知矩形OABC中的点A（0，4），抛物线y1＝ax2+bx+c经过原点O和点C，并且有最低点G（2，﹣1），点E，F分别在线段OC，BC上，且S△AEF＝S

，CF＝1，直线BE的解析式为y2＝kx+b，其图象与抛物线在x轴下方的图象交于矩形OABC

点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当y1＜y2＜0时，求x的取值范围；

（3）在线段BD上是否存在点M，使得∠DMC＝∠EAF，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

二次函数中的角的存在性问题

参考答案与试题解析

1．【分析】（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）①△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣m2+4m，即可求解；

②（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，则（a﹣）2+（a﹣3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，即可求解；（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，M2、M1关于B对称，即可求解．

【解答】（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），

将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；

（2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，﹣m2+m+2），点N（m，﹣m+2），

则：△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣m2+4m，

当m＝2时，S最大，此时，点P（2，5）；

②点P（2，5），则点Q（，5），设点M（a，﹣a+2）；

（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，

则（a﹣）2+（a﹣3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，

解得：a＝，

故点M1（，）；

（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，

则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，

作QH⊥AB于H，BQ的延长线交x轴于点N，

则tan∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，

故直线QH表达式中的k为2，

设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，

故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与B重合，

M2、M1关于B对称，

∴M2（﹣，）；

综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

2．【分析】（1）直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，5），即可求解；

（2）过点A作直线BC的平行线n交y轴于点M，则点M（0，1），则CM＝5﹣1＝4，在点C上方取CN＝CM＝6，过点N作直线m交抛物线于点Q（Q′），则点Q为所求，即

可求解；

（3）分点Q（6，5）、点Q（﹣1，12）两种情况，分别求解即可．

【解答】（1）直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标分别为：（5，0）、（0，5），

则c＝5，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣6，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+5；