大学线性代数考试模拟题7
线性代数模拟试题
线性代数模拟试题1. 矩阵A的转置已知矩阵 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求其转置矩阵 AT。
解答：设矩阵 B 为 A 的转置矩阵，即 B = AT。
则矩阵 B 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵 A 的第 j 行第 i 列元素，即 Bij = Aji。
根据以上规律，可以得到矩阵 A 的转置矩阵 B = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。
2. 矩阵相乘已知矩阵 A = [1 2; 3 4]，矩阵 B = [5 6; 7 8]，求矩阵 A 乘以矩阵 B的结果 AB。
解答：设矩阵 C 为 A 乘以 B 的结果，即 C = AB。
矩阵 C 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列的对应元素相乘再相加，即Cij = ∑(Aik * Bkj) (k=1 to n)。
根据以上规律，可以得到矩阵 A 乘以矩阵 B 的结果 C = [19 22; 43 50]。
3. 矩阵的逆已知矩阵 A = [2 -1; 4 3]，求其逆矩阵 A-1。
解答：逆矩阵 A-1 的定义为 A * A-1 = I，其中 I 为单位矩阵。
设矩阵 B 为A 的逆矩阵，即 B = A-1。
可以通过求解线性方程组的方式来求解矩阵A 的逆矩阵。
首先，构造增广矩阵 [A I]，其中 I 为 2 阶单位矩阵。
经过初等行变换，将矩阵 A 转化为单位矩阵的形式，此时 [I B] 的形式就是矩阵 A的逆矩阵。
经过计算，可以得到矩阵 A 的逆矩阵 B = [3 1; -4 2]。
4. 矩阵的特征值和特征向量已知矩阵 A = [3 -2; 1 4]，求其特征值和对应的特征向量。
解答：特征值λ 是矩阵 A 满足方程 |A - λI| = 0 的根，其中 I 为单位矩阵。
特征向量 v 是非零向量 x 满足方程 (A - λI)x = 0。
首先，计算矩阵 A - λI 的行列式，即 |A - λI|。
线性代数模拟试题(4套)
模拟试题一一、判断题:（正确：√,错误：×）（每小题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………（ ）2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆。
……………………………( )3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( ）4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶方阵，且0=A ,则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合。
…………………………………………………………( ) 二、填空题：(每空2分，共20分）1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= 。
2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 。
3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 。
4、已知()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==256,102B A 则=AB .5、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则b Ax =的通解为 。
7、()B A R + ()()B R A R +。
8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-500210111t ，则当t 时，A 的行向量组线性无关。
10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=,则B 的特征值为 . 三、计算:(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+。
2、设矩阵A 和B 满足B AE AB +=+2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B 。
四、(10分) 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、（10分) 设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ, 讨论当λ取何值时，b Ax =无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解。
线性代数模拟试卷及答案
线性代数(文)模拟试卷(一)参考答案一。
填空题(每小题3分，共12分）1.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，2=A ,3=B ，则B A -2=1. 解 B A -2=3332221113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---=12=-B A .2。
已知向量)3,2,1(=α，)31,21,1(=β,设βαT A =，其中T α是α的转置，则n A =A n 13-.解 注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T βα,故n A =βαβαβαβαT n T T T 个)())((=ββαβαβααβαTn T T T T 个)1()())((-=A n T n 1133--=βα。
注 若先写出A ，再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间.3。
若向量组T )1,0,1(1-=α，T k )0,3,(2=α，T k ),4,1(3-=α线性相关，则k =3-.解 由1α,2α,3α线性相关，则有321,,ααα=k k 0143011--=1043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k 。
由此解得3-=k .4。
若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为21，31，41,51,则行列式E B --1 =24.解 因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值，从而E B --1有特征值1，2，3,4。
故2443211=⋅⋅⋅=--E B . 注 本题解答中要用到以下结论:(1)若A 可逆,A 的特征值为λ,则1-A 的特征值为λ1。
(2)若λ是A 的特征值，则)(A f 的特征值为)(λf ，其中)(x f 为任意关于x 的多项式。
大学数学线性代数期末复习模拟测试试卷(含答案)
线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别 姓名 成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ）A.4,221==λλB.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。
7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则111213A A A ++= 。
8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11。
9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。
10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是 。
11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的线性关系是 。
线性代数模拟题
线性代数模拟题(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数模拟题A一．单选题.1.下列（ A ）是4级偶排列．（A ） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 2. 如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=， 那么=1D （ B ）．（A ） 8； (B) 12-； (C) 24； (D) 24-．3. 设A 与B 均为n n ⨯矩阵，满足O AB =，则必有（ C ）．（A ）O A =或O B =； （B ）O B A =+；（C ）0=A 或0=B ； （D ）0=+B A ．4. 设A 为n 阶方阵)3(≥n ，而*A 是A 的伴随矩阵，又k 为常数，且1,0±≠k ，则必有()*kA 等于（ B ）．（A ）*kA ； （B ）*1A k n -； （C ）*A k n ； （D ）*1A k -． 5.向量组s ααα,....,,21线性相关的充要条件是（ C ） （A ）s ααα,....,,21中有一零向量(B) s ααα,....,,21中任意两个向量的分量成比例 (C) s ααα,....,,21中有一个向量是其余向量的线性组合 (D) s ααα,....,,21中任意一个向量都是其余向量的线性组合6. 已知21,ββ是非齐次方程组b Ax =的两个不同解，21,αα是0=Ax 的基础解系，21,k k 为任意常数，则b Ax =的通解为（ B ） (A) 2)(2121211ββααα-+++k k ; (B) 2)(2121211ββααα++-+k k(C) 2)(2121211ββββα-+++k k ; (D) 2)(2121211ββββα++++k k7. λ＝2是A 的特征值，则（A 2/3）－1的一个特征值是（ B ）(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/48. 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -1-I|=( B )(a)0 (b)24 (c)60 (d)1209. 若A 是（ A ），则A 必有A A ='．（A ）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵． 10. 若A 为可逆矩阵，下列（ A ）恒正确．（A ）()A A '='22； (B) ()1122--=A A ；(C) [][]111)()(---''='A A ； (D) [][]'=''---111)()(A A ． 二．计算题或证明题1. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=3241223k kA (1)当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P －1AP 为对角矩阵(2)求出P 及相应的对角矩阵。
大学线性代数考试模拟题解答
5200
2100
求矩阵
的逆阵（ 10 分）
0083
0052
解 设A
52 21
B
83 5 2 -------------------------------------------2
分
则
1
A1
52 21
1
1 2
2 5
B1
83 52
23 5 8 ----------6 分
1
5200
2100
A
1 A1
于是
10 1
第 2页共4页
五、 得分
x1 x2 设 x1 x2
x1 x2
（ 3）有无穷多解 ? （ 15 分）
x3 1
x3
问 为何值时
x3 2
此方程组（ 1）有唯一解（ 2）无解
解B
11 1 r 1 1 1 1 ~0 1 1 1 1 2 0 0 (1 )(2
2
(1 ) ) (1 )( 1)2
----------6 分
1
11 1
(e1, e2, e3) (a1, a2, a3) 1 0 0 -------------------------------------4 分 1 11
123
于是
(b1, b2, b3) (e1, e2, e3) 2 3 4 -----------------------------------------6 分
再将各列都加到第一列上 得
x (n 1)a a a
0 xa 0
Dn
0
0 xa
a
0 0 -------------------8 分
0
0 0 0xa
[x ( n 1)a]( x a)n 1 -------------------------------------------------10
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案**线性代数考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 可交换D. 不可交换答案：B2. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. s ≤ nB. s > nC. s ≥ nD. s < n答案：A4. 矩阵A的特征值是（）A. 矩阵A的行最简形式B. 矩阵A的列最简形式C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λE|=0的λ值答案：D5. 矩阵A和B相等的充要条件是（）A. A和B的对应元素相等B. A和B的行向量组相同C. A和B的列向量组相同D. A和B的秩相等答案：A6. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是（）A. |A|≠0B. A的秩为nC. A的行列式为1D. A的转置矩阵可逆答案：AA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：C8. 向量组α1，α2，…，αn线性相关，则（）A. 存在不全为0的k个向量，使得k个向量线性组合等于0B. 存在不全为0的n个向量，使得n个向量线性组合等于0C. 存在不全为0的n+1个向量，使得n+1个向量线性组合等于0D. 存在不全为0的m个向量，使得m个向量线性组合等于0，其中1≤m≤n答案：DA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：B10. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|= _ 。
XXXX大学《线性代数》模拟试卷答案(A卷)
RAb RA 2 4,故原方程组有无穷多个解.………………………6 分
导出组的基础解系为
ξ1
112
;
0
0
1
1
ξ2
2 0
，原方程组的一个 特解为
η
2 0
0
0
1
0
所以，原方程组的通解可表示为：
x t1ξ1 t2ξ2 η，其中t1和t2为任意常数. ………………………………12 分
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2 111
2.
求 n阶行列式
Dn
1
2
1
1.
1 112
1 1 1 1
解:
1 Dn [2 (n 1)]
2
1
1 ……………………………………6 分
1 1 1 2
1 1 1 1
n
1
0
21
0
0
0 0 0 21
(n 1) 1n n 1 ……………………………………………12 分
2 2
.
3 3
0
作正交变换 x py 把原二次型化为标准型 f 3 y12 3 y32 .……………12 分
四．证明题(共 1 小题,共 10 分)
已知向量组, , 线性无关，证明向量组 , , 2 3 也线 性无关.
证：令 k1 k2( ) k3 2 3 0
1 2
3 0
0
2 1 1 3 2 3 3 3
1
2 2
可得特征值： 1 3, 2 0, 3 3 .……………………………………6 分
对于特征值
1
3
，由 A
3E x
0 得其特征向量为1
武汉理工大学whut线性代数考试试卷试题及其参考包括答案七.docx
线性代数 7一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1、已知 A ， B 均为三阶方阵，且 A =2， B =－ 3，则A T B1=____________。
2、设n阶方阵 A 的n个列向量两两正交且均为单位向量，则A T A ＝。
3、如果三阶方阵 A 相似于对角矩阵diag (1,1, 2) ，则行列式 2A+ E ＝。
4、设向量组T，T(1,2,3)，T(1,3,t)，当t满足时，向量组, 2 , 32311 (1,1,1)可以构成 R3空间的一组基。
5、已知实二次型f a(x12x22x32 ) 4( x1 x2x1 x3x2 x3 ) ，经过某个正交变换后，可以化成标准形 f6y12，则 a ＝。
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1、设1, 2 ,3 均为三维列向量，且123 1 ，那么321 2 2＝。
(A) 0(B) 1(C)1(D)不能确定2、设 A 为n阶方阵，且A20 ，则下列选项中错误的是___________。
(A) A 可逆(B)A E 可逆(C) A E 可逆(D)A2E 可逆3、设向量组(a,3,1)T,(1, 2,1)T,(2,3,1) T的秩为2，则 a ___________。
(A) 1(B) 2(C) 0(D) －14、设 A 是n阶方阵(n 3)，如果 A 的秩R( A)n ，且A的伴随矩阵 A*0 ，则齐次线性方程组Ax 0 的基础解系中所含解向量的个数为 ___________。
(A)n(B) n1(C)1(D)05、设n阶方阵 A 与B 相似，则下列说法中正确的是___________。
(A)A E B E(B) A 与 B 有相同的特征值及特征向量(C) A 与 B 必合同(D)对任意常数 k ， A kE 与 B kE 相似三、计算题 (每小题 8 分，共 32 分)12L n1n x12L n1x n 1、计算n阶行列式D n M M L M M ；1 2 x L n1n1x2L n1n、设矩阵113，互换 A 的第一、第二列得矩阵 B ，且 BX A ，求矩阵 X ；A201200201003、设矩阵A1200，求 A 1；001100324、设向量组T(1,2,1,3),T(2, 4,2,6),T(1,1,2, 3),T( 1,0,1,1) ，求它的一个1234最大无关组，并用此最大无关组表示该向量组中的其余向量。
线性代数模拟题及答案
模拟试题一一. 填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2010301023．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A =4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则EA +*= .5．当 λ 满足条件 时线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共20分)1．131211232221333231333231232221131211222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ).① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21 的秩为s 的充要条件是（ ）。
① 向量组不含零向量② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④向量组线性无关3. 当t =（ ）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。
① 5 ② 10③ 15 ④ 204．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（ ）线性无关。
① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2 ② α1, α1+α2, α1+α2+α3 ③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3 ④ α1-α2, α2-α3, α3-α15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63322211t A , B 为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). ① 当t = 4时,B 的秩必为1 ② 当t = 4时,B 的秩必为2 ③ 当t ≠ 4时,B 的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B 的秩必为26．设非齐次线性方程组A X = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则 ．① r = m 时，方程组A X = b 有解 ② r = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ③ m = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ④ r ＜ n 时，方程组A X = b 有无穷多解7． 设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（ ）k.① < ② = ③ ≥ ④ ≤8. 一个向量组的极大线性无关组（ ）. ① 个数唯一 ② 个数不唯一③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). ① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 ② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 ③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵 ④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21（ ）。
线性代数模拟试题及答案(三套)
第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。
2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。
3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。
23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。
5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。
由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。
6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。
可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。
二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。
A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。
线性代数期末考试模拟试卷及答案
共7页，第1页学 院： 专 业： 学 号： 姓 名：装 订 线一、 填空题（每小题3分，共24分）1.设A 、B 是n 阶方阵，下列等式正确的是 .（A ）AB=BA （B ）))((22B A B A B A -+=-（C ）22A A = （D ）111)(---+=+B A B A2. 设A 为n 阶方阵，则0=A 的必要条件是 .(A) A 中有两行（列）元素对应成比例； (B) A 中必有一行为其余行的线性组合；(C) A 中有一行元素全为零； (D) A 中任意一行为其余行的线性组合.3. 设有向量组1α＝(1,-1,2,4)，2α＝(0,3,1,2)，3α＝(3,0,7,14)，4α＝(1,-2,2,0)与5α＝(2,1,5,10)，则向量组的极大线性无关组是（ ） （A ）231ααα，，； (B) 241ααα，，；(C)251ααα，，； (D) 2451αααα，，，.(C) A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关.5. 、设3阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为41,31,21，则=)(det *B （ ）共7页，第2页共7页，第3页共7页，第4页答案一、选择题（每小题3分，共24分）1.C2.B3.B4.C5.A6.C7.A8.B 二、填空题（每小题4分， 共24分）1.⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫-11001000003100001 ， 2. 332±， 3. ⎝⎛⎪⎪⎭⎫10101， 4. k 不存在 5. 40， 6. 0. 三．（8分）证明：由06))(4(1032=-+-=--I I A I A I A A ……………………5分所以I I A I A 6))(4(=+- ……………………6分 故I A 4-可逆，且逆矩阵为6IA + ……………………8分 四、（12分） 解：2)3(111111111λλλλλ+=+++=A ………………………………………3分当03≠-≠λλ且时，方程组有唯一解………………………………5分当0=λ时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→←⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010000111011131110111r B 知 )()(B R A R ≠ , 方程组无解…………………………………………8分当3-=λ时，增广矩阵为共7页，第5页⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000021103211 321131210112r B 2)()(==B R A R ， 方程组有无穷多解，解为T T c x )0,2,1()1,1,1(--+=，（c 为任意常数）……………………12分 五、（10分）解：设有k x x x x ,,,,210 使得0)()()(22110=+++++++k k x x x x αβαβαββ ， (1) )………2分⇒0)(2211210=++++++++k k k x x x x x x x αααβ , (2)………4分 若0210≠++++k x x x x ，则β可由k ααα,,,21 线性表示，⇒是0=Ax 的解,与已知矛盾.故必有0210=++++k x x x x ，从而02211=+++k k x x x ααα ，………………………………………………………7分 由k ααα,,,21 是0=Ax 的一个基础解系知k ααα,,,21 线性无关，⇒021====k x x x ，0)(210=+++-=k x x x x ，因此向量组k αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.…………………………………10分六、（10分）解：由已知(2)-=A E X A ， …………………………………………2分因为 100386(2,)0102960012129r--⎛⎫⎪-−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭A E A ………………………8分 故1386(2)2962129---⎛⎫ ⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A …………………………………………10分β共7页，第6页七、（12分）解：)1()1(3240102232-+-=------=-λλλλλλE A =0, ………… 2分1,1321=-==λλλ. ………（4分） (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-224000224)(1E A λ41113~⋅-r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000021211, 02121321=-+x x x ,令2312,c x c x ==，2112121c c x +-=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1021012121321c c x x x .121-==λλ对应的特征向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012121ξξ它们是线性无关的. ………（8分）(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-424020222)(3E A λ~132r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*******1123~⋅-r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000201112122~21r r r --⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000010101, ⎩⎨⎧==-00231x x x , 令13c x =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011321c x x x ， 对应的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1013ξ. ………（10分）(3)因为321ξξξ，，线性无关，所以A 可以对角化，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11000112121P , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ100010001. ………（12分）共7页，第7页。
线性代数模拟试题及答案
3、
1 1 =__________。 2 2 é 2 3ù é - 1ù ú ê ú =__________。 ë - 1 0û ë 3 û
4、矩阵 ê
5、若 A，B 为 n 阶矩阵，则 ( A + B )( A - B ) =__________。 6.设 A, B 为 3 阶方阵，且 A = 4, B = 2 ，则 2( B* A-1 ) = 7、若 A 是可逆矩阵，则 ( A¢ ) -1 =__________。 .
æ- 2 0 0 ö æ1 0 0 ö ÷ ç ç ÷ A - 3E = ç - 2 2 - 2 ÷ ~ ç 0 1 - 1÷ ç - 2 4 - 4÷ ç0 0 0 ÷ ø è è ø æ0ö ç ÷ ì x 2 - x3 = 0 从而解得基础解系 p1 = ç 1 ÷ 得对应的方程组为 í î x1 = 0 ç1÷ è ø
.
A+ B = A + B
A. 若矩阵 A, B 满足 AB = O ，则有 A = O 或 B = O B. 若矩阵 A, B 满足 AB = E ，则矩阵 A, B 都可逆。 C. 若 A* 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，则 A* = A D. 若 A ¹ O ，则 A ¹ 0
7．下列说法不正确的是（ ） 。
æ1 ç 0 8.设矩阵 A = ç ç0 ç ç0 è
2 0 0ö ÷ 1 0 0÷ -1 ，则 A = ÷ 0 3 3 ÷ 0 2 1÷ ø
.
9 、 在 线性方程组 AX = O 中，若 末知 量的个数 n=5 ， r ( A) = 3 ，则方程组的一 般 解中 自由末知 量的个数为 _________。 10. 设向量组 a1 , a 2 , a3 线性无关，则向量组 a1 , a1 + a 2 , a1 + a2 + a3 （填线性相关，线性无关） 。
线性代数模拟试卷及答案4套
线性代数模拟试卷（一）一、 填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、 单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、 设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（ ） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵 ，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（ ）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为 ,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2(C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1-三、计算下列行列式 （12分）1、 D=1- 3 3- 131 1 41- 3 0 5-21- 1 3 2、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 111 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解 （12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系 （8分）线性代数模拟试卷(二)三、 填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、 向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、 单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、 设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（ ） (A)αβγ (B) γβα---(C)αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（ ） (A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关 (D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～ B ，则 有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式 （13分）2、 D=2- 3 0 112 1 - 121 0 331- 2 1 4、D n = 11 1 111 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 （13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 13 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解 （14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0线性代数模拟试卷(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝ 。
线性代数模拟试题 答案
线性代数模拟题一、 填空（3＊5）。
1、设f (x )=|x2112x 3232x 101x x |,则f (x )中常数项为（）,项的系数为（）。
2、若A 为五阶方阵，且A=3，则AA T =（），（A *）*=（），2A -1-A *=（） 3、设A=[a b bba b bba]，r （A *）=1，则a,b 关系为（）。
4、设A 是n 阶矩阵，对于其次线性方程组AX=0，如A 中每行元素之和全部为零，且r(A)=n-1,则方程组的通解是（）。
5、A 与B 有相同的特征值是A~B 的（）条件。
二、选择（3＊5）。
6、已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D=（） （A ）0 （B ）a 2 （C ）-a 2 （D ）na 27、已知A ，B 均为n 阶矩阵，满足AB=0，若r （A ）=n-2，则（） （A ）r （B ）=2 （B ）r （B ）<2 （C ）r （B ）<=2 （D ）r （B ）>=18、要使ε1=[102]ε2=[01−1]都是线性方程组的解，只要系数矩阵A 为（）（A ）[−2114−2−2]（B ）[20−1011]（C ）[−10210−2]（D ）[01−1 4−2−2 011]9、设A为m*n矩阵，线性方程组AX=B对应的导出组为AX=0，则下列结论中正确的是（）（A）若AX=0仅有零解，则AX=B有唯一解（B）若AX=0有非零解，则AX=B有无穷多解（C）若AX=B有无穷多解，则AX=0有非零解（D）若AX=B有无穷多解，则AX=0仅有零解10、设A是三阶矩阵，A，A+I，I-2A均不可逆，则A的三个特征值是（）（A）0，1，2 （B）0，-1，2（C）0，-1，1/2（D）0，1，-1/2二、判断（2＊5）。
11、每行元素之和为零的行列式值为零。
（）12、若A，B，C都是n阶方阵，则（ABC）k=A k B k C k. （）13、设n阶方阵A经过若干次初等变换后变成B，则|A|=|B|. （）14、向量组α1α2…αs 的秩不为零的充分必要条件是α1α2…αs中至少有一个非零向量。
线性代数考试练习题带答案大全
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
线性代数模拟试题及答案
线性代数模拟试题及答案. . .. . ... .专业 . .《线性代数期末模拟试题⼀》⼀、填空（本题20分每⼩题2分） 1．设)det(ij a 为四阶⾏列式,若23M 表⽰元素23a 的余⼦式，23A 表⽰元素23a 的代数余⼦式，则23M +23A = 。
2．三阶⾏列式3331221311000a a a a a 中只有位于两条对⾓线上的元素均不为零，则该三阶⾏列式的所有项中有项不为零，这⼀结论对n 阶⾏列式（填成⽴或不成⽴）。
3．设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,,(321ααα=A 记矩阵),,2(313221αααααα-+-=B ，若6=B ，则=A 。
4．设矩阵???-=?-= -=458271,131027241,213012C B A ，则=-C B A T2。
5．设矩阵A 可逆，且矩阵AB C =，所以矩阵C ⼀定可以由矩阵B 经过（填⾏或列）初等变换⽽得到。
6．设向量组43,21,,,αααα，若,3),,(,2),,(432321==ααααααR R 则1α⼀定得分阅卷⼈. . .. . ... .专业 . .可以由向量唯⼀的线性表⽰。
7．⾮齐次线性⽅程组b Ax =有唯⼀的解是对应的齐次⽅程组0=Ax 只有零解的充分但不必要条件。
8．设3阶矩阵A 的⾏列式0=A ，则矩阵A ⼀定有⼀个特征值。
9．n 阶矩阵A 有n 个特征值1，2，, n ，n 阶矩阵B 与A 相似，则=B 。
10．向量组：[][]1,121,1,12121-==p p（填是或不是）向量空间2R ⼀个规正交基。
⼆、单项选择（本题10分，每⼩题2分）注意：请务必将你的选择题的答案按要求填⼊下表，否则答案⽆效！1．设矩阵A 为n 阶⽅阵，则关于⾮齐次线性⽅程组b Ax =的解下列说法（）. . .. . ... .专业 . .不正确（A ）若⽅程组有解，则系数⾏列式0≠A ; （B ）若⽅程组⽆解，则系数⾏列式0=A ;（C ）若⽅程组有解，则或者有唯⼀解或者有⽆穷多解; （D ）系数⾏列式0≠A 是⽅程组有唯⼀解的充分必要条件. 2. 设A 为n 阶可逆矩阵，下列正确的是（）（A ） (2)2T T A A =； (B) 11(2)2A A --=； (C) 111[()][()]T T A A ---=；(D) 111[()][()]T T T A A ---=。
大学线性代数考试题(四套)
第一章行列式（一）一、填空1. 二阶行列式2a ab bb=22a b ab -.2. 四阶行列式1000120012301234= 24 .3. 设311231012D -=--，则元素332a =的代数余子式33A = -11 . 二、选择1. 四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于 （ D ）. （A ）12341234a a a a b b b b - （B ） 12341234a a a a b b b b +（C ）12123434()()a a b b a a b b -- （D ）23231414()()a a b b a a b b --2. 若行列式125132025x-=，则x =（ D ）. （A ）-3 （B ）-2 （C ）2 （D ）3 3. 若k =（ A ）， 则21200111kk=-.（A ）-2 （B ）2 （C ）0 （D ）-3三、计算1. 000x yxz y z-=--（对角线法则） 2. 12311234412345000000000000000b b b a b b b b b a a a a a = （按第一列展开） 3.(1)(2)20000100002000000(1)!02000010000000n n n n n n--=---（二）一、填空1. 若||n ij D a a ==，则||n ij D a =-=(1)na -.2. 若1231231238a a a b b b c c c =，则123123123222222222a a a b b b c c c ------=--- -64 . 3. 设a bc d c b d a D dbc a a b dc=，则14243444A A A A +++= 0 .二、选择1. 设111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =，则(1)1(1)(1)(1)(1)111(1)11nnn n n n n n n n nn a a a a a a D a a a ------==（ A ）.（A ） D （B ） D - （C ） (1)nD - （D ） 2D 2. 行列式0D =的必要条件是（ B ）. （A ）D 中有两行（列）元素对应成比例（B ）D 中至少有一行元素可用行列式的性质化为零 （C ）D 中有一行元素全为零（D ）D 中任意一行元素都可用行列式的性质化为零3. 在函数211()12xf x xx x x-=--中，3x 的系数是（ A ）. （A ）-2 （B ）1 （C ）-1 （D ）2三、计算1.41241202010520117=2.2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++3. n x a a axa D a ax=1()[(1)].n x a x n a -=-+-（三）一、填空1. 齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解的充分必要条件是λ= 1或-2 .2. 若线性方程组x y ax y bλλ-=⎧⎨-+=⎩有唯一解，则λ必须满足1≠±.3. 齐次线性方程组1231231232202405820x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩的解的情况是 仅有零解 .（填仅有零解或有非零解）二、选择1. 若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D （ A ）.（A ）必为零 （B ）必不为零（C ）必为1 （D ）可为任意数2. 设非齐次线性方程组123123123238223105ax x x ax x x x x bx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则,a b 必须满足（ D ）.（A ） 0a ≠且0b ≠ （B ）32a ≠且0b ≠ （C ）32a ≠且32b ≠ （D ）0a ≠且32b ≠3. 当k ≠（ C ）时，齐次线性方程组1312312302020kx x x kx x kx x x +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩只有零解.（A ）0 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2三、计算1. 若齐次线性方程组121232302200ax x x ax x x ax +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩有非零解，求a 的值.解：方程组有非零解，则系数行列式21022(4)001a a a a a=-=，则 0a =或2±.2.1111(1)()(1)()1111n n n n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--，提示：利用范德蒙德行列式的结果.解 ：将行列式上下左右翻转，即为范德蒙德行列式.11111()(1)n nnna n a n a D a n a n a +--+=--+11().j i n i j ≤<≤+=-∏3. 问λ，μ取何值时，齐次线性方程组1231 2.31230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？解： 方程组的系数行列式必须为01111121D λμμ=32r r -=====1111(1)0λμμλμ=--故只有当0μ=或1λ=时，方程组才可能有非零解.第二章 矩阵（一）一．填空1. 设123a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，()123b b b =B ，则=AB 1112212223313233a b a b a ba b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；=BA 112233()a b a b a b ++;T ()=AB 112131122232132333a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；T T =A B 112233()a b a b a b ++；T T =B A 112131122232132333a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 2. 设101020101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，而2n ≥为正整数，则12n n --A A =O .3. 设T11(1,,),(1,1,1,)23==αβ，则()n =βα1111231111()162311123n -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 二．选择1. 设,A B 都是n 阶方阵且=AB O ,则（ B ）（A ） =B O （B ）||0=A 或||0=B （C ） =BA O （D ）222()-=+A B A B2. 以下结论正确的是（ C ）（A ）若方阵A 的行列式等于0，则=A O （B ）若2=A O ，则=A O（C ）若A 为对称矩阵，则2A 也为对称矩阵（D ）对任意的同阶方阵,A B ，有22()()+-=-A B A B A B 3. 由,m n s t ⨯⨯A B 做乘积TTA B ,则必须满足( B )（A ）m n = （B ）m t = (C) n s = （D ）n t =三．计算与证明1. 设111111111⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，123124051⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭B ，求32-AB A 及TA B .解： 32-AB A 1111233111124111051⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1112111111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭21322217204292-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭T A B 111123111124111051⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭058056290⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.2. 13121400121134131402⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭6782056-⎛⎫= ⎪--⎝⎭3. ()111213112312222321323333a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1111212313121222323131********x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x ⎛⎫⎪=++++++ ⎪⎪⎝⎭222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++.4. 设,A B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明TB AB 也是对称阵.证明：已知：T=A A ，则 TTTTTTTT()()===B AB B B A B A B B AB从而 TB AB 也是对称阵.（二）一．填空1. 设A 为三阶可逆矩阵，且1123012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，则*=A123012001---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2. 设100220345⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则1()*-=A 10A ；1()-*=A 10A3．设A 为3阶矩阵，且A ＝12，则1*(2)5--=A A -16 . 4. 设α为3维列向量，T 111111111-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭αα，则T=αα 3 .二．选择1. 设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则必有（ A ） （A ） 1n -*=A A（B ） *=A A （C ）n*=A A （D ）1*-=A A2. 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式=ABC E ，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有（ D ）. （A ） =ACB E （B ）=CBA E （C ）=BAC E （D ）=BCA E3. 已知A 为n 阶方阵，且满足关系式2340++=A A E ，则()1-+=A E ( C )（A ）1-+A E （B ）12+E A （C ） 12--E A （D ）4+A E 4. 设,A B 都是n 阶方阵，则下列命题中正确的是 （ D ）（A ）若≠A O 且≠B O ，则≠AB O （B ）若,A B 都是对称阵，则AB 是对称阵 (C)若AB 不可逆，则,A B 都不可逆 （D ）若AB 可逆，则,A B 都可逆三．计算与证明1. 求520021*******011⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭的逆阵.解：115221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1111225A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，221211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122121113A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.2. 解矩阵方程25461321-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X解：125461321--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X 35461221--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭22308-⎛⎫= ⎪⎝⎭.3. 设1-=P AP Λ, 其中1411--⎛⎫= ⎪⎝⎭P , 1002-⎛⎫= ⎪⎝⎭Λ, 求11A .解：1-=P AP Λ故1-=A P P Λ所以11111-=A P P Λ3=P 1411*⎛⎫=⎪-⎝⎭P 1141113-⎛⎫= ⎪-⎝⎭P 而 11111110100202--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Λ 故11111414103311021133⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭A 27312732683684⎛⎫= ⎪--⎝⎭. （三）一．填空1. 已知2223311x x-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 不可逆，则x = -6或-3 . 2. 设++=A AB B O ，且200000004-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则=B 2000004005⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ .3．设300140003⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则1(2)--=A E 10011022001⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.二．选择1. 设,A B 都是n 阶可逆矩阵，则必有（ C ）（A ） +A B 是n 阶可逆矩阵 （B ） |+|=||+||A B A B （C ） 只用初等变换可把A 变为B （D ） =AB BA2. 设n 阶矩阵,,,A B C D 满足=ABCD E ，则（ A ）（A ） 1()=-CB CDADAB （B ） 1()=-CB DA （C ） 1()=-CB AD （D ） 1()=-CB DABCDA3. 设=AX B ,则（ B ）（A ） 当A 可逆时， 1=-X BA （B ） 当A 可逆时， 1=-X A B （C ） 当≠B O 时，||0≠A （D ） 当≠X O 时，A 可逆三．计算与证明1. 用初等变换求矩阵1011201031203104-⎛⎫⎪⎪⎪⎪-⎝⎭的逆矩阵.解：4211410711822262411--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪- ⎪--⎝⎭2. 设,+=AX B X 其中01011111,2010153-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A B ，求X .解： 1()-=-X E A B 而 12103321()13311033-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭E A 所以 =X 210332113311033⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭112053-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭312011-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 3. 设三阶矩阵,A B 满足关系式13-=+A BA A BA ，且100310041007⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，求B . 解：13--=A BA BA A ，1()3--=A E BA A ，1300040007-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，11323()112--⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B A E .（四）一．填空1. 设矩阵m n ⨯A 的秩为r ，P 为m 阶可逆矩阵，则()R =PA r .2. 设四阶方阵A 的秩()2R =A ，则其伴随矩阵*A 的秩为()R *A = 0 .3．设111111111111k k k k ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，()3R =A ，则k = -3 . 二．选择1. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则,A B 的秩的关系为（ A ） (A) ()()()1R R R ≥≥-A B A (B) ()()()1R R R ≥>-A B A (C) ()()()1R R R >>-A B A (D) ()()()1R R R >≥-A B A2. 在秩是r 的矩阵中（ C ） (A) 没有等于0的1r -阶子式 (B) 没有等于0的r 阶子式(C) 等于0的1r -阶子式和等于0的r 阶子式都可能有 (D) 所有1r -阶子式等于03. 设,A B 都是n 阶方阵，且=AB O ，则必有（ A ） (A) 若()R n =A ，则 =B O (B) 若≠A O ，则 =B O (C) =A O 或者 =B O (D) ||A +||0=B4. 设A 是43⨯矩阵，且A 的秩()2R =A ，而102020103⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ,则()R =AB （C ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3三．计算1.求矩阵310211211344⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的秩.解：()2R =A2.设12312323k k k -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求k 为何值时可使()R A 等于：（1） 1 ；（2） 2 ；（3） 3 .解：123~02(1)3(1)003(1)(2)k k k k k -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-+⎝⎭A（1）当1k =时，()1R =A ； （2）当2k =-时，()2R =A ； （3）当1k ≠且2k ≠-时，()3R =A .3.设矩阵00121132212645013405-⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪---⎝⎭A ，求()R A ，并求一个最高阶非零子式.解：()3R =A ，一个最高阶非零子式为012122245--.第三章 线性方程组（一）一、选择1．当( D )时，齐次线性方程组0m n ⨯=A x 一定有非零解。
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命题人： 审批人： 试卷分类（A 卷或B 卷） A
大学 试 卷
学期： 至 学年度 第 学期 课程： 线性代数 专业：
班级：
姓名： 学号：
(10分) 计算行列式
x
a a a
a x a a a a x
a n n n -⋅
⋅⋅--
2
1
2121
二、分)
设
)1, 3, 1, 21=α ,(),1 0, 2, 12=α ,(),3 0, 1, 13-=α， 讨 论 向 量 组321, , ααα
的 线 性 相 关 性。
三、
（15分）
. X 2A AX 410011103A X ，求矩阵且满足，设=+⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
（10分）
试 判 定 方 程 组
⎪⎩⎪
⎨⎧=-++=-+-=-+-.
322223531
324321
43214321x x x x x x x x x x x x 是 否 有 解
（16
分）
设 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-+++=+-+=+++λ
λλλλλλλλ3)3()3(2)1(2)3(321321321x x x x x x x x x 问λ为何值时, 此方程组（1）有唯一解（2）无解（3）
有无穷多解?
(12分)
求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的列向量用
最大无关组线性表示, 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛------=979634226441
21121
112A
七、
（12分） 设3 阶 方 阵 A 的 三 个 特 征 值 分 别 为2，-2，1， E A A A B 542
3
+--=,
求 行 列 式B 的 值。
（15分）
求一个正交变换将二次型322
32
22
13212334),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形。