第1讲 函数及其表示

第1讲函数及其表示

一、知识梳理

1．函数与映射的概念

函数映射

两集合A，B 设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合

对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，

使对于集合A中的任意一个数x，

在集合B中都有唯一确定的数f(x)

和它对应

如果按某一个确定的对应关系f，

使对于集合A中的任意一个元素

x，在集合B中都有唯一确定的元

素y与之对应

名称称f：A→B为从集合A到集合B

的一个函数

称对应f：A→B为从集合A到集

合B的一个映射

记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射

(1)函数的定义域、值域．

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

常用结论

几种常见函数的定义域

(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合． (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．

(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}． (5)指数函数的底数大于0且不等于1.

(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .

二、教材衍化

1．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3

x 3＋1 C ．y ＝x 2

x

＋1

D ．y ＝x 2＋1

解析：选B.对于A ，函数y ＝(

x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义

域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2

x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.

2．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．

答案：[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5]

3．函数y ＝x －2·x ＋2的定义域是________．

解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋2≥0，

⇒x ≥2.

答案：[2，＋∞)

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是相等函数．( )

(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )

(4)若集合A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )

(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏

常见误区|Ｋ(1)对函数概念理解不透彻； (2)对分段函数解不等式时忘记范围； (3)换元法求解析式，反解忽视范围．

1．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________．(填序号)

①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝2

3x ；④f ：x →y ＝x .

解析：对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝8

3∉Q ，所以③不是函数．

答案：③

2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x <1，

4－x －1，x ≥1，

则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为________．

解析：因为f (x )是分段函数，所以f (x )≥1应分段求解．当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0，所以x ≤－2或0≤x <1；当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－

x －1≥1，即

x －1≤3，

所以1≤x ≤10.综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10，即x ∈(－∞，－2]∪[0，10]．

答案：(－∞，－2]∪[0，10]

3．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________．

解析：令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．