2020版 第2章 第1节 函数及其表示
2020学年高中数学第2章函数2.1函数的概念2.1.2函数的表示方法课件苏教版必修1
2．分段函数 对于一个函数，在定义域内不同部分上，有不同的 解__析__表__达__式____，这种函数通常叫做分段函数．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．( )
(2)函数 f(x)＝1－，1x，≥x0<，0 是分段函数．(
)
(3)所有函数都可以用函数的三种表示法来表示．( )
第2章 函 数
2.1.2 函数的表示方法
第2章 函 数
1.了解简单分段函数的定义． 2.了解函数的三种 表示方法． 3.掌握用待定系数法、换元法求函数的解析式．
1．函数的表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． (1)解析法就是用___等__式_____来表示两个变量之间函数关系 的方法． (2)列表法就是用__列__表___来表示两个变量之间函数关系的方 法． (3)图象法就是用图__象__来表示两个变量之间函数关系的方法．
＝2ห้องสมุดไป่ตู้2－4x，求 f(x)的表达式． 解：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋
1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c.
由 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，
知 2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x.
【解】 (1)列表法： x/张 1 2 3 4 5 y/元 20 40 60 80 100
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝20x，x∈{1，2，3，4，5}．
函数的常用表示方法有三种：解析法，图象法和列表法，要 注意三者之间的区别与联系．针对不同的问题，选取表示的 方法不一定相同，恰当准确地描述出变量之间的函数关系是 目的．
2020届高考数学(理)复习课件：第二单元§2.1函数的概念及其表示
A.(-2,0)∪(1,2)
B.(-2,0]∪(1,2)
C.(-2,0)∪[1,2)
D.[-2,0]∪[1,2]
【解析】(1)要使函数有意义,必须有
������-1 2������
≥
0,
������ ≠ 0,
4-������2 > 0,
∴x∈(-2,0)∪[1,2),故选 C.
答案 解析
(2)若函数 y=f(x)的定义域是[1,20],则函数 g(x)=������(������������-+11)的定义域 是 [0,1)∪(1,1.9]
.
1,������ < 1,
点拨：当分段函数的自变量取值范围不确定时,应分类讨论.
答案 解析
【追踪训练 3】(1)已知函数 f(x)=
sin ����,������ ������(������-1),������
≤ >
00,,则
f
2 3
的值为(
B ).
A.-12
B.-
3 2
C.12
D.
3 2
∴2(a-1)=2a,无解.
综上,f
1 ������
=6,故选 C.
答案 解析
方法二 待定系数法的应用
若已知函数类型求解析式,可用待定系数法求解.先设出含有待定系数的函数解析式,然 后利用题目中的已知条件,列出关于待定系数的方程组,进而求出待定系数.
【突破训练 2】若二次函数 g(x)满足 g(1)=1,g(-1)=5,且其图象过原点,则 g(x)的解析
三、函数的表示法
函数的表示法: 解析法 、 列表法 、 图象法 .
四、分段函数
若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用几个式子表示,则这种形式
2020届高考数学 第二章第一节函数及其表示习课件 文
(2)f1：y＝|x|；f2：y＝x－x
x>0， x<0.
1 (3)f1：y＝2
3
x≤1， 1<x<2， x≥2；
f2：
x
x≤1
1＜x＜2
x≥2
y
1
2
3
(4)f1：y＝2x；f2：如图所示．
解：(1)不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定 义域为R. (2)不同函数．f1(x)的定义域为R，f2(x)的定义域为 {x∈R|x≠0}． (3)同一函数．x与y的对应关系完全相同且定义域相同， 它们是同一函数的不同表示方式． (4)同一函数．理由同(3)．
三、函数的表示方法
表示函数的常用方法有： 解析法、 列表和法
图．象法
四、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因 对应法则 不同而
分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值
域等于各段函数的值域的
，分段函数虽由几并个集部分组
成，但它表示的是一个函数并．集
函数及其表示 1. 了解构成函数的要素，了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当
的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单的应用．
[理 要 点] 一、函数与映射的概念
函数
映射
两集合 设A、B是两个
A、B
非空数集 设A、B是两个
非空集合
对应关系 f：A→B
________. 解析：由已知得19＋＋b3＋b＋c＝c＝0，0， 得bc＝＝3－. 4， ∴f(x)＝x2－4x＋3， ∴f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.
2020年高考山东版高考理科数学 2.1 函数及其表示
例3 (2017湖北襄阳四校期中联考,14,5分)已知函数f(x)=
2x 2, x 1,
且f(a)=-3,则f(6-a)=
.
log2 (x 1), x 1,
解题导引Βιβλιοθήκη 解析 当a≤1时, f(a)=2a-2=-3无解;当a>1时, 由f(a)=-log2(a+1)=-3,得a+1
2
由x+2≠0,解得x≠-2,
故函数的定义域是 92
,
2
∪(-2,0],故选C.
答案 C
方法2 确定函数解析式的方法
1.配凑法.已知f(h(x))=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理或配凑成 只含h(x)的式子,用x将h(x)代换. 2.待定系数法.前提是已知函数的类型(如一次函数、二次函数),比如二 次函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条 件列出方程组,解出待定系数即可. 3.换元法.已知f(h(x))=g(x),求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x) 进行换元,便可求解. 4.解方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有
=8,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-1-2=- 3 .
2
答案 - 3
2
C.(-1,0)∪(0,3) D.(-1,0)∪(0,3]
解析
9 x2 0,
要使函数有意义,需x 1 0,
解得-1<x<0或0<x≤3.
log2 (x 1) 0,
答案 D
考点二 分段函数
考向基础 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不
新高考数学一轮复习教师用书：第2章 1 第1讲 函数及其表示
知识点最新考纲函数及其表示了解函数、映射的概念．了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)． 了解简单的分段函数,会用分段函数解决简单的问题.函数的基本性质理解函数的单调性、奇偶性,会判断函数的单调性、奇偶性． 理解函数的最大(小)值的含义,会求简单函数的最大(小)值. 指数函数了解指数幂的含义,掌握有理指数幂的运算．理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象、性质及应用. 对数函数理解对数的概念,掌握对数的运算,会用换底公式． 理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象、性质及应用. 幂函数了解幂函数的概念．掌握幂函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝1x,y ＝x 12的图象和性质.函数与方程 了解函数零点的概念,掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法. 函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题,并给予解决.第1讲 函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合 A 、B设A,B 是两个非空的数集设A,B 是两个非空的集合 对应关系 f ：A→B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法 y ＝f(x)(x∈A)对应f ：A→B 是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f(x),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然,值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f(x)＝x 2－2x 与g(t)＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数．( )(4)若A ＝R,B ＝{x|x ＞0},f ：x→y＝|x|,则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P18例2改编)下列函数中,与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B.对于A,函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x|x≥－1},与函数y ＝x ＋1的定义域不同,不是相等函数；对于B,定义域和对应关系都相同,是相等函数；对于C,函数y ＝x2x ＋1的定义域为{x|x≠0},与函数y ＝x ＋1的定义域不同,不是相等函数；对于D,定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B.2．(必修1P25B 组T1改编)函数y ＝f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案：[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]3．(必修1P19T1(2)改编)函数y ＝x －2·x ＋2的定义域是________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋2≥0，⇒x ≥2.答案：[2,＋∞) [易错纠偏](1)对函数概念理解不透彻； (2)换元法求解析式,反解忽视范围．1．已知集合P ＝{x|0≤x≤4},Q ＝{y|0≤y≤2},下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________．(填序号)①f ：x→y＝12x ；②f：x→y＝13x ；③f：x→y＝23x ；④f：x→y＝x.解析：对于③,因为当x ＝4时,y ＝23×4＝83∉Q,所以③不是函数．答案：③2．已知f(x)＝x －1,则f(x)＝________．解析：令t ＝x,则t≥0,x ＝t 2,所以f(t)＝t 2－1(t≥0),即f(x)＝x 2－1(x≥0)． 答案：x 2－1(x≥0)函数的定义域(1)(2020·杭州学军中学月考)函数f(x)＝x ＋2x2lg （|x|－x ）的定义域为________．(2)若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)＝f （2x ）x －1的定义域为________．(3)若函数f(x)＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R,则a 的取值范围为________． 【解析】 (1)要使函数f(x)有意义,必须使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x 2≥0，|x|－x>0，|x|－x≠1，解得x<－12.所以函数f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<－12.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x<1,即定义域是[0,1)．(3)因为函数f(x)的定义域为R,所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x∈R 恒成立,即2x 2＋2ax －a ≥20,x 2＋2ax －a≥0恒成立,因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0,解得－1≤a≤0.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<－12 (2)[0,1) (3)[－1,0](变条件)若将本例(2)中“函数y ＝f(x)”改为“函数y ＝f(x ＋1)”,其他条件不变,如何求解？ 解：由函数y ＝f(x ＋1)的定义域为[0,2], 得函数y ＝f(x)的定义域为[1,3],令⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤3，x －1≠0，得12≤x ≤32且x≠1.所以g(x)的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32.函数定义域的求解策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a ＜g(x)＜b 即可求出y ＝f(g(x))的定义域；②若y ＝f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得y ＝f(x)的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式(组),然后求解． [提醒] (1)求函数定义域时,对函数解析式先不要化简； (2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式．1．(2020·浙江新高考优化卷)函数f(x)＝3x21－x＋lg(－3x 2＋5x ＋2)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 解析：选B.依题意可得,要使函数有意义,则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0－3x 2＋5x ＋2>0,解得－13<x<1.故选B. 2．(2020·浙江新高考预测卷)已知集合A ＝{x|y ＝x －x 2},B ＝{x|y ＝ln(1－x)},则A∪B＝( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(－∞,1]D ．(－∞,1)解析：选C.因为由x －x 2≥0得0≤x≤1, 所以A ＝{x|0≤x≤1}． 由1－x>0得x<1,所以B ＝{x|x<1},所以A∪B＝{x|x≤1}． 故选C.3．若函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域为实数集,则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时,1≥0恒成立；当m≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝m 2－4m≤0， 解得0<m≤4. 综上可得0≤m≤4. 答案：[0,4]求函数的解析式(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2,求f(x)的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x,求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数,且f(0)＝0,f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1,求f(x)； (4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x,求f(x)的解析式．【解】 (1)(配凑法)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2,所以f(x)＝x 2－2,x ≥2或x≤－2,故f(x)的解析式是f(x)＝x 2－2,x ≥2或x≤－2. (2)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1,代入得f(t)＝lg 2t －1,又x ＞0,所以t ＞1,故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x －1,x ＞1. (3)(待定系数法)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0), 由f(0)＝0,知c ＝0,f(x)＝ax 2＋bx, 又由f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1,得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1, 即ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f(x)＝12x 2＋12x,x ∈R.(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x,① 得f(x)＋2f(－x)＝2－x,② ①×2－②,得,3f(x)＝2x ＋1－2－x.即f(x)＝2x ＋1－2－x3. 所以f(x)的解析式是f(x)＝2x ＋1－2－x3,x ∈R.求函数解析式的4种方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x 替代g(x),便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f(x)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f(－x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)．[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．1．(2020·杭州学军中学月考)已知f(x ＋1)＝x ＋2x,则f(x)的解析式为f(x)＝__________． 解析：法一：设t ＝x ＋1,则x ＝(t －1)2(t≥1)；代入原式有f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f(x)＝x 2－1(x≥1)．法二：因为x ＋2x ＝(x)2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1,所以f(x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1), 即f(x)＝x 2－1(x≥1)． 答案：x 2－1(x≥1)2．设y ＝f(x)是二次函数,方程f(x)＝0有两个相等的实根,且f′(x)＝2x ＋2,则f(x)的解析式为f(x)＝________．解析：设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0), 则f′(x)＝2ax ＋b ＝2x ＋2, 所以a ＝1,b ＝2,f(x)＝x 2＋2x ＋c. 又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根, 所以Δ＝4－4c ＝0,c ＝1,故f(x)＝x 2＋2x ＋1. 答案：x 2＋2x ＋1分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数,是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)分段函数求值；(2)已知函数值,求参数的值(或取值范围)； (3)与分段函数有关的方程、不等式问题． 角度一 分段函数求值(2020·杭州萧山中学高三适应性考试)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，f （x ＋2），x ≤0，g(x)＝x 2,则f(8)＝________；g[f(2)]＝________；f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．【解析】 f(8)＝log 28＝3,g[f(2)]＝g(log 22)＝g(1)＝1,f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 212＝f(－1)＝f(1)＝log 21＝0.【答案】 3 1 0角度二 已知函数值求参数的值(或取值范围)(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1（x≥1）log 2（1－x ）（x<1）,若f(f(a))＝3,则a ＝________．【解析】 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1（x≥1）log 2（1－x ）（x<1）,若f(f(a))＝3,当a≥1时,可得f(－2a 2＋1)＝3,可得log 2(2a 2)＝3,解得a ＝2.当a<1时,可得f(log 2(1－a))＝3,log 2(1－a)≥1时,可得－2(log 2(1－a))2＋1＝3,解得a∈∅. log 2(1－a)<1时,可得log 2(1－log 2(1－a))＝3,即1－log 2(1－a)＝8,log 2(1－a)＝－7,1－a ＝1128,可得a ＝127128.综上得a 的值为2或127128.【答案】 2或127128角度三 与分段函数有关的方程、不等式问题(2020·镇海中学5月模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2，x ≤－1，（x －2）（|x|－1），x ＞－1，则f(f(－2))＝________,若f(x)≥2,则x 的取值范围为________．【解析】 由分段函数的表达式得f(－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－2＝4－2＝2,f(2)＝0,故f(f(－2))＝0.若x≤－1,由f(x)≥2得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2≥2,得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥4,则2－x≥4,得－x≥2,则x≤－2,此时x≤－2.若x ＞－1,由f(x)≥2得(x －2)(|x|－1)≥2, 即x|x|－x －2|x|≥0,若x≥0,得x 2－3x≥0,则x≥3或x≤0,此时x≥3或x ＝0； 若－1＜x ＜0,得－x 2＋x≥0,得x 2－x≤0,得0≤x≤1,此时无解． 综上得x≥3或x ＝0或x≤－2. 【答案】 0 x≥3或x ＝0或x≤－2(1)根据分段函数解析式,求函数值的解题思路先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值．(2)已知分段函数的函数值,求参数值的解题思路先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,构造关于参数的方程．然后求出相应自变量的值,切记要代入检验．(3)已知分段函数的函数值满足的不等式,求自变量取值范围的解题思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来．1．(2020·浙江教育评价高三第二次联考))设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1log 2（1－x ），x<1,则f(f(4))＝( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：选C.f(f(4))＝f(－31)＝log 2 32＝5.故选C.2．(2020·Z20联盟开学联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋2|－1，x ≤0log 2 x ，x>0,若f(a)≤1,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－4]∪[2,＋∞)B ．[－1,2]C ．[－4,0)∪(0,2]D ．[－4,2]解析：选D.f (a)≤1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，|a ＋2|－1≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2 a ≤1， 解得－4≤a≤0或0<a≤2,即a∈[－4,2],故选D.核心素养系列2 数学抽象——函数的新定义问题以学习过的函数相关知识为基础,通过一类问题共同特征的“数学抽象”,引出新的概念,然后在快速理解的基础上,解决新问题．在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N *)个整点,则称函数f(x)为n 阶整点函数．给出下列函数：①f(x)＝sin 2x ；②g(x)＝x 3； ③h(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④φ(x)＝ln x.其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④D ．④【解析】 对于函数f(x)＝sin 2x,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数,排除D ；对于函数g(x)＝x 3,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),…,所以它不是一阶整点函数,排除A ；对于函数h(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,它的图象(图略)经过整点(0,1),(－1,3),…,所以它不是一阶整点函数,排除B.故选C.【答案】 C本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义,学会语言的翻译、新旧知识的转化,便可使问题顺利获解．如本例,若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点,问题便迎刃而解．1．若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y ＝x 2＋1,值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.由x 2＋1＝1得x ＝0,由x 2＋1＝3得x ＝±2,所以函数的定义域可以是{0,2},{0,－2},{0,2,－2},故值域为{1,3}的同族函数共有3个．2．若定义在R 上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x,使得f(－x)＝f(x),则称f(x)为“类偶函数”,则下列函数中为类偶函数的是( )A ．f(x)＝cos xB ．f(x)＝sin xC ．f(x)＝x 2－2xD ．f(x)＝x 3－2x解析：选D.A 中函数为偶函数,则在定义域内均满足f(x)＝f(－x),不符合题意；B 中,当x ＝k π(k∈Z)时,满足f(x)＝f(－x),不符合题意；C 中,由f(x)＝f(－x),得x 2－2x ＝x 2＋2x,解得x ＝0,不符合题意；D 中,由f(x)＝f(－x),得x 3－2x ＝－x 3＋2x,解得x ＝0或x ＝±2,满足题意,故选D.[基础题组练]1．函数f(x)＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( )A ．(2,＋∞)B ．(3,＋∞)C ．(2,3)D ．(2,3)∪(3,＋∞)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3,则该函数的定义域为(2,3),故选C. 2．(2020·嘉兴一模)已知a 为实数,设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x<2，log 2（x －2），x ≥2，则f(2a＋2)的值为( )A ．2aB ．aC ．2D ．a 或2解析：选B.因为函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x<2，log 2（x －2），x ≥2，所以f(2a ＋2)＝log 2(2a＋2－2)＝a,故选B. 3．下列哪个函数与y ＝x 相等( ) A ．y ＝x2xB ．y ＝2log 2xC ．y ＝x 2D ．y ＝(3x)3解析：选D.y ＝x 的定义域为R,而y ＝x2x的定义域为{x|x∈R 且x≠0},y ＝2log 2x 的定义域为{x|x∈R ,且x>0},排除A 、B ；y ＝x 2＝|x|的定义域为x∈R ,对应关系与y ＝x 的对应关系不同,排除C ；而y ＝(3x)3＝x,定义域和对应关系与y ＝x 均相同,故选D.4．(2020·杭州七校联考)已知函数f(x)＝x 3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋1,若f(a)＝2,则f(－a)的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2解析：选B.因为函数f(x)＝x 3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋1,所以f(x)＝x 3＋sin x ＋1,因为f(a)＝2,所以f(a)＝a 3＋sin a ＋1＝2,所以a 3＋sin a ＝1,所以f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－1＋1＝0.故选B.5．已知a,b 为两个不相等的实数,集合M ＝{a 2－4a,－1},N ＝{b 2－4b ＋1,－2},f ：x→x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x,则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.由已知可得M ＝N,故⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0， 所以a,b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根,故a ＋b ＝4. 6．存在函数f(x)满足：对于任意x∈R 都有( ) A ．f(sin 2x)＝sin x B ．f(sin 2x)＝x 2＋x C ．f(x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f(x 2＋2x)＝|x ＋1| 解析：选D.取特殊值法．取x ＝0,π2,可得f(0)＝0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A 错误；取x ＝0,π,可得f(0)＝0,π2＋π,这与函数的定义矛盾, 所以选项B 错误；取x ＝1,－1,可得f(2)＝2,0,这与函数的定义矛盾, 所以选项C 错误；取f(x)＝x ＋1,则对任意x∈R 都有f(x 2＋2x)＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|,故选项D 正确．7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2,则f(x)的解析式为( )A ．f(x)＝x1＋x2B ．f(x)＝－2x1＋x2C ．f(x)＝2x1＋x 2 D ．f(x)＝－x1＋x2解析：选C.令1－x 1＋x ＝t,则x ＝1－t 1＋t ,所以f(t)＝（1＋t ）2－（1－t ）2（1＋t ）2＋（1－t ）2＝2t1＋t 2,故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x1＋x2,故选C. 8．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，1，x ＜0，则（a ＋b ）＋（a －b ）·f（a －b ）2(a≠b)的值为( )A ．aB ．bC ．a,b 中较小的数D ．a,b 中较大的数解析：选C.若a －b ＞0,即a ＞b,则f(a －b)＝－1, 则（a ＋b ）＋（a －b ）·f（a －b ）2＝12[(a ＋b)－(a －b)]＝b(a ＞b)；若a －b ＜0,即a ＜b,则f(a －b)＝1, 则（a ＋b ）＋（a －b ）·f（a －b ）2＝12[(a ＋b)＋(a －b)]＝a(a ＜b)．综上,选C.9．(2020·绍兴高三教学质量调研)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1log 2x ，x ≥1,若f(f(34))＝2,则实数n 为( )A ．－54B ．－13C.14D.52解析：选D.因为f(34)＝2×34＋n ＝32＋n,当32＋n ＜1,即n ＜－12时,f(f(34))＝2(32＋n)＋n ＝2,解得n ＝－13,不符合题意；当32＋n≥1,即n≥－12时,f(f(34))＝log 2(32＋n)＝2,即32＋n ＝4,解得n ＝52,故选D. 10．设f(x),g(x)都是定义在实数集上的函数,定义函数(f·g)(x)：对任意的x∈R ,(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，x 2，x ≤0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则( )A ．(f·f)(x)＝f(x)B ．(f·g)(x)＝f(x)C ．(g·f)(x)＝g(x)D ．(g·g)(x)＝g(x)解析：选A.对于A,(f·f)(x)＝f(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）＞0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x ＞0时,f(x)＝x ＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x ；当x ＜0时,f(x)＝x 2＞0,(f·f)(x)＝f(x)＝x 2；当x ＝0时,(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02,因此对任意的x∈R ,有(f·f)(x)＝f(x),故A 正确,选A.11.若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示,则此函数的解析式为________．解析：由题图可知,当－1≤x<0时,f(x)＝x ＋1；当0≤x≤2时,f(x)＝－12x,所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x<0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x<0，－12x ，0≤x ≤212．若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1,则f(1)＝________． 解析：令x ＝1,得2f(1)－f(－1)＝4,① 令x ＝－1,得2f(－1)－f(1)＝－2,② 联立①②得f(1)＝2. 答案：213．函数f(x),g(x)分别由下表给出．x 1 2 3 x 1 2 3 f(x)131g(x)321则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))＞g(f(x))的x 的值为________． 解析：因为g(1)＝3,f(3)＝1,所以f(g(1))＝1.当x ＝1时,f(g(1))＝f(3)＝1,g(f(1))＝g(1)＝3,不合题意． 当x ＝2时,f(g(2))＝f(2)＝3,g(f(2))＝g(3)＝1,符合题意． 当x ＝3时,f(g(3))＝f(1)＝1,g(f(3))＝g(1)＝3,不合题意． 答案：1 214．设函数f(x)＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f(x)≥1的自变量x 的取值范围是________．解析：f(x)≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，（x ＋1）2≥1或⎩⎨⎧x ≥1，4－x －1≥1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，（x ＋1）2≥1，得x≤－2或0≤x＜1. 由⎩⎨⎧x≥1，4－x －1≥1，得1≤x≤10. 综上所述,x 的取值范围是x≤－2或0≤x≤10. 答案：(－∞,－2]∪[0,10]15．已知实数a≠0,函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1.若f(1－a)＝f(1＋a),则a 的值为________．解析：当a>0时,1－a<1,1＋a>1,此时f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a,f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a ＝－1－3a,解得a ＝－32.不合题意,舍去． 当a<0时,1－a>1,1＋a<1,此时f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－1－a, f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝2＋3a,由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a ＝2＋3a,解得a ＝－34.综上可知,a 的值为－34.答案：－3416．(2020·杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1x ＋6x －6，x>1,则f(f(－2))＝________,f(x)的最小值是________．解析：由题意可得f(－2)＝(－2)2＝4, 所以f(f(－2))＝f(4)＝4＋64－6＝－12；因为当x≤1时,f(x)＝x 2,由二次函数可知当x ＝0时,函数取最小值0； 当x>1时,f(x)＝x ＋6x－6,由基本不等式可得f(x)＝x ＋6x －6≥2x ·6x－6 ＝26－6,当且仅当x ＝6x 即x ＝6时取到等号,即此时函数取最小值26－6；因为26－6<0,所以f(x)的最小值为26－6. 答案：－1226－617．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x<0.若a[f(a)－f(－a)]>0,则实数a 的取值范围为________．解析：易知a≠0.由题意得,当a>0时,则－a<0,故a[f(a)－f(－a)]＝a(a 2＋a －3a)>0,化简可得a 2－2a>0,解得a>2或a<0.又因为a>0,所以a>2.当a<0时,则－a>0,故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a －(a 2－a)]>0,化简可得a 2＋2a>0,解得a>0或a<－2,又因为a<0,所以a<－2.综上可得,实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,＋∞)．答案：(－∞,－2)∪(2,＋∞)[综合题组练]1．设x∈R ,定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，则( )A ．|x|＝x|sgn x|B ．|x|＝xsgn|x|C ．|x|＝|x|sgn xD ．|x|＝xsgn x解析：选D.当x<0时,|x|＝－x,x|sgn x|＝x,x ·sgn|x|＝x,|x|sgn x ＝(－x)·(－1)＝x,排除A,B,C,故选D.2．(2020·宁波市九校期末联考)已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x 2＋1；②f(1x 2＋1)＝x ；③f(x 2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函数f(x)对任意的x∈R 都成立的序号为________．解析：①f(|x|＋1)＝x 2＋1,由t ＝|x|＋1(t≥1),可得|x|＝t －1,则f(t)＝(t －1)2＋1,即有f(x)＝(x －1)2＋1对x∈R 均成立；②f(1x 2＋1)＝x,令t ＝1x 2＋1(0＜t≤1),x ＝±1t－1,对0＜t≤1,y ＝f(t)不能构成函数,故不成立；③f(x 2－2x)＝|x|,令t ＝x 2－2x,若t ＜－1时,x ∈∅；t≥－1,可得x ＝1±1＋t (t≥－1),y ＝f(t)不能构成函数；④f(|x|)＝3x＋3－x,当x≥0时,f(x)＝3x＋3－x；当x ＜0时,f(－x)＝3x＋3－x；将x 换为－x 可得f(x)＝3x＋3－x；故恒成立．综上可得①④符合条件．答案：①④3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x<0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3,f(－1)＝f(1)．(1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象．解：(1)由f(－2)＝3,f(－1)＝f(1),得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1,b ＝1,所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x<0，2x ，x ≥0.(2)f(x)的图象如图：4．已知f(x)＝x 2－1,g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x>0，2－x ，x<0.(1)求f(g(2))与g(f(2))； (2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．解：(1)g(2)＝1,f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3,g(f(2))＝g(3)＝2. (2)当x>0时,f(g(x))＝f(x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x<0时,f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x 2－4x ＋3.所以f(g(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x>0，x 2－4x ＋3，x<0.同理可得g(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x<－1或x>1，3－x 2，－1<x<1. 5．设计一个水渠,其横截面为等腰梯形(如图),要求满足条件AB ＋BC ＋CD ＝a(常数),∠ABC ＝120°,写出横截面的面积 y 关于腰长x 的函数,并求它的定义域和值域．解：如图,因为AB ＋BC ＋CD ＝a,所以BC ＝EF ＝a －2x>0, 即0<x<a2,因为∠ABC＝120°,所以∠A＝60°,所以AE ＝DF ＝x 2,BE ＝32x,y ＝12(BC ＋AD)·BE＝3x 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（a －2x ）＋x 2＋x 2＝34(2a －3x)x ＝－34(3x 2－2ax) ＝－334⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋312a 2, 故当x ＝a 3时,y 有最大值312a 2,它的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2,值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，312a 2. 6．已知函数f(x)对任意实数x 均有f(x)＝－2f(x ＋1),且f(x)在区间[0,1]上有表达式f(x)＝x 2. (1)求f(－1),f(1.5)；(2)写出f(x)在区间[－2,2]上的表达式．解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0, f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－12f(0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x∈[0,1]时,f(x)＝x 2；当x∈(1,2]时,x －1∈(0,1],f(x)＝－12f(x －1)＝－12(x －1)2；当x∈[－1,0)时,x ＋1∈[0,1), f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2(x ＋1)2； 当x∈[－2,－1)时,x ＋1∈[－1,0),f(x)＝－2f(x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－12（x －1）2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2（x ＋1）2，x ∈[－1，0）4（x ＋2）2，x ∈[－2，－1）.。
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第一章 三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数 y=Asin（ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应用
第二章 平面向量
2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例 第三章 三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换
第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1 数系的扩充和复数的概念 3．2 复数代数形式的四则运算
选修 2-3
第一1章．计 1 分数类原加理法计数原理与分步乘法计数原理 1．2 排列与组合 1．3 二项式定理
第二章 随机变量及其分布 2．1 离散型随机变量及其分布列 2．2 二项分布及其应用 2．3 离散型随机变量的均值与方差 2．4 正态分布
必修 5
第一章 解三角形 1．1 正弦定理和余弦定理 1．2 应用举例 1．3 实习作业
第二章 数列
2．1 数列的概念与简单表示法 2．2 等差数列 2．3 等差数列的前n 项和 2．4 等比数列 2．5 等比数列前 n 项和 第三章 不等式 3．1 不等关系与不等式 3．2 一元二次不等式及其解法 3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规 划问题 3．4 基本不等式
第三章 统计案例
3．1 回归分析的基本思想及其初步应用 3．2 独立性检验的基本思想及其初步应用
选修 4-1
第一讲 相似三角形的判定及有关性质 一 平行线等分线段定理 二 平行线分线段成比例定理 三 相似三角形的判定及性质 1．相似三角形的判定 2．相似三角形的性质 四 直角三角形的射影定理
2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第二章 2.1 函数及其表示 Word版含解析
§2.1函数及其表示最新考纲1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．1．函数2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型．提示(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．(√) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×) 题组二教材改编 2．函数f (x )＝4－xx －1的定义域是________． 答案(－∞，1)∪(1,4]3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5] 题组三易错自纠4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列各对应关系f 不能表示从P 到Q 的函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x.答案③解析对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是从P 到Q 的函数．5．已知f (x)＝x －1，则f (x )＝____________. 答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x≥0，2x ，x<0，则f (f (－2))＝________.答案12解析因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12.题型一函数的定义域命题点1求函数的定义域例1(1)(2018·江苏)函数f (x )＝log2x －1的定义域为________． 答案{x |x ≥2}解析由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2， 满足x >0，所以函数f (x )＝log2x －1的定义域为{x |x ≥2}．(2)函数f (x )＝1x ln x2－3x ＋2＋－x2－3x ＋4的定义域为________________．答案[－4,0)∪(0,1) 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x≠0，x2－3x ＋2>0，－x2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)．(3)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 020]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是()A ．[－1,2 019]B ．[－1,1)∪(1,2 019]C ．[0,2 020]D ．[－1,1)∪(1,2 020] 答案B解析使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2020，解得－1≤x ≤2019，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 019]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤2019，x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2019.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 019]． 引申探究本例(3)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 020]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 020]”，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案[－2,1)∪(1,2 018]解析由函数f (x －1)的定义域为[0,2 020]，得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 019]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2019，x≠1，则－2≤x ≤2018且x ≠1. 所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]． 命题点2已知定义域求参数的值或范围例2(1)若函数f (x )＝ax2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案－92解析函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a<0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________． 答案⎣⎡⎦⎤－12，12 解析函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. 思维升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍． (2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域． (3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解． 跟踪训练1(1)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x2的定义域为________． 答案(0,1]解析函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧x≠0，1＋1x >0，1－x2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x>0或x<－1，－1≤x≤1，∴0<x ≤1.(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是()A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案A解析函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.(3)若函数f (x )＝mx2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案[0,4]解析由题意知，mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立． 当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m>0，m2－4m≤0，得0<m ≤4，综上，m 的取值范围是[0,4]． 题型二求函数的解析式1．若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于() A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 答案B解析f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案12x 2－32x ＋2解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝3x·f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1，则f (x )＝______________. 答案－38x －18(x >0)解析在f (x )＝3x·f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝31x·f (x )＋1，将该方程代入已知方程消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得f (x )＝－38x －18(x >0)． 思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型三分段函数命题点1求分段函数的函数值例3(1)已知f (x )＝⎩⎨⎧log3x ，x>0，ax ＋b ，x≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于()A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案B解析由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (2＋log 32)的值为________．答案154解析∵2＋log 31<2＋log 32<2＋log 33，即2<2＋log 32<3，∴f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32)，又3<3＋log 32<4，∴f (3＋log 32)＝⎝⎛⎭⎫1333log 2＋＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫13＝127×(3－1)＝127×3log 23－＝127×31log 23＝127×12＝154，∴f (2＋log 32)＝154.命题点2分段函数与方程、不等式问题例4(1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x≤0，|log2x|，x>0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x ＝.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22. (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13log x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )>12，则实数a 的取值范围是__________．答案⎝⎛⎭⎫－1，33 解析当a ≤0时，令2a >12，解得－1<a ≤0；当a >0时，令13log a >12，解得0<a <33. ∴a ∈(－1,0]∪⎝⎛⎭⎫0，33，即a ∈⎝⎛⎭⎫－1，33. 思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log2(3－x )，x <2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则a 等于()A ．－2B ．－1C ．－1或－12D ．2答案B解析当2－a ≥2，即a ≤0时，令22－a －2－1＝1，解得a ＝－1；当2－a <2，即a >0时，令－log 2[3－(2－a )]＝1，解得a ＝－12，不符合，舍去．所以a ＝－1.(2)(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x≤0，1，x>0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案D解析方法一①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x>0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )即1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x>0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D.方法二∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x≤0，1，x>0，∴函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)<f (2x )转化为x ＋1>2x .此时x ≤－1. 当2x <0且x ＋1>0时，f (2x )>1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)<f (2x )．此时－1<x <0.综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)． 故选D.1．下列所给图象是函数图象的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案B解析图象①关于x 轴对称，x >0时，每一个x 对应2个y ，图象②中x 0对应2个y ，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象．2．下列各组函数中，表示同一函数的是() A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin2x2cosx，g (x )＝sin x D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x2答案D解析A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D. 3．(2018·郑州调研)函数f (x )＝ln x x －1＋12x 的定义域为()A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答案B解析要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，xx －1>0，x≥0，解得x >1，故函数f (x )＝lnxx －1＋12x 的定义域为(1，＋∞)． 4．(2018·湖南五市十校联考)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为() A ．[－1,1]B ．[1,2] C ．[10,100]D ．[0，lg 2] 答案C解析因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应关系，所以1≤lg x ≤2，故10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于() A ．－74B.74C.43D ．－43答案B解析令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.6．已知f ⎝⎛⎭⎫1－x 1＋x ＝1－x21＋x2，则f (x )的解析式为() A ．f (x )＝x 1＋x2(x ≠－1) B ．f (x )＝－2x 1＋x2(x ≠－1)C ．f (x )＝2x 1＋x2(x ≠－1)D ．f (x )＝－x1＋x2(x ≠－1)答案C解析令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝(1＋t )2－(1－t )2(1＋t )2＋(1－t )2＝2t 1＋t2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)，故选C.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2(x 2＋t )，x <0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为()A ．27B ．243 C.127D.1243 答案B解析∵f ⎝⎛⎭⎫12＝3×(t －1)12＝6，∴t ＝5， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2(x 2＋5)，x <0，3×4x，x ≥0， ∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0，f (f (－2))＝f (log 29)＝3×2log 94＝3×22log 92＝3×22log 92＝3×81＝243.故选B.8.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQ D )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是()答案A解析观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项A 符合条件．9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 答案2x ＋7解析设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ，所以ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17对任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.10．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝(x )的定义域是__________．答案(2,8]解析要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11．(2018·河南南阳一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3＋log2x ，x>0，x2－x －1，x≤0，则不等式f (x )≤5的解集为________． 答案[－2,4]解析由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log2x ，x>0，x2－x －1，x≤0， 当x >0时，令3＋log 2x ≤5，即log 2x ≤2＝log 24，解得0<x ≤4；当x ≤0时，令x 2－x －1≤5，即(x －3)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤3，∴－2≤x ≤0.∴不等式f (x )≤5的解集为[－2,4]．12．定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________．答案[－2,0]∪(4,60]解析由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x3－4，x ∈(2，4]， 当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]；当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．13．(2018·菏泽模拟)记[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x<1，x －[x]，x≥1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 2解析∵52>1，∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52－⎣⎡⎦⎤52＝12. 又∵12<1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝2，即f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫52＝ 2. 14.如图为一木制框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4m 2，设用x 表示y 的表达式为f (x )，则f (x )＝______________.答案4x －x 4(0<x <4) 解析由已知x ·y ＋12·x ·12x ＝4， ∴y ＝4x －14x ，即f (x )＝4x －x 4. 由⎩⎪⎨⎪⎧x>0，4x －x 4>0，得0<x <4.15．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ()1＋x ＋f ()1－x ＝4成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫38＋…＋f ⎝⎛⎭⎫158＝________.答案30解析由f ()1＋x ＋f ()1－x ＝4，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫158＝4，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫148＝4， …，f ⎝⎛⎭⎫78＋f ⎝⎛⎭⎫98＝4，又f ⎝⎛⎭⎫88＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫38＋…＋f ⎝⎛⎭⎫158 ＝4×7＋2＝30.16．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称f (x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ； ③f (x )＝⎩⎨⎧ x ，0<x<1，0，x ＝1，－1x ，x>1.其中满足“倒负”变换的函数是____________．(填序号)答案①③ 解析对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足； 对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x>1，0，x ＝1，－x ，0<x<1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上，满足“倒负”变换的函数是①③.。
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.1函数及其表示学案理
2．1 函数及其表示[知识梳理]1．函数与映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．必记结论函数与映射的相关结论 (1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． (2)映射的个数若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从集合A 到集合B 的映射共有n m个． (3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． [诊断自测] 1．概念思辨(1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( ) (4)f (x －1)＝x ，则f (x )＝(x ＋1)2(x ≥－1)．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 23T 2)下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是( )答案 C解析 由函数定义知，定义域内的每一个x 都有唯一函数值与之对应，A ，B ，D 选项中的图象都符合；C 项中对于大于零的x 而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．故选C.(2)(必修A1P 18例2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 答案 A解析 A 项，函数g (x )＝x 2＝|x |，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数；B 项，函数f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝x (x ≥0)，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数；C 项，函数f (x )＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ≠1}，g (x )＝x ＋1的定义域为R ，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；D 项，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≥0，解得x ≥1，即函数f (x )的定义域为{x |x ≥1}．由x 2－1≥0，解得x ≥1或x ≤－1，即g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选A.3．小题热身(1)(2018·广东深圳模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1] 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0，ln x ≠0，解得0<x <1.故选C.(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x－4，x >0，则f [f (1)]的值为( )A ．－10B ．10C ．－2D ．2 答案 C解析 因为f (1)＝－2，所以f (－2)＝－2.故选C.题型1 函数的概念典例1 集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x用定义法．答案 C解析 依据函数概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．故选C.典例2 (2018·秦都区月考)判断下列各组中的两个函数是同一函数的是( ) ①y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y 2＝x －5；②f (x )＝x ，g (x )＝x 2； ③f (x )＝x ，g (x )＝3x 3；④f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5. A ．①② B ．②③ C ．③ D ．③④用定义法．答案 C解析 对于①，y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3＝x －5(x ≠－3)，与y 2＝x －5(x ∈R )的定义域不同，不是同一函数；对于②，f (x )＝x ，与g (x )＝x 2＝|x |的对应关系不同，不是同一函数；对于③，f (x )＝x (x ∈R )，与g (x )＝3x 3＝x (x ∈R )的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于④，f 1(x )＝(2x －5)2＝2x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥52，与f 2(x )＝2x －5(x ∈R )的定义域不同，不是同一函数． 综上，以上是同一函数的是③.故选C. 方法技巧与函数概念有关问题的解题策略1．判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．见典例1.2．两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．见典例2.冲关针对训练1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{x |0≤x ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．故选C.2．下列函数中一定是同一函数的是________．答案 ②③解析 ①y ＝x 与y ＝a log a x 定义域不同； ②y ＝2x ＋1－2x ＝2x (2－1)＝2x相同；③f (u )与f (v )的定义域及对应法则均相同； ④对应法则不相同.题型2 函数的定义域典例1 (2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( ) A ．(2,3) B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]列不等式组求解．答案 C解析 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤4，(x －3)(x －2)x －3>0，解之得2<x <3或3<x ≤4，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C.典例2 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 已知f (x )，x ∈[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，则a <g (x )<b .答案 B解析 由函数f (x )的定义域为(－1,0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.故选B. [结论探究] 典例2中条件不变，求函数g (x )＝f (2x ＋1)＋f (3x ＋1)的定义域． 解 函数f (3x ＋1)有意义，需－1<3x ＋1<0，解得－23<x <－13，又由f (2x ＋1)有意义，解得－1<x <－12，所以可知g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－12.[条件探究] 若典例2中条件变为：“函数f (x －1)的定义域为(－1,0)”，则结果如何？解 因为f (x －1)的定义域为(－1,0)，即－1<x <0，所以－2<x －1<－1，故f (x )的定义域为(－2，－1)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－2<2x ＋1<－1，解得－32<x <－1.所以所求函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1.方法技巧1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．见典例1. (2)抽象函数(见典例2)①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．冲关针对训练1．(2017·临川模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，则y ＝f (2x －1)的定义域是( )A ．[－3,7]B ．[－1,4]C ．[－5,5] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 答案 D解析 由y ＝f (x ＋1)定义域[－2,3]得y ＝f (x )定义域为[－1,4]，所以－1≤2x －1≤4，解得0≤x ≤52.故选D.2．(2018·石河子月考)已知函数y ＝f (x )的定义域是(－∞，1)，则y ＝f (x －1)＋2－x2x 2－3x －2的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(－∞，1) D ．(－∞，2) 答案 A解析 ∵函数y ＝f (x )的定义域是(－∞，1)， ∴y ＝f (x －1)＋2－x2x 2－3x －2中，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1<1，2－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x ≤2，x ≠－12或x ≠2，即x <2且x ≠－12，∴f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.故选A. 题型3 求函数的解析式典例1 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式．配凑法．解 f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，故f (x )＝x 2－2，且x ≤－2或x ≥2.典例2 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．换元法．解 令t ＝2x ＋1>1，得x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．典例3 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．待定系数法．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (0)＝0，得c ＝0，由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．典例4 已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，求f (x )． 方程组法．解 由f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xx －1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，消掉f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，可得f (x )＝23x ＋13.方法技巧函数解析式的常见求法1．配凑法．已知f [h (x )]＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理成或配凑成只含h (x )的式子，然后用x 将h (x )代换．见典例1.2．待定系数法．已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，见典例3. 3．换元法．已知f [h (x )]＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．见典例2.4．方程组法．已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (－x )等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．见典例4.冲关针对训练1．(2018·衢州期末)已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f [f (x )－ln x ]＝1，则f (e)＝( )A ．2B ．1C ．0D ．e 答案 A解析 根据题意，f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f [f (x )－ln x ]＝1，则f (x )－ln x 为定值．设f (x )－ln x ＝t ，t 为常数，则f (x )＝ln x ＋t 且f (t )＝1，即有ln t ＋t ＝1，解得t ＝1，则f (x )＝ln x ＋1，则f (e)＝ln e ＋1＝2.故选A.2．已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )． 解 解法一：(换元法)令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．解法二：(配凑法)因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．解法三：(待定系数法)因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．3．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x －1，求f (x )． 解 (消元法)已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x －1，① 以1x代替①式中的x (x ≠0)，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x－1，②①×2－②得3f (x )＝6x －3x－1，故f (x )＝2x －1x －13(x ≠0).题型4 求函数的值域角度1 分式型典例 求f (x )＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]的值域． 分离常数法．解 由y ＝5x －14x ＋2可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3，即y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3.角度2 根式型典例 求函数的值域． (1)y ＝2x ＋1－2x ； (2)y ＝x ＋4＋9－x 2.(1)用换元法，配方法；(2)用三角换元法．解 (1)令t ＝1－2x ，则x ＝1－t22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)．∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，∴函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.(2)令x ＝3cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝3cos θ＋4＋3sin θ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋4.∵0≤θ≤π， ∴π4≤θ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴1≤y ≤32＋4，∴函数的值域为[1,32＋4]． 角度3 对勾型函数典例 求y ＝log 3x ＋log x 3－1的值域．用分类讨论法．解 y ＝log 3x ＋log x 3－1，变形得y ＝log 3x ＋1log 3x－1.①当log 3x >0，即x >1时，y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2－1＝1，当且仅当log 3x ＝1，即x ＝3时取“＝”．②当log 3x <0，即0<x <1时，y ≤－2－1＝－3. 当且仅当log 3x ＝－1，即x ＝13时取“＝”．综上所述，原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 角度4 单调性型典例函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)本题用复合函数“同增异减”的单调原则．答案 A解析 根据对数函数的定义可知，真数3x＋1>0恒成立，解得x ∈R . 因此，该函数的定义域为R ，原函数f (x )＝log 2(3x＋1)是由对数函数y ＝log 2t 和t ＝3x＋1复合的复合函数， 由复合函数的单调性定义(同增异减)知道，原函数在定义域R 上是单调递增的． 根据指数函数的性质可知，3x>0，所以，3x＋1>1， 所以f (x )＝log 2(3x＋1)>log 21＝0，故选A. 角度5 有界性型典例 求函数y ＝1－2x1＋2x 的值域． 本题用转化法．解 由y ＝1－2x1＋2x可得2x＝1－y 1＋y . 由指数函数y ＝2x的有界性可知2x>0， ∴1－y1＋y>0，解得－1<y <1. 所以函数的值域为(－1,1)． 角度6 数形结合型典例 求函数y ＝sin x ＋1x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的值域．本题用数形结合法．解 函数y ＝sin x ＋1x －1的值域可看作由点A (x ，sin x )，B (1，－1)两点决定的斜率，B (1，－1)是定点，A (x ，sin x )在曲线y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上，如图，∴k BP ≤y ≤k BQ ，即1π－1≤y ≤4π－2.方法技巧求函数值域的常用方法1．分离常数法(见角度1典例) 2．配方法3．换元法(见角度2典例) (1)代数换元； (2)三角换元．4．有界性法(见角度5典例) 5．数形结合法(见角度6典例) 6．基本不等式法(见角度3典例) 7．利用函数的单调性(见角度4典例)冲关针对训练 求下列函数的值域：解(2)(数形结合法)如图，函数y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4的几何意义为平面内一点P (x,0)到点A (－3,4)和点B (5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)，连接AB ′交x 轴于一点P ，此时距离之和最小，∴y min ＝|AB ′|＝82＋62＝10，又y 无最大值，所以y ∈[10，＋∞).题型5 分段函数角度1 求分段函数的函数值典例 (2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12确定自变量所在区间，代入相应解析式．答案 C解析 ∵－2<1，log 212>1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3；f (log 212)＝2log212－1＝2log26＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C. 角度2 求参数的值典例 (2018·襄阳联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f [f (14－a )]＝________.本题用方程思想求a ，再根据区间分类讨论，由内到外逐步求解．答案 －158解析 当a ≤1时，f (a )＝2a－2＝－3无解；当a >1时，由f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＋1＝8，解得a ＝7，所以f [f (14－a )]＝f [f (7)]＝f (－3)＝2－3－2＝－158.角度3 分段函数与不等式的交汇典例 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]本题用数形结合思想方法、分离常数法．答案 D解析 由题意作出y ＝|f (x )|的图象：由图象易知，当a >0时，y ＝ax 与y ＝ln (x ＋1)的图象在x >0时必有交点，所以当a ≤0，x ≥0时，|f (x )|≥ax 显然成立；当x <0时，要使|f (x )|＝x 2－2x ≥ax 恒成立， 则a ≥x －2恒成立，又x －2<－2，∴a ≥－2. 综上，－2≤a ≤0.故选D. 方法技巧分段函数问题的常见类型及解题策略1．求函数值．弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，见角度1.求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．见角度2典例．2．求参数．“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．见角度2典例． 3．解不等式．根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．4．数形结合法也是解决分段函数问题的重要方法，在解决选择填空问题中经常使用，而且解题速度更快更准．见角度3典例．冲关针对训练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[－2,2] 答案 D解析 依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2－2a ＋(－a )2＋2(－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，(－a )2－2(－a )＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈[－2,2]．故选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，x ≤0，f (x －2)＋1，x >0，则f (2018)＝________.答案 1008解析 根据题意：f (2018)＝f (2016)＋1＝f (2014)＋2＝…＝f (2)＋1008＝f (0)＋1009＝1008.1.(2014·山东高考)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1.解之得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．故选C. 2．(2018·河北名校联盟联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，则g [f (－8)]＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案 A解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x <0，∴f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，∴g [f (－8)]＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.故选A.3．(2018·工农区模拟)函数y ＝x ＋1－1－x 的值域为( ) A ．(－∞， 2 ] B ．[0， 2 ] C ．[－2， 2 ] D ．[－2，0]答案 C解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，1－x ≥0，解得－1≤x ≤1，所以函数的定义域为[－1,1]，根据函数的解析式，x 增大时，x ＋1增大，1－x 减小，－1－x 增大，所以y 增大，即该函数为增函数．所以最小值为f (－1)＝－2，最大值为f (1)＝2， 所以值域为[－2，2]．故选C.4．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x ＞－14.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 对于⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．故选C.2．(2018·吉安四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2(x ≤1)，x 2＋x －2(x >1)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)的值为( )A.1516 B.89 C ．－2716D ．18 答案 A解析 f (2)＝4，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.3．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg 132 D.15lg 2答案 D解析 令x 5＝t ，则x ＝15t 15 (t >0)，∴f (t )＝lg t 15 ＝15lg t ．∴f (2)＝15lg 2.故选D.4．(2017·山西名校联考)设函数f (x )＝lg (1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞) D ．[－9,1)答案 B解析 f [f (x )]＝f [lg (1－x )]＝lg [1－lg (1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0⇒－9<x <1.故选B.5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,1]，则函数F (x )＝f (x ＋a )＋f (2x ＋a )(0<a <1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－a 2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，1－aC ．[－a,1－a ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，1－a 2答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋a ≤1，0≤2x ＋a ≤1⇒－a 2≤x ≤1－a2.故选A.6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 C解析 由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，结合函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0,1]上的图象可知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.故选C. 7．(2018·黄冈联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B.8．(2018·银川模拟)已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．① 答案 B解析 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.9．(2018·铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点P (x ，y )皆满足y 2≥x 2，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x－1 C ．f (x )＝x ＋4xD ．f (x )＝tan x答案 C解析 A 项，当x ＝1时，f (x )＝1－1＝0,02≥12不成立；B 项，当x ＝－1时，f (x )＝1e －1∈(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立；D 项，当x ＝5π4时，f (x )＝1，12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫5π42不成立；对于C ，f 2(x )＝x 2＋16x2＋8>x 2，符合题意．故选C.10．(2017·山东模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 ①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1,2f (a )＝23a －1，故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a>1，f [f (a )]＝22a， 2f (a )＝22a，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥23.故选C.二、填空题11．已知x ∈N *，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－35，x ≥3，f (x ＋2)，x <3，其值域设为D .给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，则其中属于集合D 的元素是________．(写出所有可能的数值)答案 －26,14,65解析 注意函数的定义域是N *，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f (3)＝9－35＝－26，f (4)＝16－35＝－19，f (5)＝25－35＝－10，f (6)＝36－35＝1，f (7)＝49－35＝14，f (8)＝64－35＝29，f (9)＝81－35＝46，f (10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26,14,65.12．(2018·厦门一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12解析 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.13．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．答案 1解析 [a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.14．(2018·绵阳二诊)现定义一种运算“⊕”：对任意实数a ，b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是________．答案 (－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}解析 因为(x 2－2x )－(x ＋3)－1＝(x －4)(x ＋1)，所以f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)，x 2－2x ，x ∈(－1，4).作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－k 有两个公共点，结合图象可得－k ＝－1 或2<－k <3或7≤－k <8，所以实数k 的取值范围是k ∈(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}．三、解答题15．(2018·福建六校联考)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，4－x >0，解得－2<x <4，∴f (x )的定义域为(－2,4)．(2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )＝log a [(x ＋2)(4－x )]，x ∈[0,3]．令t ＝(x ＋2)(4－x )，则可变形得t ＝－(x －1)2＋9，∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9，若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝15<1(舍去)， 若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5，∴f (x )min ＝log a 9＝－2，则a 2＝19，又0<a <1，∴a ＝13. 综上，得a ＝13. 16．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2.(1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)求f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)＋f (2016)f (2015)＋f (2018)f (2017)的值． 解 (1)∵∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2，∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4，f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8，f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)解法一：由(1)知f (2)f (1)＝2，f (4)f (3)＝2，f (6)f (5)＝2，…，f (2018)f (2017)＝2， 故原式＝2×1009＝2018.解法二：对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝2，令x ＝n ，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，故f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2018)f (2017)＝2，故原式＝2×1009＝2018.。
2020年高考课标版高考理科数学 2.1 函数及其表示
专题二 函数的概念与基本初等函数
【真题典例】
2.1 函数及其表示 挖命题
【考情探究】
考点
1.函数 的有关 概念及 其表示
2.分段 函数
内容解读
①了解构成函数的要素,会 求一些简单函数的定义域 和值域;了解映射的概念. ②在实际情境中,会根据不 同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析 法)表示函数 了解简单的分段函数,并能 简单应用
1
则 f(f(15))的值为 .
������ + 2 , - 2 < x ≤ 0,
答案
2 2
C 组 教师专用题组
1.(2015 浙江,7,4 分)存在函数 f(x)满足:对于任意 x∈R 都有( ) A. f(sin 2x)=sin x B. f(sin 2x)=x2+x C. f(x2+1)=|x+1| D. f(x2+2x)=|x+1|
f
3
-2
=( )
A.12
B.-12
C.1
D.-1
答案 C
{ 2.(2018 江苏常熟期中,10)若函数 f(x)= lo-g������������x++8,5������,x≤>22, (a>0 且 a≠1)的值域为[6,+∞),则
实数 a 的取值范围是 . 答案 (1,2]
炼技法
【方法集训】
A.[-1,2) B.[-1,0] C.[1,2] D.[1,+∞)
答案 C
{ 2.已知实数 a≠0,函数 f(x)=
2������ - ������
+- 2������������,,������������<≥11,,若
2020学年高中数学第二章函数2.1.2函数的表示方法课件新人教B版必修1
分段函数求值应注意的问题 (1)求分段函数的函数值时，一般应先确定自变量的取值在哪 个子区间上，然后用与这个区间相对应的解析式求函数值． (2)已知分段函数的函数值，求自变量的值，要进行分类讨论， 逐段假设用不同的函数解析式，最后检验所求结果是否适合 条件．
x2，x>0， 已知 f(x)＝1，x＝0，求 f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}．
具体易用，不需
观、形 括了变量间的关系；
要计算就可以
象地表 二是可以通过解析
优点
直接看出与自
示函数 式求出任意一个自
变量的值相对
的变化 变量的值所对应的
应的函数值．
情况． 函数值．
表示方法 比较
列表法
缺点
不够全面， 只能表示自 变量取较少 的有限值的 对应关系．
图象法
只能近似 地求出自 变量的值 所对应的 函数值， 且有时误 差较大．
1．已知 f(x)＝xπ＋（1x（≤x0>）0），则 f(f(－3))＝(
)
A．－2
B．π
C．π－3 答案：D
D．π＋1
2．y＝f(x)的图象如图，则函数的定义域是________． 答案：[－5，0]∪[2，6)
3．某种笔记本每本 5 元，买 x(x∈{1，2，3，4})本笔记本的
钱数记为 y(元)，试用三种表示法表示函数 y＝f(x)． 解：(1)用列表法表示如下：
3．已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则 f[g(1)]＝________；满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 的值是________．
2020版 第2章 第1节 函数及其表示
第2章函数、导数及其应用第一节函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[常用结论]求函数定义域的依据 (1)整式函数的定义域为R ； (2)分式的分母不为零；(3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零； (5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z； (6)x 0中x ≠0；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数． ( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点． ( ) (4)分段函数是两个或多个函数． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f (f (3))等于( ) A.15 B ．3C.23D.139D [f (3)＝23，f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，故选D.] 4．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1B [y ＝3x 3＋1＝x ＋1，且函数定义域为R ，故选B.]5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________． 12 [由f (a )＝5得2a ＋1＝5，解得a ＝12.]求函数的定义域【例1】 (1)(2019·黄山模拟)函数y ＝－x 2－x ＋2的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1](2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________．(3)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．(1)C (2)[0,1) (3)[－1,2][(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0ln x ≠0x ＞0，解得0＜x ＜1，故选C.(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)． (3)由函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]得 －1≤x 2－1≤2，即函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．] [规律方法] 常见函数定义域的类型及求解策略(1)已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域；③已知f [φ(x )]定义域为[m ，n ]，求f [h (x )]定义域，先求φ(x )值域[a ，b ]，令a ≤h (x )≤b ，解出x 即可.易错警示：求定义域时，对解析式不要化简，求出定义域后一定要将其写成集合或区间形式.(1)函数f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13(2)已知函数f (2x )的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________． (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得⎩⎨⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x＜1，故选A.(2)∵f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.]求函数的解析式【例2】 (1)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________.(2)已知f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________. (3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，则f (x )＝________.(1)12x 2－32x ＋2 (2)x 2－5x ＋9 (3)23x －x3 [(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(2)法一(配凑法)f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4 ＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， ∴f (x )＝x 2－5x ＋9. 法二(换元法)令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6×t －12＋5＝t 2－5t ＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9. (3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．][规律方法] 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)消去法：已知关于f (x )与或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )；(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，即得f (x )的表达式.(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )＝________.(1)x 2－1(x ≥1) (2)2x ＋23 (3)2x ＋1－2－x3[(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， 由2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，得2[k (x －1)＋b ]＋k (x ＋1)＋b ＝6x ，即3kx －k ＋3b ＝6x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＝6，－k ＋3b ＝0，∴k ＝2，b ＝23，即f (x )＝2x ＋23. (3)由f (－x )＋2f (x )＝2x ①， 得f (x )＋2f (－x )＝2－x②，①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.∴f (x )的解析式为f (x )＝2x ＋1－2－x3.]分段函数►考法1 求分段函数的函数值 【例3】 (1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2c os πx ，x ＜0f (x －1)＋1，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值为( )A ．－1B ．1C.32D.52(1)C (2)B [(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1，故选B.] ►考法2 求参数或自变量的值【例4】 (1)已知f (x )＝⎩⎨⎧2x －2，x ≥0－x 2＋3，x ＜0，若f (a )＝2，则实数a 的值为( )A ．2B ．－1或2C ．±1或2D ．1或2(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x ＜12x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78C.34D.12(1)B (2)D [(1)由f (a )＝2得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0，2a －2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－a 2＋3＝2，解得a ＝2或a ＝－1，故选B. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×56－b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b . 当52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252－b ＝4，解得b ＝12.故选D.]►考法3 解与分段函数有关的方程或不等式【例5】 (1)(2019·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x的取值范围是________．(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ [(1)法一：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，∴f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ，∴a ＝14. 此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1＞1，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6，故选C.法二：∵当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数， 当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数， 又f (a )＝f (a ＋1)， ∴a ＝2(a ＋1－1)， ∴a ＝14. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝6. (2)当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立． 当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立． 综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.][规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论．(1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．1或－1 C. 3D.3或－ 3(3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(1)C (2)D (3)(－∞，8] [(1)∵－2<1， ∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.(2)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D.(3)当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．]1．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14A [分类讨论处理条件f (a )＝－3，解得a ，然后代入函数解析式计算f (6－a )．由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x >0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＋1＝8，a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.]2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.－2[将已知点代入函数解析式即可求得a的值．∵f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.]。
2020版高考数学历史专用讲义：第二章 2.1 函数及其表示
§2.1函数及其表示最新考纲 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．1．函数2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型．提示 (1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( √ ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) 题组二 教材改编 2．函数f (x )＝4－xx －1的定义域是________． 答案 (－∞，1)∪(1,4]3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列各对应关系f 不能表示从P 到Q 的函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .答案 ③解析 对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是从P 到Q 的函数．5．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝____________. 答案 x 2－1(x ≥0)解析 令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．6．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝________.答案 12解析 因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12.题型一 函数的定义域命题点1 求函数的定义域例1 (1)(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 答案 {x |x ≥2}解析 由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2， 满足x >0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．(2)函数f (x )＝1x ln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________________．答案 [－4,0)∪(0,1) 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)．(3)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 020]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[－1,2 019]B ．[－1,1)∪(1,2 019]C ．[0,2 020]D ．[－1,1)∪(1,2 020]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 020，解得－1≤x ≤2 019，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 019]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 019，x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2 019.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 019]．引申探究本例(3)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 020]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 020]”，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________．答案 [－2,1)∪(1,2 018]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 020]， 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 019]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 019，x ≠1， 则－2≤x ≤2 018且x ≠1. 所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]． 命题点2 已知定义域求参数的值或范围例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. 思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解．跟踪训练1 (1)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]解析 函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1＋1x >0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－1，－1≤x ≤1，∴0<x ≤1.(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.(3)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 由题意知，mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立． 当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4m ≤0，得0<m ≤4，综上，m 的取值范围是[0,4]． 题型二 求函数的解析式1．若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x－1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝3x ·f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1，则f (x )＝______________. 答案 －38x －18(x >0)解析 在f (x )＝3x ·f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝31x·f (x )＋1，将该方程代入已知方程消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，得f (x )＝－38x －18(x >0)． 思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型三 分段函数命题点1 求分段函数的函数值例3 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (2＋log 32)的值为________． 答案154解析 ∵2＋log 31<2＋log 32<2＋log 33，即2<2＋log 32<3，∴f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32)，又3<3＋log 32<4，∴f (3＋log 32)＝⎝⎛⎭⎫1333log 2＋＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫133log 2＝127×(3－1)3log 2＝127×3log 23－＝127×31log 23＝127×12＝154，∴f (2＋log 32)＝154. 命题点2 分段函数与方程、不等式问题例4 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x ＝122－.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22. (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13log x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )>12，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，33解析 当a ≤0时，令2a >12，解得－1<a ≤0；当a >0时，令13log a >12，解得0<a <33.∴a ∈(－1,0]∪⎝⎛⎭⎫0，33，即a ∈⎝⎛⎭⎫－1，33. 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(3－x )，x <2，2x －2－1，x ≥2， 若f (2－a )＝1，则a 等于( )A ．－2B ．－1C ．－1或－12D ．2答案 B解析 当2－a ≥2，即a ≤0时，令22－a －2－1＝1，解得a ＝－1；当2－a <2，即a >0时，令－log 2[3－(2－a )]＝1，解得a ＝－12，不符合，舍去．所以a ＝－1.(2)(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)答案 D解析 方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )即1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)<f (2x )转化为x ＋1>2x .此时x ≤－1.当2x <0且x ＋1>0时，f (2x )>1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)<f (2x )．此时－1<x <0.综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)． 故选D.1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 图象①关于x 轴对称，x >0时，每一个x 对应2个y ，图象②中x 0对应2个y ，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin 2x2cos x ，g (x )＝sin xD ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 答案 D解析 A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D.3．(2018·郑州调研)函数f (x )＝ln xx －1＋12x 的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 B解析 要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，xx －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln xx －1＋12x 的定义域为(1，＋∞)．4．(2018·湖南五市十校联考)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0，lg 2]答案 C解析 因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应关系，所以1≤lg x ≤2，故10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C.5．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74 B.74 C.43 D ．－43答案 B解析 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.6．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x1＋x 2(x ≠－1)B ．f (x )＝－2x1＋x 2(x ≠－1) C ．f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)D ．f (x )＝－x1＋x 2(x ≠－1) 答案 C解析 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝(1＋t )2－(1－t )2(1＋t )2＋(1－t )2＝2t1＋t 2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)，故选C. 7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x <0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27 B ．243 C.127D.1243答案 B解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝3×(t －1)12＝6，∴t ＝5， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋5)，x <0，3×4x ，x ≥0， ∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0，f (f (－2))＝f (log 29)＝3×2log 94＝3×22log 92＝3×22log 92＝3×81＝243.故选B. 8.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项A 符合条件．9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 答案 2x ＋7解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ，所以ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17对任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7. 10．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝(x )的定义域是__________．答案 (2,8]解析 要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11．(2018·河南南阳一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，则不等式f (x )≤5的解集为________．答案 [－2,4]解析 由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0， 当x >0时，令3＋log 2x ≤5，即log 2x ≤2＝log 24，解得0<x ≤4；当x ≤0时，令x 2－x －1≤5，即(x －3)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤3，∴－2≤x ≤0.∴不等式f (x )≤5的解集为[－2,4]．12．定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________．答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]， 当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]；当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．13．(2018·菏泽模拟)记[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <1，x －[x ]，x ≥1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 2解析 ∵52>1，∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52－⎣⎡⎦⎤52＝12. 又∵12<1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝2，即f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫52＝ 2.14.如图为一木制框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4 m 2，设用x 表示y 的表达式为f (x )，则f (x )＝______________.答案 4x －x 4(0<x <4) 解析 由已知x ·y ＋12·x ·12x ＝4， ∴y ＝4x －14x ，即f (x )＝4x －x 4. 由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x －x 4>0，得0<x <4.15．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ()1＋x ＋f ()1－x ＝4成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫38＋…＋f ⎝⎛⎭⎫158＝________.答案 30解析 由f ()1＋x ＋f ()1－x ＝4，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫158＝4，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫148＝4， …，f ⎝⎛⎭⎫78＋f ⎝⎛⎭⎫98＝4，又f ⎝⎛⎭⎫88＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫38＋…＋f ⎝⎛⎭⎫158 ＝4×7＋2＝30.16．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称f (x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是____________．(填序号) 答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x， f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足； 对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足． 综上，满足“倒负”变换的函数是①③.。
数学一轮复习第二章函数导数及其应用第一讲函数及其表示学案含解析
第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个__非空数集__设A，B是两个__非空集合__对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个数x，在集合B中有__唯一__的数f（x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个元素x在集合B中有__唯一__的元素y与之对应名称称对应__f：A→B__为从集合A到集合B的一个函数称对应__f:A→B__为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f（x），x∈A对应f:A→B是一个2。
函数（1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．（2）函数的三要素：__定义域、值域、对应法则__。
（3)函数的表示法：__解析法、图象法、列表法__。
(4)两个函数只有当__定义域和对应法则__都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．错误!错误!错误!错误!1．映射：（1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一,在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一,但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．双错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）(1）f(x)＝错误!＋错误!是一个函数．(×）(2)函数f（x)的图象与直线x＝1的交点只有1个．（×)(3)已知f（x）＝m（x∈R)，则f(m3)等于m3.(×）(4)y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数．（×)（5)f（x)＝错误!则f(－x）＝错误!（√）题组二走进教材2．（必修P23T2改编）下列所给图象是函数图象的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①中当x〉0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象,②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象．3．（必修1P24T4改编)已知f（x5)＝lg x，则f(2)等于(D) A．lg 2 B．lg 32C．lg 错误!D．错误!lg 2［解析]解法一：由题意知x〉0，令t＝x5，则t〉0，x＝t错误!，∴f（t）＝lg t错误!＝错误!lg t，即f（x)＝错误!lg x(x>0)，∴f(2）＝错误!lg 2，故选D．解法二：令x5＝2，则x＝2错误!，∴f(2）＝lg 2错误!＝错误!lg 2。
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第2章函数、导数及其应用第一节函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量x 的取值范围(数集A )叫做函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[常用结论]求函数定义域的依据 (1)整式函数的定义域为R ； (2)分式的分母不为零；(3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零； (5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ； (6)x 0中x ≠0；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数． ( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点． ( ) (4)分段函数是两个或多个函数． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f (f (3))等于( ) A.15 B ．3C.23D.139D [f (3)＝23，f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，故选D.]4．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1B [y ＝3x 3＋1＝x ＋1，且函数定义域为R ，故选B.]5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________． 12 [由f (a )＝5得2a ＋1＝5，解得a ＝12.])A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1](2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________． (3)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．(1)C (2)[0,1) (3)[－1,2][(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0ln x ≠0x ＞0，解得0＜x ＜1，故选C.(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)．(3)由函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]得 －1≤x 2－1≤2，即函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．](1)函数f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13(2)已知函数f (2x )的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________． (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得⎩⎨⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x＜1，故选A.(2)∵f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.]【例2】 (1)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________.(2)已知f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________. (3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，则f (x )＝________.(1)12x 2－32x ＋2 (2)x 2－5x ＋9 (3)23x －x3 [(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(2)法一(配凑法)f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4 ＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， ∴f (x )＝x 2－5x ＋9. 法二(换元法)令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6×t －12＋5＝t 2－5t ＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9. (3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．](3)消去法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)；(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，即得f(x)的表达式.(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________.(2)已知f(x)是一次函数，且2f(x－1)＋f(x＋1)＝6x，则f(x)＝________.(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)＝________.(1)x2－1(x≥1)(2)2x＋23(3)2x＋1－2－x3[(1)(换元法)设x＋1＝t(t≥1)，则x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．(配凑法)f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)2－1，又x＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)，由2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，得2[k (x －1)＋b ]＋k (x ＋1)＋b ＝6x ，即3kx －k ＋3b ＝6x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＝6，－k ＋3b ＝0，∴k ＝2，b ＝23，即f (x )＝2x ＋23. (3)由f (－x )＋2f (x )＝2x ①， 得f (x )＋2f (－x )＝2－x②，①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.∴f (x )的解析式为f (x )＝2x ＋1－2－x3.]►考法1 求分段函数的函数值 【例3】 (1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2co s πx ，x ＜0f (x －1)＋1，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值为( )A ．－1B ．1C.32D.52(1)C (2)B [(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1，故选B.] ►考法2 求参数或自变量的值【例4】 (1)已知f (x )＝⎩⎨⎧2x －2，x ≥0－x 2＋3，x ＜0，若f (a )＝2，则实数a 的值为( )A ．2B ．－1或2C ．±1或2D ．1或2(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x ＜12x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78C.34D.12(1)B (2)D [(1)由f (a )＝2得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0，2a －2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－a 2＋3＝2，解得a ＝2或a ＝－1，故选B. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×56－b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b . 当52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252－b ＝4，解得b ＝12.故选D.]►考法3 解与分段函数有关的方程或不等式【例5】 (1)(2019·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ [(1)法一：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1， ∴f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a .由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ，∴a ＝14.此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1＞1，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a .由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6，故选C. 法二：∵当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数，当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数，又f (a )＝f (a ＋1)， ∴a ＝2(a ＋1－1)，∴a ＝14.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝6. (2)当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.](1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( ) A ．1B ．1或－1 C. 3 D.3或－ 3(3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________． (1)C (2)D (3)(－∞，8] [(1)∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.(2)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D.(3)当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．]1．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14A [分类讨论处理条件f (a )＝－3，解得a ，然后代入函数解析式计算f (6－a )．由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x >0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＋1＝8，a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.]2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [将已知点代入函数解析式即可求得a 的值．∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.]。