高考数学大一轮复习第二章第1节函数及其表示理新人教A版

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新人教A版版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数函数及其表示教案理解析版

基础知识整合１．函数与映射的概念２．函数的三要素函数由定义域、错误!对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f（x），x∈A，其中（１）定义域：错误!自变量x的取值构成的集合；（２）值域：函数值的集合错误!{f（x）|x∈A}．３．函数的表示法表示函数的常用方法有：错误!解析法、错误!列表法、错误!图象法．４．分段函数若函数在定义域的不同子集上，因错误!对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．１．函数问题允许多对一，但不允许一对多．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有１个交点．２．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．３．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．１．集合A＝{x|0≤x≤４}，B＝{y|0≤y≤２}，下列不表示从A到B的函数的是（）Ａ．f：x→y＝错误!x Ｂ．f：x→y＝错误!xＣ．f：x→y＝错误!x Ｄ．f：x→y＝错误!答案C解析依据函数的概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，故选项C不符合．２．（２0１9·怀柔月考）已知函数f（x）＝５|x|，g（x）＝ax２—x（a∈R）．若f[g（１）]＝１，则a ＝（）Ａ．１Ｂ．２C．３Ｄ．—１答案A解析因为g（x）＝ax２—x，所以g（１）＝a—１．因为f（x）＝５|x|，所以f[g（１）]＝f（a—１）＝５|a—１|＝１，所以|a—１|＝0，所以a＝１．故选Ａ．３．已知f（x）＝错误!则f错误!＋f错误!的值等于（）Ａ．—２Ｂ．４C．２Ｄ．—４答案B解析由题意得f错误!＝２×错误!＝错误!.f错误!＝f错误!＝f错误!＝２×错误!＝错误!.所以f错误!＋f错误!＝４．４．（２0１8·江苏高考）函数f（x）＝错误!的定义域为________．答案[２，＋∞）解析由log２x—１≥0得x≥２，所以函数的定义域为[２，＋∞）．５．（２0１9·南京模拟）已知函数f（x）＝错误!则不等式f（x）≥—１的解集是________．答案{x|—４≤x≤２}解析当x≤0时，由题意得错误!＋１≥—１，解得—４≤x≤0．当x>0时，由题意得—（x—１）２≥—１，解得0<x≤２．综上，f（x）≥—１的解集为{x|—４≤x≤２}．6．已知函数y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，则函数y＝f（x）的定义域为________．答案[—１,２]解析∵y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，∴x∈[—错误!，错误!]，x２—１∈[—１,２]，∴y＝f（x）的定义域为[—１,２]．核心考向突破考向一函数的定义域角度１求具体函数的定义域例１（１）函数f（x）＝（x—２）0＋错误!的定义域是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．（—∞，＋∞）Ｄ．错误!∪（２，＋∞）答案D解析要使函数f（x）有意义，只需错误!所以x>—错误!且x≠２，所以函数f（x）的定义域是错误!∪（２，＋∞），故选Ｄ．（２）（２0１9·广东深圳模拟）函数y＝错误!的定义域为（）Ａ．（—２,１）Ｂ．[—２,１] Ｃ．（0,１）Ｄ．（0,１]答案C解析由题意得错误!解得0<x<１，故选Ｃ．触类旁通已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式组，得出不等式组的解集即可.即时训练１．（２0１9·厦门模拟）函数f（x）＝错误!的定义域是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析由题意得错误!解得x>—错误!且x≠１．故选Ｄ．２．（２0１9·郑州调研）函数f（x）＝ln 错误!＋x错误!的定义域为（）Ａ．（0，＋∞）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．（0,１）Ｄ．（0,１）∪（１，＋∞）答案B解析要使函数f（x）有意义，应满足错误!解得x>１，故函数f（x）＝ln 错误!＋x错误!的定义域为（１，＋∞）．故选Ｂ．角度２求抽象函数的定义域例２（１）（２0１9·福州模拟）已知函数f（x）的定义域为（—１,１），则函数g（x）＝f错误!＋f（x—１）的定义域为（）Ａ．（—２,0）Ｂ．（—２,２）Ｃ．（0,２）Ｄ．错误!答案C解析由题意得错误!∴错误!∴0<x<２，∴函数g（x）＝f错误!＋f（x—１）的定义域为（0,２），故选Ｃ．（２）若函数y＝f（x）的定义域是[１,２0１9]，则函数g（x）＝错误!的定义域是________．答案{x|0≤x≤２0１8，且x≠１}解析因为y＝f（x）的定义域为[１,２0１9]，所以要使g（x）有意义，应满足错误!所以0≤x≤２0１8，且x≠１．因此g（x）的定义域为{x|0≤x≤２0１8，且x≠１}．触类旁通对于抽象函数定义域的求解（１）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f[g（x）]的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出．２若已知函数f[g x]的定义域为[a，b]，则f x的定义域为g x在x∈[a，b]上的值域.即时训练３．已知函数y＝f（x＋１）的定义域是[—２,３]，则y＝f（２x—１）的定义域为（）Ａ．[—３,7] Ｂ．[—１,４] Ｃ．[—５,５] Ｄ．错误!答案D解析因为y＝f（x＋１）的定义域为[—２,３]，所以—１≤x＋１≤４．由—１≤２x—１≤４，得0≤x≤错误!，即y＝f（２x—１）的定义域为错误!.４．（２0１9·重庆模拟）已知函数f（x）＝ln （—x—x２），则函数f（２x＋１）的定义域为________．答案错误!解析由题意知，—x—x２>0，∴—１<x<0，即f（x）的定义域为（—１,0）．∴—１<２x＋１<0，则—１<x<—错误!.角度３已知定义域求参数范围例３（１）（２0１9·银川模拟）若函数y＝错误!的定义域为R，则实数a的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析要使函数的定义域为R，则ax２—４ax＋２>0恒成立．１当a＝0时，不等式为２>0，恒成立；２当a≠0时，要使不等式恒成立，则错误!即错误!解得0<a<错误!.由１２得0≤a<错误!.故选Ｄ．（２）（２0１8·石家庄模拟）设函数f（x）＝ax２—２x＋２，对于满足１＜x＜４的一切x值都有f（x）＞0，则实数a的取值范围为________．答案错误!解析由f（x）＞0，即ax２—２x＋２＞0，x∈（１,４），得a＞—错误!＋错误!在x∈（１,４）上恒成立．令g（x）＝—错误!＋错误!＝—２错误!２＋错误!，错误!∈错误!，所以g（x）max＝g（２）＝错误!，所以要使f（x）＞0在（１,４）上恒成立，只要a＞错误!即可．触类旁通已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．即时训练５．若函数y＝错误!x２—２x＋４的定义域、值域都是[２,２b]（b>１），则（）Ａ．b＝２Ｂ．b≥２Ｃ．b∈（１,２）Ｄ．b∈（２，＋∞）解析∵函数y＝错误!x２—２x＋４＝错误!（x—２）２＋２，其图象的对称轴为直线x＝２，∴在定义域[２,２b]上，y为增函数．当x＝２时，y＝２；当x＝２b时，y＝２Ｂ．故２b＝错误!×（２b）２—２×２b＋４，即b２—３b＋２＝0，得b１＝２，b２＝１．又∵b>１，∴b＝２．6．若函数f（x）＝错误!的定义域为R，则a的取值范围为________．答案[—１,0]解析因为函数f（x）的定义域为R，所以２x２＋２ax—a—１≥0对x∈R恒成立，则x２＋２ax—a≥0恒成立．因此有Δ＝（２a）２＋４a≤0，解得—１≤a≤0．考向二求函数的解析式例４（１）已知f（错误!＋１）＝x＋２错误!，则f（x）＝________.答案x２—１（x≥１）解析（换元法）令错误!＋１＝t，则x＝（t—１）２（t≥１），代入原式得f（t）＝（t—１）２＋２（t—１）＝t２—１，所以f（x）＝x２—１（x≥１）．（２）已知f（x）是一次函数，且满足３f（x＋１）—２f（x—１）＝２x＋１7，则f（x）＝________.答案２x＋7解析（待定系数法）设f（x）＝ax＋b（a≠0），则３f（x＋１）—２f（x—１）＝ax＋５a＋b，所以ax＋５a＋b＝２x＋１7对任意实数x都成立，所以错误!解得错误!所以f（x）＝２x＋7．（３）已知f错误!＝x２＋错误!，则f（x）＝________.答案x２—２（x≥２或x≤—２）解析（配凑法）f错误!＝x２＋错误!＝错误!—２＝错误!２—２，所以f（x）＝x２—２（x≥２或x≤—２）．（４）已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）＝２f错误!·错误!—１，则f（x）＝________.答案错误!错误!＋错误!解析（消去法）在f（x）＝２f错误!·错误!—１中，将x换成错误!，则错误!换成x，得f错误!＝２f（x）·错误!—１，由错误!解得f（x）＝错误!错误!＋错误!.触类旁通函数解析式的求法（１）待定系数法：已知函数的类型，可用待定系数法．２换元法：已知复合函数f[g x]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.３消去法：已知关于f x与f错误![或f—x]的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出f x.４配凑法：由已知条件f[g x]＝F x，可将F x改写成关于g x的解析式，然后以x替代g x，便得f x的解析式.即时训练7．已知f（x）＋３f（—x）＝２x＋１，则f（x）＝________.答案—x＋错误!解析由已知得f（—x）＋３f（x）＝—２x＋１，解方程组错误!得f（x）＝—x＋错误!.8．已知f错误!＝lg x，则f（x）的解析式为________．答案f（x）＝lg 错误!（x>１）解析令错误!＋１＝t，由于x>0，所以t>１且x＝错误!，所以f（t）＝lg 错误!，即f（x）＝lg 错误!（x>１）．9．若f（x）为二次函数且f（0）＝３，f（x＋２）—f（x）＝４x＋２，则f（x）的解析式为________．答案f（x）＝x２—x＋３解析设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），又f（0）＝c＝３．所以f（x）＝ax２＋bx＋３，所以f（x＋２）—f（x）＝a（x＋２）２＋b（x＋２）＋３—（ax２＋bx＋３）＝４ax＋４a＋２b＝４x ＋２．所以错误!所以错误!所以所求函数的解析式为f（x）＝x２—x＋３．考向三分段函数例５（１）（２0１7·山东高考）设f（x）＝错误!若f（a）＝f（a＋１），则f错误!＝（）Ａ．２Ｂ．４C．6 Ｄ．8答案C解析若0<a<１，由f（a）＝f（a＋１）得错误!＝２（a＋１—１），∴a＝错误!，∴f错误!＝f（４）＝２×（４—１）＝6．若a≥１，由f（a）＝f（a＋１）得２（a—１）＝２（a＋１—１），无解．综上，f错误!＝6．故选Ｃ．（２）（２0１8·浙江高考）已知λ∈R，函数f（x）＝错误!当λ＝２时，不等式f（x）<0的解集是________，若函数f（x）恰有２个零点，则λ的取值范围是________．答案（１,４）（１,３]∪（４，＋∞）解析若λ ＝２，则当x≥２时，令x—４<0，得２≤x<４；当x<２时，令x２—４x＋３<0，得１<x<２．综上可知１<x<４，所以不等式f（x）<0的解集为（１，４）．令x—４＝0，解得x＝４；令x２—４x＋３＝0，解得x＝１或x＝３．因为函数f（x）恰有２个零点，结合函数的图象（图略）可知１<λ≤３或λ>４．触类旁通分段函数问题的求解策略（１）分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．２分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值范围是否适合相应的分段区间.即时训练１0．（２0１9·山西省实验中学模拟）设函数f（x）＝错误!若f（a）>a，则实数a的取值范围是________．答案（—∞，—１）解析当a≥0时，f（a）＝错误!a—１>a，解得a<—２，矛盾；当a<0时，f（a）＝错误!>a，解得a<—１．所以a的取值范围为（—∞，—１）．１１．设函数f（x）＝错误!若f[f（a）]＝２，则a＝________.答案错误!解析若a>0，则f（a）＝—a２<0，f[f（a）]＝a４—２a２＋２＝２，得a＝错误!.若a≤0，则f（a）＝a２＋２a＋２＝（a＋１）２＋１>0，f[f（a）]＝—（a２＋２a＋２）２＝２，此方程无解．（２0１9·贵州模拟）若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0＋１）＝f（x0）＋f（１）成立，则称函数f（x）为“１的饱和函数”．给出下列三个函数：１f（x）＝错误!；２f（x）＝２x；３f（x）＝lg （x２＋２）．其中是“１的饱和函数”的所有函数的序号为（）Ａ．１３Ｂ．２Ｃ．１２Ｄ．３答案B解析对于１，若存在实数x0，满足f（x0＋１）＝f（x0）＋f（１），则错误!＝错误!＋１，所以x错误!＋x0＋１＝0（x0≠0，且x0≠—１），显然该方程无实根，因此１不是“１的饱和函数”；对于２，若存在实数x0，满足f（x0＋１）＝f（x0）＋f（１），则２x0＋１＝２x0＋２，解得x0＝１，因此２是“１的饱和函数”；对于３，若存在实数x0，满足f（x0＋１）＝f（x0）＋f（１），则lg [（x0＋１）２＋２]＝lg （x错误!＋２）＋lg （１２＋２），化简得２x错误!—２x0＋３＝0，显然该方程无实根，因此３不是“１的饱和函数”．答题启示解决与函数有关的新定义问题的策略（１）根据定义合理联想，即分析有关信息，通过联想和类比、拆分或构造，可以将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解．（２）捕捉解题信息，紧扣定义，根据定义与条件一步步进行推理求解．（３）合理、巧妙的赋值，即给x，y等量一些特殊的数值，求得特殊函数值，从而将新定义的函数进行化简和转化，利用已有函数知识进一步求解．对点训练（２0１9·黄冈模拟）若定义在R上的函数f（x）当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f（—x）＝f（x），则称f（x）为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是（）Ａ．f（x）＝cosx Ｂ．f（x）＝sinxＣ．f（x）＝x２—２x Ｄ．f（x）＝x３—２x答案D解析A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f（x）＝f（—x），不符合题意；B中，当x＝kπ（k∈Z）时，满足f（x）＝f（—x），不符合题意；C中，由f（x）＝f（—x），得x２—２x＝x２＋２x，解得x＝0，不符合题意；D中，由f（x）＝f（—x），得x３—２x＝—x３＋２x，解得x＝0或x＝±错误!，满足题意，故选Ｄ．。

新高考一轮复习人教A版第二章第一讲函数的概念及其表示课件(43张)

个交点.
题组一走出误区
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”)
(1)若 A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从 A 到 B 的函数.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
(3)已知 f(x)＝5(x∈R)，则 f(x2)＝25.( ) (4)函数 f(x)的图象与直线 x＝1 最多有一个交点.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
B.y＝ 3 x3 ＋1
D.y＝ x2＋1
题组三真题展现
4.(2019 年上海春季)下列函数中，值域为[0，＋∞)的
是( ) A.y＝2x
1
B.y＝x 2
C.y＝tan x
D.y＝cos x
答案：B 5.(2020 年北京)函数 f(x)＝x＋1 1＋ln x 的定义域是 ________.
答案：(0，＋∞)
所以 f(15)＝f(－1)＝12，因此 f(f(15))＝f12＝cos
π4＝
2 2.
答案：
2 2
考向 2 分段函数与方程、不等式问题
[例 5](1)设函数 f(x)＝32xx，－xb≥，1x.<1，若 ff56＝4，则
b＝( )
A.1
B.78
C.34
D.21
解析：f56＝3×56－b＝52－b，若25－b<1，即 b>23，则 ff56＝f25－b＝352－b－b＝4，解得 b＝87，不合题意舍去.若52－b≥1，即 b≤23，则 252－b＝4，解得 b＝12.
原不等式化为 2x＋x＋21>1，该不等式恒成立；
当
x>12时，f(x)＋fx－12＝2x＋2

新高考数学人教版一轮课件第二章第一节函数及其表示

2．设函数f(x)＝ ________．
2x，x＜2， x＋2x3，x≥2，
答案：(0,2)∪(3，＋∞)
若f(x0)＞1，则x0的取值范围是
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题型三分段函数多维探究
高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题.
考法(一) 分段函数求值问题
[例1] (1)已知函数f(x)＝floxg＋2x，3，x≥x＜6，6，则f(－1)的值为(
[例1] (多选题)(2021·深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标
均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则
称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
其中是一阶整点函数的是( AD )
A．f(x)＝sin 2x
B．g(x)＝x3
C．h(x)＝13x
D．φ(x)＝ln x.
x＋1，－1＜x＜0， 2x，x≥0，
若实数
a满足f(a)＝f(a－1)，则f1a＝( A．2
) B．4
C．6
D．8
(2)设函数f(x)＝ ________．
x2－1，x≥2， log2x，0＜x＜2，
若f(m)＝3，则实数m的值为
[解析] (1)由题意得a≥0且－1＜a－1＜0，即0＜a＜1，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝ a，解得a＝14，则f1a＝f(4)＝8. (2)当m≥2时，由m2－1＝3，得m2＝4，解得m＝2；当0＜m＜2时，由 log2m＝3，解得m＝23＝8(舍去)．综上所述，m＝2.

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【训练3】求下列函数的值域： (1)y＝x2x－2－x＋x 1；(2)y＝2x－1－ 13－4x. 解 (1)法一 (配方法)
∵y＝1－x2－1x＋1，又 x2－x＋1＝x－122＋34≥34，
∴0<x2－1x＋1≤43，∴－13≤y＜1.
∴函数的值域为－13，1.
法二 (判别式法) 由 y＝x2x－2－x＋x 1，x∈R. 得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0. ∵y＝1 时，x∈∅，∴y≠1.
考向一函数与映射的概念
【例1】 (1)(2012·临沂调研)已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}， f：x―→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于________． (2)已知映射f：A―→B.其中A＝B＝R，对应关系f： x―→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是________．
又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1. 综上得－13≤y＜1.∴函数的值域为－13，1.
(2)法一 (换元法) 设 13－4x＝t，则 t≥0，x＝13－4 t2，于是 f(x)＝g(t)＝2·13－4 t2－1－t ＝－12t2－t＋121＝－12(t＋1)2＋6，显然函数 g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，
[方法总结] (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．

高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用第一节函数及其表示课件文新人教A版

＝f(g(x))的定义域
域
若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，已知f(g(x))的定
则求出g(x)在(a，b)上的值域即义域，求f(x)的定
得f(x)的定义域
义域
考点二求函数的解析式重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
(1)已知 f x＋1x＝x2＋x12，求 f(x)的解析式； (2)已知 f 2x＋1＝lg x，求 f(x)的解析式； (3)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求 f(x)； (4)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2f1x· x－1，求 f(x)．
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的 _任__意__一个元素x，在集合B 中都有_唯__一__确__定__的元素y与之对应
函数
映射
名称
称__f：__A__→__B_为从集合A到集合B的一个函数
称对应_f_：__A_→__B_为从集合A 到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射
A．[0,2 015]
B．[0,1)∪(1,2 015]
C．(1,2 016]
D．[－1,1)∪(1,2 015]
解析
4．若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lg x)的定义域为
A．[－1,1]
B．[1,2]
()
C．[10,100]
D．[0，lg 2]
解析
角度三：已知定义域确定参数问题 5．(2016·合肥模拟)若函数f(x)＝ 2x2＋2ax－a－1的定义域
D．[－2,0]∪[1,2]
解析
2．函数f(x)＝ 1a－x－|x－1 1|(a＞0且a≠1)的定义域为__________ ____________________．

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第1节函数的概念及其表示练习新人教A版-新人教A版

第二章第 1 节函数的概念及其表示[基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.] [学生用书课时冲关四文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]．答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0，解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．[学生用书课时冲关四文P251 理P290][基础训练组]1．(导学号14577082)已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：C [a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.]2．(导学号14577083)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]3．(导学号14577084)(理科)(2018·某某市一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x 的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：C [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0x >0且ln x ≠0，解得0＜x ＜1.故选C.]3．(导学号14577085)(文科)(2016·高考新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]．答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0，解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．4．(导学号14577086)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]5．(导学号14577087)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D ．±2或4解析：C [当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝ 2. 当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.故选C.]6．(导学号14577090)(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]7．(导学号14577088)图中的图象所表示的函数的解析式f (x )＝ ________ .解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤28．(导学号14577089)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 ________ .解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]．答案： [－5，－1]9．(导学号14577091)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0，解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4或x ＜－1}．10．(导学号14577092)已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图象，并结合图象写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图，由图象可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(导学号14577093)(2018·某某市一模)若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2，4]D ．[1,4]解析：B [∵y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，∴函数y ＝f (log 2x )有意义⇔－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域是{x |12≤x ≤2}．故选B.]12．(导学号14577094)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值X 围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12 D.12<m ≤1解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．(导学号14577095)若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值X 围为 ________ .解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．(导学号14577096)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。

高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第1节函数及其表示课件理新人教A版

●命题角度三分段函数与不等式问题
【例 4】 (2019 届湖北四地七校联考)已知函数 f(x)＝12x－7，x<0，
若
log2（x＋1），x≥0，
f(a)<1，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪[0，1)
B．(－3，0)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[解析] 因为 f(a)<1，所以a12<0a，－7<1或alo≥g20（，a＋1）<1，得－3<a<0 或 0≤a<1.所以实数 a 的取值范围是(－3，1)，故选 C．
|跟踪训练|
1．(2019 届定州模拟)下列函数中，满足 f(x2)＝[f(x)]2 的是( )
A．f(x)＝ln x
B．f(x)＝|x＋1|
C．f(x)＝x3
D．f(x)＝ex
解析：选 C 对于函数 f(x)＝x3，有 f(x2)＝(x2)3＝x6，[f(x)]2＝(x3)2＝x6，所以 f(x2)＝[f(x)]2，
考点一函数解析式的求法【例 1】 (1)若 f1＋1x＝x12－1，则 f(x)＝________. (2)若 f(x)为有理函数，且 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则 f(x)＝________． (3)已知 f(x)＋2f1x＝x＋1，则 f(x)＝________．
[解析] (1)解法一(配凑法)：
考点二分段函数——多维探究高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有：(1)分段函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题．
●命题角度一分段函数求值问题
【例 2】 (2020 届成都摸底)已知函数 f(x)＝sinπx＋π6，x≤0，则 f(－2)＋f(1)＝ 2x＋1，x>0，

高考数学一轮复习第二章函数1函数及其表示课件新人教A版(理)

(3)相等函数:如果两个函数的定义域相同,并且
对应关系
完全一致,那么我们就称这两个函数相等.
-7知识梳理
双基自测
1
2
3
4
3.函数的表示方法
表示函数的常用方法有解析法
列表法
.
5
、图象法
和
-8知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几
个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域
(3)函数方程法:已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量
1
外,还有其他未知量,如f(-x), f ,则可根据已知等式再构造其他等
式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
提醒:因为函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因
此求函数的解析式时,如果定义域不是R,那么一定要注明函数的定
lg
x
y=10 的定义域和值域相同的是(
)
(2)y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞).
1
x
A.y=x
B.y=lg
x
C.y=2
D.y=
y=x 的定义域和值域均为 R;y=lg x 的定义域为(0,+∞),值域为
R;
√
x
y=2思考已知函数解析式,如何求函数的定义域?
的定义域为 R,值域为(0,+∞);
的不同表示方式.
③是同一函数.
关闭
②③
解析
答案
-17考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和对

高三数学一轮复习第二章第一节函数及其表示课件理新人教A版

得x＜－12，则－1≤x＜－12.
第二十八页，共39页。
②当0＜x≤1时，－1≤－x＜0，此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1， ∴f(x)－f(－x)＞－1化为－x＋1－(x－1)＞－1，解得x＜32，则0＜x≤1. 故所求不等式的解集为[－1，－12)∪(0，1]．
第六页，共39页。
名称
称___f：__A_→__B__为从集称___f：__A__→__B__为从
合A到集合B的一个集合A到集合B的一函数来自个映射第七页，共39页。
2.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A) 叫函数的__定__义__域_；函数值的_集__合__(j_íh_é_)_{f_(_x)_|x_∈_是A}函数的值域． (2)如果两个函数的________相同，并且 (bìngqiě)_________完全一定致义，域则这两个函数对应为(相du等ìyìn函g)数关．系 3．函数的表示方法表示函数的常用方法有_______、________和列表法．
④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一函数．
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个 D．4个
第十一页，共39页。
【解析】由函数的定义知①正确． ∵满足f(x)＝ x－3＋ 2－x的x不存在，∴②不正确．又∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤立的点，∴③不正确．又∵f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．【答案(dáàn)】 A
第三十页，共39页。
(1)已知函数f(x)＝
1－x，x≤0， ax，x＞0，
若f(1)＝f(－1)，则实
数a的值等于( )

2022版高考数学人教A版一轮复习课件：第二章第一节函数及其表示

【解析】选 B.图象表示本科一批分数线是年份的函数，其中年份为自变量，故 A 错，B 对；虽然自变量年份与本科一批分数线的对应关系比较复杂，但也能用列表法、分段函数表示，故 C，D 错．
2．(教材改编)函数 y＝ x ln (2－x)的定义域为( ) A．(0，2) B．[0，2) C．(0，1] D．[0，2]
【解析】(1)选 C.①图象不满足函数的定义域，不正确；②③满足函数的定义域以及函数的值域，正确；④不满足函数的定义． (2)选 A.对于①，函数是其定义域到值域的映射，故①正确；对于②，若 f(x)＝ x－3 ＋ 2－x 是函数，则x2－－3x≥ ≥00，，无解，故②错误；对于③，函数 y＝2x(x∈N)的图象是孤立的点，不是一条直线，故③错误；对于④，f(x)＝lg x2 与 g(x)＝2lg x 的定义域分别为 {x|x≠0}，{x|x＞0}，不同，故④错误．
【解析】选 B.由题意知，x≥0 且 2－x＞0，解得 0≤x＜2，故其定义域是[0，2).
3.(教材改编)函数 y＝f(x)的图象如图所示，那么 f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是________．
【解析】通过观察函数图象可知函数 f(x)的定义域是[－3，0]∪[2，3]，值域是[1，5]，只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是[1，2)∪(4，5]. 答案：[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5]
4．已知函数 f(x)＝ 2x＋1 ，若 f(a)＝5，则实数 a 的值为________.
【解析】因为 f(a)＝ 2a＋1 ＝5，所以 2a＋1＝25，所以 a＝12. 答案：12

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子集． (3)函数的三要素：定__义__域__、对__应__关__系__和值__域___． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有_解__析__法_、_图__象_法__和_列__表_法__．
质疑探究：函数的值域是由函数的定义域、对应关系唯一确定的吗？
提示：是．函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就确定了，在函数的三个要素中定义域和对应关系是关键．
第1节函数及其表示
Ⅰ.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念． Ⅱ.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． Ⅲ.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．
整合·主干知识
1．函数的基本概念 (1)函数的定义
(6)函数f(x)＝xa(a≤0)的定义域为{x|x∈R且x≠0}．
1．下列函数中，与函数 y＝31 定义域相同的函数为( ) x
A．y＝sin1 x
B．y＝lnxx
C．y＝xex
D．y＝sinx x
解析：函数 y＝31 的定义域为{x|x≠0}，选项 A 中由 sin x≠0 x
⇒x≠kπ，k∈Z，故 A 不对；选项 B 中 x>0，故 B 不对；选项 C 中 x∈R，故 C 不对；选项 D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选 D.
设A，B是非空的__数__集_，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_任__意_一个数x，在集合B中都有__唯__一__确__定__的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作_y_＝__f_(_x_)_，__x_∈__A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定__义__域__；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_值__域_____．显然，值域是集合B的
答案：D
2．(2015·广州调研)已知函数 f(x)＝l3oxg，2xx，≤x0>，0，
则 ff14的值是(
)
A．9
1 B.9
C．－9
D．－19
解析：f 14＝log214＝log22－2＝－2， ff14＝f(－2)＝3－2＝19. 答案：B
3．设函数 f(x)＝1－4 x，若 f(a)＝2，则实数 a＝________. 解析：∵f(x)＝1－4 x，∴f(a)＝1－4 a＝2，∴a＝－1. 答案：－1
＝________.
解析：由 f(1)＝f(2)＝0，得2122＋＋2pp＋＋qq＝＝00，，所以qp＝＝2－. 3，故 f(x)＝x2－3x＋2. 所以 f(－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：6
聚集·热点题型
函数的概念
[典例赏析 1] 有以下判断： ①f(x)＝|xx|与 g(x)＝1－x1≥x<00，表示同一函数； ②函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 的交点最多有 1 个； ③f(x)＝x2－2x＋1 与 g(t)＝t2－2t＋1 是同一函数； ④若 f(x)＝|x－1|－|x|，则 ff12＝0. 其中判断正确的序号是________．
2．映射的概念
设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有 _唯__一__确__定__的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个_映__射_．
3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有_待__定__系__数__法___、_换__元__法___、配凑法、消去法．
4 ．函数 y ＝ f(x) 的图象如图所示，那么， f(x) 的定义域是
________；值域是________；其中只
与x的一个值对应的y值的范围是
________．答案： [ － 3,0]∪[2,3] [1,5]
[1,2)∪(4,5]
5．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)

[变式训练] 1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A．f(x)＝|x|，g(x)＝ x2 B．f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2 C．f(x)＝xx2－－11，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1
f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以 f(x)和 g(t)
表示同一函数；对于④，由于
f12＝12－1－12＝0，所以
1 ff2
＝f(0)＝1.
综上可知，正确的判断是②③.
[名师讲坛]函数的三要素定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则唯一确定；因此当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．
[思路点拨] 可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断．
[解析] 对于①，由于函数 f(x)＝|xx|的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，而函数 g(x)＝1－x1≥x<00 的定义域是 R，所以二者不是同一函数；对于②，若 x＝1 不是 y＝f(x)定义域的值，则直线 x ＝1 与 y＝f(x)的图象没有交点，如果 x＝1 是 y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象只有一个交点，即 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 最多有一个交点；对于③，
4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不__等__于__零__． (2)偶次根式函数被开方式大__于__或__等__于__0__. (3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均
为R.
(x5|)xy∈＝Rt且anx≠x的kπ定＋义π2，域k为∈Z.