浅谈数学语言
浅谈数学语言
浅谈数学语言：浅谈数学语言毕业论文为有效地加强数学语言的教学，加深对数学语言的理解和认识是必要的。
数学语言是伴随着数学自身的发生和发展而逐渐成长起来的，是储存、传承和加工数学思想信息的工具。
数学语言与日常语言不同，“日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重的、有意的而且经常是精心设计的”，是一种高度抽象的专业语言，是一种以符号表达为主的特殊语言。
1. 注重普通语言与数学语言的互译普通语言即日常生活中所用语言，这是学生熟悉的，用它来表达的事物，学生感到亲切，也容易理解。
其他任何一种语言的学习，都必须以普通语言为解释系统。
数学语言也是如此，通过两种语言的互译，就可以使抽象的数学语言在现实生活中找到借鉴，从而能透彻理解，运用自如。
2. 注重数学语言学习的过程，合理安排教学数学概念和数学符号的形成过程数学符号和规则从现实世界得到其意义，又在更大的范围内作用于现实。
学生只有在理解数学语言的来龙去脉及意义，而且熟练地掌握他们的各种用法，从而得到理性的认识之后，在数学学习中才能灵活地对它们进行各种等价叙述，并在一个抽象的符号系统中正确应用，从而达到对数学符号语言学习的最高水平。
：符号的教学中具有双重意义：一是作为一般化的起点，为引进抽象符号作准备，二是作为特殊化的途径，便于符号的应用。
数学符号语言，由于其高度的抽象性、内涵的丰富性，往往难以读懂。
这就要求学生对符号语言具有相当的理解能力，善于将简约的符号语言译成一般的数学语言，从而有利于问题的转化与处理。
2.3 合理破译图形语言的数形关系。
图形语言是一种视觉语言，通过图形给出某些条件，其特点是直观，便于观察与联想，观察题设图形的形状、位置、范围，联想相关的数量或方程，这是“破译”图形语言的数形关系的基本思想。
例如，圆锥的表面积和体积计算，学生接触空间图形的平面直观图——这种特殊的图形，学生难于理解，教学时可采用以下步骤进行操作：①从模型到图形，即根据具体的模型画出直观图；②从图形到模型，即根据所画的直观图，用具体的模型表现出来，这样的设计重在建立图形与模型之间的视觉联系，为学生提供充分的感性认识，并使它们熟悉直观图的画法结构和特点；③从图形到符号，即把已有的直观图中的各种位置关系用符号表示；④从符号到图形，即根据符号所表示的条件，准确地画出相应的直观图。
浅谈数学教学与数学语言
浅谈数学教学与数学语言数学教学是学校教育中重要的一部分，其目的是培养学生的数学思维和计算能力，同时也为学生以后的学习和职业发展打下基础。
在数学教学中，数学语言是重要的组成部分，它不仅包括数学符号和术语，还涉及到数学思想和方法的表达和归纳。
首先，数学符号和术语是数学教学中重要的表达方式。
数学符号在数学教学中起着非常重要的作用，它能够简洁明了地表达数学思想和数学方法，而且在数学教学中也有着广泛的应用。
比如说，加减乘除、小于等于和大于等于、分数和小数等都是数学教学中常用的符号和术语。
因此，学习数学符号和术语是学习数学知识的前提，它有助于学生精确理解、记忆和运用数学术语，提高数学表达的准确性和严谨性。
其次，数学思想和方法的表达也是数学语言的重要组成部分。
数学思想是指数学中的基本观点和原则，比如说数学的本质是严密性和逻辑性，数学的主要任务是解决问题和发展理论等。
数学方法是指数学思想的应用，包括数学的定义和定理、数学的证明和推理和数学的建模和应用等。
在数学教学中，教师应该通过简洁明了的语言和具体的实例，让学生深入理解数学思想和方法。
最后，数学语言的归纳也是数学教学中的重要环节。
数学语言的归纳是指在数学学习过程中，学生不断举一反三，从已学的知识中发掘出更多的规律和特点。
通过数学语言的归纳，学生可以拓宽自己的数学视野，加深对数学知识的理解和掌握，提高数学问题的解决能力。
综上所述，数学教学和数学语言相互交融，相互促进，在数学教学中，数学符号和术语、数学思想和方法和数学语言的归纳都是不可或缺的组成部分。
学生在学习数学过程中，应该注重数学语言的学习和应用，尤其是数学符号和术语的掌握，这将有利于他们更好地理解和掌握数学知识。
同时，在数学教学中，教师也应该注意用适当的语言和方法，使学生更加清晰地理解数学思想和方法，培养学生的数学思维和创新能力。
浅谈数学教学与数学语言
浅谈数学教学与数学语言数学教学是培养学生数学思维和解决问题能力的重要环节。
而数学语言作为数学教学的工具之一，起着桥梁和纽带的作用。
本文就数学教学与数学语言进行浅谈。
数学教学是培养学生数学思维的过程。
数学思维是一种抽象思维，通过逻辑推理和概念分析来解决问题的思维方式。
在数学教学中，教师应该引导学生培养正确的数学思维。
通过让学生用数学语言表达自己的思维过程，可以让学生更好地理解和运用数学概念和方法。
数学语言既是学生表达思维的工具，也是学生发展思维的手段。
数学语言是数学教学的重要组成部分。
数学语言是数学思想和方法的表达方式，是学生获取数学知识和技能的重要途径。
在数学教学中，教师应该注重培养学生对数学语言的理解和运用能力。
数学语言的理解包括对数学概念和符号的理解，以及对数学语言的逻辑结构和推理方法的理解。
数学语言的运用则是学生运用数学知识和方法解决问题的过程。
通过数学语言的学习和运用，学生可以更深入地理解数学知识和方法，提高解决问题的能力。
数学教学中应注重培养学生的数学语言能力。
学生的数学语言能力往往是他们学习和掌握数学知识和方法的基础。
在数学教学中，教师应该注重培养学生的数学语言能力。
具体而言，教师可以通过以下几个方面来培养学生的数学语言能力：教师可以让学生多写数学作业，提高他们的数学语言表达能力。
教师可以设计一些数学问题，让学生用数学语言来描述和解决。
通过这样的练习，学生可以提高他们的数学语言能力。
教师还可以引导学生进行数学讨论，让学生通过交流和合作来提高他们的数学语言能力。
数学教学和数学语言是密不可分的。
数学教学需要依靠数学语言来培养学生的数学思维和解决问题能力。
而数学语言则是数学教学的重要组成部分，是学生获取数学知识和技能的重要工具。
通过注重培养学生的数学语言能力，可以提高他们的数学思维和解决问题能力。
数学教学和数学语言是相互依存的，相互促进的。
数学的数学语言
数学的数学语言数学作为一门学科，是研究数量、结构、变化和空间等概念及其相互关系的科学。
它被广泛认为是一种语言，一种可以描述和解释世界的语言，被称为数学语言。
本文将探讨数学的数学语言，并分析其中的特点和应用。
一、数学语言的定义数学语言是一种特殊的符号系统，用于表示数学概念、定理、公式和推理过程。
它通过符号、表达式、等式、方程等方式来表达数学思想和数学运算。
数学语言有其独特的规则和结构，具有高度的精确性和逻辑性。
在数学语言中，每个符号和表达式都具有严格的定义和意义，通过其组合和变换可以产生无限多的数学结论。
二、数学语言的特点1. 抽象性：数学语言是一种抽象的语言，它可以通过符号和表达式来表示实际事物和现象。
例如，一般情况下，我们用字母x、y、z等来表示未知数，用符号+、-、×、÷等来表示数学运算。
2. 精确性：数学语言强调精确性和准确性，通过明确的定义和规则确保数学思想和概念的准确表达。
例如，在几何学中，通过严格定义点、线、面等几何概念，并利用公理和定理来推导和证明各种几何性质。
3. 简洁性：数学语言追求简洁性，通过简洁的符号和表达式来表示复杂的数学概念和关系。
例如，勾股定理可以用简洁的表达式a²+b²=c²表示，这种简洁性提高了数学表达和推导的效率和可读性。
4. 无歧义性：数学语言注重消除歧义，通过清晰的定义和规则确保每个符号和表达式的唯一含义。
这种无歧义性使得数学语言适用于不同语言和文化背景的人群，实现了数学交流的国际化。
5. 形式化：数学语言具有形式化的特点，即它通过形式系统和推理规则来进行数学推导和证明。
数学语言中常见的形式化方法包括数学公理化、逻辑演算、集合论等。
三、数学语言的应用1. 科学研究：数学语言是科学研究中不可或缺的工具，通过数学语言可以精确地描述和解释物理、化学、生物等自然科学现象和规律。
例如，物理学中的微积分和方程可以用来描述运动和力学规律。
浅谈数学教学语言
浅谈数学教学语言数学是一门科学，而数学教学是一门艺术，在整个课堂教学过程中，数学知识的传递，学生接受知识情况的反馈，师生间的情感交流等，都必须依靠数学语言，精心锤炼的数学课堂教学语言以其独特的魅力给学生以美的享受，精神的愉悅和丰硕的学习成果，斯托利亚在《数学学》中指出：“数学教学也就是数学语言的教学。
”在新课程理念的驱动下，数学教师的课堂教学语言应不断的科学化，民主化和人性化。
笔者认为数学课堂教学的语言艺术应体现在以下几方面：1 语肓的规范化2 语言的启发性与鼓励性一堂数学课，若教师采用“填鸭式”的教学方式，对一个很有创造性的问题也是直接给出方法，不给学生思考的空间，这会使课堂气氛趋于沉寂，无形中扼杀了学生的创造欲望，更谈不上激活学生的思维。
因此，语言的启发性对一堂精彩的数学课来说非常重要。
对于某些应用数学问题或一题多解题，教师可启发学生思考并讨论，达到师生互动的课堂效果。
笔者教《离散数学》中欧拉路及欧拉图时，从孩提时代常画的一笔画问题讲起，给出几张图，让学生找出可以一笔画出的图，然后启发学生：“从几张一笔画图中，你们能找出它们的规律吗?”学生争者讨论，课堂气氛一下热烈起来，我们一起归纳了其判定定理，一堂数学课不是教师的演讲课，更多的是师生间的互动。
因此，要鼓励学生多发言，多提问。
如“请**同学来谈谈他对这道题目的看法。
”不管回答的正确与否，都要先做肯定：“他刚才的想法不错，但在一些地方还有待讨论，有没有其他更好的想法啊?”3 语言的幽默形象化任何一门课程都要求教师教学语言生动，幽默，这样有助于提高学生课堂参与的积极性。
数学知识思维性较强，抽象思维要求较高，教师如果机械的照本宣读教学效果就会差，因此、数学教师的语言同样要生动形象，课堂中也可穿插一些数学家轶事或数学美学的介绍，如黄金分割比。
许多建筑广泛采用黄金分割的比例，如金字塔，埃菲尔铁塔等，一些名画，电影画面的主体大都放在画面的0.618出，给人以舒适的美感……了解到数学在生活中的作用，学生自然对数学产生兴趣了。
浅谈数学语言艺术
１化功利为激励 。时至今 日， 、 仍然有相当多的教 师在进行教 科研工作 的功利 目的过强 ： 一切都 围绕职称评定来 ， 一旦职称评 上后 ， 中的绝大部分人 就不愿再“ 其 费神费力搞什么教科研 ” 了。 对 于这 部分 同志 ， 就需 要用各种手段来激励他们 ， 比如使他们认
个 重 要 的 管理 部 门 ， 科 室 一 定 要 敢 于 担 当 ， 力 促 进 教 师 的 教 大
的规 定 ， 偏 不 废 ， 常 有 利 于 教 育科 研 的各 个 项 目的 开展 。 不 非 五 、 来自 教 科 室 要 加 强 引导 学
很多教师更多地感受到 了１ ９己的责任 和价值 ， 提高 了 自己的职业
幸福感。 子 日： 学而不思则罔 ， 思而不学则殆 。而对于广大教师， 我们 可 以说 ： 教而不研行而不远 ， 研而不教无源之水 。 作为现代学校的
科研 产生 了敬 畏 和 尊 重 ， 以前 经 常 听 到 的一 些 牢 骚 怪 话 已经 大大
４ 教学设计降档得分使得部 分教师颇有怨言。他们认为这 、 是对教学研究的轻视 ， 并进而认为教育科研有脱离课堂教学的嫌
疑。
５ 论文发表 、 、 专著 的热情有所下降。虽然 论文市 、 省级 以上 发表每篇分别加 ２ ３分 ，但非核心刊物降档后仅为 １ 、． 、 分 １ ５分。 同时论 文发表 的版面费太高 ， 动辄数百 、 成千 ， 往往令没有实行绩 效＿ 资的很 多教师心痛不已。再加上有相 当的刊物是给钱就发 ， Ｔ
知识解决数学 问题 的能力 ， 是数学教学的最终 目的。对一个问题 “ 能清楚地说一遍 ， 等于解决了问题 的一半。 解决问题的过程是一 ” 个严 密的推理和论证 的过程 ， 正确地理解题意 ， 出符合要求的 画 图形 。 寻找 已知条件 ， 分析条件与结论之间的关系， 有关 知识 的映 象， 解题判断的形成 ， 直至解答过程的表述等 ， 处处离不开数学语
浅谈数学语言的分析
浅谈数学语言的分析浅谈数学语言的分析1、数学符号的科学性数学符号是数学文字的主要形式，它是构成数学语言的基本成份。
1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，这十个符号是全世界普遍采用的，它们表示了全部的数，书写、运算都十分方便。
这10个符号常被称为阿拉伯数字，实际上却是印度人创造的，只是经过阿拉伯传到欧洲。
这是印度对人类文明的一项重大贡献，这一贡献的意义也可能是今天的人们不易觉察的。
但是，18世纪一位法国著名数学家曾说过：“用不多的记号表示全部的数的思想，赋予它的除了形式上的意义外，还有位置上的意义，它之如此绝妙非常，正是由于这种简易得难以估量。
”关于“位置上的意义”，指的是数字的进位表达。
比如说724，它实际上是7×100+2×10+4，可是它只需简写成724就明白了。
此外还有空位的问题，假若有个数字是7×1000+2×100+4，那该范文呢？现在我们是很容易回答了，不就写为7204吗？可是，在最初的数字符号系统中是没有0这个符号的。
有的用一个点来表示：724有的用一个方格来表示；有的干脆就拉开一点写，表示空一位；……但这些写法的不准确、不方便是显而易见的。
直到使用了0这个符号，问题才得以解决。
而0这个符号比其他符号的出现晚了好几百年。
如果年看720xx这个数字，我们能更清楚地体会到0这个符号的特殊意义。
数学的简洁不只表现在数字符号上，还表现在其他符号上，表现在命题的表述和论证上，表现在它的逻辑体系上，总之，表现在思维经济上。
数学符号有许多种，除了前面提到的数字符号外，还有代数的符号，通常用英文字母或希腊字母表示。
在笛卡儿时代，以英文字母的开头几个表示已知数，如a、b、c、…，以英文字母的最后几个代表未知数，如x、y、z，或以a、b、c、…代表常数，以x、y、z代表变数。
现在，这已不是固定的了，在某种约定之下，a、b、c、…也可代表未知数，也可以表变数，x、y、z也可以代表已知数，也可以代表常数。
浅谈数学教学与数学语言
浅谈数学教学与数学语言数学是一门普遍的学科，许多国家和文化面对该领域的独特挑战。
作为学科，数学不仅仅是技能的掌握，同时也要了解相应的概念、语言、工具、技巧和应用。
然而，在全球范围内，中文是许多学生学习数学的语言之一，其使用范围非常广泛。
在这篇文章中，我们将探讨数学教学与数学语言的关系，并阐述中文在数学教育中的作用和挑战。
首先，数学教学对数学语言的使用提出了高要求，尤其是在数学公式和符号方面。
数学家和教师们必须明确和准确地使用数学术语、符号和表达式，以确保他们所传授的知识能够被学生理解和应用。
此外，良好的数学语言能帮助学生树立自信，使他们更深入地理解数学，从而更好地掌握各种数学概念和应用。
因此，教师和数学家应该创造一个优秀的数学语言环境，以支持与鼓励学生学习、探索和运用数学。
其次，中文在数学教育中发挥着重要的作用。
中文在中国、台湾和其他中文系国家的教育中广泛使用，许多数学教科书和教材都是用中文编写的，这使数学已成为中国学生主要的学科之一。
此外，中文式的数学教育具有一定的特殊性，例如在数学术语的使用和数学概念的解释上，和其他语言的数学教育存在差异。
对于许多学生来说，中文的数学教育更加自然和熟悉，这有利于他们更方便地理解和运用数学知识。
然而，在数学教育中使用中文也存在一些挑战。
最大的问题是不同文化中数学术语的标准化。
由于不同语言和文化对数学术语的理解和表达可能存在差异，这些差异可能会导致学生理解和表达数学概念的困难。
例如，在中文中，“导数”这个概念与“微积分”的其他概念紧密联系，但在英语中它是一个更基本的概念。
因此，在跨文化学习环境中，学生可能需要额外的时间和精力来理解这些差异，并适应使用中文的数学术语和符号来表达数学概念。
最后，为了提高中文数学教育的质量，我们需要从教育理念和范式上进行探索和创新。
学校和教师应该更加注重学生在数学学科中的兴趣和学习效果，从而创造积极的学习环境。
此外，我们还需要致力于推广和标准化中文数学术语和符号，以便学生能更好地理解和应用数学知识。
浅谈数学语言
浅谈数学语言数学课堂教学过程是数学知识的传递过程，也是师生之间进行信息传输和情感交流的过程，在整个课堂教学过程中，教学知识的传递，学生接受知识情况的反馈，师生间的情感交流等，都必须依靠语言来实现。
由于数学语言是一种高度抽象的人工符号系统，因此，它常成为数学教学的难点。
一些学生之所以害怕数学，一方面在于数学语言难懂难学，另一方面是教师对数学语言的教学不够重视，缺少训练，以致不能准确、熟练地驾驭数学语言。
数学语言作为一种语言，是数学交流的工具，是数学思维的载体。
但是它和自然语言却有着诸多的不同。
因此熟悉数学语言的特点，对于更好地了解数学语言、更快地普及数学语言和更准地运用数学语言起到了重要的作用。
一、数学语言的科学性数学语言是极其严密的、非常精炼的，有严格的界定和明确的含义的，并且有很强的逻辑性，有的一字之差，意义就不一样了。
因此，我们在训练学生讲解的过程中，特别重视语言的准确、严密，引导学生用科学的语言进行叙述。
数学语言与生活语言不完全一致。
有些生活用语，会对正确理解题意造成障碍；比如说（1）哪两个连续的月份都是大月？就必须强调是在一年里才是7、8月，如果去掉了“一年”这个条件，12、1月也符合题的要求；（2）沿着圆柱体的侧面剪开就得到一个长方形.只有沿着侧面上的一条高剪开才是长方形，斜着剪是平行四边形。
因此，必须培养学生正确地运用数学语言来叙述算理，讲解题目的意义。
二、数学语言的逻辑性数学以严密的逻辑结构作为学科的骨架，违背了逻辑就违背了数学的真缔。
因此，训练学生讲解的语言要符合客观的规律性，也就是说，讲话要有根有据、有因有果、有前提有条件，足以反映出学生逻辑思维的过程。
逻辑思维是指含有概念、判断、推理的思维。
数学中概念的外延和内涵、定义、分类、归纳、演绎等等，无不与逻辑思维有关。
在学生讲述时，要培养他们遵循这些规律。
三、数学语言的有序性语言的有序性，指讲话有条理，先讲什么，再讲什么，然后讲什么，要有次序。
浅谈中学数学语言的学习
浅谈中学数学语言的学习各门学科都有自己的专门用语，用以表达本学科的概念、理论系统。
数学语言是指严格的数学学科语言，是数学里有特定含义的词句、符号、式子、图形表示的特殊的语言。
它可以分为文字语言、符号语言和图表语言。
一、数学语言的重要性数学是“思维的体操”，语言是思维的工具。
学习数学在一定程度上可以说就是学习数学语言，学习数学的过程也就是数学语言不断内化、不断形成、不断运用的过程。
准确灵活地掌握了数学语言，就等于掌握了进行数学思维、数学表达和交流的工具。
教学实践表明，数学语言发展水平低的学生的数学理解力也差，理解问题时常发生困难和错误。
所以数学思维的发展是离不开数学语言的同步发展的。
提高数学语言水平，对发展数学思维，培养数学能力和素质有着重要的现实意义。
二、数学语言的特征1.准确性数学语言的准确性是数学描述方法的定量化以及思维的逻辑化的直接体现。
表现在对概念、定理、法则表述要准确，不能产生歧义。
2.精简性数学语言要做到高度精简，它要求对概念、定理、法则的表述，不能多一言，少一语；不能有重复，有遗漏。
常常是文字语言和符号语言并用。
如“同底数幂相乘，底数不变，指数相加；即am+an=am+n。
”几何语言则更简练、严密。
如“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。
3.严谨性数学语言必须合乎逻辑，周密严谨。
数学的概念、定理、法则的本身就是严密的。
在数学命题的叙述和推导中，经常用到一些数学语言。
如“平方和”、“和平方”、“或”、“且”、“至多”、“至少”、“有且只有”等等，都体现了数学语言的严谨性。
三、数学语言学习的措施1.加强数学基础知识学习只有确切地掌握概念、定理、公式等，才能正确运用数学语言表述有关逻辑关系。
对学生比较生疏的术语和概念，要做出通俗的解释，再提出精确化的要求。
纠正学生常犯的毛病和一些不良的语言习惯。
同时教师必须结合教材对数学语言的精确性作典型的分析。
如①对顶角相等，②相等的两角是对顶角。
浅谈数学课堂中的教学语言
浅谈数学课堂中的教学语言语言是人类心理活动的主要载体，既是思维的工具，又是表达的工具。
在教学过程中，教师和学生之间的知识传递，信息反馈以及感情沟通都是借助语言而且大都是教学语言来进行的。
数学语言不同于一般的日常语言和工作语言，它具有很强的艺术性，也有很强的专业性。
我国现代著名教育家叶圣陶呼吁：“凡是当教师的人，绝无例外地要学好语言才能做好教育工作和教学工作。
”因此教学语言艺术修养及训练是教师的基本素质之一，是教学获得成功的保证。
一、自然语言。
即人们平时使用的口头语它生动形象，易于理解，学生听起来感到亲切自然，容易得到感情上的认可，易于接受。
有些数学知识概念采取形象比喻、简单概括、借助直观的自然语言表达、解释，能调节课堂生动活泼的教学气氛，趣味性强，适应中学生的心理特点，也适应中学生形象思维渗透于抽象思维的特点。
引导学生对一些数学概念的理解，常常是“一次恰当的比喻，胜过十遍的说教。
”例如“笔直的火车道的两条铁轨就看成两条平行线。
”又如“展开的扇子可以看成扇形。
”形象化的、通俗易懂的自然语言，可以使学生感到生动，从而激发学生学习兴趣，调节学生的大脑，减少疲劳，有利于对数学知识的记忆和理解。
二、数学语言。
即数学符号和数学专业术语数学专业术语主要是指数学名词，而数學名词都必须确切表示某一数学事实，而且每个名词都具有唯一性。
例如；单项式、分式、函数、勾股定理……数学又是一个符号化世界，不同的符号表示着不同的内容，以形表意，大大推动了数学的发展过程。
数学语言又可分为符号型、文字型、文字符号混合型。
（1）符号型数学语言。
它是由一些数字、字母、运算符号和关系符号等按一定法则构成的各种数字表达式，它具有表达准确、不易误解、记录简明、便于书写、适于运算等优点。
例如：代数中常以a、b、c表示常数或者已知数，用x、y、z表示变量或未知数，几何中常以A、B、C、D表示点，以t、m表示直线，加、减、乘、除，用“+、-、×、÷”等符号来表示，平行于，垂直于分别用符号“∥、⊥”来表示，大于、小于用符号“>、-b≤x≤b。
数学(心得)之浅谈数学语言在课堂中的重要性
数学论文之浅谈数学语言在课堂中的重要性数学教育的根本目的在于培养数学能力，一般人思考或谈论数学学习能力，往往习惯于把它与运算能力、空间想象能力、数学观察能力、数学记忆能力和数学思维能力联系在一起，其实在数学学习活动中，语言的表达、训练有特定的内涵，而且还是数学课堂教学活动不可缺少的工具。
数学思维能力是数学能力的核心，数学语言与数学思维有着密切关系：数学语言既是数学思维的载体，又是数学思维的具体体现；它既是表达的工具，又是交流的工具。
一个学生数学语言的发展与数学思维的发展是相辅相成互为前提的，它也是提高数学课堂有效性的保证。
然而在数学教学中，我发现学生在数学课上常出现不能用语言清晰表达思维过程，有些题会做，但不会说理等情况，语言是思维的外壳，语言不足暴露的往往是思维上的问题。
怎么会出现这种情况呢？一、学生没有充分思考，语言缺乏清晰度有些教师一定碰到过这样的情况：一个问题问下去，有些学生马上举起小手，反应非常迅速，可是叫到他时却吱吱呜呜，回答不出来。
孩子没有经过充分的思考，急于在老师面前表现自己，结果很难一下子把想说的话说清楚。
如我在教学《体积和体积单位》后，我问：“怎样知道一个卢柑的体积？”马上就有学生举手了，结果让他起来回答，说了很多，也答到点子了，可是语言太多，其他同学听起来非常模糊。
教师在提出问题后，应该给孩子充分思考的时间，有些学生如果马上举手，急与回答，教师可以提醒学生再仔细想想，怎么说更好。
这样孩子就会用一定的时间去思考如何组织语言，尽量做到言简意赅，也会养成良好的习惯，在不断的练习中形成清晰的数学语言。
二、学生没有梳理思维，语言缺乏条理性数学语言很有条理的学生，逻辑思维的能力都非常强。
在数学中分析问题、解决问题尤其要求学生具有很强的条理性。
对于复杂的题型，更加要求学生具有梳理思维的能力，一步一步，条理清晰，复杂的难题自然变得容易起来。
如：“某加工厂加工一批机器零件，2个工人3小时加工18个。
数学语言浅谈
方 等等都要记下来 。书上有的知识点直接在书 ： 生平时 由于粗心大意而带来 的错误进行当面教 方法， 良好的学习习惯不止这些 ， 当然 学生要在学 上做标记就可以了。因为苏教 版物理书 每页上 ｔ 这样他们 的体会会更深刻。 育， 面都有大块 的空 白，建议 就记在书上相应 的内 ： 容旁边就可以了，这样和书上原有 的知识点就 ：
六、 合理充分利用时间的习惯
培养学生好的学习习惯时，还应特别注意以下三
耐 间就是知识 ，浪费了时间就等于少学了知 点 ：教师的榜样作用。 １ ． 榜样是无声的命令。 教师做
构成了一个完整的知识点体 系 ， 便于课后复习。・ ， 当然成绩也不会好的， 这样长期耳濡 目染 ， 在潜移默化 中使学生 识 所以要注意充分利用时 好榜样，
盂 教科文组织将有效的数学交流 个方 向被改进 的结果 ：①按简化 自然语 言的方 译的过程体现对立统一的辩证思想 ，有助于不 隳 作为学习 数学的目 标之一， 向。②按克服 自然语言 中含糊不清 的毛病 的方 同思路 的转换与问题化归。 实现
事实上， 数学 害 蓑 效 流 前 是 习 掌 ③按扩大它表达范围的方向。 有 交 的 提 学 和 握 向。
的习惯应尽早培养。３ ． 各种习惯的培养应综合实 施。 学生在物理学习过程中出现 的困难或错误， 其
会做 ， 但是 由于书写不工整 ， 格式 不规范 ， 或者 ・
学 习资料要 保存好 ， 并做 好分类工作 ， 还要 成因往往是由于多种不 良学习习惯综合造成 的。
答题不严谨 ， 造成 了不必要的失分 。 如果是在做 ： 做好记号。学习资料 的分类包括练习题 、 试卷 、 因此 ， 对学生学习习惯的培养 ， 要通盘考虑 ， 综合 实验过程中不能严肃认真 、 一丝不苟 ， 往往还会 － 实验报告等等。做记号是指 ， 方说做过 的练习 培养， 比 实施全面发展的战略。
结合四年级下册数学谈谈数学语言
结合四年级下册数学谈谈数学语言
数学语言是指用来表达数学概念、问题和推理的专门词汇和表达
方式。
在四年级下册的数学中，学生开始接触更加复杂的数学问题和
概念，因此数学语言也随之扩大和深化。
首先，数学语言包括了常用的数学运算和符号，如加减乘除等。
学生在四年级下册会进一步学习多位数的加减法，乘法口诀表，以及
简单的除法运算。
对于这些运算，学生需要掌握相关的运算符号，如+、-、*、/，以及阿拉伯数字的表示方法。
其次，数学语言还包括数学概念和属性的表达。
在四年级下册的
数学中，学生会学习到分数、小数、几何图形的性质等概念。
他们需
要学会用恰当的数学术语来描述这些概念和属性，如分子、分母、十
分之几、平行四边形、圆等。
此外，数学语言还需要用来表达推理和解决问题的方法和步骤。
在四年级下册的数学中，学生会开始接触到代数的初步概念，如变量、代数式等。
他们需要学会用代数语言来表示问题，并运用数学思维和
方法进行解答，如表示未知数的字母、列方程式、推理解决等。
最后，数学语言还需要用来描述数据和统计的概念。
在四年级下
册的数学中，学生会学习到图表的阅读和分析，以及统计的基本概念
和方法。
他们需要学会用数学语言来描述数据的特征和趋势，如平均数、中位数、众数、柱状图等。
综上所述，数学语言在四年级下册的数学中发挥着重要的作用，
它不仅是学生理解和解决数学问题的工具，还是培养学生数学思维和
推理能力的重要手段。
因此，学生应该注重数学语言的学习和应用，
不断丰富和提升自己的数学口语表达能力。
浅谈数学教学中的三种语言的理解
浅谈数学教学中的三种语言的理解数学语言是进行数学思维和数学交流的工具，根据外部特征，可以分为三种：文字语言，图形语言和符号语言。
数学语言的掌握是一个人数学能力和数学素养的主要反映。
数学考试中的阅读题，就是主要考查学生语言的掌握情况。
但学生往往在解答这种类型的题时，有的不知道怎样解答，有的不知道怎样阐述，有的知其然不知其所以然，究其原因，主要在于数学语言的掌握较差。
因此，在数学教学中，要加强对三种语言的理解。
下面浅谈一下我在教学中的做法，供大家参考。
1．文字语言的理解。
数学文字语言的特征是精练、严密。
在教学中，应遵循教师是学生学习的促进者、引导者、合作者的思想，加强学生对文字语言的理解训练，帮助学生提高文字语言的理解能力。
1．1 运用比较法理解。
教学中把要学的新知识与已经学习过的知识中易混淆的地方加以对比，帮助理解。
如：学习“空间向量的分解定理”时，可以与“平面向量的分解定理”对比，相同点都是对“任意向量”“唯一”地线性表出，不同点是：①共面与共线；②有序实数对与三元有序数组。
又比如比较互补、邻补、同旁内角互补等，都是位置不同，而数量和相同。
1．2 扩句、缩句帮助理解。
在教学过程中，对精练的文字，特别是定义、公理、定理，可借助于扩句或缩句来帮助学生理解。
如“对顶角相等”扩成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，这样学生就明白了条件和结论。
有时可以缩句理解，如数轴定义，可这样理解：“（规定了原点，单位长度和正方向的）直线叫数轴”。
不是任意直线，而是要有三要素，从而让学生掌握数轴的概念。
1．3 多角度理解。
多角度理解，可以让学生全面理解知识、掌握知识。
如“两条直线垂直的充分必要条件”是什么，可从所成的角度上理解，也可从两条直线方程的一般式理解，还可从两条直线的斜截式去理解。
多角度的再现强化理解，激活思维，培养发散思维能力。
1．4 译成符号语言、图形语言理解。
几何式的定义、定理的结论，采用这种方法，能让学生一目了然，同时这也是解答文字语言证明题的必然方法，如：画出符合题意的图形，结合图形将条件和结论用符号语言表出。
浅谈小学数学教学中数学语言的培养
浅谈小学数学教学中数学语言数学学习活动基本上是数学思维活动，而数学语言是数学思维的工具，所以掌握数学语言是顺利地、有成效地进行数学学习活动的重要基础之一。
我们应当把培养学生的数学语言和数学知识的学习紧密地结合起来，将它看成是数学学习的重要组成部分。
这样才能更好地锻炼学生思维的条理性、逻辑性和准确性。
１学会阅读数学，从中感悟数学语言数学语言具有高度抽象性，因此数学阅读需要较强的逻辑思维能力。
学会有关的数学术语和符号，正确依据数学原理分析逻辑关系，才能达到对书本的本真理解。
同时数学有它的精确性，每个数学概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，结论错对分明，因此数学阅读要求认真细致，同时必须勤思多想。
要想真正的学好数学，使数学素质教育的目标得到落实，使学生不再感到数学难学，我觉得必须重视数学阅读，这其实是一个很简单的道理——书看得多的人，他们的口语表达能力和作文水平相对比看得少的要好。
同时这样也能真正做到以学生为主体，教师为主导的“双主”教学思想。
２在教师的潜移默化中形成数学语言数学教师的语言应该是学生的表率。
因为儿童具有很强的模仿力，教师的数学语言直接影响着学生的数学语言。
所以教师的语言力求用词准确、简明扼要、条理清楚、前后连贯、逻辑性强。
这就要求教师不断提高自身的语言素养，通过教师语言的示范作用，对学生的初步逻辑思维能力的形成施以良好的影响。
比如：在教学《现代小学数学》四年级上册的乘法运算定律的简便运算时：44×25=？我教给学生的一种算理：44×25=11×（4×25）是根据三年级学过的把一个数分解为两个数的乘积，再运用乘法结合律。
我讲述后，又请几名学生复述这种算理并且出了几题类似的题目让学生自己说。
接着再问，还有比其它的解题方法呢？既让学生巩固这种算理，又再次给学生提供语言训练的机会，转为学生讲，老师听的轻松氛围而且还发展了学生的思维（还可以用乘法分配律：（40+4）×25）。
浅谈数学教学中语言的重要性
浅谈数学教学中语言的重要性语言是一门艺术，同样语言也是博大精深的，语言体现在各个领域中，有语文语言、数学语言等等。
语言让人与人的沟通变得方便快捷，同样的语言用在不同的领域它的含义也是不尽相同的。
因此处在什么样的环境要用什么样的语言，只有掌握好语言的真正含义在学习和生活中才能对自己起到最大帮助。
语言在不同的领域都有自身很大的重要性，一个词语理解错误，那么它的含义就会差上十万八千里，从而影响我们的理解，在一些重要环节可能会导致很大的失误。
数学语言在经过这么多年的总结沉淀之后它可以分为抽象性数学语言和直观性数学语言，其中包括了数学的概念、术语、符号、式子、图形等。
数学语言又可归结为文字语言、符号语言和图形语言三类。
数学语言是数学理论的基本构成成分，数学语言是科学简洁和通用的。
在数学课堂教学中，语言是教师与学生交流的主要途径，那么在教学中一定要做到以下几点，保证课堂的高效、准确性。
一、语音是一个关键点在这还是要说到中国语言的博大精深，一个字会有几个音，那么每个音的含义当然也是不同的，因此在教学中教师和学生都应说好普通话，把语音找准，只有语音准了才能正确理解数学的真正含义，不然因为语音的错误而造成误解，那么会给教师和学生带来很大的困扰。
二、在数学教学中要把自然语言与数学语言相结合因为在学生学习中都是用自然语言交流，但是在初中数学中学生所学习的知识都已经由自然语言变成了数学语言，因此我们必须让学生过渡到数学语言学习中。
比如，在数学学习中凡是涉及数学语言、符号代表时我们都可以先用通俗的自然语言给学生讲解，让学生全面理解它的含义，然后教会学生使用数学语言。
最好的方法就是让学生看到数学语言的好处，比如一个数学语言符号符号“sin”“cos”分别表示三角函数中正弦、余弦，这个数学含义如果用自然语言解释的话就会是一个长篇文段，但是用数学语言来表达它就是很简单的一个符号。
因此，当学生意识到使用数学语言的好处之后自然会慢慢喜欢上它，并且尽心尽力去多学习一些数学语言，从而帮助自己提高学习效率。
浅谈数学教学中的语言
浅谈数学教学语言语言是人类交际的重要工具。
作为课堂教学，教师的语言表达水平直接影响着教学的效果。
要提升教学质量，就应该提升教学语言的艺术性。
一、语言亲切，富有情感教学语言是师生双方传递信息和交流思想感情的载体，亲切、感人的教学语言最能使学生保持积极舒畅的学习心境，最能唤起学生的热情，从而产生不可低估的力量。
正如古人讲的“感人心者，莫先乎情”。
教师在教学中，无论是讲授知识，还是对待学生，语言都应亲切，富有情感。
特别是对待差生，更应做到这个点，以此维护他们的自尊心，激励他们的上进心，应细心寻找他们的“闪光点”，从而给予“表扬和鼓励”，使他们感到自己的进步，激发他们的学习动机。
即使错了，也用委婉的话语指出其不足。
当然，表扬、激励、鼓舞都必须有的放矢，不失分寸。
相反，教师如果对学生的错误过多地批评、指责、甚至讽刺、挖苦，那就会使学生失掉学习数学的信心，由厌恶数学老师到厌恶数学学科，这不能不说是教学的失败。
著名教育家魏书生非常注意这个点，有时他一眼就看出学生的结果是错误的，但却还是喜欢以温和的态度、亲切的语调、慈祥的目光和学生一个一个地查看。
学生回答问题时，用“你答得很好”、“你并不比别人差”、“你也许课前忘了复习，若课前看了。
我相信你是能够回答的”等，这样做到了多鼓励，少指责；多实行正面指导，少板起面孔训人，让学生在学习上有信心，有奔头，有积极性，使他们能“亲其师而信其道”。
二、语言生动，确保通俗数学具有高度的抽象性，而高度抽象的数学内容又能够凭借十分生动具体的材料作原型、小学生的学习心理尚处于“开放期”，他们纯真、活跃，表现出强烈的求知欲和好奇心。
所以，在教学中善于使用贴近学生生活的事例、简明扼要的口诀、脍炙人口的名言以及充满时代气息的语言，把教学内容讲得生动、通俗，学生就能更深刻地理解知识。
追求语言的生动、通俗，但不要出现粗俚的语言，而应该是文明、规范、高雅，蕴含着丰富知识乳汁的语言。
所谓语言精炼，就是要求教师在课堂教学中，“少说废话”，用最少的语句表达更丰富的内客。
浅谈数学教学与数学语言
浅谈数学教学与数学语言数学教学和数学语言的关系密切。
数学教学一般采用语言和符号进行交流，通过口头和书面语言进行讲解和理解数学概念、方法和定理。
数学语言在数学教学中起着至关重要的作用，它是数学教学的基础。
而有效的数学教学则能够促进学生对数学语言的理解和运用，使学生掌握数学知识和技能。
数学教学应重视数学语言的表达和交流。
语言是思维的载体，是人类思维活动的重要工具，而数学语言则是表达数学思想和概念的特殊语言。
在数学教学过程中，教师应注重培养学生运用数学语言进行表达和交流的能力，鼓励学生进行数学思维的表达，促进学生形成自己的数学语言体系。
通过语言的表达和交流，学生可以更好地理解数学概念和方法，提高自己的数学能力。
数学教学要注重激发学生的数学兴趣和创造力。
数学语言不仅是一种工具性的语言，更是一种艺术性的语言。
在数学教学中，教师应当通过生动、灵活的数学语言，激发学生对数学的浓厚兴趣和积极性，引导学生在数学学习中追求思想的乐趣和心灵的愉悦。
教师还要鼓励学生发挥自己的数学创造力，培养学生运用数学语言进行独立的思考和探索，开发学生的数学潜能，使学生在数学学习中不断超越自己。
总结而言，数学教学与数学语言是息息相关的。
数学教学应该注重培养学生对数学语言的理解和运用能力，关注数学语言的逻辑性和严谨性，激发学生的数学兴趣和创造力。
只有在教学中注重数学语言的重要性，才能更好地提高学生的数学学习能力，促进学生在数学领域的全面发展。
希望教育界能够重视数学教学与数学语言的关系，为学生提供更高质量的数学教育。
【注：本文是由人工智能助手协助创作的原创文章】。
浅谈数学教学与数学语言
浅谈数学教学与数学语言数学教学是指导学生学习数学知识和技能的教学活动。
而数学语言则是数学教学中所涉及到的语言，包括数学概念、符号、表达式等。
数学教学与数学语言密不可分，无法分割开来。
下面我们就浅谈数学教学与数学语言这一话题展开讨论。
数学教学是一个系统和复杂的过程。
数学是一门抽象的科学，它看似简单实则深奥复杂。
要想有效地教授数学知识，需要借助适当的教学方法和工具，使得学生在理解数学概念和运用数学方法时更容易。
数学教学需要注意培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，而不是单纯灌输知识。
数学教学需要考虑学生的特点和认知规律，采取不同的教学方法来满足不同学生的学习需求。
在数学教学中，数学语言的使用至关重要。
数学语言是数学知识的表达和传播工具，通过数学语言可以将数学知识和方法传授给学生。
在教学中，教师需要正确、清晰地使用数学语言，使得学生能够准确理解数学概念和方法。
学生也需要通过数学语言来表达自己的思想和理解，通过语言交流和互动来促进学习。
数学语言不仅包括数学符号和表达式，还包括数学概念和思维方式。
教师需要教导学生正确的数学概念和思维方式，引导他们用数学语言来描述问题、分析问题和解决问题。
通过正确的数学语言，可以帮助学生建立起对数学的正确理解和认知，提高数学学习的效果。
数学语言的学习也需要循序渐进，由浅入深。
数学语言的学习是一个渐进的过程，学生需要从简单的数学概念和符号开始学习，逐步扩展到复杂的数学概念和问题。
教师需要根据学生的学习情况，灵活运用数学语言来逐步引导学生深入理解和掌握数学知识。
数学语言的学习也需要与实际问题结合起来。
数学不是一种孤立的学科，它与现实生活密切相关。
教师可以通过引入一些实际问题，让学生通过数学语言来分析和解决问题，从而使学生更加深入地理解数学知识和方法。
通过实际问题的引入，可以帮助学生建立对数学的兴趣和信心，激发他们学习数学的积极性。
数学语言的学习还需要强调综合应用。
数学知识和方法是相互联系和相互影响的，学生需要通过综合应用的方式来加深对数学语言的理解和掌握。
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作者简介 ： 严宝珠 （９ ７ １５ 一
・
） 男 ， 黄梅人 ， ， 湖北 高级讲师。
因而 ， 这种 互译 能提 高我们 的数 学 素质 ， 以帮 助 我们 在 解 决 数学 问题 中获 得 可 更 宽 的思路及 更多 的方 法与 技 巧 。 当我们 面对种 种数学 问题 时 ， 他 们 的叙 述 以抽 象 的字母 和符号 语 若 所 言 出现 ， 在 审题 时应先 画出草 图（ 成 图象语 言 ）或 把 问题 表 述 为普 通 语 言 ； 问题 以普 通 语言 形 则 译 若 式表达 （ 如应 用题 ） 为 了便 于计 算 和进行 推理 ， ， 则需 要引进 字母 变量 建 立数学 模 型 （ 成 符号 语言 ） 译 。 在 有关 函数 和几何 的问题 中 ， 以图象语 言 出现 ， 析 图形 、 多 分 图象 必须 应 用 普 通 语 言 或 符号 语 言 （ 进 行 形 态 间的翻译工 作 ） 离 开 了符号 语 言往往 寸步难 行 。 ， 例 １ 画 出 ＋４ ｙ＋Ｙ ＝ １ 所表 示 的 曲线 的 图形 。
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第２ ７卷
第 １ 期
湖北 师范学 院学报 （ 自然科学 版）
Ｊｕｎｌ ｆ ｕｅ Ｎ ｒ ｌ ｎｖｒｔ Ｎ ｔ ａ Ｓｉｎｅ ｏｒａ ｏ ｂｉ ｏ ｉｅ ｉ Ｈ ｍａ Ｕ ｓ ｙ（ ａ ｒｌ ｃ ｃ ） ｕ ｅ
Ｖｏ． ７ １２ Ｎｍ ２０ ７ １． ０
浅 谈 数 学 语 言
／— ｌ 严 宝珠
（ 宁市 艺术 学校 ，湖 北 成 宁 成 ４７０ ） ３ １０
摘 要 ： 细地 叙 述 了数 学 语 言 的三 种 不 同 形 态及 各 形 态 问相 互 转 换 的 重要 性 ， 调 了这 种 互 换 能 力 在 解 决 详 强 数 学 问题 中的 作 用 ， 我 们 全 面培 养 学 生 的 素质 给 予 了新 的启 示 。 为
加清 晰 、 明了 与严谨 。
数学 语言形 态 间 的互 译 是指 一种 语言 形态 与另 一种 语 言形 态 之 间 的相 互 转 换 。 复杂 的数 学 研究
对象， 一般用单一的语言形态描述时较单调 ， 解决问题时的思维会受到束缚 。 若能同时用两 种以上的 语言形态加以表达 （ 将已知的语言形态同时译成另外两种语言形态） 则解决起来 可能就既容易又能 ， 满足数学 具有 科学 而 慎密 的逻 辑思 维结 构特 点 的需 要 。 以 ， 所 数学 语言 形 态 问的互译 是解决 复杂数 学
表述均采用此语言。如： ｓ ｘ ＣＳ，ｃｓｄ （ｉ ） Ｏ ｌ ｘｘ＝ｓｘ＋ｃ ｎ Ｘ ｏ ｉ ｎ 等公式。 各种几何 图形及 函数图形等 ， 则
是 图象 语言 。 图象 语 言有清 晰 的视 觉形 象 ， 能直观 地表 达概 念 、 理 的本质 及 相互 间 的关 系 ， 定 能将抽 象 的数学 问题具 体 化形 象化 ， 以帮助 理解 。 在教 科 书中 多与普 通 语言 或 符 号 语 言 结合 使 用 ， 以使 叙述 更
问题 的利器 ， 是化 难 为易 的 良方 。 在数学 学 习中进行 数 学语 言 各形 态 问的互译 ， 仅有 利于解 决难 题 ， 利于对 数 学知识 的理 解和 不 有 记忆 ， 为合理 、 洁 、 确地 用其 表达 数 学思维 过程铺 平道 路 。 畅的数 学 思维是 建 立在 准确 、 并 简 准 流 娴熟
关键词 ： 学语 言 ；互译 ；培养 数
中 图分 类 号 ： ６ ５ ０ ２ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ９２ １ （０ ７ ０ — １６ ０ １０ － ４ ２０ ） １ ０ １ — ３ ７
数 学教学 在传 授知 识 的同时对 学 生进 行 各方 面能 力 的培 养无 疑是 至关 重要 的 。在 实 际的教学过 程中， 要求 “ ” 生 ” 师 与“ 两个 方 面 ， 既要注 重基 础知识 ， 重 视各种 数 学思 维方 法 ， 也要 解题 技 能 、 技巧 的
训练 ， 还要 注重数 学语 言 的学 习 与运用 。学 习数 学语 言是数 学学 习 的基础 ， 数 学语言 表 现的各种 形 而
态 及各形态 间的关 系与 互译 ， 则是 打 开这 种语言 之 门 的钥 匙 。因此 ， 数学 语 言各 形态 特征 的熟 练掌握 与彼 此 间的互译 能 力 ， 就 充分 凸显 出了其在数 学学 习 中的重 要性 。我 们无 论处 在 何种学 习阶段 ， 也 都
必 须认清 这个 重要性 ， 视这 种 能 力 的培 养 。 重
何谓 数学 语 言？ 即 ： 切用 以反映数 量关 系和空 间形 式 的语 言 皆称数 学 语 言 。其 表 现形 态 可分 一 为普通语 言 （ 括 日常 口头 用语 与 书面 的文字 表述 ）符 号语 言 和 图象 语言 。这 三种 不 同 的语 言形 态 包 ， 在各类 数学 教科 书 中 ， 而独 立运 用 ， 时 时而 又相互 交 织在 一起 ， 成 了科 学 的 数 学语 言 体 系 。但 需 要 构 强调 的是 ： 同一数学 研 究对 象 中 ， 往也 可用上述 三 种不 同 的语 言形 态 表达 。 在 往 数学语 言 的不 同形态 各 有 自己的特点 ： 普通 语 言 比较 自然 、 动 、 懂 、 接 受 ， 能将 问题 中所 生 易 易 它 研究 对象 的含义 更 明 了地 叙 述 出来 ， 教科 书上 的各种 概念 、 定理 、 性质 等 多 以普通 语 言叙述 。例 如 ： 定 积分 性质 ：） 数 因子可 以提 到 积分 号外 ；） １常 ２ 函数代数 和 的积 分 ， 于 它们 积 分 的代 数 和 …… 等 。符 等 号语 言 比较简 洁 、 严谨 ， 可大 大缩 短语 言 表达 的“ 度 ”有 利 于推 理 、 长 ， 计算 ， 教科 书上 各 种数 学公 式 的