河海大学《数值分析》试卷2014级专硕

河海大学2014~2015学年第一学期

《数值分析》试卷(A)

（供港航14级、交通14级、水文14级等相关专业研究生使用）

2014年12月 19 日

学院 专业班级 学号 姓名 成绩

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 成绩 得分

一．（本题满分共32分）填空题

1. 求解方程2340x e x +-=的牛顿迭代公式是

。

2．1+n 个节点的插值型求积公式()∑⎰=≈n

k k k b

a

x f A dx x f 0

)(，其中

=k A ，它至少具有 次代数精度；

3．已知i i y x f =)(()n i ,,2,1,0 =，则n 次 Lagrange 插值多项式

()=x L n ；

插值余项()=x R n -)(x f ()=x L n 。 4．已知列表函数

x 3.2 3.4 3.6 3.8 ()x f

2

4 10

则用三点公式计算得(3.6)f '≈

。

5．解方程组 1212

364

+72x x x x +=⎧⎨=⎩ 的逐次超松驰法（SOR ）()05.1=ω取的迭代公

式为 。

6．解常微分方程初值问题的四阶 Runge--Kutta 公式的局部截断误差为()p h O ，其中=

p 。

7． 已知(1)=1, (2)=1.2, (3)=1.3,f f f 则用Simpson 公式计算求得

3

1()f x dx ≈⎰ ，用复合梯形公式计算求得3

1

()f x dx ≈⎰

。

8．解方程组1212351

20

x x x x +=⎧⎨+=⎩ 的雅可比迭代格式（分量形式）为

， 该迭代矩阵的谱半径()=J B ρ 。 二．（8分）为了求方程3

2

10x x --=在初始值5.10=x 邻近的一个根，把方程改写成以下等价形式： （1）2

3

1x x =+； （2）11

x x =

-； （3）21

1x x =+

试建立相应的简单迭代公式，并分析各迭代公式的收敛性，据此选择一种迭代

公式作为计算公式, 精确到小数点后第三位。

三．（6分） 已知数据表

x

1 2 4 6 ()x f

4 1 0 1

求满足上述插值条件的三次牛顿（Newton ）插值多项式。

四．（8分）用龙贝格算法计算积分dx x ⎰2

1

1

（要求二分三次，计算时保留小数点

后7位）。

五．（6分）设31094A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，25b ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

。 写出解b x A =高斯---塞德尔迭代的迭代公式，并问各迭代公式是否收敛，说明理由。

六．（8分）已知数据表

试用最小二乘法求形如2

+y a bx =的拟合曲线。

x

19

25 31 38 44 y

19.0 32.3 49.0 73.3 97.8

七．（8分）确定求积公式()()(0)(h)h

h

f x dx Af h Bf Cf -≈-++⎰

中的待定系数A 、

B 、C, 使其代数精度尽量高，并指明所得公式的代数精度。 八．（8

分）考虑初值问题2sin 0

(1)1y y y x y '⎧++=⎨=⎩

。取步长2.0=h ，试写出

用改进欧拉公式解上述初值问题的计算格式，并求)2.1(y 与(1.4)y 的近似值（计算结果保留小数点后5位）。

九．（8分）用直接三角分解法解方程组。

12312312325610413191963630

x x x x x x x x x +-=⎧⎪

+-=⎨⎪---=-⎩

()[-1,1]

2

x

f x s i n π=十（8分）设，在上按勒让德多项式展开求三次最佳平方 逼近多项式。