三角函数解题技巧和公式(已整理)
三角函数公式大全及记忆口诀
三角函数公式大全及记忆口诀
在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们在几何、物理、
工程等领域中都有着广泛的应用。
为了更好地掌握三角函数，我们
需要熟练掌握它们的公式，同时也需要一些记忆口诀来帮助我们记忆。
首先，我们来看一下三角函数的公式大全：
1. 正弦函数（sine function），sin(θ) = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cosine function），cos(θ) = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tangent function），tan(θ) = 对边/邻边。
4. 余切函数（cotangent function），cot(θ) = 邻边/对边。
5. 正割函数（secant function），sec(θ) = 斜边/邻边。
6. 余割函数（cosecant function），csc(θ) = 斜边/对边。
这些公式是我们在解决三角函数相关问题时经常会用到的，熟练掌握它们对我们的学习至关重要。
除了公式外，记忆口诀也是我们学习三角函数的好帮手。
下面是一个简单的记忆口诀：
正弦对，余弦邻，正切比，余切颠，正割斜，余割对。
这个口诀可以帮助我们记忆三角函数的定义和关系，使我们更容易在解题时迅速找到正确的公式和方法。
总之，三角函数是数学中的重要内容，掌握好三角函数的公式和记忆口诀，对我们的学习和工作都有着重要的帮助。
希望大家能够通过不断的练习和记忆，熟练掌握三角函数，为自己的数学学习打下坚实的基础。
常用三角函数公式及口诀
常用三角函数公式及口诀三角函数是数学中非常重要的一部分，它经常在几何、物理、工程等各个领域中被广泛应用。
掌握常用的三角函数公式和口诀，将有助于我们更好地理解和应用它们。
下面是一些常用的三角函数公式及口诀：一、三角函数的定义：在一个直角三角形中，正弦(sin)定义为对边与斜边的比值，余弦(cos)定义为邻边与斜边的比值，正切(tan)定义为对边与邻边的比值。
即：sin(θ) = 对边 / 斜边cos(θ) = 邻边 / 斜边tan(θ) = 对边 / 邻边二、特殊角的三角函数值：1.30°角特殊值：sin(30°) = 1/2cos(30°) = √3/2tan(30°) = 1/√32.45°角特殊值：sin(45°) = √2/2cos(45°) = √2/2tan(45°) = 13.60°角特殊值：sin(60°) = √3/2cos(60°) = 1/2tan(60°) = √3三、基本三角函数的性质：1.正弦、余弦的周期性：sin(θ) = sin(θ + 2π)cos(θ) = cos(θ + 2π)2.正弦、余弦的对称性：sin(-θ) = -sin(θ)cos(-θ) = cos(θ)3.正弦、余弦的平方和为1：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 14.正切的周期性：tan(θ) = tan(θ + π)四、和差角公式：1.正弦和差角公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B) 2.余弦和差角公式：cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)3.正切和差角公式：tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1 ∓ tan(A)tan(B))五、倍角公式：1.正弦倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)2.余弦倍角公式：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A) 3.正切倍角公式：tan(2A) = 2tan(A) / (1 - tan^2(A))六、半角公式：1.正弦半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cos(A)) / 2]2.余弦半角公式：cos(A/2) = ±√[(1 + cos(A)) / 2]3.正切半角公式：tan(A/2) = ±√[(1 - cos(A)) / (1 + cos(A))]七、和差化积公式：1.正弦和差化积公式：sin(A) + sin(B) = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]sin(A) - sin(B) = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] 2.余弦和差化积公式：cos(A) + cos(B) = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cos(A) - cos(B) = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]。
高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)
高中数学《三角函数》详解+公式+精题（附讲解）引言三角函数是中学数学的基本重要容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个容。
其考查容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。
两倍角的正弦、余弦、正切。
、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。
要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。
了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。
由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。
2．近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。
每年有 2 — 3 道选择题或填空题，或 1 — 2 道选择、填空题和 1 道解答题。
总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。
（ 1 ）关于三角函数的图象立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与 y=sinx 的图象关系。
根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。
如 2000 年第（ 5 ）题、（ 17 ）题的第二问。
（ 2 ）求值题这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。
如 2002 年（ 15 ）题。
（ 3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题（ 4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。
一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。
如 2001 年（ 7 ）题。
（ 5 ）关于反三角函数， 2000 — 2002 年已连续三年不出现。
（ 6 ）三角与其他知识的结合（如 1999 年第 18 题复数与三角结合）今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话，应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。
三角函数解题技巧和公式(已整理)
浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中.面对三角函数内容的相关教学时.积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±.必可推出)2sin (cos sin ααα或.例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中.θθcos sin -已知.只要求出θθcos sin 即可.此题是典型的知sin θ-cos θ.求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ.sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ.θθcos sin ±.sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin θ+cos θ=m 2.且tg θ+ctg θ=n.则m 2 n 的关系为（ ）。
三角函数相关公式及规律
一.任意角三角函数：1.角度制与弧度制：0180=rad π⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≈≈⇒003.57101745.01rad rad2.象限角：如果α第一象限的角：)22,2(πππα+∈k k 则∈2α第一象限或第三象限，∈α2第一象限或第二象限 如果α第二象限的角：)2,22(ππππα++∈k k 则∈2α第一象限或第三象限，∈α2第三象限或第四象限如果α第三象限的角：)232,2(ππππα++∈k k 则∈2α第二象限或第四象限，∈α2第一象限或第二象限如果α第四象限的角：)22,232(ππππα++∈k k 则∈2α第二象限或第四象限，∈α2第三象限或第四象限3.三角函数的定义：一般地，设角α终边上任意一点的体坐标为),(y x ,则二.三角公式1.同角三函数的关系:1cos sin 22=+αα αααcos sin tan =αα22cos 11tan =+ 2.诱导公式：主要应用于α的三个三角函数值与)(2Z k k ∈⋅+πα的三个三角函数值之间的关系（“奇变偶不变，符号看象限” 、“全、S 、T 、C”）(注：这里面所说的“奇”和“偶”指的是2π的系数k ,如果k 是奇数，则三角函数中的正弦变成余弦，余弦变成正弦，如果是偶数，则不改变三角函数的名称。
正负号由)(2Z k k ∈⋅+πα的象限决定)(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+∈=+=+,tan )2tan()(,cos )2cos(,sin )2sin(απααπααπαk z k k k 其中 )(函数值相等终边相同的角的各三角 (2)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-=+,tan )tan()(,cos )cos(,sin )sin(ααπαπααπααπ是第三象限角其中 (3)⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-,tan )tan(),,(,cos )cos(,sin )sin(αααααα而余弦是偶函数正切是奇函数其中正弦 (4)⎪⎩⎪⎨⎧-=---=-=-,tan )tan()(,cos )cos(,sin )sin(ααπαπααπααπ是第二象限角其中 (5))2(,sin )2cos(,cos )2sin(是第一象限角其中απααπααπ-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=- (6)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-,sin )23cos(,cos )23sin(ααπααπ)23(是第三象限角其中απ-(7)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+,sin )2cos(,cos )2sin(ααπααπ)2(是第二象限角其中απ+ (8)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+,sin )23cos(,cos )23sin(ααπααπ)23(是第四象限角其中απ+ (9) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--,sin )23cos(,cos )23sin(ααπααπ)23(是第一象限角其中απ-- (10) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=--,sin )2cos(,cos )2sin(ααπααπ)23(是第三象限角其中απ-- (11) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-----=--=--,tan )tan()(,cos )cos(,sin )sin(ααπαπααπααπ是第二象限角其中 3.两角和与差的三角函数公式:βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±4.二倍角公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=-=--=-+==ααααααααααααααααα244222222tan 1tan 22tan sin cos 1cos 2sin 21sin cos 2cos )cos (sin 11)cos (sin cos sin 22sin5.半角公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-=+=αααααααcos 1cos 12tan 2cos 12sin 2cos 12cos 222(降幂扩角公式)αααααααcos 1cos 1sin cos 1cos 1sin 2tan+-±=-=+=6.积化和差公式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--+-=-++=--+=-++=)]cos()[cos(21sin sin )]cos()[cos(21cos cos )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα 7.和差化积公式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+-=--+=+-+=--+=+2sin2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα 8.辅助角的三角函数公式],[)sin(cos sin 222222b a b a b a b a y ++-∈±+=±=ϕααα)tan ,cos ,sin (2222a bb a ab a b =+=+=ϕϕϕ其中9.关于一般三角函数)sin(ϕω+=x A y 的性质(0,0>>ωA )(1)振幅：A (2)||2:min ωπ=+T 周期 (3)T f 1:=频率πω2||= (4)ϕω+x :相位 (5)ϕ:初相 10.正弦函数：x y sin =(1)定义域：R x ∈ (2)值域：]1,1[-∈y (3)单调性：↓++∈↑+-∈]232,22[,]22,22[ππππππππk k x k k x(4)周期性:最小正周期为π2 (5)奇偶性:奇函数 (6)对称轴方程:2ππ+=k x ,相邻两条对称轴间的距离是最小正周期的一半.(7)当自变量取对称轴时,函数值取得最大值或最小值. (8)当22ππ+=k x 时,函数取最大值1;(9)当232ππ+=k x 时,函数取最小值－1.(10)相邻的两个最大值之间的水平距离是一个最小正周期; (11)相邻的两个最小值之间的水平距离是一个最小正周期;(12)相邻的一个最大值和一个最小值之间的水平距离是一个最小正周期的一半. (13)对称点: )0,(πk ,相邻的两个对称点间的距离是最小正周期的一半. 11.余弦函数x y cos =(1)定义域:∈x R (2)值域]1.1[:-∈y (3)单调性：↑++∈↓+∈]22,2[,]2,2[πππππππk k x k k x (4)周期性:最小正周期为π2(5)奇偶性:偶函数(6)对称轴方程:πk x =(7)相邻两条对称轴间的距离是最小正周期的一半 (8)当自变量取对称轴时,函数值取得最大值或最小值 (9)当πk x 2=时,函数取最大值1(10)当ππ+=k x 2时,函数取最小值－1(11)相邻的两个最大值之间的水平距离是一个最小正周期 (12)相邻的两个最小值之间的水平距离是一个最小正周期(13)相邻的一个最大值和一个最小值之间的水平距离是一个最小正周期的一半.(14)对称点方程: )0,2(ππ+k12.正切函数x y tan =(1)定义域: 2ππ+≠k x(2)值域R y ∈: (3)单调性：↑+-∈)2,2(ππππk k x(4)周期性:最小正周期为π (5)奇偶性:奇函数 (6)对称点方程: )0,(πk13.图象变换：由x y sin =到)sin(ϕω+=x A y +B 的图像变换：(1)值域:]||,||[B A B A y ++-∈(2)单调区间(利用复合函数的“同增异减”原理来判定)当0>ω时:○1]22,22[ππππϕω+-∈+k k x 解出x 的区是为单调递增区间○2]232,22[ππππϕω++∈+k k x 解出x 的区是为单调递减区间 当0<ω时:○1]232,22[ππππϕω++∈+k k x 解出x 的区是为单调递增区间 ○2]22,22[ππππϕω+-∈+k k x 解出x 的区是为单调递减区间(3)对称轴方程的求法:令2ππϕω+=+k x 解出x 并注明Z k ∈(4)对称点的求法: 令πϕωk x =+解出x 并注明Z k ∈(5)限定定义域求值域：根据定义域x 的范围求出ϕω+x 的范围，然后根据三角函数的图象求出)sin(ϕω+x 的范围，进而求出)sin(ϕω+=x A y 的范围.。
(完整版)三角函数公式大全(最新整理)
csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2 cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
常用公式表（一）
1。乘法公式
（1）（a+b）²=a2+2ab+b2
三角函数和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
常用公式表（二）
///
///
1、求导法则：（1）（u+v） =u +v （2）（u-v） =u -v
/
/
（3）（cu） =cu
/
（1）（c） =0
/
//
（4）（uv） =uv +u v
2、基本求导公式：
a/
a 1
（2）（x ） =ax
（5）
u v
uv uv v2
x/x
（3）（a ） =a lna
（1） 直线形式：点斜式： y y0 kx x0
斜截式：y=kx+b
y y1
x
x1
两点式： y2 y1 x2 x1
（2）直线关系： l1 : y k1 x b1
l2 : y k2 x b2
平行：若 l1 // l2 ，则 k1 k2
三角函数常用公式及用法
三角函数常用公式及用法珠海市金海岸中学 唐云辉1、终边相同的角及其本身在内的角的表示法：S=},360|{0Z k k ∈⋅+=αββ，或者},2|{Z k k S ∈+==παββ用法：用来将任意角转化到0～π2的范围以便于计算。
公式中k 的求法：如是正角就直接除以；的，剩余的角就是公式中要求的，得到的整数就是我们或απk 23600如果是负角，就先取绝对值然后再去除以后再取相反数，得到的整数加或者123600π就是上述公式中的k,减去剩余的角的值。
或者等于πα236002、L 弧长=αR=nπR180 S 扇=21L R=21R 2α=3602R n ⋅π 用法：前者是弧长公式，用以计算圆弧的长度；后者为扇形的面积公式，用以计算扇形的面积。
3.三角形面积公式：S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sinB sinC sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=CBA c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4．同角关系：（1）、商的关系：①θtan =x y =θθcos sin 用法：一般用来计算三角函数的值。
（2）、平方关系：1cos sin 22=+θθ用法：凡是见了m =±ααcos sin 或者αααα22cos sin cos sin ±±的形式题目都可以用上述平方关系进行运算，遇到m =±ααcos sin 就先平方而后再运算，遇到αααα22cos sin cos sin ±±这类题目就联想到分母为“1”=αα22cos sin +进行运算即可。
（3）、辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕθθθ±+=±b a b a （其中a>0,b>0，且ab=ϕtan ） 用法：用以将两个异名三角函数转化成同名三角函数，以便于求取相关的三角函数。
三角函数解题技巧和公式（已整理）
三角函数解题技巧和公式（已整理）浅论关于三角函数的几种解题技巧一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )co s (s i n 222±=±+=±故知道)c o s(s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=?=?+=2、关于tan θ+cotg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tan θ+cot θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tan θ+cot θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tan θ+cot θ=n ，则m 2 n 的关系为（）。
A ．m 2=nB ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22mn = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ而：n ==+θθθθcos sin 1cot tan故：1212122+=?=-nm n m ，选B 。
三角函数解题技巧有哪些
三角函数是中考数学中一个重要考点，掌握三角函数解题技巧很重要，下面整理了一些三角函数解题技巧，供大家参考。
三角函数解题技巧
1、先化简再求值，将式子化成能够利用题设已知条件的最简形式。
2、从已知条件出发，选择合适的三角公式进行变换，推出要求式的值。
3、将已知条件与求值式同时化简再求值。
解题模型
第一步，观察已知与未知是否为同一个角，若相同，则利用同角的基本关系求解，若不同则进行第二步。
第二步，观察已知与未知是否为同倍角，若相同，则求两角的和差为特殊值，利用已知角表示未知角化为同角问题，进行第一步，若不同则进行第三步。
第三步，因为已知与未知不是同倍角。
所以可将低倍角平分再降次升高角的倍数，或者展开高倍角降低角的倍数，角同倍数后进行第二步。
三角函数的常见技巧性公式
1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
2、sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
3、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
4、cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
5、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
6、tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)。
三角函数中的常考题型及其解法
三角函数中的常考题型及其解法三角函数中常考题型及解法：一、求解三角函数值1、求正弦函数值解法：使用正弦定理进行求解，总结如下：（1）正弦定理（用于直角三角形）：a/sinA=b/sinB=c/sinC；（2）正弦表：常记正弦值，如15°的正弦值是0.2588；（3）半角公式：sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]；（4）倍角公式：sin2x=2sinxcosex。
2、求余弦函数值解法：使用余弦定理进行求解，总结如下：（1）余弦定理（用于直角三角形）：a²=b²+c²-2bc·cosA；（2）余弦表：常记余弦值，如45°的余弦值是0.7071；（3）化简余弦值：常用公式或知识点化简余弦值，如极限化简，勾股定理等；（4）半角公式：cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]；（5）倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x。
三、求解三角函数表达式1、求正弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2sin(x+π/6)的图形，可将之前已知的普通正弦图形向右移动π/6，并放大2倍；（2）也可用公式求解，如求函数y=2sin(x+π/6)，用单位正弦函数表示法，则有y=2sin(x)·cos(π/6)+2cos(x)·sin(π/6)。
2、求余弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2cos(x+π/6)的图形，可先求出正弦函数的图像，再进行垂直翻转；（2）也可用公式求解，如求函数y=2cos(x+π/6)，用单位余弦函数表示法，则有y=2cos(x)·cos(π/6)-2sin(x)·sin(π/6)。
三角函数解题技巧和公式_已整理_
浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解 题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下： 一、关于 ) 2 sin ( cos sin cos sin a a a a a 或 与 ± 的关系的推广应用：1 、 由于 a a a a a a a a cos sin2 1 cos sin 2 cos sin ) cos (sin 2 2 2 ± = ± + = ± 故知道 ) cos (sin a a ± ，必可推出 ) 2 sin ( cos sin a a a 或 ，例如：例1已知 q q q q 3 3 cos sin , 33cos sin - =- 求 。
分析：由于 )cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2 2 3 3 q q q q q q q q + + - = - ]cos sin 3 ) cos )[(sin cos (sin 2 q q q q q q + - - = 其中， q q cos sin - 已知，只要求出 q q cos sin 即可，此题是典型的知 sin q -cos q ，求 sin q cos q 的题型。
解：∵ qq q q cos sin 2 1 ) cos (sin 2 - = - 故： 31cos sin 3 1 ) 3 3 (cos sin 2 1 2 = Þ = = - q q q q ]cos sin 3 ) cos )[(sin cos (sin cos sin 2 3 3 q q q q q q q q + - - = - 3 94 3 1 3 3 ] 3 1 3 ) 3 3 [( 3 3 2 = ´ = ´ + =2、关于tg q +ctg q 与sin q ±cos q ，sin q cos q 的关系应用： 由于tg q +ctg q = qq q q q q q q q q cos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 2 2 =+ = + 故：tg q +ctg q ， q q cos sin ± ，sin q cos q 三者中知其一可推出其余式子的值。
三角函数中万能公式总结
两角和与差的三角函数
三角函数基本公式总结
1．和、差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；
β
αβαβαtg tg tg tg tg 1)(±=±． 2
α2sin α2tg =3αsin 42sin α
5sin α=6)]sin()[sin(2cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(2
sin cos βαβαβα--+=； )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(2
1sin sin βαβαβα--+-=． 7．和差化积公式
2cos 2sin 2sin sin βαβ
αβα-+=+；2
sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-；
2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-． 倍角、半角的三角函数
二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:
由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定.
进一步得到半角公式
而是正是负取决于所在的象限
:.
tan也可表示
，，这组公式叫做“万能”公式.
数公式推出.。
三角函数记忆顺口溜 记忆的方法和技巧
三角函数记忆顺口溜记忆的方法和技巧三角函数是基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
1 三角函数记忆口诀三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图像单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割;中心记上数字一，连结顶点三角形。
向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。
诱导公式就是好，负化正后大化小，变成锐角好查表，化简证明少不了。
二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。
两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。
和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。
条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。
公式顺用和逆用，变形运用加巧用;一加余弦想余弦，一减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范;三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围;利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。
1 三角函数万能公式怎幺记1）正弦：1 加切方除切倍。
要注意‘除’的含义。
2）余弦：阴阳相比是余弦。
解释：化学中‘阴’指‘-’‘阳’指‘+’3）正切：用正余弦之比即可1 三角函数公式大全倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系：sin (α)+cos(α)=11+tan (α)=sec(α)1+cot (α)=csc(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin (α)+cos(α)=1tan α *cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]=sin（a+θ）*sin（a-θ）坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h 与水平高度l 的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i 表示，即i=h / l, 坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角），那幺i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cos (a)-Sin (a)2.Cos2a=1-2Sin (a)3.Cos2a=2Cos (a)-1即Cos2a=Cos (a)-Sin (a)=2Cos (a)-1=1-2Sin (a)正切tan2A=（2tanA）/（1-tan (A)）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a ·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)(60°-a)cos3a=4cos a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2) ]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)现列出公式如下: sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan (α))cos2α=cos(α)- sin (α)=2cos(α)-1=1-2sin (α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。
三角函数的万能公式与和差角公式
三角函数的万能公式与和差角公式三角函数是数学中常见的一类函数，涉及到角度和三角比例的关系。
在解决各种三角函数问题时，我们可以利用万能公式和和差角公式来简化计算和推导过程。
本文将详细介绍三角函数的万能公式和和差角公式，并给出示例说明其在解决实际问题中的应用。
一、三角函数的万能公式三角函数的万能公式指的是正弦函数、余弦函数和正切函数之间的关系式。
具体而言，我们有以下三个公式：1. 正弦函数的万能公式：sinθ = 2 · sin(θ/2) · cos(θ/2)这个公式告诉我们，任意一个角的正弦值可以表示为两个半角的正弦值的乘积。
2. 余弦函数的万能公式：cosθ = cos²(θ/2) - sin²(θ/2)这个公式告诉我们，任意一个角的余弦值可以表示为两个半角的余弦值的差。
3. 正切函数的万能公式：tanθ = 2 · tan(θ/2) / (1 - tan²(θ/2))这个公式告诉我们，任意一个角的正切值可以表示为两个半角的正切值的比。
利用三角函数的万能公式，我们可以简化计算和推导过程，并在实际问题中应用。
二、和差角公式和差角公式将两个角的三角函数值联系了起来，是解决相关角的函数值问题的重要工具。
下面是三角函数的和差角公式：1. 正弦函数的和差角公式：sin(α ± β) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ这个公式告诉我们，两个角的正弦函数值的和（差）等于分别对应的正弦函数值相乘后再进行加（减）的结果。
2. 余弦函数的和差角公式：cos(α ± β) = cosα · cosβ ∓ sinα · sinβ这个公式告诉我们，两个角的余弦函数值的和（差）等于分别对应的余弦函数值相乘后再进行减（加）的结果。
3. 正切函数的和差角公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα · tanβ)这个公式告诉我们，两个角的正切函数值的和（差）等于分别对应的正切函数值相加（减）后再进行除以（乘以）一定项的结果。
高考数学中的三角函数运算技巧
高考数学中的三角函数运算技巧在高考数学中，三角函数是一个比较重要的知识点。
而运用好三角函数，需要一定的技巧和经验。
下面，我们就来了解一下在高考数学中的三角函数运算技巧。
1、将三角函数化为公式高中阶段的学习，我们已经知道了诸如正弦函数、余弦函数、正切函数等等的表达。
其中，最常用的是正弦函数和余弦函数。
当涉及到问题的时候，我们需要将其化为公式。
比如：求$\sin(\alpha+\beta)$的正弦值我们通过公式：$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$来计算即可得到答案。
2、利用三角关系在学习三角函数时，我们需要了解一些基本的三角关系，比如：余角关系、补角关系等。
有时候，我们利用这些关系可以直接求解运算。
比如：求证$\cos(\pi-x)=-\cos x$我们知道，$\cos x$与$x$的补角$y$的余弦值相等，即$\cosx=\sin y$，这时，我们可以得到：$\cos(\pi-x)=\cos\pi\cos x+\sin\pi\sin x=-\cos x$3、辅助角度变换有的时候，在三角函数的运算中，需要将角度变换，这时候我们可以利用辅助角的变换来解决问题。
比如：正弦函数的变换公式：$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$但是，若我们需要计算$\sin(A-B)$，我们可以利用以下公式：$\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$在这里，我们将公式进行变换，将$B$变成$-B$，然后在式子中减去。
4、化简解法有时候，在三角函数的运算中，需要我们将其化简。
这时，我们需要运用一些技巧，比如：（1）化简$\cot^2x-\frac{1}{\sin^2x}$我们将$\cot^2x-\frac{1}{\sin^2x}$连分数形式变化，然后等式两边取倒数。
（2）转化$\sin^2x+\sin^2y$的式子为$\cos^2z-\sin^2z$我们可以将$\sin^2x+\sin^2y$转化为$\cos^2(\pi/2-x)+\cos^2(\pi/2-y)$，再利用$\cos^2z-\sin^2z$的公式进行变换。
三角函数公式大全及其推导方法
三角函数公式大全及其推导1. 三角函数的定义由此，我们定义：如Figure I, 在ΔABC 中sin () cos () tan ()11 cot ()tan 11 sec ()cos 11 csc ()sin b c ac ba ab b ac a a cc b b cθθθθθθθθθθθθθθθ∠=∠=∠=∠===∠===∠===对边的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边邻边的余切值：对边斜边的正割值：邻边斜边的余割值：对边 备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表示时，不能省略。
在本文中，我们只研究sin 、cos 、tan 。
2. 额外的定义222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ===Ac b θC a B Figure I3. 简便计算公式22sin cos cos(90)cos sin sin(90)111tan tan tan(90)sin cos 1bA c cA b b a a A bθθθθθθθθ===-∠===-∠====-∠+= 证明：2222222222901sin sin 1sin cos 1ABC ABC a b c a b c cB A θθ∆∠=∴+=∴+=∴+=∴+=在中,证完222222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos cos b b c a a cθθθθθθθθθ===+=+=4. 任意三角形的面积公式如Figure II ,Ca b hd eFigure II121sin 21sin ()2ABC S ah ab C ac B ∆===两边和其夹角正弦的乘积 5. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。
证明： 如Figure II,2222222222222222222222(cos )(sin )2cos cos sin =2cos (cos sin )2cos cos 22b d h a c B c B a ac B c B c Ba ac B c B B a c ac Bb ac a c b B ac ac=+=-+=-++-++=+---+-⇒==-证完6. 海伦公式 证明： 如Figure II ,1sin 212121212ABC S ab C ∆=========2ABC a b c s S ∆===++=设：7. 正弦定理如 Figure III ,c 为ΔABC 外接圆的直径,sin 2 sin a A cac r r ABC A =∴==∆（为的外接圆半径）同理：, sin sin 2sin sin sin b c c c B Ca b c r A BC ==∴===Figure III8. 加法定理(1)两角差的余弦如 Figure IV,AOC BOC AOB αβαβ∠=∠∠=∠∠=∠-∠令AO=BO=r点A 的横坐标为cos A x r α= 点A 的纵坐标为sin A y r α= 点B 的横坐标为cos B x r β= 点B 的纵坐标为sin B y r β=()()()()()()22222222222222222222222222sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin cos 2sin sin 2cos cos 112s A B A B AB y y x x r r r r r r r r r r r r r αββααβαβαβαβαβαβαβαβααββαβαβ=-+-=-+-=+-++-=+-++-=+++--=+-()()()22in sin cos cos 22sin sin cos cos 21sin sin cos cos r r αβαβαβαβαβαβ+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦=-+⎡⎤⎣⎦Figure IV由余弦公式可得：()()()()2222222222cos 2cos 22cos 22cos 21cos AB AC BC AC BC ACBr r r r r r r r αβαβαβαβ=+-⋅∠=++⋅-=+-=--⎡⎤⎣⎦=--⎡⎤⎣⎦综上得：()cos sin sin cos cos αβαβαβ-=+ (2)两角和的余弦 ()()()()cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβ+=--⎡⎤⎣⎦=-+-=-+=-(3)两角和的正弦()()()()()sin cos 90cos 90sin 90sin cos 90cos cos sin sin cos αβαβαβαβαβαβαβ+=︒-+⎡⎤⎣⎦=︒--⎡⎤⎣⎦=︒-+︒-=+(4)两角差的正弦 ()()()()sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβαβ-=+-⎡⎤⎣⎦=-+-=-+=-(5)两角和的正切()()()sin tan cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 1cos cos tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββαβααβαβαβαβ++=++=-+=-+=-+=-(6)两角差的正切()()()()tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ-=+-⎡⎤⎣⎦+-=---=+9. 两倍角公式()()()()()()()222222222222sin 2sin sin cos sin cos 2sin cos cos 2cos cos cos sin sin cos sin 12sin 2cos 1sin 2tan 2cos 22sin cos cos sin 2sin cos cos cos sin cos 2sin cos sin 1cos 2tan 1ta αααααααααααααααααααααααααααααααααααααα=+=+==+=-=-=-=-==-=-=-=-2n α10.积化和差公式()()()()1sin cos 2sin cos 21sin cos sin cos cos sin cos sin 21sin sin 2αβαβαβαβαβαβαβαβ==++-=++-⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()1cos cos 2cos cos 21cos cos cos cos sin sin sin sin 21cos cos 21sin sin 2sin sin 21sin sin sin sin cos cos cos cos 21cos cos 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ==++-=++-⎡⎤⎣⎦==++-=+--⎡⎤⎣⎦ 11.和差化积公式(1)设：A=α+β, B=α-β,()()()()sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 2sin cos 222sin cos 22sin sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos si A B A B A B A B αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα+=++-=++-=++-+--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+--=+-+=n 2cos sin 222cos sin 22A B A B βαβαβαβαβ++-+-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)设：cos sin αα==∵22cos sin 1αα+=()()sin sin cos cos sin sin cos sin sin b a θθθθαθαθαθ+=+=+=+12.其他常用公式()()()()()()()()()()()()()()000sin 360sin cos 360cos tan 360tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 90cos cos 90sin 1tan 90tan sin 180sin cos 180cos n n n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+⨯=+⨯=+⨯=︒-=︒-=︒-=︒+=︒+=-︒+=--︒=--︒=-︒=-︒-=︒-=-()()()()()()()()tan 180tan sin 180sin cos 180cos tan 180tan sin sin cos cos tan tan tan 2190 1cos 1cos 11sin 1sin 1n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ︒-=-±︒=-±︒=-±︒=-=--=-=-+⨯︒⎡⎤⎣⎦-≤≤⇒≤-≤≤⇒≤不存在在计算机中，三角函数的算法是这样的，其中x 用弧度计算()()1357210246sin 1!3!5!7!21!cos 0!2!4!6!2!n n nn x x x x x x n x x x x x x n +=∞=∞=-+-+=+=-+-+=∑∑推导公式：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R为外接圆半径) 由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R 两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CosA对数的性质及推导用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数*表示乘号，/表示除号定义式：若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log(a)(b)基本性质：1.a^(log(a)(b))=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)推导1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)2.MN=M*N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.与2类似处理MN=M/N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以4.与2类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)其他性质：性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推导如下N=a^[log(a)(N)]a=b^[log(b)(a)]综合两式可得N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}又因为N=b^[log(b)(N)]所以b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}所以log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的} 所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二：（不知道什么名字）推导如下由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}再由换底公式log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]--------------------------------------------（性质及推导完）公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下:由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系：tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB) Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB) 平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*( n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*( n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
第五章 三角函数单元总结(思维导图+知识记诵+能力培养)(含解析)
第五章三角函数要点一：终边相同的角 1．终边相同的角凡是与α终边相同的角，都可以表示成360k α⋅︒+的形式. 要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 特例：终边在x 轴上的角集合{}|180k k Z αα=⋅︒∈，， 终边在y 轴上的角集合{}|18090k k Z αα=⋅︒+︒∈，， 终边在坐标轴上的角的集合{}|90k k Z αα=⋅︒∈，.在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小. 2．弧度和角度的换算(1)角度制与弧度制的互化：π弧度 180=，1801π=弧度，1弧度'180()5718π=≈(2)弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：2||2121r r l S α==. 要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 要点二：任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：1.三角函数定义：角α终边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：,cos ,sin r x r y ==ααxy =αtan 要点诠释：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离22r x y =+那么22sin x y α=+,22cos x y α=+,tan yxα=． 2.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦(为正)；要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．α0 6π 4π 3π 2π π32π 2π sin α 0 21 22 23 1 0 -1 0 cos α 1 23 22 21 0 -1 0 1 tan α33 13不存在不存在22sin sin cos 1;tan cos ααααα+== 要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)2sin α是2(sin )α的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取． 5.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限):sin(πα-)=sin α，cos(πα-)=-cos α，tan(πα-)=-tan α sin(πα+)=-sin α，cos(πα+)=-cos α，tan(πα+)=tan α sin(α-)=-sin α，cos(α-)=cos α，tan(α-)=-tan αsin(2πα-)=-sin α，cos(2πα-)=cos α，tan(2πα-)=-tan αsin(2k πα+)=sin α，cos(2k πα+)=cos α，tan(2k πα+)=tan α，()k Z ∈ sin(2πα-)=cos α，cos(2πα-)=sin α sin(2πα+)=cos α，cos(2πα+)=-sin α要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ 90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； (4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 要点三：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质1.三角函数sin cos y x y x ==，的图象与性质： y=sinx y=cosx 定义域 (-∞，+∞) (-∞，+∞) 值域 [-1，1] [-1，1] 奇偶性奇函数偶函数单调性增区间[2,2],22k k k Z ππππ-+∈ 减区间3[2,2],22k k k Zππππ++∈ 增区间[]22k k k Zπππ-∈，减区间[]22k k k Zπππ+∈，周期性 最小正周期2T π=最小正周期2T π=最值 当2()2x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-当2()2x k k Z ππ=+∈时，max 1y =当2()x k k Z ππ=+∈时，min 1y =- 当2()x k k Z π=∈时，max 1y = 对称性对称轴()2x k k Z ππ=+∈对称中心()0()k k Z π∈，对称轴()x k k Z π=∈ 对称中心(,0)()2k k Z ππ+∈y=cosx 的图象是由y=sinx 的图象左移2得到的. 2．三角函数tan y x =的图象与性质：y=tanx定义域 ,2x k k Z ππ≠+∈值域 R 奇偶性奇函数单调性 增区间(,),22k k k Z ππππ-+∈周期性 T π=最值 无最大值和最小值 对称性对称中心(,0)()2k k Z π∈ 要点四：函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 用“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取30,,,,222ππππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 要点诠释：用“五点法”作图的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为4T. sin()y A x ωϕ=+2．sin()y A x ωϕ=+的性质 (1)三角函数的值域问题三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题，常用方法有：化为代数函数的值域或化为关于sin (cos )x x 的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域.(2)三角函数的单调性函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的单调区间的确定，基本思想是把ϕω+x 看作一个整体，比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间； 要点诠释：（1）注意复合函数的解题思想；（2）比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在转化为属于同一单调区间上的两个同名函数值，再利用单调性比较.3．确定sin()y A x ωϕ=+的解析式的步骤①首先确定振幅和周期，从而得到A ω，；②确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中第一个零点(,0)ϕω-作为突破口，要注意从图象的升降情况找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点.要点五：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法 先平移后伸缩sin y x =的图象 sin()y x ϕ=+的图象sin()y x ωϕ=+的图象 sin()y A x ωϕ=+的图象的图象. 先伸缩后平移sin y x =的图象 sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位sin()y A x ωϕ=+的图象的图象.要点六：两角和、差的正、余弦、正切公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=；ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度sin()y A x k ϕ=++(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度sin()y A x k ωϕ=++()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=．要点诠释：1．公式的适用条件(定义域) ：公式①、②对任意实数α，β都成立，这表明①、②是R 上的恒等式；公式③中,∈，且R αβk (k Z)2±≠+∈、、παβαβπ2．正向用公式①、②，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数．公式③正向用是用单角的正切值表示和差角()±αβ的正切值化简．要点七：二倍角公式1. 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-． 要点诠释：1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T αα中，只有当)(224Z k k k ∈+≠+≠ππαππα和时才成立；2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α＝α2sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用．3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．要点八：二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=.要点九：三角恒等变换的基本题型三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型： 1．三角函数式的化简（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．2．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．3．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．类型一：三角函数的概念例1. 已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的三个三角函数值. 【思路点拨】分0,0a a ><两种情况求α的三个三角函数值． 【解析】因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以5|r a =，,2x a y a ==.当250sin 55||5y a r a aα>====时，； 5cos 55x r aα===，2tan =α. 当250sin 5||5y a r a a α<====-时，5cos 55x r aα===--；2tan =α. 【总结升华】(1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论；(2)若角α已经给定，不论点选在α的终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角α终边上点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角α的三角函数值也是确定的.类型二：扇形的弧长与面积的计算例2．已知一半径为r 的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？【答案】2π- 65.44︒ 21(2)2r π-【解析】设扇形的圆心角是rad θ，因为扇形的弧长是θr ，所以扇形的周长是2.r r θ+ 依题意，得2,rr r θπ+=()2rad θπ∴=-180(2)ππ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭≈1.14257.30⨯︒≈65.44,︒ 2211(2).22S r r θπ∴==-【总结升华】弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式2C r π=⋅和圆面积公式2122S r π=⋅⋅，当用圆心角的弧度数α代替2π时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：211,.22l r S lr r αα=⋅==⋅类型三：同角三角函数的基本关系式 例3．已知1sin cos ,(0,),5A A A π+=∈，求tan A 的值. 【思路点拨】由题意知，12sin cos ,(0,),25A A A π=-∈所以A 为钝角，然后求出3cos 5α=-即可求得． 【解析】方法一：由51cos sin =+A A ，得(),251cos sin 2=+A A),,0(,2512cos sin π∈-=∴A A A .0cos sin ,0cos ,0sin ,2>-<>∴<<∴A A A A A ππ又().57cos sin ,2549cos sin 21cos sin 2=-∴=-=-A A A A A A 由,57cos sin 51cos sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+A A A A 得,.53cos 54sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==A A .34tan -=∴A方法二：由51cos sin =+A A 可得,sin 51cos 22⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A A即,sin 51sin 122⎪⎭⎫⎝⎛-=-A A 整理得,012sin 5sin 252=--A A即,0)3sin 5)(4sin 5(=+-A A54sin =∴A 或53sin -=A ，由已知π<<A 0知53sin -=A 不合题意，舍去.1sin cos 5A A +=，两边平方得：12sin cos ,(0,),25A A A π=-∈(,)2A ππ∴∈，所以3cos 5A =- .34tan -=∴A【总结升华】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法．类型四：三角函数的诱导公式例4．已知sin(3π＋θ)＝13，求()()()cos cos(2)33cos cos 1sin cos sin 22πθθπππθπθθθπθ+-+--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎣⎦---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【思路点拨】利用诱导公式，求出sin θ＝－13．然后化简要求的式子，即可求得结果． 【答案】18【解析】 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13， ∴原式＝()cos cos(2)3cos cos 1sin cos()cos 2θπθπθθθπθθ--+--⎛⎫---+ ⎪⎝⎭＝21cos 1cos cos cos θθθθ++-+ ＝11cos θ+＋11cos θ-＝221cos θ- ＝22sin θ＝221()3-＝18. 【总结升华】 诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin α与cos α对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中2k πα⋅+的整数k 来讲的，象限指2k πα⋅+中，将α看作锐角时，2k πα⋅+所在象限，如将3cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭写成cos 32πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭，因为3是奇数，则“cos ”变为对偶函数符号“sin ”，又32πα+看作第四象限角，3cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭为“+”，所以有3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 类型五：三角函数的图象和性质 例5. 函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )【答案】A【解析】ln cos ()22y x x ππ=-<<是偶函数，可排除B 、D ，由cosx 的值域可以确定.因此本题应选A.例6．把函数y =cos2x +1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是（ ）【思路点拨】首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos （x+1），然后将曲线y=cos （x+1）的图象和余弦曲线y=cosx 进行对照，可得正确答案． 【解析】将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos （x+1），∵曲线y=cos （x+1）由余弦曲线y=cosx 左移一个单位而得，∴曲线y=cos （x+1）经过点1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭和31,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，且在区间31,122ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上函数值小于0，由此可得，选项A 正确，故选A ．例7．已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2ϕ<（I ）若coscos sinsin 0,44ππϕϕ3-=求ϕ的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数．【思路点拨】（1）把所给的式子化简，然后结合平方关系式得出tan ϕ，由0ω>，||2πϕ<，求出ϕ的值．（Ⅱ）由题意求得，23T π=，故3ω=，进一步求出()f x 的解析式． 【答案】（I ）4π（Ⅱ）()sin(3)4f x x π=+ 12π【解析】 （I ）由3coscos sin sin 044ππϕϕ-=，得22sin 022ϕϕ-=，得tan 1ϕ= 又||,24ππϕϕ<∴=．（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4f x x πω=+依题意，23T π= 又2,T πω=故3,()sin(3)4f x x πω=∴=+ 函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为()sin 3()4g x x m π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()g x 是偶函数当且仅当3()42m k k Z πππ+=+∈即()312k m k Z ππ=+∈ 从而，最小正实数12m π=【总结升华】本题考查了同角三角函数的基本关系式及函数sin()y A x ωϕ=+的性质，属中等难度题．类型六：正用公式例8．已知:41cos ,32sin -=β=α，求cos()αβ-的值. 【思路点拨】因为不知道角,αβ所在的象限，所以要对,αβ分别讨论求cos()αβ-的值．【解析】由已知可求得22515cos 1sin sin 1cos 34ααββ=-=±=-=±. 当α在第一象限而β在第二象限时，os()os cos sin sin c c αβαβαβ-=+51215)43=-+125152-=. 当α在第一象限而β在第三象限时，512152155cos())(43αβ+-=-+⋅=当α在第二象限而β在第二象限时， 512152155cos()()343412αβ+-=--+⋅=. 当α在第二象限而β在第三象限时，512152155cos()()(343412αβ-=--+⋅-=-. 【总结升华】分类的原则是：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论要逐级进行．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．例9．已知παπ434<<，40πβ<<，53)4cos(=-απ，135)43sin(=+βπ，求sin()αβ+的值．【思路点拨】注意到)(2)4()43(βαπαπβπ++=--+，应把)43(),4(βπαπ+-看成整体，可以更好地使用已知条件．欲求sin()αβ+，只需求出)2cos(βαπ++-．【答案】5665【解析】∵ 042<-<-αππ， ∴54)4sin(-=-απ，∵ πβππ<+<4343， ∴1312)43cos(-=+βπ．∴)](2cos[)sin(βαπβα++-=+6556)54(135531312)]4sin()43sin()4cos()43[cos()]4()43cos[(=-⨯-⨯=-++-+-=--+-=απβπαπβπαπβπ【总结升华】（1）解题中应用了)(2)4()43(βαπαπβπ++=--+式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有(),2()()βαβαααβαβ=+-=++-,2()()βαβαβ=+--, 2()αβαβα+=++等.（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.类型七：逆用公式 例10.求值：（1）001tan151tan15+-； （2）44(sin 23cos8sin 67cos98)(sin 730cos 730)''+-o o o o o o. 【思路点拨】 题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算． （1）利用tan 451︒=将1tan15+︒视为tan 45tan15︒+︒,将1tan15-︒视为1tan 45tan15-︒︒，则式子恰为两角和的正切.【答案】（132）14- 【解析】（1）原式360tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 0000000==+=-+=； （2）原式=44[sin 23cos8sin(9023)cos(908)](sin 730cos 730)''+-+-o o o o o o o o2222(sin 23cos8cos 23sin8)(sin 730cos 730)(sin 730cos 730)o o o o o o o o ''''=-+-22sin(238)(cos 730sin 730)o o o o ''=---11sin15cos15sin 3024=-︒︒=-︒=-.【总结升华】（1）把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”．（2）辅助角公式：22sin cos )a b a b αααϕ+++，其中角ϕ在公式变形过程中自然确定.例11. 求值：（1）cos36cos72︒︒；（2）πππ73cos 72cos 7cos【思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系，且都是余弦的乘积．方法是分子分母（分母视为1）同乘以最小角的正弦．【答案】（1）1/4 （2）1/8 【解析】（1）原式=000000000sin 36cos36cos 721sin 72cos 721sin1441sin 362sin 364sin 364=⨯=⨯=； （2）原式=πππππππ74cos 72cos 7cos )74cos(72cos 7cos -=-24sin cos cos cos 7777sin7224sin cos cos 7772sin78sin 7...8sin718πππππππππππ=-=-==-=【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是π．三个条件缺一不可．另外需要注意2的个数．应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法．类型八：变用公式例12．在ABC ∆中，求值：tan tan tan tan tan tan 222222A B B C C A ++ 【答案】1【解析】∵A B C π++=，∴222+=-A B C π，∴tan tan()cot 2222A B C Cπ+=-= ∴原式=tan tan tan (tan tan )22222A B C A B++tan tan tan tan (1tan tan )222222tan tan tan cot (1tan tan )222222tan tan 1tan tan22221A B C A B A B A B C C A B A B A B +=+-=+⨯-=+-= 例13. 化简：（1）sin 50(13)︒︒；(2）222cos 12tan()sin ()44αππαα--+【思路点拨】（1）题中首先“化切为弦”，同时用好“50︒”和“40︒”的互余关系，注意逆用和角公式化简； （2）题初看有“化切为弦”，“降幂”等诸多想法，但首先应注意到2)4()4(παπαπ=++-这个关系．【答案】（1）1（2）1【解析】（1）原式003sin10sin50(1)cos10=+00cos103sin10sin 50+==000000sin 30cos10cos30sin102sin50cos10+⋅000000000sin 402cos40sin 402sin50cos10cos10sin80cos101cos10cos10=⋅==== （2）原式=2cos 22tan()sin [()]424απππαα---2cos 22sin()4cos ()4cos()4cos 22sin()cos()44cos 2cos 2cos 2sin(2)21απαπαπααππααααπαα=-⋅--=--==-=【总结升华】（1）三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系．因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察．（2）三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=. 例14．已知32)sin(=+βα，51)sin(=-βα，求的值． 【思路点拨】 先分析所求式 sin tan sin cos cos sin tan cos sin cos αααβαββαββ==,分子、分母均为已知条件中和差角的展开式的项．【答案】137【解析】∵32sin cos cos sin )sin(=+=+βαβαβα， 51sin cos cos sin )sin(=-=-βαβαβα， 2tan()tan tan tan tan()αβαββαβ+--⋅+解得3013cos sin =βα, 307sin cos =βα， ∴tan sin cos 13tan cos sin 7ααββαβ==. 类型九：三角函数知识的综合应用 例15．函数2()6cos 33(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;(Ⅱ)若083()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值. 【答案】(Ⅰ)4π[3,3]-(Ⅱ)65【解析】(Ⅰ)由已知可得:2()6cos 33(0)2x f x x ωωω=-> =3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以,函数]32,32[)(-的值域为x f(Ⅱ)因为，由538)(0=x f (Ⅰ)有 ，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos )34([sin 3200⨯+⨯=+++=ππππππx x567=【总结升华】本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.。
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浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。
A ．m 2=nB ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22mn = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ而：n ctg tg ==+θθθθcos sin 1故：1212122+=⇒=-nm n m ，选B 。
例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。
A ．21B ．21-C ．41D ．41-分析：tg α+ctg α=41cos sin 4cos sin 1=⇒=αααα故：212sin cos sin 22sin =⇒=αααα。
答案选A 。
例4 已知：tg α+ctg α=2，求αα44cos sin +分析：由上面例子已知，只要αα44cos sin +能化出含sin α±cos α或sin αcos α的式子，则即可根据已知tg α+ctg α进行计算。
由于tg α+ctg α=⇒=2cos sin 1αα21cos sin =αα，此题只要将αα44cos sin +化成含sin αcos α的式子即可： 解：αα44cos sin +=αα44cos sin ++2 sin 2αcos 2α-2 sin 2αcos 2α=（sin 2α+cos 2α）- 2 sin 2αcos 2α =1-2 (sin αcos α)2=1-2)21(2⨯=211-=21通过以上例子，可以得出以下结论：由于ααcos sin ±，sin αcos α及tg α+ctg α三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。
这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。
但有一点要注意的；如果通过已知sin αcos α，求含ααcos sin ±的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。
这是由于（ααcos sin ±）2=1±2sin αcos α，要进行开方运算才能求出ααcos sin ±二、关于“托底”方法的应用：在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg α（或ctg α）与含sin α（或cos α）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。
方法如下：例5 已知：tg α=3，求ααααcos sin 2cos 3sin +-的值。
分析：由于αααcos sin =tg ，带有分母cos α，因此，可把原式分子、分母各项除以cos α，“造出”tg α，即托出底：cos α；解：由于tg α=30cos 2≠⇒+≠⇒αππαk故，原式=013233123cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin =+⨯-=+-=+⋅⋅-ααααααααααtg tg例6 已知：ctg α= -3，求sin αcos α-cos 2α=?分析：由于αααsin cos =ctg ，故必将式子化成含有ααsin cos 的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：1cos sin 22=+αα及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin α，造出ctg α：解：αααααααααα222222cos sin cos cos sin cos cos sin 1cos sin +-=-⇒=+ α2sin ,分母同除以分子 ααααααααα22221)sin cos (1)sin cos (sin cos ctg ctg ctg +-=+- 56)3(1)3(322-=-+-+-=例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） 设20,20ππ<<<<y x ，)6sin()3sin(sin sin y x y x --=ππ且 求：)3)(33(--ctgy ctgx 的值 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于20,20ππ<<<<y x ，故0sin ,0sin ≠≠y x ，在等式两边同除以y x sin sin ，托出分母yx sin sin 为底，得：解：由已知等式两边同除以y x sin sin 得：1sin sin 6cos cos 6sin sin sin 3cos cos 3sin 1sin sin )6sin()3sin(=-⋅-⇒=--yyy x x y x y x ππππππ334)3)(33(1)3)(33(431)3)(13(411sin sin 3cos sin sin cos 341=--⇒=--⇒=--⇒=-⋅-⋅⇒ctgy ctgx ctgy ctgx ctgy ctgx y y y x x x“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。
由于αααcos sin =tg ，αααsin cos =ctg ，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。
而添加分母的方法主要有两种：一种利用1cos sin 22=+αα，把αα22cos sin +作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。
三、关于形如：x b x a sin cos ±的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：可以从公式)sin(sin cos cos sin x A x A x A ±=±中得到启示：式子x b x a sin cos ±与上述公式有点相似，如果把a ，b 部分变成含sinA ，cosA 的式子，则形如x b x a sin cos ±的式子都可以变成含)sin(x A ±的式子，由于-1≤)sin(x A ±≤1，所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a 当成sinA ，b 当成cosA ，如式子：x x sin 4cos 3+中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA ≤1，-1≤cosA ≤1，可以如下处理式子：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±++=±x b a bx b a a b a x b x a sin cos sin cos 222222 由于1)()(222222=+++b a b b a a 。
故可设：22sin ba a A +=，则A A sin 1cos -±=，即：22cos ba b A +±=∴)sin()sin cos cos (sin sin cos 2222x A b a x A x A b a x b x a ±+=±+=± 无论x A ±取何值，-1≤sin(A ±x)≤1，22b a +-≤)sin(22x A b a ±+≤22b a + 即：22b a +-≤x b x a sin cos ±≤22b a + 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：例1（98年全国成人高考数学考试卷）求：函数x x x y cos sin cos 32-=的最大值为（A ） A ．231+B ．13-C ．231- D ．13+ 分析：x x x x 2sin 21cos sin 221cos sin =⋅=，再想办法把x 2cos 变成含x cso 2的式子：212cos cos 1cos 22cos 22+=⇒-=x x x x 于是：x x y 2sin 21212cos 3-+⋅=x x 2sin 21232cos 23-+=23)2sin 212cos 23(+-=x x 由于这里：1)21()23(,21,232222=+=+==b a b a 则 ∴23)2sin 212cos 23(1+-⨯=x x y 设：21cos ,23123sin 22===+=A b a a A 则 ∴232sin cos 2cos sin +-=x A x A y 23)2sin(+-=x A 无论A-2x 取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故231+-≤y ≤231+ ∴y 的最大值为231+，即答案选A 。
例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷）在△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB 、BC 、CA 上任取点D 、E 、F ，使△DEF 为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sin α取何值时，△EFD 的边长最短？并求此最短边长。