第四章 复变函数级数1
复变函数第四章
⑴若级数
c n z n 在 z = z 0 ( ≠ 0 )收敛 , 则对满足 ∑
n=0
+∞
z < z 0 的 z , 级数必绝对收敛 .
⑵若级数在 z = z 0发散 , 则对满足 z > z 0 的 z , . 级数必发散 级数必发散
证明 (1) Q ∑ c z 收敛 , 则 lim c z = 0，即 n→ ∞
∞
n n ∞ ∞ 8i 8 (8i ) ( 2) Q ∑ 收敛， 绝对收敛。 = ∑ 收敛， ∑ ∴ 绝对收敛。 n! n = 0 n! n = 0 n! n=0 ∞ ∞ ∞ ( −1)n 1 ( −1)n i ( 3) Q ∑ 收敛， 收敛， 收敛， n 收敛， ∑ ( ∴ + n )收敛. ∑2 n n 2 n =1 n =1 n =1 ∞ ( − 1) n 收敛， 又Q∑ 条件收敛， 原级数非绝对收敛 . ∴ n n =1
n→ ∞ ∞ n→ ∞ n→ ∞
a ∑ ⇔∑ n和 bn都 敛 收 。
n=1 n=1
∞
֠
由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 由定理 ， 两个实数项级数的收敛问题。 两个实数项级数的收敛问题。
∞
∞ n =1 ∞ ∞ ∞
性质 级数 ∑ α n收敛的必要条件 : limαn = 0. n→ ∞ 定理3 定理 若∑ α n 收敛 ⇒ ∑ α n收敛，且 ∑ α n ≤ ∑ α n . 收敛，
n→ ∞
若级数(1)在 内处处收敛 其和为z的函数 内处处收敛， 若级数 在D内处处收敛，其和为 的函数
s( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + L + f n ( z )＋L ---级数 的和函数 级数(1)的和函数 级数
第四章复变函数级数共38页PPT资料
称
fn (z)f1 (z)f2(z) L fn (z) L
n 1
为复变函数项级数.
n
Sn(z) fi(z)f1(z)f2(z) Lfn(z) i 1
为该级数前n项的部分和.
如果对 z0 D, 级数 f n ( z 0 ) 收敛, 即 n1
ln i m Sn(z0)S(z0),
n1
n1
证明 说明
n anibn.
n1
n1
n1
n
n
由 Sn ak i bk, 及定理4.1, 易证.
k1
k1
复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题
练习
级数
n1
1 n
1
i n
是否收敛?
解 因为级数 发散, 而级数
an
n1
n1
1 n
bn
n1
n1
1 n2
收敛, 所以原复数项级数发散.
则称级数 f n ( z ) 在 z 0 点收敛, 且S ( z 0 ) 是级数和. n1 如果级数 f n ( z ) 在D内处处收敛, 则称其在 n1
区域D内收敛. 此时级数的和是函数
S ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为该级数在区域D上的和函数.
s
i
n
n
.
lim
n
an
1,
lim
n
bn
0
数列
1
1 n
e
i
n
收
敛
,
且
有
lim
n
n
1.
复变函数级数
工程数学---------复变函数
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返回 -21-
n 定义： 对于幂级数 c n z 0 ,若 存 在 实 数 R 0 , z R 时 , n n c z 收 敛 , 则 称 z R为 z R时, cn z 发 散 ， n n0 n0 n c z n 的 收 敛 圆, R 称 为 收 敛 半 径. n 0
n n 1 n
发散
n 1 n
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返回 -11-
1 i 例2. 级数 2 (1 ) 是否收敛？ n n 1 n 1 解: 因为 an 2 收敛 ; n 1 n 1 n 1 bn 3 收敛 . n 1 n 1 n
例1. 求幂级数 z 1 z z z
n 2 n n0
的收敛范围与和函数.
解: 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n 1
1 zn , ( z 1) 1 z
n z 级数 收敛, n 0
z 1 z 1
1 1 z , s n lim 由 于 当 z 1 时 , lim n n 1 z 1 z
所 以 当 z 1 时 级 数 收 敛.
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返回 -10-
2) 复数项级数收敛的条件
定理2 设 n=an+ibn (n=1,2,…), an 及 bn 为实数,则
工程数学---------复变函数
1 lim s n n 1 z
lim z 0
复变函数幂级数
z
f()d
cnzn1
zR ,CzaR
0
n0 n1
---幂级数的逐项积分运算
整理课件
30
例4 求幂级数的和函数及收敛圆.
(1) nnz112z3z2 n1
(2)
zn
z2 z
z3
n1 n
23
整理课件
定理4 级 数 n收敛 an和 bn都收敛
n1
n1
n1
? 若 n收 n1
敛 n收
n1
敛 (例.如:
n1
(1)ni n
)
定义 若n收 敛 ， 则称n为 绝 对 收 敛 ；
n1
n1
若n发 散 ，而n收 敛 ， 则称n为
n1
n1
n1
条 件 收.敛
整理课件
9
例2 下列级数是否收敛否？绝是对收敛？
(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.
整理课件
20
4. 收敛半径的求法
关于幂级cn数 zn (3)的收敛半径求法，
n0
(比定值理法2 )若 ln i m ccnn 1
，R 则 1 /
0
0 0
证明 (i) 0, ln i m cn c n 1z zn n1ln i m cc n n 1z z
(i) f(z)在 zR内 解 . 析
(i)if'(z ) ( c n z n ) ' (c n z n ) ' n n z n c 1 z R
n 0
n 0
n 1
---幂级数的逐项求导运算
(ii)i f(z)d z
复变函数 第四章 级数
∞
∞
n
Proof:
2 α n = a n + ibn , | α n |= a n + bn2
∞ ∞
2 2 由： |α n |= ∑ a n + bn ∑ n =1 n =1
| a |≤ a 2 + b 2 n n n 收敛， 收敛，及 2 2 | bn |≤ an + bn
y R
R 0 x
则称：（ ） 为收敛半径 则称：（1）R为收敛半径 ：（ （2）| z |< R 为收敛圆域 ）
返回
╬
2、幂级数的三种收敛情况： 、幂级数的三种收敛情况：
处收敛， ，收敛圆域为点圆； （1）只在原点 z = 0 处收敛，R=0，收敛圆域为点圆； ） （2）在整个复平面上处处收敛， = +∞ ）在整个复平面上处处收敛， R （3）在复平面上有时收敛，有时发散，则R为一个 ）在复平面上有时收敛，有时发散， 为一个 确定的正实数。 确定的正实数。
（5） 令 ζ = z − 1, ）
z 是复变量。 是复变量。
注：当 a = 0 时，幂级数为
∞ n =0 ∞
cn z n , ∑
n =0 n ∞ n =0
∞
ζ = z − a ， 则 ： c n ( z − a ) = ∑ c nζ n 令 ∑
故：只须讨论形如
c n z n 的幂级数。 ∑ 的幂级数。
n =0
返回
╬
2、幂级数在一点 z 0 的收敛性 、
收敛， （1） 若 ∑ c n z 0 收敛，则 z 0 称为 ）
n n =0 ∞
c n z n 的收敛点。 ∑ 的收敛点。
n=0
∞
复变函数PPT第四章
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z
z
0
( n 1) z dz z
n n 0
n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0
z 1 .
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.
所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0
1 n 解 因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z
( 1)
复变函数第四章 解析函数的级数表示法
lim an 0 和 lim bn 0 .
n n
所以复数项级数 n收敛的必要条件是
n1
lim n 0
n
重要结论:
lim n 0 级数 n发散.
n n1
例如, 级数 e in :
n1
因为lim n lim e in 0,
an和 bn都收敛。
n 1 n 1
例1
1 i 级数 (1 ) 是否收敛？ n n1 n
1 解 因为 an 发散; n1 n1 n 1 bn 2 收敛. n1 n1 n
所以原级数发散.
必要条件
因为实数项级数 an和 bn收敛的必要条件是
4. 收敛半径的求法
n 关于幂级数 c z n n 0
( 3)的 收 敛 半 径 求 法 ， 有
cn1 定理4.6 1 / 若 lim ，则 R (比值法) n cn 0
1 / cn ，则 R 0
0 0
n 1
: lim n 0. 定理4.3 级 数 n收 敛 的 必 要 条 件 n
定义4.3
若 n 收 敛 ， 则 称 n为 绝 对 收 敛 ；
n 1 n 1
若 n 发 散 ， 而 n收 敛 ， 则 称 n为
n 1 n 1 n 1
0
定理4.7 若 lim n n (根值法)
0
例 (1) 解
求下列幂级数的收敛半径:
z 3 n n 1
(1)
n
(2)
复变函数第四章级数
an 1 an
z n的收敛半径 :
an R lim 1 an
n
a n1
1 an1
lim
n
a(1
a
n
)
1 a
1.
1 an1
22
4、 幂级数的运算和性质
定理三 (1) 幂级数
f (z) cn (z a)n
(4.3)
n0
的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内解析.
f z cn z z0 n ,
D
n0
成 立 ， 其 中cn
1 n!
f
nz0 , n
0,1, 2，,
d
• z0
并 且 展 开 式 唯 一. （证略）
31
注
⑴
f z cn z z0 n
n0
n0
f
n z0
n!
z
z0
n
=
f
z0 +
f z0 z - z0 +
f
z0
2!
z
-
z0
2
+
n
z a 收敛
z1 a
cn(z a)n 在圆K内绝对收敛. n0
推论： 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆 心并且通过点z2的圆周外部发散.
z1 z2
a
2.收敛圆与收敛半径
z1
y
z.2
.
R
o
收敛圆 收敛半径
x 收敛圆周
幂级数 cnzn的收敛范围是以a点为中心的圆域.
常用的展开式：
ez 1 z z2 z3 zn
2! 3!
复变函数与积分变换 级数和序列的基本性质
f ( z) 或序列 { f n ( z )}在E上
( z )，那么f(z)或 ( z ) 在E上
定理2.2 设在简单曲线C上{fn(n)}(n=1,2,…), 连续，并且级数 f n ( z ) 或序列 {fn(n)} 在 C 上一 致收敛于f(z)或 ( z ) ，那么
是一个收敛的正项级数。设在E上，
那么级数
f ( z) 在E上一致收敛。
n
| f n ( z ) | an
(n 1,2,...),
定理1、2：
哈 尔 滨 工 程 大 学
定理2.1 设复平面点集E表示区域、闭区域或简 单曲线。设在集E上{fn(n)}(n=1,2,…),
n
连续，并且级数 一致收敛于f(z)或 连续。 复
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
第四章 级 数
§1 级数和序列的基本性质
学习要点
掌握复数项级数和复变函数项级 数的概念和性质
一、 复数列和复数项级数
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1. 复数列
复数列: { zn } an ibn ( n 1,2,...), 这里an Re zn , bn Im zn
n n n
例 1 下列数列是否收敛？若收敛，求出其极限.
1 1. zn (1 )e n
i
n
i n 2. zn (1 ) 2
3. zn n cos in
2. 复数项级数
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
设{ zn } an bn i为一复数列，表达式
C n n n C n
因为根据莫勒拉定理，可见 ( z )在U内解析。再 由于z0是D内任意一点，因此 ( z )在D内解析。 其次，设U的边界即圆K也在D内，于是
复变函数与积分变换第4章
,
yn
(1
1 ) sin n
n
,
lim
n
xn
1, lim n
yn
0,
zn
(1
1 n
i
)e
n
收敛，且有
lim
n
zn
1.
(2)zn n cos in
1 n(en en ) 2
ncosh n
n (en en ) 1 nen (e2n 1)
n
xn
i lim n
yn
例：
数 列 ｛z n
1 e ni n
2｝是 否 有 极 限? 若 有 极 限 ， 求 出 其 极 限.
解
zn
1 e ni n
2
1 [cos( n ) i sin( n )]
n
2
2
实部
xn
1 cos( n
n
2
)
虚部
yn
1 sin( n
• 例1．下列复数列是否收敛？如果收敛，求出其极限.
(1) zn
(1
1
i
)e
n
n
,
解： (1)zn
(1
1
i
)e
n
n
(2)zn n cos in,
(3) zn
(1 1)(cos i sin )
nn
n
(1 3i )n. 6
xn
(1
1) cos
nn
xn
iyn )：
[复变函数与积分变换][课件][第4章][级数]
![[复变函数与积分变换][课件][第4章][级数]](https://img.taocdn.com/s3/m/7efc2bf84693daef5ef73d67.png)
级
数
∑f
n =1
+∞
n
( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + f 3 ( z ) +
+ f n ( z) +
为复
= f1 ( z ) + f 2 ( z ) +
+ f n ( z) = ∑ f k ( z) ．
k =1
n
sn ( z0 ) 若 z 0 ∈ D ，极限 nlim → +∞
敛点；
= s ( z0 )
存在，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z0 处收敛，和
∑f
n =1
+∞
n
( z0 ) = s ( z0 ) ， z0 为收
若 z 0 ∈ D ， {sn ( z 0 )} 发散，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z 0 处发散， z 0 为发散点．
D1 收敛域
D2 发散域
∑αn = s
n =1
+∞
Δ
收敛； 若 {s n }
∑α
n =1
+∞
n
收敛
⇔
∑a
n =1
+∞
n
和
∑b
n =1
+∞
n
均收敛．
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ 证： s n = ∑ α k = ⎜ ∑ ak ⎟ + i ⎜ ∑ bk ⎟ ． k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
此定理将复级数的审敛问题转化为实级数的审敛问题． 级数收敛之必要条件：
复变函数_级数
三.复变函数项级数概念
1.定义:设
{
f
n
(
z)}(
n
1,2,...)为D内的复变函数序列,则称
fn (z) f1(z) f2 (z ... fn (z) ......
n1
为D内复变函数项级数.
2.前n项和: Sn (z) f1(z) f2 (z) ... fn (z)
3.级敛数. S收(z0敛)就:若是ln其im和Sn,(即z0 )
若在点 发散,则圆外任一点z处也发散. 3.注:级数在圆周上须另行判断
三.收敛半径:
1.定义:
若存在一个正数R,使得幂级数 Cn (z1 z0)n
n1
在|Z-Z0|<R内处处收敛,而|Z-Z0|>R时处处发散,
则称 Cn (z1 z0 )n 的收敛半径为R. n0
注:幂级数在|Z-Z0|=R处,可能收敛,也可能发散.
(1)复数项无穷级数:设 {zn}(n 1,2,...) 为一复数序列,
表达式
zn z1 z2 ... zn ...
k 1
(2)级数收敛(发散):
部分和序列 sn z1 z2 ... zn , (n 1,2,3,...) 有极限
lim
n
sn
s
则称级数是收敛的,S为级数的和,否则
2.复数序列极限定义:
设{zn}(n 1,2,...) 为一复数序列,其中zn xn iyn又
设 z0 x0 iy0 为一确定的复数. 0,N ,使当
n>N时,总有| zn z0 | 成立,则称{zn}收敛于复数 z0 ,
或称{zn}以 z0 为极限,记作
lim
n
zn
z0 , 或zn
复变函数论 第四章 复级数
第四章 复级数§1.级数的基本性质教学目的与要求: 了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛一致收敛等概念,掌握解析函数项级数的性质.重点: 解析函数项级数.难点：一致收敛的函数项级数;解析函数项级数. 课时：2学时1.复数项级数定义4.1 复数项级数就是121nn n zz z z ∞==++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.1)其中n z (1,2,)n =为复数定义4.2 对于复数项级数(4.1)，设 n σ=121nnn k zz z z ==++⋅⋅⋅+∑ (4.2)若lim n n σ→∞存在，则称级数(4.1)收敛，否则为发散.据此定义，我们立即推出：若级数(4.1)收敛，则1lim lim()0n n n n n z σσ-→∞→∞=-= (4.3)其次，由复数的性质易于推得 定理4.1 设111n nn n n n z ai b ∞∞∞====+∑∑∑ (4.4)其中,n n a b (1,2,)n =均为实数，则级数(4.3)收敛的充要条件为基数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛，复数项级数具有与实数项级数完全相同的性质，不再一一给出.定理4.2（柯西收敛准则）级数(4.1)收敛的充要条件是0,N ε∀>∃，使n N >及P N ∀∈，均有11Pn kn n P k zz z ε+++==++<∑定义4.3 若级数1nn z∞=∑收敛，则称级数1nn z∞=∑为绝对收敛.由关系式1kk a∞=∑及1111kk k k k k k k k bz a b ∞∞∞∞∞=====≤=≤+∑∑∑∑及定理4.1即可推得.定理4.3 级数(4.1)绝对收敛的充要条件为：级数1kk a+∞=∑及1kk b+∞=∑绝对收敛.再由定理4.2可知：绝对收敛级数必为.收敛级数. 例1.对于级数1nn a+∞=∑当1a <时，由于111121n knn k a aa aσ+∞=-==+++=-∑，而当1a <时，1lim 0n n a+→∞=，于是1lim 1n n aσ→∞=- 因此级数1nn a ∞=∑(1)a <收敛且有111n n a a∞==-∑， 显然，当1a <时，级数1nn a∞=∑亦为绝对收敛的级数.2.复函数项级数定义4.4设函数()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在复平面点集E 上有定义，则称级数11()()()nn n fz f z f z ∞==+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.5)为定义在E 上的复函数项级数.定义4.5 设函数()f z 在E 上有定义，如果z E ∀∈，级数(4.5)均收敛于()f z ，则称级数(4.5)收敛于()f z ，或者说级数(4.5)和函数()f z 记作1()()nn fz f z ∞==∑ (4.6)定义4.6 如果0,()N N εε∀>∃=，使得当n N >时，对任一z E ∈，均有1()()nkk fz f z ε=-<∑则称级数(4.5)在E 一致收敛于()f z .与定理4.2类似地我们有定理4.4 级数(4.5)在E 上一致收敛的充要条件是：0,()N N εε∀>∃=，使当n N >时，对任一z E ∈及P N ∀∈均有1()()n n P f z f z ε++++<由此我们即得一种常用的一致收敛的判别法：定理4.5 (魏尔斯特拉斯M -判别法) 设()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在点集E 上有定义12n a a a ++++为一收敛正项级数，若在E 上成立()(1,2,)n n f z a n <=⋅⋅⋅则级数(4.5)在E 上一致收敛于()f z ，则()f z 在E 上一致收敛.与实数项级数一样，不难证明以下定理：定理4.6 设()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在复平面点集E 上连续，级数(4.5)在E 上一致收敛于()f z ，则()f z 在E 上连续.定理4.7 设()n f z (1,2,)n =⋅⋅⋅在简单曲线C 上连续，级数(4.5)在C 上一致收敛于()f z ，则1()()n n CCn f z dz f z dz ∞==∑⎰⎰.对于复函数项级数的逐项求导问题，我们考虑解析函数项级数，首先，引入一个新概念.定义4.7 设函数()n f z (1,2,)n =⋅⋅⋅在区域D 内解析,如果级数(4.5)在D 内任一有界闭区域上一致收敛于函数()f z ,则称级数(4.5)在D 内闭一致收敛于()f z .由此,我们有下列重要的魏尔斯特拉斯定理.定理4.8 设函数()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在区域D 内解析,级数1()nn fz ∞=∑在D 内中闭一致收敛于函数()f z ,则()f z 在D 内解析,且在D 内成立()()1()()k k n n fz f z ∞==∑ (1,2,)k =⋅⋅⋅证明: 0z D ∀∈,取0r >,使得0(,)U z r D ⊂.在U 内任作一条简单闭曲线C ,根据定理4.7及柯西定理推得1()()0n CCn f z dz f z dz +∞===∑⎰⎰.因而由莫勒拉定理知()f z 在U 内解析,再由0z D ∈的任意性即得()f z 在D 内解析.其次,设U 的边界r C D ⊂,由已知条件得1()nn fz +∞=∑在r C 上一致收敛于()f z ,从而110()()k n f z z z +∞+=-∑在r C 上一致收敛于1()()k f z z z +-,根据定理4.7,我们有 10!()2()r k C k f z dz i z z π+-⎰=110()!2()r n k C n f z k dz i z z π+∞+=-∑⎰ 即 ()()001()()k k n n fz f z +∞==∑ (1,2,)k =⋅⋅⋅ 于是定理结论成立.作业:第178页 1.§2幂级数教学目的与要求: 了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法.掌握幂级数在收敛圆内一些基本性质及幂级数在收敛圆周上的性质.重点: 幂级数收敛半径的求法; 幂级数在收敛圆内一些基本性质. 难点：幂级数在收敛圆周上的性质. 课时：2学时 定义4.8 形如()000100()()()k n n n n n fz a z z a a z a z z +∞==-=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑ (4.7)的级数称为幂级数,其中z 是复变量, (1,2,)n a n =⋅⋅⋅是复常数. 特别地,当00z =时,级数(4.7)就变为010nn n n n a za a z a z +∞==++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.8)幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅是研究解析函数的工具,而且在实际计算中应用也比较方便.我们首先研究级数(4.8)的收敛性.显然,当00z =时,级数(4.8)总是收敛的. 当00z ≠时,则有定理4.9 如果幂级数(4.8)在1(0)z ≠收敛,则对任意满足1z z <的z ,级数(4.8)绝对收敛.若级数(4.8)在2z 发散,则对任意满足2z z >的z ,级数(4.8)发散.证明:级数(4.8)在1z 收敛.∴1lim 0nn n a z →∞=从而0M ∃>,使得1nn a z M ≤ (0,1,2,)n =⋅⋅⋅其次,级数(4.8)可写成11()nn n n z a zz +∞=⋅∑,因此111n n n n n n z z a z a z M z z =≤⋅1(1)nz k z =< 由于级数nn Mk+∞=∑收敛,故级数(4.8)绝对收敛.根据上述结论用反证法即可推得定理第二部分成立,于是定理得证.由此,我们可知存在实数R ,(0)R <<+∞,使得级数(4.8)当z R <时绝对收敛,当z R >时发散.R 称为级数(4.8)的收敛半径, z R <称为收敛圆,当R =+∞时,我们说(4.8)的收敛半径是+∞,收敛圆为复平面.当0R =时,我们说(4.8)的收敛半径是0,收敛圆只有一点0z =,以下说幂级数有收敛圆均指收敛半径大于0的情况.通常,幂级数(4.8)的收敛半径可用以下公式求得:定理4.10 (柯西Cauchy -阿达玛Hadamard 公式).若以下条件之一成立.(1)1limn n na l a +→∞= (4.9)(2)n l = (4.10)则当0l <<+∞时, (4.2)的收敛半径1R l=,当R =+∞,l =+∞时, 0R =.下面我们证明幂级数的和函数在其收敛圆内解析.定理4.11 设幂级数(4.8)的收敛圆为:V z R <.则它的和函数.01()nn f z a a z a z =++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ (4.11)在V 内解析,且()1()!(1)!(1,2,)n n n f z n a n a z n +=+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ (4.12)证明:事实上,对0r R ∀<<,则在z r =上n nn n a z a r ≤由定理4.9知级数(4.8)在z r =上绝对收敛,从而根据M -判别法知(4.8)在z r ≤上一致收敛,故(4.8)在z r <中内闭一致收敛,在z r <内, (4.2)的和函数()f z 解析且(4.12)成立,由0r R <<的任意性即知定理成立.但幂级数在其收敛圆上可能收敛,也可能发散. 例2 级数2111n z z z z=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- 的收敛半径为1 由于在收敛圆1z =上,此级数一般不趋于0,因而在1z =上级数处处发散,但其和函数却除1z =处处解析.例3 级数11(1)n n z n n ++∞=+∑的收敛半径为1在收敛圆1z =上, 11(1)(1)n z n n n n +=++而级数11(1)n n n +∞=+∑收敛,故此技术在收敛圆上也处处收敛.作业: 第178页 2 (1) (3) 3 (2)§3解析函数的泰勒Taylor 展式教学目的与要求: 了解泰勒定理; 掌握初等解析函数的展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数.重点: 泰勒定理,初等函数的泰勒展开式. 难点：泰勒定理证明. 课时：2学时一．定理4.12(泰勒Taylor 展式)设函数()f z 在圆0:U z z R -<内解析,则在U 内()00000()()()()()()1!!n n f z f z f z f z z z z z n '=+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅ (4.13)证明: 1z U ∀∈,以1z 为心作一圆C U ⊂,且使1z C ∈,(如图4.1)U图4.1则由柯西公式111()()2C f f z d i z ξξπξ=-⎰ (4.14)而当C ξ∈时,101z z q z ξ-=<-,因此有101011()z z z z ξξ=----01100000()11()1n n n z z z z z z z ξξξ+∞+=-=⋅=-----∑ (4.15) 由于(4.15)右端级数当C ξ∈时是一致收敛的,把(4.15)代入(4.14)后逐项积分得10100()()()n n f z a a z z a z z =+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅ (4.16)其中 ()010()1()2()!n n n C f z f a d i z n ξξπξ+==-⎰(1,2,)n =⋅⋅⋅ (4.17) 由1z 为U 内任意一点知定理成立.结合定理4.11与4.12我们就可推出:推论4.2 幂级数是它的和函数()f z 在收敛圆内的泰勒展式.即()000()(),!n n f z a f z a n == (1,2,)n =⋅⋅⋅推论4.3 函数()f z 在一点0z 解析的充要条件是: ()f z 在0z 的某一邻域内有泰勒展式(4.13).与实变数的情形相同,我们不难求得某些初等函数的泰勒展式. 二． 求泰勒展式的方法1．求Taylor 系数n C =()()!n f a n如求ze 在z=0的展开式0C =0e =1 1C ='0()1!z z e = =11!,1!n C n =,∴z e =1+z+22!z +33!z+=0!nn z n ∞=∑ ()z <∞2.利用级数的运算。
复变函数项级数
(an ibn ) (a ib) ,
从而有 an a (an a) i(bn b) ,
所以
lim
n
an
a. 同理
lim
n
bn
b.
反之, 如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
那末当n N 时,
an
a
2
,
bn
b
2
.
从而 n (an ibn ) (a ib)
(an a) i(bn b)
否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有n1限极限,则称级数 (4.1)为发散.
注 复级数
n收敛于s的
N定义： n
0, N 0,n N,有 | k s | .
k 1
复数项级数收敛的条件
定理4.1 设 n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复 级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:
(1)若0 R ,则当| z z0 | R时，级数
n0
n
(
z
z0
)
n
绝对收敛，
当| z z0 | R时，级数
| n p n |
2. 复数项级数
定义
设{
n
}
{an
ibn
}
(n
1,
2,
)为一复数列,
表达式 n 1 2 n
(4.1)
n1
称为复数项级数.sn
1
2
n
称为级数的部分和.
若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限,
于即sln,i且m称sns为 s((4.1)的) 和则,称写复成数s 项无穷n 级数(4.1)收敛
复变函数 第四章第一节
n
i n ,
:
lim S n S 的充要条件
lim n X ， n Y lim
n n
即
xn X ,
n1
yn Y
6
n1
说明
复数项级数的收敛问题
(定理二)
实数项级数的收敛问题
例 解 因为
级数
n ( 1 n ) 是否收敛？
n 1
.
21
注： f n ( z )在 D 内一致收敛
n 1
一致收敛 .
n
n 1
f n ( z )在 D 内内闭
例、 z 在 | z | 1内内闭一致收敛，但不
n1
一致收敛 .
22
四.解析函数项级数
定理 4 . 9 设 （ 1） f n ( z )( n 1 , 2 , ) 在区域 D 内解析， （ 2） f n ( z )在 D 内内闭一致收敛于
n
f z ), 则称 f ( z )为级数 ( 1 )的和 (
fn (z)
若记 S n
n1
f k ( z )为级数（ 1）的部分和，则
k 1
f ( z )为（ 1）的和函数，即， 对 z E , lim S n ( z ) f ( z ).
n
15
N 语言：
z E , 对 0 , N N ( , z ), 当 n N 时， | f ( z ) S n ( z ) | ,
定义4.（一致收敛） 4
对于级数（ 1）若 f ( z ), z E , 使得
第四章复变函数的级数
lim bn b .
n
此定理说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别
两个实数列的敛散性.
2
复数项级数的概念
设 n an ibn 是复数列, 则称
n 1 2 n n1
为无穷级数.称
Sn k 1 2 n
nn 11 n 1
n 1
n
n .
n 1
2 2 bn an bn , 所以 补充 因为 n an
2 2 a b k k k ak bk . k 1 k 1 k 1 k 1 n n n n
因此, 如果 绝对收敛. 综上可得:
为复变函数项级数.
S n ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
为该级数的部分和.
如果对 z0 D, 下述极限存在
lim Sn ( z0 ) S ( z0 ),
n
则称级数 f n ( z ) 在 z0 点收敛, 且 S ( z0 )是级数和.
推 论
n 0. 如果级数 n 收敛, 则 lim n
n 1
定义4.3
设 n 是复数项级数, 如果正项
n 1 n 1
级数 n 收敛, 则称级数 n 绝对收敛.
n 1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 绝对收敛级数的性质 定理三 并且 收敛 , 则 n 也收敛, 若级数 绝对收敛 nn
进行具体分析.
n z 例 1 求级数 的收敛半径与和函数.
解
n 0
z 1
lim z 0
第四章 复变函数的级数
(2)zn
(1)n i n1
则ln i m xn (1)n, 而该极限不存在，
故该极限不存在。
3. 复数项级数
设 {zn}{xnyn}(n1,2,)为一复数
表达式 zk z1z2zn k1
称为复数项级数.
6
n
前 n 项的和 Sn zkz1z2zn k1
称为级数的前 n 项部分和.
级数收敛与发散的概念
重要结论:
ln i m zn 0级
数zn发
n1
散 .
定义：如果 z n 收敛, 称级数 z n 为绝对收敛.
n1
n1
如果 z n 收敛, 而 z n 不收敛的级数
n1
n1
称为条件收敛. 11
绝对收敛级数的性质：
如 果zn收,敛 那 么 zn也收 . 敛
n1
n1
证明：由于 zn xn2yn2,
n1
称为复变函数项级数。
级数前n项的和
S n ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
找到一N 个 ()当 ,正 n数 N时 ,有znz0 .
则 称n当 时zn ， 以 z0为极限。
此时也称{复 zn}收 数敛 列z于 0.
记作 ln imzn z0 .
2
复数列收敛与实数列收敛的关系：
复数 {zn}(列 n1,2,)收敛 z0的 于充要条
ln i x m nx0, ln i y m ny0.
由 z 于 1时 ,当 ln i s m n ln i 1 m 1 z z n 1 1z
所以z当 1时级数. 收敛
复数项级数与实数项级数收敛的关系：
级数zn (xniyn)收敛的充要: 条
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n e 成立, 则称当n时, n 收敛于 , 或称 是 n 的极限, 记作
lni mn , 或 n n .
复数列收敛与实数列收敛的关系
定理4.1 lni mn 的充分必要条件是
l n ia n m a , l n ib n m b .
第四章 级数
本章介绍复变函数级数的概念,重点 是Taylor级数、Laurent级数及其展开.
§4.1 复级数的基本概念
1 复数列的极限 2 复数项级数
4.1.1 复数列的极限
称 n a n ib n ( n 1 ,2 ,3 ,) 为复数列, 简称
为数列, 记为 n . 定义4.1级数与实数项级数收敛的关系
定理4.2 级数 n (anibn)收敛的充要
n1
n1
条件是 an , bn 都收敛, 并且
n1
n1
证明 说明
n anibn.
n1
n1
n1
n
n
由 Sn ak i bk, 及定理4.1, 易证.
k1
k1
复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题
练习
1 幂级数的概念 2 幂级数的敛散性 3 幂级数的性质
4.2.1 幂级数的概念
设 fn(z)是定义在区域D上的复变函数列,
称
fn (z)f1 (z)f2(z)fn (z)
n 1
为复变函数项级数.
n
Sn(z) fi(z)f1(z)f2(z)fn(z) i 1
为该级数前n项的部分和.
如果对 z0 D, 级数 f n ( z 0 ) 收敛, 即 n1
4.1.2 复数项级数
设 n anib n 是复数列, 则称
n12 n
n1
为复数项级数.称
n
Sn k12 n
k1
为该级数的前 n 项部分和.
级数收敛与发散的概念
如果级数
n12 n
n1
的部分和数列 S n 收敛于复数 S, 则称级数收敛,
这时称S为级数的和, 并记做
n S.
n1
如果 S n 不收敛，则称级数发散.
n 0
这类函数项级数称为幂级数.
4.2.2 幂级数的敛散性
定理 (Abel定理)
若级数 c n z n 在 z1 0 n0
处收敛，则当 z z1 时, 级数 c n z n 绝对收敛; n0
若级数 c n z n 在 z 2 处发散，则当 z z2 时, 级数 n0
c n z n 发散.
称为该级数在区域D上的和函数.
当 fn (z) c n 1 (z z0)n 1或 fn(z)cn1zn1时,
函数项级数的形式为
c n (z z0 )n c 0 c 1 (z z0 ) c 2 (z z0 )2
n 0
cn (zz0)n,
或 z0 0 的特殊情形
cn znc0 c1 z c2z2 cn zn,
ln i m Sn(z0)S(z0),
则称级数 f n ( z ) 在 z 0 点收敛, 且S ( z 0 ) 是级数和. n1 如果级数 f n ( z ) 在D内处处收敛, 则称其在 n1
区域D内收敛. 此时级数的和是函数
S ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
(1) 对所有的正实数都收敛.
级数在复平面内绝对收敛.
(2) 对所有的正实数都发散.
级数在复平面内除原点外处处发散.
(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
存在正整数N, 使得当n>N 时,
e
e
ana2, bnb2.
从而有
e n ( a n a ) i ( b n b ) a n a b n b .
所以 lni mn .
该结论说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别
两个实数列的敛散性.
例4.1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
n0
收敛圆与收敛半径
由
定理3.6 (Abel定理)
若级数
cn z n 在 z1 0
n0
处收敛，则当 z z1 时, 级数
cn z n 绝对收敛;
n0
若级数
cn z n 在 z2 处发散，则当 z z2 时, 级数
n0
cn z n 发散.
n0
, 幂级数 c n z n 收敛情况有三种: n0
级数
n1
1 n
1
i n
是否收敛?
解 因为级数 发散, 而级数
an
n1
n1
1 n
bn
n1
n1
1 n2
收敛, 所以原复数项级数发散.
级数收敛的必要条件
定理4.3 如果级数 n 收敛, 则 lnimn 0. n1
证明 由定理4.2及实数项级数收敛的必要
条件 ln i m a n0 ,ln i m b n0知, lnimn 0.
n 绝对收敛 a n 和 b n 都绝对收敛.
n1
n1
n1
例4.2
级数
n1
(1)n
n
1 2n
i是否绝对收敛?
解 因为
(1)n
, n1 n
1
2n
n1
都收敛, 故原级数收敛. 但是级数
( 1 ) n
n1 n
条件收敛, 所以原级数非绝对收敛, 是条件收敛的.
§4.2 幂 级 数
证明 如果 lni mn , 则e 0,存在正整数N,
e 使得当n>N 时, (a n ib n ) (a ib ).从而有
e a n a ( a n a ) i ( b n b ) ,
即 ln im ana. 同理 ln im bn b.
反之, 如果 ln i m ana,ln i m b nb,那么 e 0,
1)n 11 n ein; 2)nncosin
解：1）
n
1
1 n
i
en
1
1 n
c
o
s
n
i sin
n
an
1
1 n
cos
n
,
bn
1
1 n
s
i
n
n
.
lim
n
an
1,
lim
n
bn
0
数列
1
1 n
e
i
n
收
敛
,
且
有
lim
n
n
1.
2) 由于 n=n cos in=n ch n,因此, 当n时, n. 所以n发散.
重要结论:
lni mn
0 n
n1
发散.
于是在判别级数的敛散性时, 可先考察
lnimn ? 0.
定义 设 n 是复数项级数, 如果正项
n1
级数 n 收敛, 则称级数 n 绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
绝对收敛级数的性质
定理4.4 若级数 n 绝对收敛, 则它必收敛. n1