第四章 复变函数级数1

如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
n e 成立, 则称当n时, n 收敛于 , 或称 是 n 的极限, 记作
lni mn , 或 n n .
复数列收敛与实数列收敛的关系
定理4.1 lni mn 的充分必要条件是
l n ia n m a , l n ib n m b .
称为该级数在区域D上的和函数.
当 fn (z) c n 1 (z z0)n 1或 fn(z)cn1zn1时,
函数项级数的形式为
c n (z z0 )n c 0 c 1 (z z0 ) c 2 (z z0 )2
n 0
cn (zz0)n,
或 z0 0 的特殊情形
cn znc0 c1 z c2z2 cn zn,
存在正整数N, 使得当n>N 时,
e
e
ana2, bnb2.
从而有
e n ( a n a ) i ( b n b ) a n a b n b .
所以 lni mn .
该结论说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别
两个实数列的敛散性.
例4.1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
4.1.2 复数项级数
设 n anib n 是复数列, 则称
n12 n
n1
为复数项级数.称
n
Sn k12 n
k1
为该级数的前 n 项部分和.
级数收敛与发散的概念
如果级数
n12 n
n1
的部分和数列 S n 收敛于复数 S, 则称级数收敛,
这时称S为级数的和, 并记做
n S.
n1
如果 S n 不收敛，则称级数发散.
级数
n1
1 n
1
i n
是否收敛?
解 因为级数 发散, 而级数
an
n1
n1
1 n
bn
n1
n1
1 n2
收敛, 所以原复数项级数发散.
级数收敛的必要条件
定理4.3 如果级数 n 收敛, 则 lnimn 0. n1
证明 由定理4.2及实数项级数收敛的必要
条件 ln i m a n0 ,ln i m b n0知, lnimn 0.
第四章 级数
本章介绍复变函数级数的概念,重点 是Taylor级数、Laurent级数及其展开.
§4.1 复级数的基本概念
1 复数列的极限 2 复数项级数
4.1.1 复数列的极限
称 n a n ib n ( n 1 ,2 ,3 ,) 为复数列, 简称
为数列, 记为 n . 定义4.1 设 n 是数列，aib是常数.
1 幂级数的概念 2 幂级数的敛散性 3 幂级数的性质
4.2.1 幂级数的概念
设 fn(z)是定义在区域D上的复变函数列,
称
fn (z)f1 (z)f2(z)fn (z)
n 1
为复变函数项级数.
n
Sn(z) fi(z)f1(z)f2(z)fn(z) i 1
为该级数前n项的部分和.
如果对 z0 D, 级数 f n ( z 0 ) 收敛, 即 n1
n0
收敛圆与收敛半径
由
定理3.6 (Abel定理)
若级数
cn z n 在 z1 0
n0
处收敛，则当 z z1 时, 级数
cn z n 绝对收敛;
n0
若级数
cn z n 在 z2 处发散，则当 z z2 时, 级数
n0
cn z n 发散.
n0
, 幂级数 c n z n 收敛情况有三种: n0
(1) 对所有的正实数都收敛.
级数在复平面内绝对收敛.
(2) 对所有的正实数都发散.
级数在复平面内除原点外处处发散.
(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
证明 如果 lni mn , 则e 0,存在正整数N,
e 使得当n>N 时, (a n ib n ) (a ib ).从而有
e a n a ( a n a ) i ( b n b ) ,
即 ln im ana. 同理 ln im bn b.
反之, 如果 ln i m ana,ln i m b nb,那么 e 0,
1)n 11 n ein; 2)nncosin
解：1）
n
1
1 n
i
en
1
1 n
c
o
s
n
i sin
n
an
1
1 n
cos
n
,
bn
1
1 n
s
i
n
n
.
lim
n
an
1,
lim
n
bn
0
数列
1
1 n
e
i
n
收
敛
,
且
有
lim
n
n
1.
2) 由于 n=n cos in=n ch n,因此, 当n时, n. 所以n发散.
复数项级数与实数项级数收敛的关系
定理4.2 级数 n (anibn)收敛的充要
n1
n1
条件是 an , bn 都收敛, 并且
n1
n1
证明 说明
n anibn.
n1
n1
n1
n
n
由 Sn ak i bk, 及定理4.1, 易证.
k1
k1
复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题
练习
n 0
这类函数项级数称为幂级数.
4.2.2 幂级数的敛散性
定理 (Abel定理)
若级数 c n z n 在 z1 0 n0
处收敛，则当 z z1 时, 级数 c n z n 绝对收敛; n0
若级数 c n z n 在 z 2 处发散，则当 z z2 时, 级数 n0
c n z n 发散.
重要结论:
lni mn
0 n
n1
发散.
于是在判别级数的敛散性时, 可先考察
lnimn ? 0.
定义 设 n 是复数项级数, 如果正项
n1
级数 n 收敛, 则称级数 n 绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
绝对收敛级数的性质
定理4.4 若级数 n 绝对收敛, 则它必收敛. n1
ln i m Sn(z0)S(z0),
则称级数 f n ( z ) 在 z 0 点收敛, 且S ( z 0 ) 是级数和. n1 如果级数 f n ( z ) 在D内处处收敛, 则称其在 n1
区域D内收敛. 此时级数的和是函数
S ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
ห้องสมุดไป่ตู้ n 绝对收敛 a n 和 b n 都绝对收敛.
n1
n1
n1
例4.2
级数
n1
(1)n
n
1 2n
i是否绝对收敛?
解 因为
(1)n
, n1 n
1
2n
n1
都收敛, 故原级数收敛. 但是级数
( 1 ) n
n1 n
条件收敛, 所以原级数非绝对收敛, 是条件收敛的.
§4.2 幂 级 数