复变函数 复数项级数和序列
复变函数讲义第5章
规定为 , 0 , R .
因此， 幂级数
cn ( z z0 )
n
的收敛范围是
n0
以 z z 0 为中心的圆域.
问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数 进行具体分析.
24
收敛半径的求法 设级数
.
说明
复数项级数的审敛问题
(定理2)
实数项级数的审敛问题
9
课堂练习
级数
n ( 1 n ) 是否收敛？
n 1
1
i
解 因为
a n n 发散 ;
n 1 n 1
1
b n n 2 收敛
n 1 n 1
1
.
所以原级数发散.
10
级数收敛的必要条件
因为实数项级数
n 2 n
n1
这类函数项级数称为幂级数.
20
2.幂级数的敛散性
定理4 (Abel定理) 处收敛，则当 若级数
若级数
c
n0
n
z
n
在 z1 0
z z1
时, 级数
cn z
n
绝对收敛;
n0
cn z
n
在 z 2 处发散，则当 z z 2 时, 级数
n0
cn z
n
发散.
n0
n
,
n1
n
1 2
n
n1
都收敛, 故原级数收敛. 但是级数
( 1) n
复变函数第4章测验题参考解答
防
3.若幂级数
科
【解析】由于 lim n
n →
(−1)n 2 n z 和函数在圆盘 z a 内解析，则 a 的最大值为 n n =1 n 4
大
【答案】 3
n 1 = , 所以该幂级数的收敛半径为 3. 3n 3
n
的收敛半径为 1, 即收敛圆盘为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz + 1 1 , 因此幂级数在 z = −
i i n 处发散, 从而函数 f ( z ) = (n + 1)( z + 1) 在 z = − 处 2 2 n =0
O
min{
【解析】 由阿贝尔第一定理可知
c ( z − 1)
n
在 z = i 处收敛, 则该幂级数在 z − 1 i − 1 内
科
n b n 1 a 1 + i n +1 n +1 a = 1 , 所以幂级数的收 a + ib 【解析】若 a b , 则 l = lim = lim n + 1 n → n → 1 b a n +1 n n a 1 + i a + ib a
5．设 a , b 为正实数，则幂级数 (A) max{ a , b } 【答案】 A
zn 的收敛半径是( n n n = 0 a + ib
函
i 处( 2
n =0
数 M
).
(B) min{ a , b }
(C) max{
敛半径 R =
敛半径为 max{ a , b } , 故选 A.
4.1复数项数列、复数项级数
级数收敛的必要条件
n =1
n =1
定理3：级数 n = (an + ibn ) 收敛的必要条件是
lim n = lim ( an + ibn ) = 0.
n →
n →
证明：由定理2及实数项级数收敛的必要条件可知
级数
n =1
n
收敛，则 级数
a
n =1
n
和 bn 都收敛；
n =1
n =1
n =1
n =1
所以当 an 与 bn 绝对收敛时， n 也绝对收敛.
2
同时有 an n ，bn n ，所以当 n 绝对收敛时，
a
n =1
n
n =1
与 bn 也绝对收敛.
推论：
n =1
n =1
n
n =1
n =1
绝对收敛的充要条件是级数 an 与 bn 也绝对收敛.
复变函数与积分变换
第一节 复数项级数
一、复数项数列
二、复数项级数
一、复数项数列
定义1: 设 n = 1,2,∙∙∙ 为一复数列，其中 = + , 又设
= +为一确定的复数.如果对于任意给定的 > 0，相应地总
能找到一个正数 , 使得当 > 时，不等式 − <
→∞
当n > 时，有 n − α < ，即 (n + ) − ( + ) < 成立，
从而有
所以
n − ≤ (n −) + ( − ) < ，
第四章复变函数级数
第四章复变函数级数第四章复变函数级数（42）⼀、内容摘要1．复数列的极限:设有复数列{}n z ,若存在复数z ,对于任意的0>ε,总有数N >0,使数列序数N n >时总有ε<-z z n ,则称复数z 为数列{}n z 的极限,或者说数列{}n z 收敛于z ,记作：lim n n z z →∞= 由于n n n iv u z +=, iv u z +=, 当lim n n z z →∞=式成⽴时, 等价于lim ,n n u u →∞=lim n n v v→∞=1nn z ∞=∑收敛的充要条件是1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都收敛。
2．复数级数（定义）：设有复数项级数 +++=∑∞=k k n z z z z 211若其前n 项和n n z z z S ++=21构成的数列{}n S 收敛,则称级数1n k z ∞=∑收敛,⽽数列{}n S 的极限S 叫做级数1n k z ∞=∑的和.否则称级数1n k z ∞=∑发散。
由于∑∑==+=n k kn v i uS 11，所以11lim lim limnk n k n n n k n k u u S S u iv v v →∞=→∞→∞=?=??==+=??∑∑；绝对收敛：若⼀个级数的模级数∑∞=1k k z 收敛,则称级数∑∞=1k k z 是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。
3．设复变函数)(z f k ( ,2,1,0=k )区域G 内都有定义, 则定义复变函数项级数：∑∞=++++=010)()()()(k k k z f z f z f z f ，其中前n 项和：∑==nk k n z f S 0)(。
若对于G 内某点0z ,极限lim n n s S →∞=存在,则称复变函数项级数在点0z 收敛,s 叫做级数的和.若级数在区域G 内处处收敛,其和必是⼀个复函数:∑∞==)()(k k z f z s .则()s z )称为级数0()k k f z ∞当n N >时，1|()|n pk k n f z ε+=+<∑(p 为任意正整数)则称级数0()n n f z ∞=∑在B 内(或曲线L 上)⼀致收敛。
复变函数4 - 1 复数项级数和序列以及泰勒级数幻灯片
w0
lim
n
zn
+
wn
z0 + w0
性质2 Cauchy收敛准则 zn z0
任意 0，存在N，使得 当m，
n>N时，| zm
zn |
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5
复数项级数
对于复数列 {z1，z2，…，zn，…}，称
zn z1 z2 zn
n1
为复数项级数。部分和记为
n
Sn zk z1 z2 zn
| zn || |n
可知极限不存在。
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25
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ， 为复数。
注：（3）用到了如下性质
lim zn z0 lim | zn || z0 |
n
n
这是因为
0 || zn | | z0 ||| zn z0 | 0
n 1
n 1
15
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，
求极限。（1）zn
( i )n，（2）zn 2
cos in。
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16
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，
求极限。（1）zn
( i )n，（2）zn 2
cos in。
分析与解：（1）由于 |i/2|<1，猜测{zn}的 极限为0
|
zn
n1
实数项级数 xn， yn 分别收敛于X和Y。
n1
n1
此时，S=X+iY
证明：由于Sn=Xn+iYn，可知 Sn S Xn X，Yn Y。
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10
定理：复数项级数 zn 绝对收敛
n1
实 数 项 级 数 xn ， 都绝对收敛。
复变函数的级数
收敛，则当 z z0 z1 z0 时绝对收敛；
n
cn (z z0 )n cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
n
M z z0 z1 z0
• z1 z0•
z•
因为
z z0 1, z1 z0
n
所以
M z z0 z1 z0
收敛。
cn (z z0 )n 收敛。
n0
cn (z z0 )n 绝对收敛。
n0
如果级数 cn (z z0 )n 在 z z2
n0
则当 z z0 z2 z0 时发散。
处发散，
• z3
利用反证法可以说明：
如 果 在 z3 收 敛 ， 则 在 z2 收敛，矛盾。
z0• •z2
幂级数存在收敛半径 R
R
(1) R 0 时幂级数只在 z z0 点收敛
a
ba
b a
当 z a 1 即 z a ba 时
ba
1
zb
1 ba
n0
z b
a a
n
n0
(b
1 a)n1
(z
a)n
2. 幂级数的性质
定理３.9 级数 an zn 和 bn zn 的收
n0
n0
敛半径分别为 R1 和 R2 则在
z min{R1, R2}
内：
(1) an zn bn zn (an bn )zn
2
n
n0 n!
z 2n
n0 (2n)!
z
2 n 1
n0 (2n 1)!
都收敛
3.2 幂级数
1. 幂级数的概念
cn (z z0 )n c0 c1(z时
cn zn c0 c1z cn zn
【工程数学】复变函数复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数)有大小.2.复数的表示1）模：z =2)幅角：在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩; 4）三角表示:()cos sin z z i θθ=+,其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=. (二） 复数的运算1。
加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2。
乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++;()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==， 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3。
乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=,则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=. 2）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭(有n 个相异的值)（三)复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射.2．复初等函数指数函数:()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析;且()z z e e '=.注：z e 是以2i π为周期的周期函数.（注意与实函数不同）对数函数: ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数)；主值：ln ln arg z z i z =+。
第四章41-42复数项级数与复变函数项级数共29页
§4.1 复数项级数 §4.2 复变函数项级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数
§4.1 复数项级数
一、复数序列 二、复数项级数
一、复数序列
1. 基本概念 定义 设 z n 为复数，称 {zn}n1,2,为复数序列。
极限 设 {zn}n1,2,为一复数序列，又设 a为一确定的复数， 如果对任意给定的 e > 0，相应地存在自然数 N，使得 当 n > N 时，总有 | zn - a | < e 成立，则称复数序列 { zn } 收敛于复数 a，或称 a 为复数序列 { zn } 的极限，记作 nl imzna, 或 zn a,(n ) . 如果复数序列 { z n } 不收敛，则称 { z n } 发散。
一、复数序列
2. 复数序列极限存在的充要条件
定理
P78
设 z n x n iy n ,a i,则 nl imzna的充要条件是
定理
4.1
n l ix m n ,n l iy m n .
证明 必要性 “”
若 nl imzna, 则 e0,N, 当 nN时，|zn-a|e,
}
的收敛性。
解
zn
in
i n
π in
e2
i n
conπ si(sin n π1).
2
2n
由
{cos
nπ 2
}
或
{sinnπ
2
1}发散，
n
即得
{zn
}
也发散。
附 考察实序列{|zn |} 的收敛性。
已知
|zn|
in i n
4.1.2 复变函数项级数和复变函数序列
第四章 级 数 第一节 级数和序列的基本性质2、复变函数项级数和复变函数序列：设,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面点集E 上有定义，那么：...)(...)()(21++++z f z f z f n是定义在点集E 上的复变函数项级数，记为∑+∞=1)(n n z f ，或∑)(z f n 。
设函数f (z )在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，级数∑)(z f n 都收敛于f (z )，那么我们说此级数在E 上收敛（于f (z )），或者此级数在E 上有和函数f (z )，记作),()(1z f z fn n =∑+∞=设),...(),...,(),(21z f z f z f n是E 上的复变函数列，记作+∞=1)}({n n z f 或)}({z f n 。
设函数)(z ϕ在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，序列)}({z f n 都收敛（于)(z ϕ），那么我们说此序列在E 上收敛（于)(z ϕ），或者此序列在E 上有极限函数)(z ϕ，记作),()(lim z z f n n ϕ=+∞→注解1、复变函数项级数∑)(z f n 收敛于f (z )的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε.|)()(|1ε<-∑=z f z f nk k注解2、复变函数序列)}({z f n 收敛于)(z ϕ的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε.|)()(|εϕ<-z z f n如果任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n ∈>,时，有 .|)()(|1ε<-∑=z f z f nk k或 .|)()(|εϕ<-z z f n那么我们说级数∑)(z f n 或序列)}({z f n 在E 上一致收敛（于f (z )或)(z ϕ）。
复变函数级数第1,2节 复数项级数
n 1
定理2： n s
an Re(s), bn Im(s)
n1
n1
n1
2. 复数项级数的性质
(1)
n
收敛
lim
n
n
0
(级数收敛的必要条件)
n 1
证: n 收敛 n 1
an , bn 都收敛。
n 1
n 1
lim
n
an
lim
n
bn
0
lim
n
n
0
(2)
n 和 n 都收敛 (n n ) n n
级数
第一节 复数项级数 复数列的极限 复级数的概念 复级数的性质
一. 复数列的极限
设 n (n 1,2,) 为一复数列，其中 n an ibn .
a ib
lim
n
n
a
ib
0, N N( ) 0,使得当n N时，
n .
Th1
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b
注: 1) n | n || |
n0
在a处的幂级数
cn z n c0 c1z c2 z 2 cn z n
n0
在0处的幂级数
幂级数的收敛定理（Abel定理）
如果级数 cn z n 在 z =z0(不等于零)收敛，那么对满足
n0
|z|<|z0|的z，级数必绝对收敛。
如果级数 cn z n 在 z =z1(不等于零)发散，那么对满足 n0 |z|>|z1|的z，级数必发散。
(2)
n0
ln(in)
(3) cos 1 (z 1)n
n0
n
例2. 求幂级数
复变函数第四章级数
an 1 an
z n的收敛半径 :
an R lim 1 an
n
a n1
1 an1
lim
n
a(1
a
n
)
1 a
1.
1 an1
22
4、 幂级数的运算和性质
定理三 (1) 幂级数
f (z) cn (z a)n
(4.3)
n0
的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤+∞)内解析.
f z cn z z0 n ,
D
n0
成 立 ， 其 中cn
1 n!
f
nz0 , n
0,1, 2，,
d
• z0
并 且 展 开 式 唯 一. （证略）
31
注
⑴
f z cn z z0 n
n0
n0
f
n z0
n!
z
z0
n
=
f
z0 +
f z0 z - z0 +
f
z0
2!
z
-
z0
2
+
n
z a 收敛
z1 a
cn(z a)n 在圆K内绝对收敛. n0
推论： 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆 心并且通过点z2的圆周外部发散.
z1 z2
a
2.收敛圆与收敛半径
z1
y
z.2
.
R
o
收敛圆 收敛半径
x 收敛圆周
幂级数 cnzn的收敛范围是以a点为中心的圆域.
常用的展开式：
ez 1 z z2 z3 zn
2! 3!
复数列级数、复变函数项级数小结
复数列级数敛散性小结0000000lim 1lim lim lim 2lim 0lim 0lim 0lim 0)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x z z y y z z z z z z z z z →∞→∞→∞→∞→∞→∞∞∞→∞→∞==∞∞==⎧=⎧⎪⎪=⇔⎨=⎪⎪⎪⎩⎨=⇔=⎪⎪⎪⎩≠⇒=⇔∑∑∑∑）1、复数列极限：），（适合于实部和虚部不容易求得的复数列极限）复数列1）若，则必发散,(若收敛2、复数列级数：2）复数列级数收敛实数列级数0000n n n n n n n n x y z z ∞∞==∞∞==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩∑∑∑∑收敛和收敛3）若级数（正项级数）收敛绝对收敛（适合于实部和虚部不容易求得的复数列级数）0100001,11111lim ,2134n n n n n n n n n n n n n n n n n n z z z z C R C C z R C z R C z C z λλλλ∞=+∞→∞=∞=∞=∞=⎧<⎪-⎨⎪≥⎩⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑∑、发散，1）比值法：=则、收敛半径2）根值法：=则、收敛区域：在半径为在圆域内绝对收敛，在圆外发散，在圆周上可能收敛、可能发散、可能有些点收敛有些点发散、的和函数：求收敛域（收敛半径）、幂级数000()000(21)0()2()()!1(1),11(2),!52)(3)sin (1),(21)!(nn n n n n n n n nz n n n n z f z z z R f z C z f z C n z z z z e z n z z z n ∞=∞=∞=∞=+∞=−−−−−−−→⎧⎪-<⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩=<-=<+∞=-<+∞+∑∑∑∑∑逐项微分、逐项积分在收敛域内求和函数（1）在圆域内解析1）泰勒级数定理（）可展开为幂，且唯一（3）、泰勒级数直接展开法201024)cos (1),(2)!3)()2()1()2(6n n n n n n n z z z n f z R z z R f z C z f C i ζπζ∞=∞=-∞⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-<+∞⎪⎪⎩⎪−−−−−−−−−−−−→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩<-<=∑∑逐项微分、逐项积分、求导、求积分等方法间接展开法上面展开式（1）在圆环域内解析1）泰勒级数定理（）可展开为幂，且唯一（3）、洛朗级数011020210,1,10110000202)2)113),11n C n n z z R R z z R z z R n n d z z z R z z R z z R ζ+-∞∞<-<<<-==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎩⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎛⎫-⎪−−−−−−−−−→== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭--⎪-⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎰∑∑直接展开法间接展开法或⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪。
复变函数与积分变换 级数和序列的基本性质
f ( z) 或序列 { f n ( z )}在E上
( z )，那么f(z)或 ( z ) 在E上
定理2.2 设在简单曲线C上{fn(n)}(n=1,2,…), 连续，并且级数 f n ( z ) 或序列 {fn(n)} 在 C 上一 致收敛于f(z)或 ( z ) ，那么
是一个收敛的正项级数。设在E上，
那么级数
f ( z) 在E上一致收敛。
n
| f n ( z ) | an
(n 1,2,...),
定理1、2：
哈 尔 滨 工 程 大 学
定理2.1 设复平面点集E表示区域、闭区域或简 单曲线。设在集E上{fn(n)}(n=1,2,…),
n
连续，并且级数 一致收敛于f(z)或 连续。 复
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
第四章 级 数
§1 级数和序列的基本性质
学习要点
掌握复数项级数和复变函数项级 数的概念和性质
一、 复数列和复数项级数
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1. 复数列
复数列: { zn } an ibn ( n 1,2,...), 这里an Re zn , bn Im zn
n n n
例 1 下列数列是否收敛？若收敛，求出其极限.
1 1. zn (1 )e n
i
n
i n 2. zn (1 ) 2
3. zn n cos in
2. 复数项级数
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
设{ zn } an bn i为一复数列，表达式
C n n n C n
因为根据莫勒拉定理，可见 ( z )在U内解析。再 由于z0是D内任意一点，因此 ( z )在D内解析。 其次，设U的边界即圆K也在D内，于是
复变函数的级数
则 在z 3 i处 是 否 收 敛 ？
设 级 数 C n收 敛 ， 而 | C n |发 散
n 1 n 1
则 在z 1 i处 是 否 收 敛 ？
四. 复幂级数的性质
1. 代数运算性质
设 C n z n 和 C n z n 的 收 敛 半 径 分 别 为 1 和 R2 , R
注： （1）Taylor级数在 z0 的展开区域只有一个以z0 为 中心的圆域；而Laurent级数在z0的展开区域可能 多于一个，且它们是以z0 为中心的同心圆环域.在 不同的圆环域内有不同的Laurent展式,在一个圆环 域内Laurent展式只有一个. (2)若f(z)在z0 解析，则f(z)在z0 去心邻域的 Laurent展式就是在z0邻域的Taylor级数，因此
并求出其收敛半径 R.
( R 从z 0到f ( z )的距z 0 最近一个奇点的距离 )
(3) 写出 f ( z )在 z0 的幂级数展式（ Taylor 展式）
f (z)
n0
f ( n) ( z0 ) (z z 0 ) n , n!
z z0 R
e z , sinz, cos z, ln( z ),(1 z ) 1 五个基本的初等函数
i lnn n 2
n
n
cosin 2n n 2
例2
z 求 n 的收 敛半径 与收 敛圆。 n n 1 2 ( 3i )
n 1
例3 求 (1 i )
n 1
( 2n 1) 2 n 1 z 的收敛半径与收敛圆。 n 2
例4
幂 级 数 C n ( z 2) n 在z i处 收 敛 ，
复变函数4.1-4.2复级数及幂级数
a
n 1nBiblioteka S lim S n .
n
如果 Sn 不收敛，则称级数发散.
复数项级数与实数项级数收敛的关系
定理4.2 级数 an ( n i n ) 收敛的充要 条件是 n ,
n 1 n 1 n 1
n 1
n 1
n
都收敛, 并且
n 1
绝对收敛级数的性质
定理4.4
并且成立
若级数 an 绝对收敛, 则它收敛,
n 1
a
n1
n
an .
n1
推论
a
n 1
n
绝对收敛 n 和 n 都绝对收敛.
n 1 n 1
例4.1 下列级数是否收敛？是否绝对收敛?
1 i (8i )n (1) (1 ) ( 2) n n1 n n 0 n !
4.2.3
幂级数的性质
由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此 可得出下面几个性质.
性质4.1
n n a z b z (1) 设级数 n 和 n 的收敛 n 0 n 0
半径分别为 R1 和 R2 , 则在 z R min( R1 , R2 ) 内,
(a
n 0
n
bn ) z an z bn z ,
或 z0 0 的特殊情形
an ( z z0 ) n
,
n 2 a z a a z a z n 0 1 2 n 0
an z n
,
这类函数项级数称为幂级数.
4.2.2
幂级数的敛散性
复变函数 知识点
复变函数知识点一、复数的基本概念。
1. 复数的定义。
- 设x,y∈ R，称z = x+iy为复数，其中i为虚数单位，满足i^2=- 1。
x称为复数z的实部，记作x = Re(z)；y称为复数z的虚部，记作y = Im(z)。
2. 复数的相等。
- 两个复数z_1=x_1+iy_1和z_2=x_2+iy_2相等，当且仅当x_1=x_2且y_1=y_2。
3. 复数的共轭。
- 对于复数z = x + iy，其共轭复数¯z=x-iy。
共轭复数具有性质：z¯z=x^2+y^2，Re(z)=frac{z + ¯z}{2}，Im(z)=frac{z-¯z}{2i}等。
二、复数的四则运算。
1. 加法与减法。
- 设z_1=x_1+iy_1，z_2=x_2+iy_2，则z_1± z_2=(x_1± x_2)+i(y_1± y_2)。
2. 乘法。
- z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)。
3. 除法。
- frac{z_1}{z_2}=frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+ifrac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}（z_2≠0）。
三、复数的几何表示。
1. 复平面。
- 复数z = x+iy可以用复平面上的点(x,y)来表示，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴。
2. 复数的模与辐角。
- 复数z = x + iy的模| z|=√(x^2)+y^{2}，它表示复数z在复平面上对应的点到原点的距离。
- 复数z≠0的辐角θ满足z=| z|(cosθ + isinθ)，辐角不唯一，Arg(z)=θ + 2kπ，k∈ Z，其中θ∈(-π,π]称为z的主辐角，记作θ = arg(z)。
第四章 复变函数的级数
(2)zn
(1)n i n1
则ln i m xn (1)n, 而该极限不存在，
故该极限不存在。
3. 复数项级数
设 {zn}{xnyn}(n1,2,)为一复数
表达式 zk z1z2zn k1
称为复数项级数.
6
n
前 n 项的和 Sn zkz1z2zn k1
称为级数的前 n 项部分和.
级数收敛与发散的概念
重要结论:
ln i m zn 0级
数zn发
n1
散 .
定义：如果 z n 收敛, 称级数 z n 为绝对收敛.
n1
n1
如果 z n 收敛, 而 z n 不收敛的级数
n1
n1
称为条件收敛. 11
绝对收敛级数的性质：
如 果zn收,敛 那 么 zn也收 . 敛
n1
n1
证明：由于 zn xn2yn2,
n1
称为复变函数项级数。
级数前n项的和
S n ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
找到一N 个 ()当 ,正 n数 N时 ,有znz0 .
则 称n当 时zn ， 以 z0为极限。
此时也称{复 zn}收 数敛 列z于 0.
记作 ln imzn z0 .
2
复数列收敛与实数列收敛的关系：
复数 {zn}(列 n1,2,)收敛 z0的 于充要条
ln i x m nx0, ln i y m ny0.
由 z 于 1时 ,当 ln i s m n ln i 1 m 1 z z n 1 1z
所以z当 1时级数. 收敛
复数项级数与实数项级数收敛的关系：
级数zn (xniyn)收敛的充要: 条
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幂级数的形式
∑ c (z − z )
n =0 n 0
∞
n
= c0 + c1 ( z − z0 ) + c2 ( z − z0 ) +
2
作变量替换 w=z-z0，只需讨论幂级数
∑c z
n =0 n
∞
n
= c0 + c1 z + c2 z +
2
Abel定理： 若幂级数
∑c z
n =0 ∞ n
∞
n
在点 z0≠0 收敛，则它在
∑a z
n
n
=
n
f 在|z|<R可积， f ( z ) dz =
C
∫
∑∫
n =0
C
an z dz
习题：
P 87-88
T 2（1，2） T 4（1，3） T 7（1，3，6）
n →∞
性质2 Cauchy收敛准则 znöz0ñ任意ε
> 0，存在N，使得m，n>N时，
| zm − zn |< ε
对于复数列{zn}={z1，z2，…，zn，…}，称
∑z
n =1
∞
n
= z1 + z2 +
+ zn +
为复数项级数。 部分和记为 S n =
∑z
k =1
n
k
= z1 + z2 +
+ zn
复数列即有序的复数集 {zn}={z1，z2，…，zn，…} 称{zn}收敛于z0，若
lim | zn − z0 |= 0
n →∞
记作
lim zn = z0
n →∞
归结为实数列的极限
lim zn = z0 ⇔ lim | zn − z0 |= 0
n →∞ n →∞
⎧lim | xn − x0 |= 0 ⎪ n→∞ ⇔⎨ lim | yn − y0 |= 0 ⎪ n→∞ ⎩ ⎧lim xn = x0 ⎪ n→∞ ⇔⎨ ⎪lim yn = y0 ⎩ n→∞
n =1
∞
n
| 收敛。
定理：复数项级数
∞
∑z
n =1 ∞
∞
绝对收敛 n
n
∑ x ， y 都绝对收敛。 ∑ ñ实数项级数
n =1 n
n =1
推论：复数项级数
∑z
n =1
∞
n
绝对收敛
∑z ï级数
n =1
∞
n
收敛。
性质： 1、 2、
∑ z 收敛 ï z ö0；
zn 收敛ó " e > 0，存在N，使得 ∑
cn +1 定理（比值法）：若lim | |= λ ≠ 0 ， n →∞ cn
则收敛半径为R=1/l。
cn +1 定理（比值法）：若lim | |= λ ≠ 0 ， n →∞ cn
则收敛半径为R=1/l。 定理（根值法）：若lim n | cn | = λ ≠ 0 ，
n →∞
则收敛半径为R=1/l。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn = λ ，l为复数。
n
（2）|l|=1，zn |=| λ | = 1，可知数列{zn}在 |
n
单位圆上运动。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn = λ ，l为复数。
n
（2）|l|=1，zn |=| λ | = 1，可知数列{zn}在 |
n
单位圆上运动。设 l=eiq，则 zn=einq 。 当q=2kp，即l=1时，显然有lim zn = 1 。
cn +1 定理（比值法）：若lim | |= λ ≠ 0 ， n →∞ cn
则收敛半径为R=1/l。 定理（根值法）：若lim n | cn | = λ ≠ 0 ，
n →∞
则收敛半径为R=1/l。 ☺ l=0，则R=¶；l=¶，则R=0。
例5： 求如下级数的收敛域
(n !) n (1) ∑ n z ， (2) n =1 n (3)
收敛性：若lim S n = S，则称级数 记作 S =
∑z
n =1
∞
n →∞
n
∑z
n =1
∞
n 收敛，
若{Sn}发散，则称级数 若
∑ z 发散。
n =1 n
∞ n =1
∞
∑| z
n =1
∞
n
| 收敛，称级数∑ zn 绝对收敛。
对应的实数项级数
∑x
n =1 ∞ n =1
∞
n
= x1 + x2 + = y1 + y2 +
|z|<|z0|绝对收敛； 若幂级数
∑c z
n =0 n
n
在点 z0≠0 发散，则它在
|z|>|z0|发散。
由Abel定理，只有三种情况 ☺ ☺ ☺ 幂级数
∑c z
n =0 n
∞
n
在整个复平面收敛
幂级数只在 z=0 处收敛 在圆 |z|=R外发散，在圆内收敛，在圆 周上单独讨论。 此时，称 |z|=R为收敛圆。
1 z n (2) ∑ 2 ( ) 2 n =1 n
解：（2）用比值法
∞
cn +1 2 n 1 lim = lim n +1 = 2 n →∞ c n →∞ 2 (n + 1) 2 n
n
2
可知收敛半径 R=2。
例5： 求如下级数的收敛域
1 z n (2) ∑ 2 ( ) 2 n =1 n
解：|z|=2时，
n
注：（3）用到了如下性质
lim zn = z0 ⇒ lim | zn |=| z0 |
n →∞ n →∞
这是因为 0 ≤|| zn | − | z0 ||≤| zn − z0 |→ 0
例3： 设|l|<1，证明级数1+l+l2+…+ln+…
1 收敛于 1 − λ
例3： 设|l|<1，证明级数1+l+l2+…+ln+…
n =1 n n =1
∞
定理：复数项级数
∞
∑z
n =1
∞
绝对收敛 n
n
∑ x ， y 都绝对收敛。 ∑ ñ实数项级数
n =1 n
∞
证明：“ï”假设
∑| z
n =1
n =1 ∞
n
| 收敛，由于
|xn|≤|zn|，|yn|≤|zn|，可知
∑| x | ， | y ∑
n =1 n n =1
∞
∞
n
| 收敛。
(3)
∑ n(iz )
n =1
∞
n
解： |z|=1时，
lim n(iz ) = lim n = ∞
n n →∞ ∞
n =1
n →∞
可知级数
∑ n(iz ) 发散，因此收敛域|z|<1 。
n
幂级数的线性运算（收敛半径取小的）
∑ a z ± ∑ b z = ∑ (a
n n n =0 n n =0 n n =0
∞
2
1 z n ∑ n2 ( 2 ) ， n =
例5： 求如下级数的收敛域
(n !) n (1) ∑ n z n =1 n
解：（1）用比值法
∞
2
cn +1 [(n + 1)!] n lim = lim n →∞ c n →∞ ( n + 1) ( n +1) ( n !) 2 n
inθ
−e
n →∞ i ( n +1)θ
|=|1 − λ |
由Cauchy收敛准则知极限不存在。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn = λ ，l为复数。
n
（3）|l|>1，此时有
| zn |=| λ | → ∞
n
可知极限不存在。
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn = λ ，l为复数。
定理：复数项级数
∞
∑z
n =1 ∞
∞
绝对收敛 n
n
∑ x ， y 都绝对收敛。 ∑ ñ实数项级数
n =1 n
证明：“ì”假设 则
∑ (| x
n =1
∞
∑| x |， | y ∑
n =1 n n =1
n =1 ∞
∞
n
| 收敛，
n
| + | yn |) 收敛，由于
|zn|≤|xn|+|yn|，可知
∑| z
zn = λ ，l为复数。
n
分析与解： 类似于实数列情形，应该以1为临界点 分为三种情况： （1）|l|<1，（2）|l|=1，（3）|l|>1
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn = λ ，l为复数。
n
（1）|l|<1，此时
| zn |=| λ | → 0
n
可知 lim zn = 0
n →∞
n →∞
例2： 讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn = λ ，l为复数。
n
（2）|l|=1，zn |=| λ | = 1，可知数列{zn}在 |
n
单位圆上运动。设 l=eiq，则 zn=einq 。 当q=2kp，即l=1时，显然有lim zn = 1 。
| 当q≠2kp，zn − zn +1 |=| e
∞
∑
n =1
∞
1 z n 1 ( ) =∑ 2 2 n 2 n =1 n
∞
收敛。因此收敛域为|z|§2。