高等数学背景下的导数问题
高等数学导数的四则运算法则
(e x ) e x .
例5 求函数 y loga x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
由导数的几何意义, 得切线斜率h为0
h
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
h 作变速直线运动的质点在某一时刻t的瞬时速度问题
log (1 ) 导数的实质: 增量比的极限;
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数
f
( x)在点
x
连续
0
.
注意: 该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导).
举例
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
y
y x2
yx
在 x 0处不可导,
C C
lim
h0 h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
lim
h0
cos( x
h) 2
sin h 2
h
cos
x.
2
即 (sin x) cos x.
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
lim f (0 h) f (0) lim h 1.
h0
h
高中数学导数典型题
关于导数的29个典型习题习题1设函数在0=x 的某邻域内1C 类(有一阶连续导数），且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。
解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0=-+=-+→f b a f h f b h f a h 。
.01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知).0()2(1)2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-x x x e x g x f x其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。
（1) 求);(x f '（2) 讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 （1) 当0≠x 时，用公式有,)1()()()(])([)(22x e x x g x g x x e x g e x g x x f xx x ---++-'=+-+'='当0=x 时，用定义求导数，有.21)0()(lim)0(20-''=-='-→g x e x g f xx 二次洛⎪⎩⎪⎨⎧=-''≠++-'='∴-.0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x(2） 因在0=x 处有).0(21)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f xx xx x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明:若022=++++c y b x a y x(圆),其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则=+xd y d dx dy 22232])(1[定数。
高等数学-导数的概念
0− 时，极限
(0 +)−(0 )
−
存
→0
在，则称此极限值为函数 = ()在0 处的左导数，记为
−′ (0 )
=
(0 +)−(0 )
−
→0
=
()−(0 )
−
.
−
→0
0
16
01 导数的定义
4.左导数和右导数
′ 在点0 处的函数值，即 ′ (0 ) = ′ ()|=0 ．
12
01 导数的定义
例2 求函数() = ( > 0)的导数．
根据导数定义，使用分子有理化得
( + ) − ()
+ −
′
() =
=
→0
→0
注
如果 ′ (0 ) = ∞，曲线 = ()在点(0 , (0 ))处的
切线为垂直于轴的直线 = 0 .
19
02 导数的意义
结论 1 曲线 = ()上点(0 , 0 )处的切线方程为
− 0 = ′ (0 )( − 0 ) .
2 如果 ′ (0 ) ≠ 0，曲线 = ()在点 0 , 0
(0 + ) − (0)
=
→0
→0
=
1
()3
−0
1
2
→0 ()3
O
x
= +∞，
即导数为无穷大（导数不存在）．
26
→0
= ()在
点0 处可导，并称这个极限值为函数 = ()在点0 处的导数，
记作
′ (0 )， ′ |=0 ，
高中数学导数题型归纳总结
高中数学导数题型归纳总结高中数学中，导数是一个重要的概念，它是微积分的基础。
在考试中，导数题型往往是必考的内容。
为了帮助同学们更好地复习导数，下面对高中数学导数题型进行归纳总结。
1. 求函数的导数：这是最基本的导数题型，要求根据函数的定义求出其导数。
常见的函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 导数的四则运算：利用导数的基本性质，可以进行导数的四则运算。
例如，两个函数的和、差、积或商的导数可以通过分别求出函数的导数，然后利用四则运算的性质计算得到。
3. 链式法则：当函数是复合函数时，可以使用链式法则进行求导。
链式法则的基本思想是将复合函数分解为内层函数和外层函数，并利用导数的链式法则求出导数。
4. 隐函数求导：当一个函数的表达式中包含未知数的隐式关系时，可以利用隐函数求导的方法求出导数。
常见的隐函数求导题型包括求曲线的切线斜率、求极值等。
5. 参数方程求导：当函数由参数表示时，可以通过对参数方程进行求导，然后用参数方程的导数表达式消去参数，得到函数的导数。
6. 反函数求导：如果函数存在反函数，可以利用反函数求导的方法求出导数。
反函数求导的基本思想是将函数的自变量和因变量互换，然后求出反函数的导数。
7. 极限与导数：导数的定义中包含了极限的概念，所以在求导过程中经常需要应用极限的性质。
例如，使用极限的性质求出函数导数的极限，或者利用导数的定义证明极限存在等。
除了上述的题型，还有一些常见的应用题型，如最值问题、曲线的凹凸性、切线和法线方程等。
这些题型往往需要综合运用导数的概念和性质进行解答。
总之，高中数学导数题型的归纳总结包括基本的导数求法、导数的四则运算、链式法则、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导以及与极限的关系等。
通过对这些题型的理解和熟练掌握，可以帮助同学们更好地应对高中数学考试中的导数题目。
高等数学(理工科)课件第3章导数的应用
0
0
极
f (x) ↗ 大
值
极大值 f (1) 10,
极
↘
小
↗
值
极小值 f (3) 22.
高等数学应用教程 3.2.1 函数的极值及其求法
解法2 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) f (x) 6x 6 6(x 1)
令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 由于 f (1) 12 0， 则 f (1) 10为极大值 由于 f (3) 12 0， 则 f (3) 22为极小值
1、求出函数 f（x）所有的临界点（驻点和不可导点）；
2、计算各临界点的函数值和区间端点的函数值；
3、比较各函数值的大小，其中最大的就是函数 f(x)在区 间[a, b]上的最大值，最小的就是函数 f(x)在区间[a, b] 的最小值.
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值 例3
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值
2
arctan
1 n
n
( n 为正整数)?
高等数学应用教程
二、 型未定式
定理3.3.2 如果函数 f (x)和g (x)满足：
2)
f
( x)、g ( x)
，在
o
U(x0 )
内可导，且
f (x)
3) lim
A
xx0 g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A
xx0 g(x) xx0 g(x)
高等数学应用教程
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以 研究解决，为此先介绍拉格朗日中值定理
高等数学中导数的求解及应用
高等数学中导数的求解及应用摘要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。
然而导数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。
本文详细地阐述了导数的求解方法和在实际中的应用。
关键词：高等数学导数求解应用导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习导数的重要性是不言而喻的。
然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。
我通过自己的学习和认识，举例子说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。
一、导数的定义1.导数的定义设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）-f（x0）。
若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim ＝lim存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记为f`(x0)。
2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。
如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。
根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。
二、导数的应用1.实际应用假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时的产量。
解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和：总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000总收入的函数R(x)=px=30x（常数p是产品数量）总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000边际收入R(x)Γ=30边际成本C(x)=0.02x+20边际利润I(x)=-0.02x+20令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。
高等数学背景下的导数问题举例
f (b) − b < f (a) − a ”转化为判断 h(x) 的单调性问题，
这是构造新函数的依据所在．
分析 2 对任意的 b > a > 0 ， f (b) − f (a) < 1 ， b−a
可见函数在区间[a，b] 上的平均变化率恒小于1 ，由
即 ∀x1，x2 (xl
>
x2 ) ，
f
(x1) − x1 −
f (x2 ) x2
<
3+
x1
+
x2
恒成立，
等价于 ∆y < 3 + 2x − ∆x 恒成立， ∆x
所以 f ′(x) ≤ 3 + 2x 恒成立，
即 f ′(x) =−x2 + 4mx ≤ 3 + 2x 恒成立，
即 −x2 + (4m − 2)x − 3 ≤ 0 恒成立， 所以=∆ (4m − 2)2 − 4 × (−1) × (−3) ≤ 0 ，
（2） 当 a = 1 时，求函数 h(x) = g(x) 的单调减 f (x)
区间；
（3） 当 a = 0 时，若 f (x) ≥ g(x) 对任意的 x ∈
R 恒成立，求 b 的取值的集合．
分析 1 （1）、（2）的分析略，我们重点分析
（3）．当 a = 0 时，要使 f (x) ≥ g(x) 对任意的 x ∈ R
此我们想到用导数的定义来求解．
解 对任意 b > a > 0 ， f (b) − f (a) < 1 恒成立， b−a
等价于 ∆y < 1 在 (0，+∞) 上恒成立， ∆x
学习高数之导数的经验之谈
学习高数之导数的经验之谈学习高数之导数的经验之谈引言：导数是高等数学里的一个非常重要知识，通过导数的几何意义可以去求函数的切线或者法线方程，通过导数开可以求出函数的极限，也可以通过导数去判断函数的单调性，以及通过导数延伸出来的微积分可以去求函数的面积、体积及长度的内容，所以掌握导数和求函数的导数就是高等数学的重要且是基本的知识了。
基本函数的导数：所谓基本函数，也就是通常所说的初等函数，例如常数函数y=c，一次函数y=kx+b，二次函数y=ax^2+bx+c,幂函数y=x^a,指数函数y=a^x,对数函数y=logax，自然对数函数y=lnx，三角函数，反三角函数等，这些函数的导数是需要记住的。
具体公式如下：y=cy''=0y=x^ny''=nx^(n-1)y=a^xy''=a^xlna?y=e^xy''=e^xy=logaxy''=logae/xy=lnxy''=1/x?y=sinxy''=cosxy=cosxy''=-sinxy=tanxy''=1/cos^2x????y=cotxy''=-1/sin^2xy=arcsinxy''=1/√1-x^2y=arccosxy''=-1/√1-x^2?y=arctanxy''=1/1+x^2y=arccotxy''=-1/1+x^2导数的运算法则：导数的运算法则，就是指导数的加、减、乘、除的四则运算法则，这也是需要掌握的重要内容，公式如下：?（u±v)=u''v±vu''?uv=u''v+uv''?③u/v=(u''v-uv'')/v^2这里边的u.v一般是代表的两个不同的函数，不会同时为常数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等数学背景下的导数问题戎 钢随着高中新课程改革的深入，大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多，如选修4部分。
而实际上在必修部分新增的内容就已足够值得关注，这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的趋势。
导数部分内容就丰富了很多。
如指数函数、对数函数及分是函数的求导就使得我们的研究范围不仅仅局限在多项式函数主要是三次函数的系列问题。
我们还要指导学生通过类比的手段利用导数研究函数的单调性、极值点，作出函数的示意图，通过直观化解决超越函数的有关问题。
另外，随着高考命题自主化的深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题，而在命题组中高校教师占很重要的地位。
他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。
函数图像的凸凹性，导数中的拐点，拉格朗日中值定理，李普希茨条件……虽然高考考试没有要求学生掌握但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。
一、函数的拐点问题例1（2007湖南文21）已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）略；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．解析：（II ）思路一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--， 因为切线l 在点(1())A f x ，处过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+．因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102a h =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =-- 点评 本题中“l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象”实际上是指点A 处是函数的拐点。
有关拐点的问题，在讲解极值点内容时举的最多的例子就是函数3x y =。
在0=x 处虽然导函数值为0，但不是极值点，左右两边的单调性相同。
从数来看，0=x 使导函数所对应方程的偶次重根。
所以本例中可知1=x 是0)('=x g 重根。
二、函数的凸凹性例2.)1ln()1()(++=x x x f 若对所有的x 都有ax x f ≥)(成立，则实数a 的取值范围是_____.解析：错误！未找到引用源。
,设.)1ln()1()()(ax x x ax x f x F -++=-=则a x x F -++=1)1ln()(' , 由,0)('=x F 得1-=a e x 。
注意到F(0)=0，若在定义域有极值则比在区间(0,+∞)外.即错误！未找到引用源。
另解：错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
f(x)的示意图如图，由图可知直线y=ax 在区间(0,+∞)上恒在y=f(x)图像下方，所以a ≤1.点评：本题注意)(x f 的图像过定点(0,0)考虑数形结合就会带来一个问题：虽然可以证明函数是单调递增函数，但是递增的形式是类似3x y =还是类似x y ln =即函数的凸凹性。
我们也可以通过再求导，探讨切线斜率的增减性来确定函数图像递增的趋势即凸凹性。
三、拉格朗日中值定理例3.(南通2008第二次调研考试.19) 已知函数).1,0(log )(,221)(2≠>=-=a a x x g x x x f a 如果)()()(x g x f x h +=是增函数，且)('x h 存在零点（)('x h 为)(x h 的导函数。
（1）求a 的值； （2）设))(,(),,(212211x x y x B y x A <是函数)(x g y =的图像上两点，12120)('x x y y x g --=的导函数。
证明：.201x x x << 解析：（1）略。
a=e 。
（2）由（1）得1212121200ln ln 1)(',1)(',ln )(x x x x x x y y x x g x x g x x g --=--==∴== 即12120ln ln x x x x x --=. 1212122212121221212202ln ln ln ln ln ln )()ln (ln ln ln x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+--=----=---=-将2x 换成x 构造函数11ln ln )(x x x x x x x H +--=，定义域为),(21x x x ∈则1ln ln )('x x x H -=， ),(21x x x ∈0)('>∴x H 即)(x H 在定义域),(21x x 上单调增， 0)()(1=>∴x H x H 。
即.02x x >同理可证.01x x <点评：本道题目背景是拉格朗日中值定理中值定理：若函数)(x f 是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则(a,b)至少存在一点0x ，使得ab a f b f x f --=)()()('0。
而我们解决这一问题的手段是通过构造函数，利用导数证明单调性，从而求证不等式。
我们学过的指数、对数函数，正弦、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理。
仿照例3，请尝试证明下面题目。
1、 证明:当0<a<b 时，.ln aa b a b b a b -<<- 2、 已知函数0,,,)(23≠∈+=m R n m nx mx x f 的图像（2，)2(f ）处的切线与a 轴平行。
（1） 求m,n 的关系式并求f(x)单调递减区间；（2） 证明对于任意实数,1021<<<x x 关于x 的方程1212)()()(x x x f x f x f ---在),(21x x 恒有实数解。
例4.函数.,2)(3R x x x x f ∈++=a=0时，曲线)(x f 的切线斜率范围记为集合A ，曲线)(x f 上不同两点),(),,(2211y x Q y x P ，连线斜取值率范围记为集合B ，你认为集合A 、B 之间有怎样的关系，并证明你的结论。
解析：A B ⊂2)(3++=x x x f 有113)('2≥+=x x f 故),1[+∞∈A设PQ 斜率为k ，则212132312121)()()()(x x x x x x x x x f x f k --+-=--= =1222121+++x x x x =143)2(22221+++x x x 21x x ≠ 故若,02=x 有.02121≠=+x x x 若,0221=+x x 有,0221≠-=x x 得02≠x ∴143)2(22221+++x x x 1>，即k>1.),1(+∞=∴B . A B ⊂∴ 点评：注意到割线k 的表示形式)(')()(02121x f x x x f x f k =--=， ⊆∈),(210x x x 定义域D ，联系拉格朗日定理，易证若A k B k ∈⇒∈.可将本题推广到任意曲线割线斜率的范围组成的集合B 是切线范围组成集合A 的子集这一结论。
下面一题就很容易了。
已知函数b ax x x f ++-=23)(，求证：若)(x f y =图像上任意不同两点连线的斜率都不大于1，则.33≤≤-a 高中新教材中的一元函数微积分的部分内容，是根据高等数学内容学习需要所添加，目的是加强高中数学与高等数学的联系，让中学生初步了解微积分的思想。
（1）导数的定义：高中数学和高等数学教材中，这一内容是相同的，不同的是学习要求。
高中数学要求：了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的概念和导数的几何意义；理解导函数的概念。
也就是说，尽管极限与导数在高中已经学过，但主要是介绍概念和求法,对概念的深入理解不作要求。
到了大学，概念上似懂非懂、不会灵活运用，成了夹生饭。
但高等数学要求学生掌握并熟练应用，这是高等数学的一个重要内容，在此处应用举例增加了利用“两个重要极限”解题的例题，在教学中应给与足够的重视。
（2）导数的运算：高中新课标教材要求较低：根据导数的定义会求简单函数的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，会求简单的复合函数导数。
重点考察利用导数的几何意义分析问题、解决问题的综合能力。
高等数学教学大纲对这部分内容要求：掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法；掌握初等函数的一、二阶导数的求法，会求分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；了解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数；了解微分的概念与四则运算。