微积分产生的背景
微积分创立的背景与过程
微积分创立的背景与过程微积分是一门综合性的数学学科，它是由牛顿、莱布尼茨等数学家在17世纪末发明的。
微积分的发明是为了解决物理学中的一些问题，如速度、加速度等，因此，它是在物理学的研究中发展起来的。
微积分是研究函数和它们的变化率、极限、积分等的一门数学学科。
微积分的创立过程、背景和发展历程是非常复杂的，这篇文章将从以下几个方面进行介绍。
1. 微积分的背景微积分的发展背景是欧洲文艺复兴时期的科学繁荣。
在这个时期，人们开始追求自由和民主，同时也开始研究自然界和宇宙的规律。
牛顿、莱布尼茨等数学家在这个时期提出了微积分的概念，为物理学和其他科学领域的研究提供了新的数学工具。
2. 微积分的发展过程微积分的发展过程非常漫长，它由牛顿、莱布尼茨等数学家在不同的时间、不同的地方进行研究。
牛顿在1665年至1666年间，在农村避瘟疫的时候，开始研究运动的规律。
他发现物体的速度在不断变化，而速度的变化率就是加速度。
牛顿发明了微积分的基本概念，即导数和积分，从而解决了运动学中的很多问题。
莱布尼茨则在牛顿之后，于1675年左右独立发明了微积分。
他发现导数和积分是可以互相转换的，从而大大简化了微积分的运算。
莱布尼茨还发明了微积分符号，这使得微积分的表达更加简单和精确。
3. 微积分的应用微积分的应用非常广泛，它是物理学、工程学、经济学、生物学、化学等学科中不可或缺的工具。
在物理学中，微积分可以用来研究物体的运动、力学、电磁学等问题。
在工程学中，微积分可以用来设计建筑物、桥梁、道路等。
在经济学中，微积分可以用来研究市场供求关系、价格变动等。
在生物学中，微积分可以用来研究动植物的生长、繁殖等。
在化学中，微积分可以用来研究化学反应的速率、平衡等。
微积分的发明是人类智慧的结晶，它在解决物理学和其他科学领域的问题中发挥了重要作用。
微积分的发展历程是一个漫长而复杂的过程，但它对人类的进步和发展做出了巨大的贡献。
微积分的历史背景
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光学研究中，由于透镜的设计需要运用折射定 律、反射定律，就涉及切线、法线问题。这方面的 研究吸引了笛卡儿、惠更斯、牛顿、莱布尼兹等人。 而在运动学研究中，要确定运动物体在某一点的运 动方向，就是求曲线上某一点的切线方向，这就需 要求作切线。
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如：古希腊的阿基米德（公元前287―212）用 边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积，称为 “穷竭法”。
中国魏晋时代的刘徽在其《九章算术注》（公 元263年）中，对于计算圆面积提出了著名的“割 圆术”，他解释说：“割之弥细，所失弥少。割之 又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失 矣。”这些都是原始的积分思想。
阳时的最远和最近距离等。）
求曲线长；曲线围成的面积；曲面围成的 体积；物体的重心；一个体积相当大的物 体（如行星）作用于另一物体上的引力等。
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17世纪前期微积分的工作
费尔马 (Fermat)是在牛顿和莱布尼兹之前，在 微分和积分两个方面作出贡献最多的一个数学家。
费尔马《求极大值与极小值的方法》 (写于 1636年以前)在求曲线的切线问题和函数的极大、 极小值问题上做出了重要贡献。用现代语言来说， 他都是先取增量，而后让增量趋于0。这正是微分 学的实质之所在。
0
dx
（2）如果z dy ，则
x
zdx y.
dx
0
巴罗的确已经走到了微积分基本定理的大门口。
但在巴罗的书中，这两个定理相隔二十余个别的定理，
并且没有把它们对照起来，也几乎没有使用过它们。
这说明，巴罗并没有从一般概念意义下理解
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他们。但是我们知道，只有一般概念才能阐明问题 的本质，才能开拓广阔的应用道路。
中国微积分的发展历程
中国微积分的发展历程微积分是数学中的一个重要分支，也是物理、工程、经济学等学科中的基础知识之一，其发展经历了漫长而曲折的历程。
而中国微积分的发展历程更是充满了变化和发展的阵痛，下文将分步骤介绍中国微积分的发展历程。
一、受西方文化影响引入微积分近代以来，随着中国与西方国家的交往不断密切，西方文化开始在中国大地上广泛传播。
在这种背景下，西方的数学知识也渐渐传入中国，并在近代中国的各个领域得到了广泛的应用。
而微积分正是其中之一，最早引入中国的微积分知识可能要追溯到19世纪初。
二、创造性应用微积分研究国家实际问题20世纪初，中国开始走上了工业化的道路，这使得微积分理论的应用变得更加迫切。
此时一批数学家开始探索如何将微积分理论应用于工业、科学和经济领域，以带动国家的发展。
1927年，中国数学巨匠华罗庚发表了一篇《初等微积分教程》，为中国微积分的发展铺平了道路。
而后，华罗庚等一批中国数学名家，将微积分的理论与实际问题相结合，得到了大量成功的创新成果，其中最著名的便是华罗庚推导不等式和中国剩余定理。
三、微积分与现代科技紧密结合随着科学技术的不断发展，人们对微积分理论的应用越来越深入。
微积分理论不仅在数学中发挥着巨大的作用，而且在现代科技领域如工程、电子、通讯等方面也得到了广泛应用。
20世纪80年代以来，数学家们集中力量发展微积分理论，形成了微积分的“新发现”，如局部解析，调和分析，BVP理论等，为现代科技应用打下了坚实的理论基础。
四、探索大数据时代下的微积分进入21世纪，人类进入大数据时代，微积分理论的研究也跟随时代的变迁而变得更加深入和广泛。
在计算机技术高度发达的今天，微积分无疑是数据科学和人工智能等领域的重要基础知识。
微积分与数据科学的结合，可以为人们提供更快、更准确、更高效的数据分析和处理方法。
同时，微积分在人工智能领域也有重要应用，如深度学习、模式识别等技术，正是微积分理论的深入研究和开发让这些技术得以顺利推广。
第7讲微积分发展史
第7讲微积分发展史微积分是近代自然科学和工程技术中广泛应用的一种基本数学工具，它创立于17世纪后半叶的西欧，是适应当时社会生产发展和理论科学的需要而产生的，同时又深刻地影响着生产技术和自然科学的发展。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
一、微积分产生的背景微分和积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前3世纪，古希腊数学家、力学家阿基米德的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲面的体积等问题中就隐含着近代积分的思想。
极限理论作为微积分的基础，也早在我国的古代就有非常详尽的论述，但当时人们习惯于研究常量和有限的对象，遇到无穷时往往束手无策。
生产力和科学技术的不断发展，为微积分的诞生创造了条件。
1492年哥伦布发现了新大陆，由此证实了大地是球形；1543年，哥白尼发表的《天体运行论》确立了“日心说”；开普勒在1609年提出了有关行星绕日运动的第一、第二定律，1618年他又提出了第三定律；1609年，伽利略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向遥远的地方。
这些科学家拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的巨变。
16世纪，西欧出现资本主义的萌芽，产生了新的生产关系，社会生产力有了很大的发展。
从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，在航海、天文、矿山建设、军事技术等方面有许多课题需要解决，数学也开始进入了“变量数学”时代。
通过这些向数学提出了如下4个问题：（1）由距离和时间的关系求瞬时速度和瞬时加速度；反之，由速度求距离，由加速度求速度。
（2）确定物体运动方向（切线方向）或光学中曲线的切线问题。
（3）求最大、最小值问题。
（4）一般的求积（面积、体积）问题，曲线长问题，以及物体的质量、重心等问题。
在17世纪30年代创立的解析几何学里，可以用字母表示流动坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数演算代替对几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究，使数与形紧密地结合起来。
分数阶微积分的历史背景
分数阶微积分的历史背景一、微积分学的创立微积分学作为一门高等数学的基础学科，是在十七世纪产生的。
微积分的基本概念和内容包微分学积分学。
但是早在公元前三世纪，就已经出现过利用微积分思想解决问题的实例了，如庄子在天下篇中曾记载“一尺之锤,日取其半,万世不竭”，阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠的面积以及旋转双曲体的体积问题中，都体现了极限的概念。
十七世纪，人们面临着许多新的数学问题，比如求瞬时速度的问题等，这些问题促成了微积分的产生，当时有许多著名的数学家都为了解决相关问题做了大量的研究，其中莱布尼茨和牛顿的成就尤为突出。
1666年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列0，1，4，9，16，…的性质，例如它的第一阶差为1，3，5，7，…，第二阶差则恒等于2，2，2，…等．他注意自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，如果原来的序列是从0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前5项的第一阶差之和为1+3+5+7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列。
流数(fluxion)1665年5月20日，英国杰出物理学家牛顿第一次提出“流数术”（微积分），后来世人就以这天作为“微积分诞生日”。
牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分），反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中。
所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度即变化率，写作等。
导数和微分的概念产生的历史
3· 反函数的求导 由一个方程F（x，y）所确定的隐函数的 求导法就是将方程两边分别对x求导，在 求出dx/dy即可 常用的基本初等函数的n阶导数公式有： （x^n）^(n)=n! (e^x)^(n)=e^x (sinx)^(n)=sin(x+nπ/2) 现在新增的求导法则我们小组认 为基本和高中是一致的（仅代表 本小组意见），新增加了隐函数 求导和高阶求导 (cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)
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牛顿在数学上最卓越的成就是创建微积分。 他超越前人的功绩在於，他将古希腊以来 求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两 类普遍的算法－－微分和积分，并确立了 这两类运算的互逆关系，如：面积计算可 以看作求切线的逆过程。 那时莱布尼兹刚好亦提出微积分研究报告， 更因此引发了一埸微积分发明专利权的争 论，直到莱氏去世才停熄。而後世己认定 微积是他们同时发明的。 微积分方法上，牛顿所作出的极端重要的 贡献是，他不但清楚地看到，而且大赡地 运用了代数所提供的大大优越於几何的方 法论。他以代数方法取代了卡瓦列里、格 雷哥里、惠更斯和巴罗的几何方法，完成 了积分的代数化。从此，数学逐渐从感觉 的学科转向思维的学科。 微积产生的初期，由於还没有建立起巩固 的理论基础，被有受别有用心者钻空子。 更因此而引发了着名的第二次数学危机。 这个问题直到十九世纪极限理论建立，才 得到解
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无 穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析， 这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。 牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼 茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿在1671年 写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年 才，出版它在这本书里指出，变量是由点、线、 面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变 量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做 流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在 流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的 路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动 的速度求给定时间内经过的路程 给定时间内经过的路程(积分法)。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展， 过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分 学的非凡威力。 前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必 定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人 总结完成的。微积分也是这样。
微积分产生的历史背景
微积分产生的历史背景数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是有牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的。
恩格斯从15世纪初欧洲文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展，形成了一个新的经济时代，宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑，东方先进的科学技术通过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲，在当时的知识阶层面前呈现出一个完全斩新的面貌。
而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展，生产实践的发展向自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础学科的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动的数学的发展。
科学对数学提出的种种要求，最后汇总成车个核心问题：（1）运动中速度与距离的互求问题（几何演示）即，已知物体移动的距离S表为时间的函数的公式S=S（t）,求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。
这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。
比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是0，而0/0是无意义的。
但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。
已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。
因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。
（2）求曲线的切线问题（几何演示）这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。
由于研究天文的需要，光学是时十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。
微积分产生的背景及其对世界的卓越贡献
微积分产生的背景及其对世界的卓越贡献作者：鸿鹄文章来源：本站原创更新时间：2007-10-22微积分是17世纪下半叶自然科学中最伟大的发现，它的产生开创了数学发展史的新纪元。
20世纪最杰出数学家之一：冯. 诺伊曼（1903—1957）评价微积分时说: “微积分是近代数学中最伟大的成就，对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分。
”再看恩格斯对微积分成就的评价：恩格斯（1820-1895）说：“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了！”两位伟人都用了“最伟大、最高胜利”这些词，足以看出微积分的产生与发展，对人类、对世界的影响与贡献之大！从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贸等都得到大规模的发展,形成了一个新的经济时代。
而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期,生产力得到了很大的发展，生产实践的需要对自然科学提出了新的课题：迫切要求力学、天文学等基础科学的发展,而这些学科都是深深依赖于数学的，因而也推动了数学的发展。
微积分就是在这样一种背景下形成与发展起来的。
但微积分的发展历史曲折跌宕,撼人心灵。
因此它从另一个层面来看，也是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材。
数学这门科学之所以有其特殊的重要地位。
这不仅在于数学与自然科学、社会科学有着广泛而密切的联系，而且数学自身的发展水平也影响着人们的思维方式，影响着人文科学的进步。
数学的严密推理能培养人们去进行抽象思维、发扬理性主义的探索精神,激发人们对理想和美的追求。
在那个时代,如古希腊的文化，它能产生很难为后世超越的优美文学、极端理想化的哲学和理想化的建筑与雕塑，都是源于数学对人们思维的深刻影响。
这一历史事实告诉我们：一个时代的文化特征在很大程度上是与那个时代的数学活动密切相关的。
所以说，社会离不开数学，数学能促进社会的文明与进步。
实践证明，学习微积分对于学生的科学思维和文化素质的培养，所起的作用是极为明显，也是其它学科所不能比拟的。
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微积分的创立者是牛顿和莱布尼兹
严格微积分的奠基者是柯西和威尔斯特拉斯
关于微积分的故事，曾经一度迷惑着我，今天有幸弄清其中原委，以消心中疑云。
微积分的萌芽可以追溯到古代的希腊、中国和印度，酝酿于17世纪的欧洲。
1.牛顿和莱布尼兹创立了微积分
1.1 牛顿的“流数术”
牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。
1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。
笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。
1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。
在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。
这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。
正是在这种意义下，牛顿创立了微积分。
牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。
1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。
而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。
1.2 莱布尼茨的微积分工作
莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。
1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。
这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。
1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。
1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号并给出了摆线方程：莱布尼茨对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，有时他的是有穷量，有时又是小于任何指定的量，但不是零。
1.3 牛顿和莱布尼兹各自独立创立了微积分
牛顿和莱布尼茨就微积分的创立而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的。
然而，一个局外人的一本小册子却引起了“科学史上最不幸的一章”：微积分发明优先权的争论。
瑞士数学家德丢勒在这本小册子中认为，莱布尼茨的微积分工作从牛顿那里有所借鉴，进一步莱布
尼茨又被英国数学家指责为剽窃者。
这样就造成了支持莱布尼茨的欧陆数学家和支持牛顿的英国数学家两派的不和，甚至互相尖锐地攻击对方。
这件事的结果，使得两派数学家在数学的发展上分道扬镳，停止了思想交换。
在牛顿和莱布尼茨二人死后很久，事情终于得到澄清，调查证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨先于牛顿。
“微积分基本定理”也称为牛顿—莱布尼茨定理，牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理。
微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算。
2.严格微积分的奠基者：柯西和魏尔斯特拉斯
2.1 先驱的努力
微积分学创立以后，由于运算的完整性和应用的广泛性，使微积分学成了研究自然科学的有力工具。
但微积分学中的许多概念都没有精确的定义，特别是对微积分的基础—无穷小概念的解释不明确，在运算中时而为零，时而非零，出现了逻辑上的困境。
多方面的批评和攻击没有使数学家们放弃微积分，相反却激起了数学家们为建立微积分的严格而努力。
从而也掀起了微积分乃至整个分析的严格化运动。
18世纪，欧陆数学家们力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难，这方面的主要代表人物是达朗贝尔(d’Alembert,1717-1783)、欧拉和拉格朗日。
达朗贝尔定性地给出了极限的定义，并将它作为微积分的基础，他认为微分运算“仅仅在于从代数上确定我们已通过线段来表达的比的极限”；欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论；拉格朗日也承认微积分可以在极限理论的基础上建立起来，但他主张用泰勒级数来定义导数,并由此给出我们现在所谓的拉哥朗日中值定理。
欧拉和拉格朗日在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格化提供了合理内核。
微积分的严格化工作经过近一个世纪的尝试，到19世纪初已开始见成效。
首先是捷克数学家波尔察诺(B. Bolzano,1781-1848)1817年发表的论文《纯粹分析证明》，其中包含了函数连续性、导数等概念的合适定义、有界实数集的确界存在性定理、序列收敛的条件以及连续函数中值定理的证明等内容。
2.2 柯西对严格微积分的贡献
19世纪分析的严密性真正有影响的先驱则是法国数学家柯
(A-L.Cauchy,1789-1857)。
从1821年到1829年，柯西相继出版了《分析教程》、《无穷小计算教程》以及《微分计算教程》，它们以分析的严格化为目标，对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义，在此基础上，柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定义了级数的收敛性，研究了级数收敛的条件等，他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式。
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，向分析的全面严格化迈出了关键的一步。
然而，柯西的理论只能说是“比较严格”，不久人们便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。
比如柯西定义极限为：“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差可以随意小，那么这个定值就称为所有其它值的极限”，其中“无限趋向于”、“可以随意小”等语言只是极限概念的
直觉的、定性的描述，缺乏定量的分析，这种语言在其它概念和结论中也多次出现。
应该指出，微积分计算是在实数领域中进行的，但到19世纪中叶，实数仍没有明确的定义，对实数系仍缺乏充分的理解，而在微积分的计算中，数学家们却依靠了假设：任何无理数都能用有理数来任意逼近。
当时，还有一个普遍持有的错误观念就是认为凡是连续函数都是可微的。
基于此，柯西时代就不可能真正为微积分奠定牢固的基础。
所有这些问题都摆在当时的数学家们面前。
2.3 威尔斯特拉斯之严格微积分
另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯。
他定量地给出了极限概念的定义，这就是今天极限论中的“ε-δ”方法。
魏尔斯特拉斯用他创造的这一套语言重新定义了微积分中的一系列重要概念，特别地，他引进的一致收敛性概念消除了以往微积分中不断出现的各种异议和混乱。
另外，魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源，要使分析严格化，就先要使实数系本身严格化。
而实数又可按照严密的推理归结为整数。
因此，分析的所有概念便可由整数导出。
这就是魏尔斯特拉斯所倡导的“分析算术化”纲领。
基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献，在数学史上，他获得了“现代分析之父”的称号。
1857年，魏尔斯特拉斯在课堂上给出了第一个严格的实数定义，但他没有发表。
1872年，戴德金(R. Dedekind, 1831-1916)、康托尔(B. Cantor,1829-1920)几乎同时发表了他们的实数理论，并用各自的实数定义严格地证明了实数系的完备性。
这标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。
3.结论
牛顿和莱布尼兹两人独自创立了微积分，柯西和威尔斯特拉斯使严格微积分诞生。