微积分的创立数学史

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微积分历史故事

微积分历史故事微积分是现代数学中的重要分支，它起源于17世纪，众所周知，微积分这门学科的诞生不是出现在某个具体的瞬间，而是在很长一段时间里慢慢形成并逐步完善的。

下面，我们来聊一下微积分的历史故事。

古代的希腊数学家们已经能够处理一些复杂的几何形式问题，培根提出的问题是，如何求解非几何的问题呢？这个问题一直悬而未决了近2000年，直到17世纪，来自英国的牛顿和来自德国的莱布尼兹，他们分别独立发明了微积分学。

1687年，牛顿出版了《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica），这是一本关于天文学，物理学和数学基础的经典著作。

在《自然哲学的数学原理》中，牛顿提出了物体运动的三大定律，并得出了经典的万有引力定律。

在这本书中，牛顿还使用了微积分的常规操作，却没有具体解释他是如何运用微积分的。

因为他是通过几何片段，即微元（infinitesimal）的性质，确定了某些量的变化率，从而得出了他的重要结论。

莱布尼兹最早公布了微积分符号（∫和d）的使用方法，他的方法被认为更能自由的表示微元和无穷和，这是现在微积分专业中最被广泛使用的表示法。

牛顿和莱布尼兹这两位神秘的天才，他们之间存在着争议，因为两人在微积分的发明方面表现得非常不谦让。

莱布尼兹在1666年到1674年期间开始研究微积分。

他利用微积分找到了数学基础上一个重要的规律，可以用于描述曲线的斜率，他的发现被认为是非常重要的，这被称为拉式定理。

不久后，牛顿也发现了微积分学以及怎样利用它来描述斜率，斜率在微积分中是非常重要的。

1665年到1666年期间，牛顿已经发现了无限上减法和求和的思想。

但是，牛顿和莱布尼兹在这个期间发现了相同的问题，并且独立地寻找了解决这个问题的方法。

整个欧洲的数学家们都深感惊讶与兴奋，他们不知道牛顿和莱布尼兹到底是谁发明了微积分。

在争议中，大家无法确定到底是谁首先发明了微积分，所以人们承认两位数学家在微积分上的功劳。

直到今天，微积分的发明之谜仍然历史性的争议，并且影响着这一领域的进步。

微积分创立的背景与过程

微积分创立的背景与过程微积分是一门综合性的数学学科，它是由牛顿、莱布尼茨等数学家在17世纪末发明的。

微积分的发明是为了解决物理学中的一些问题，如速度、加速度等，因此，它是在物理学的研究中发展起来的。

微积分是研究函数和它们的变化率、极限、积分等的一门数学学科。

微积分的创立过程、背景和发展历程是非常复杂的，这篇文章将从以下几个方面进行介绍。

1. 微积分的背景微积分的发展背景是欧洲文艺复兴时期的科学繁荣。

在这个时期，人们开始追求自由和民主，同时也开始研究自然界和宇宙的规律。

牛顿、莱布尼茨等数学家在这个时期提出了微积分的概念，为物理学和其他科学领域的研究提供了新的数学工具。

2. 微积分的发展过程微积分的发展过程非常漫长，它由牛顿、莱布尼茨等数学家在不同的时间、不同的地方进行研究。

牛顿在1665年至1666年间，在农村避瘟疫的时候，开始研究运动的规律。

他发现物体的速度在不断变化，而速度的变化率就是加速度。

牛顿发明了微积分的基本概念，即导数和积分，从而解决了运动学中的很多问题。

莱布尼茨则在牛顿之后，于1675年左右独立发明了微积分。

他发现导数和积分是可以互相转换的，从而大大简化了微积分的运算。

莱布尼茨还发明了微积分符号，这使得微积分的表达更加简单和精确。

3. 微积分的应用微积分的应用非常广泛，它是物理学、工程学、经济学、生物学、化学等学科中不可或缺的工具。

在物理学中，微积分可以用来研究物体的运动、力学、电磁学等问题。

在工程学中，微积分可以用来设计建筑物、桥梁、道路等。

在经济学中，微积分可以用来研究市场供求关系、价格变动等。

在生物学中，微积分可以用来研究动植物的生长、繁殖等。

在化学中，微积分可以用来研究化学反应的速率、平衡等。

微积分的发明是人类智慧的结晶，它在解决物理学和其他科学领域的问题中发挥了重要作用。

微积分的发展历程是一个漫长而复杂的过程，但它对人类的进步和发展做出了巨大的贡献。

《数学史》微积分的创立

在这两个平行平面之间作任意平行于这两个平面的平面，如果它们被立体所截得的面积相等，则这两个立体的体积相等。
卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积．然而他对积分学创立最重要的贡献还在于，他后来(1639)利用平面上的不可分量原理建立了等价于下列积分

a
0
n 1 a x n dx n 1
费马在信中指出他求函数极大值、极小值的方法还“可以推广应用于一些优美的问题”，并说他已经获得了求平面与立体图形的重心等一些其他结果，“关于这些结果，如果时间允许，我将在另外的场合来论述.”
开普勒
• 1609年，他在《新天文学》和《宇宙和谐》两部著作中提出了行星运动三大定律，为日后牛顿发现万有引力定律奠定了基础．
• 开普勒在极度贫苦中去世，在他的墓碑上刻着他自己写的墓志铭：我曾观测苍穹，今又度量大地．灵魂遨游太空，身躯化为尘泥．
开普勒行星运动三大定律要意是： I．行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点；
3
(二)卡瓦列里不可分量原理
意大利数学家卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri，1598—1647) 在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)中发展了系统的不可分量方法．卡瓦列里认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成．他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”(indivisible)．
f (a e) ~ f (a),
ae
消去公共项后，用 e 除两边，再令 e 消失，即
f (a e) f (a) 0 e e 0
由此方程求得的
a 就是
f ( x) 的极值点．
费马的方法几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是以符号 e (他写作 E )代替了增量△ x ．记载费马求极大值与极小值方法的这份手稿，实际上是他写给梅森(M．Mersenne)的一封信。梅森将费马这封信转给了笛卡儿，从而引起了关于切线问题的热烈争论。

微积分产生的背景

微积分的创立者是牛顿和莱布尼兹严格微积分的奠基者是柯西和威尔斯特拉斯关于微积分的故事，曾经一度迷惑着我，今天有幸弄清其中原委，以消心中疑云。

微积分的萌芽可以追溯到古代的希腊、中国和印度，酝酿于17世纪的欧洲。

1.牛顿和莱布尼兹创立了微积分1.1 牛顿的“流数术”牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。

1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。

笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。

牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。

1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。

在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。

这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。

正是在这种意义下，牛顿创立了微积分。

牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。

1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。

而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。

1.2 莱布尼茨的微积分工作莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。

1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。

这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。

微积分的发展历史

微积分的发展历史1. 古希腊时期：微积分的起源可以追溯到古希腊时期，早在公元前5世纪，数学家祖克里斯特斯（Zeno of Elea）就提出了诸如阿基里斯赛跑等著名的悖论，引发了对无穷小和无穷大的思考。

2. 阿基米德和群测强微积分：在古希腊和古罗马时期，一些数学家如阿基米德和群测强（Archimedes）开始探索几何学和代数学的基本概念，在解决实际问题的过程中也涉及到了微积分的雏形。

3.牛顿和莱布尼兹的发现：17世纪，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼兹几乎同时独立发现了微积分的基本原理。

牛顿将微积分用于机械学和物理学的研究，而莱布尼兹则用它来解决代数和几何方程。

这两位伟大的数学家将微积分作为一门独立的学科加以发展并系统化。

4. 微积分的形式化建立：18世纪，欧拉（Leonhard Euler）将微积分的概念进一步抽象化和形式化，构建了函数和级数的理论，为微积分的应用奠定了坚实的基础。

5. 国际象棋问题的解决：19世纪初，法国数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）研究国际象棋中的一个问题，首次利用微积分的方法进行了解决。

这个问题不仅使微积分在数学界引起了重视，也增强了人们对微积分的研究兴趣。

6. 分析学的发展：19世纪，数学分析学迎来了一个又一个的里程碑。

来自法国的布尔巴基（Augustin-Louis Cauchy）和庞加莱（Henri Poincaré）等人对极限、连续性和导数等概念进行了严格的定义和证明，进一步完善了微积分的理论。

7.微积分的应用：20世纪初期，微积分得到了广泛应用，特别是在物理学、工程学和经济学等领域。

爱因斯坦的相对论理论、量子力学的发展以及现代金融学等都离不开微积分的支持。

8.持续发展和改进：自20世纪起，微积分一直在不断发展和改进。

函数论、复分析及它们与微积分的关系等新理论的出现，使微积分的应用更加广泛，对更加复杂的问题提供了更加深入的分析。

微积分发展历程

微积分发展历程微积分的发展历程是数学史上一个充满辉煌成就的章节。

微积分为我们提供了一种强大的工具，用于理解和描述自然界的各种现象，从运动的轨迹到电磁场的行为，从物质的变化到概率的推断，微积分无处不在。

在下面的文章中，我们将探讨微积分的发展历程，包括其起源、关键人物和里程碑事件。

1. 古希腊时期：微积分的历史可以追溯到古希腊时期。

古希腊数学家阿基米德（Archimedes）被认为是微积分的奠基人之一。

他在计算曲线下的面积和体积时使用了无限小的方法，这可以看作微积分的初步尝试。

2. 牛顿和莱布尼兹：微积分的真正发展始于17世纪末。

英国科学家艾萨克·牛顿和德国数学家戈特弗里德·莱布尼兹独立地开发了微积分的基本原理。

牛顿的工作集中在运动和力学方面，而莱布尼兹则更侧重于符号表示法。

他们的成就为微积分的未来发展奠定了坚实的基础。

3. 分析学的建立：18世纪，微积分逐渐成为一门独立的学科，被称为"分析学"。

法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）和卡尔·威尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）等人在微积分中引入了极限概念，从而解决了一些问题的严格性。

4. 黎曼几何和复分析：19世纪中期，德国数学家伯纳尔·黎曼的工作将微积分与几何学相结合，创立了黎曼几何，为曲线和曲面的研究提供了新的工具。

复分析的发展也为微积分的应用领域提供了更多可能性。

5. 泛函分析和分布理论：20世纪，微积分领域进一步扩展，引入了泛函分析和分布理论等新的数学工具，用于研究函数空间和广义函数。

这些理论在数学、物理学、工程学和经济学等领域的应用中发挥了重要作用。

6. 现代微积分的应用：现代微积分广泛应用于科学、工程、计算机科学、经济学和社会科学等各个领域。

它不仅有助于解决实际问题，还推动了数学自身的发展。

微积分的方法和概念也在其他数学分支中找到了应用，如微分方程、积分方程和泛函分析。

微积分发展简史

微积分发展简史微积分是17世纪发现的最具威力的数学工具，是人类思维最珍贵的成果. 正如美国当代数学家柯朗所说：“这是一门撼人心灵的智力奋斗结晶，这种奋斗已经历了两千五百年之久，它深深地扎根于人类活动的许多领域，并且只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已.” 恩格斯也对微积分的发现予以高度评价，认为这是“人类精神的最高胜利.”一、微积分思想萌芽微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代. 在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏有朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子. 在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，是我国较早出现的极限思想. 但把极限思想运用于实践解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽. 他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元. 刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次边数加倍，则正多边形面积愈来愈接近圆面积. 正如他说的：“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣.”按照这种思想，计算到圆内接正192边形面积，则得圆周率的近似值为3.14. 大约两个世纪后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于“与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一. 其次明确提出了下面的原理：“幂势既同，则积不容异.”我们称之为“祖氏原理”，在西方称为“卡瓦利原理”，应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题.欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题. 较为重要的当数安提芬的“穷竭法”. 他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积. 但他的方法却没有被数学家接受. 后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯那里得到补充和完善. 之后，阿基米德借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题. 他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法. 他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较. 但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的. 平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形.与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了. 刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题. 阿基米德、阿波罗尼奥斯等均曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点. 古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段（即有限差分）来处理，从而回避了连续变化率.二、微积分的起源与孕育微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后. 1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒. 一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提供了大量的素材. 这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段.微积分的创立，首先是为了处理17世纪的一系列主要的科学问题. 有四种主要类型的科学问题：（1）已知物体移动的距离和时间的函数式，求物体在任意时刻的速度和加速度，使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；（2）望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；（3）确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极值问题也亟待解决；（4）问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究.在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具.下面我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作.德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法. 他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积之和.意大利数学家卡瓦利里在他的著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》中系统地发展了不可分量法. 他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成，并分别把这些元素叫做线、面和体的不可分量. 他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦利里原理，即我国的祖氏原理）：如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积. 利用这个原理解决了开普勒的旋转体的体积问题.英国的数学家巴罗在1669年出版的著作《几何讲义》中，利用微分三角形求出了曲线的斜率. 他的方法实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无穷小来取极限. 他是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员. 当他发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生——当时才27岁的牛顿来担任，巴罗让贤已成为科学史上的佳话.笛卡尔和费马是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋. 笛卡尔在《几何学》中提出的求切线的“圆法”以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法，实质上都是代数的方法. 代数方法对推动微积分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡尔的圆法为起点而踏上微积分的研究道路.沃利斯是在牛顿和莱布尼兹之前，将分析方法引入微积分贡献突出的数学家. 他在著作《无穷算术》中，利用算术不可分量法获得了一系列重要结果. 其中就有将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到分数幂情形，以及计算四分之一圆的面积等.17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生. 前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性. 虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视. 因此，在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务.三、微积分的创立1．牛顿的“流数术”牛顿1642年生于英格兰乌尔索普村的一个农民家庭，少年时成绩并不突出，但却酷爱读书. 17岁时，牛顿被他的母亲从中学召回务农，后来牛顿的母亲在牛顿就读的格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿的舅父埃斯库的竭力劝说下，又允许牛顿重返学校. 史托克斯的劝说词中的一句话：“在繁杂的务农中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失”，可以说这是科学史上最幸运的预言. 1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗. 对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡尔的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路.1665年，牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡. 在家乡躲避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中黄金岁月，微积分的创立、万有引力以及颜色理论的发现等都是牛顿在这两年完成的.牛顿于1664年开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性的进展. 1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文——《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献. 在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）：从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”：将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”. 该定理也称为牛顿——莱布尼兹定理，牛顿和莱布尼兹各自独立地发现了这一定理. 它是微积分中最重要的定理，建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算.这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来. 正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分.《流数简论》标志着微积分的诞生，但它有许多不成熟的地方．1667年，牛顿回到剑桥，并未发表他的《流数简论》. 在以后20余年的时间里，牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，先后完成三篇微积分论文：《运用无穷多项方程的分析学》，《流数法与无穷级数》，《曲线求积术》，它们反映了牛顿微积分学说的发展过程. 在《运用无穷多项方程的分析学》中牛顿回避了《流数简论》中的运动学背景，将变量的无穷小增量叫做该变量的“瞬”，看成是静止的无限小量，有时直接令其为零，带有浓厚的不可分量色彩. 在论文《流数法与无穷级数》中，牛顿又恢复了运动学观点. 他把变量叫做“流”，变量的变化率叫做“流数”，变量的瞬是随时间的瞬而连续变化的，他更清楚地表述了微积分的基本问题：“已知两个流之间的关系，求他们流数之间的关系”；以及反过来“已知表示量的流数间的关系方程，求流之间的关系”. 在《流数法与无穷级数》和《运用无穷多项方程的分析学》中，牛顿所使用的方法并无本质的区别，都是以无限小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是：《流数法与无穷级数》以动力学连续变化的观点代替了《运用无穷多项方程的分析学》的静力学不可分量法.牛顿最成熟的微积分著述《曲线求积术》，对于微积分的基础在观念上发生了新的变革，它提出了“首末比方法”. 牛顿批评自己过去随意扔掉无限小瞬的做法，他说“在数学中，最微小的误差也不能忽略…在这里，我认为数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的”. 在此基础上牛顿定义了流数概念，继而认为：“流数之比非常接近于尽可能小的等时间间隔内产生的流量的增量比，确切地说，它们构成增量的最初比”，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比. 可以看出，牛顿的所谓“首末比方法”相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，它成为极限方法的先导.牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度. 1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作. 而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表.2.莱布尼兹的微积分工作莱布尼兹出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育. 1672年至1676年，莱布尼兹作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作. 这四年成为他科学生涯最宝贵的时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础. 继而，这位博学多才的时代巨人，由于官场的失意、与牛顿关于微积分优先权争论的困扰以及多种病痛的折磨，晚年生活颇为凄凉，据说莱布尼兹的葬礼只有他忠实的秘书参加.在巴黎期间，莱布尼兹结识了荷兰数学家、物理学家惠更斯，在惠更斯的影响下，开始更深入地研究数学，研究笛卡尔和帕斯卡等人的著作. 与牛顿的切入点不同，莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究. 特征三角形在帕斯卡和巴罗等人的著作中都曾出现过. 1684年，莱布尼兹整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》，它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用. 1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号，并给出了摆线方程.牛顿和莱布尼兹都是他们时代的巨人，两位学者也从未怀疑过对方的科学才能. 就微积分的创立而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的. 然而一个局外人的一本小册子却引起了“科学史上最不幸的一章”：微积分发明优先权的争论. 瑞士数学家德丢勒在这本小册子中认为，莱布尼兹的微积分工作从牛顿那里有所借鉴，进一步莱布尼兹又被英国数学家指责为剽窃者. 这样就造成了支持莱布尼兹的欧陆数学家和支持牛顿的英国数学家两派的不和，甚至互相尖锐地攻击对方. 这件事的结果，使得两派数学家在数学的发展上分道扬镳，停止了思想交换.在牛顿和莱布尼兹二人死后很久，事情终于得到澄清，调查证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼兹；就发表时间而言，莱布尼兹先于牛顿. 虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科学的发展，但这场发明优先权的争论却极大地影响了英国数学的发展，由于英国数学家固守牛顿的传统近一个世纪，从而使自己逐渐远离分析的主流，落在欧陆数学家的后面.3. 18世纪微积分的发展在牛顿和莱布尼兹之后，从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔在他的论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们高等数学教材中的“罗尔中值定理”. 微积分的两个重要奠基者是伯努利兄弟雅各布和约翰，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容. 其中约翰给出了求不等式0型极限的一个定理，现称为洛必达法则，这个定理由约翰的学生洛必达编入其微积分著作《无穷小分析》.18世纪，微积分得到进一步的深入发展，1715年数学家泰勒在著作《正的和反的增量方法》中陈述了他获得的著名定理——泰勒定理（以他名字命名的）. 雅各布、法尼亚诺、欧拉、拉格朗日和勒让德等数学家在考虑无理函数的积分时，发现一些积分既不能用初等函数，也不能用初等超越函数表示出来，这就是我们现在所说的“椭圆积分”，他们还就特殊类型的椭圆积分积累了大量的结果.18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理论和多重积分理论.这方面的贡献主要归功于尼古拉伯努利、欧拉和拉格朗日等数学家.另外，函数概念在18世纪进一步深化，微积分被看作是建立在微积分基础上的函数理论，将函数放在中心地位，是18世纪微积分发展的一个历史性转折. 在这方面，贡献最突出的当数欧拉，他明确区分了代数函数与超越函数、显函数与隐函数、但值函数与多值函数等，并在《无限小分析引论》中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”.而18世纪微积分最重大的进步也是由欧拉作出的，他的《无限小分析引论》、《微分学原理》与《积分学原理》都是微积分史上里程碑式的著作，在很长时间内被都当作标准教材而广泛使用.综上，微积分并非是没有其前身而突然产生的，它的发明是通过许多学者长期的辛勤探索发展起来的一连串数学思想的结晶. 它的出现给数学领域开辟了一个新纪元，很少有其他发明能如此硕果累累.。

论述微积分发展简史

论述微积分发展简史1一、微积分的萌芽微积分的思想萌芽可以追溯到古代，早在希腊时期，人类已经开始讨论无穷、极限以及无穷分割等概念。

这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论証和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。

公元前五世纪，希腊的德谟克利特提出原子论：他认為宇宙万物是由极细的原子构成。

在中国，《庄子．天下篇》中所言的一尺之捶，日取其半，万世不竭，亦指零是无穷小量。

这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。

二、微积分的创立微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微积分的互逆关系。

最后一个阶段是由牛顿、莱布尼茨完成的。

前两个阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追溯到希腊的阿基米德都做出了各自的贡献。

中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有甚麼突破。

中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也於此时趋於成熟。

在积分方面，一六一五年，开普勒把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。

而伽利略的学生卡瓦列里即认为一条线由无穷多个点构成；一个面由无穷多条线构成；一个立体由无穷多个面构成。

这些想法都是积分法的前驱。

在微分方面，十七世纪人类也有很大的突破。

费马在一封给罗贝瓦的信中，提及计算函数的极大值和极小值的步骤，而这实际上已相当於现代微分学中所用，设函数导数為零，然后求出函数极点的方法。

另外，巴罗亦已经懂得透过「微分三角形」（相当於以dx、dy、ds為边的三角形）求出切线的方程，这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的。

由此可见，人类在十七世纪已经掌握了微分的要领。

英国著名数学家、物理学家牛顿从研究物理问题出发创立了微积分(1665—1666)，牛顿称之为“流数术理论”．牛顿的“流数术”中，有三个重要的概念：流动量、流动率、瞬．牛顿的流数术以力学中的点的连续运动为原型，把随时问连续变化的量而产生的一个连续变化的变量，即以时间为独立变数的函数(生长中的量)称为流动量，流动率是流动量的变化速度，即变化率(生长率)，称为导数牛顿专论微积分的著作有两部，第一部正式的、系统的论述流数术的重要著作是《流数术和无穷级数》，于1671年写成，在1736年才正式出版．另一部著作是《曲线求积论》，于1676—1691年写成，在1704年出版．德国数学家莱布尼兹从儿何角度出发独立地创立了微积分(1675—1676)．莱布尼兹当时把微积分称为“无穷小算法”．他的微积分符号的使用最初体现在1675年的手稿中．1684年他在《教师学报》杂志上发表了微分法的论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法，它也适用于无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．这是历史上最早发表的关于微积分的文章．1686年他在该杂志上又发表了最早的积分法的论文《潜在的几何与不可分量和无限的分析》。

微积分的历史与发展

微积分的历史与发展微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化和连续性的数学分支。

微积分的历史可以追溯到古希腊时期，而其发展经历了许多重要的里程碑。

本文将介绍微积分的历史与发展，从古代到现代逐步展开，帮助读者了解该学科的演进过程。

古代的微积分先驱们展示了对变化的基本理解。

在古希腊，数学家Zeno of Elea以悖论而闻名，他提出了无限可分割的运动悖论。

这种思想激发了人们对变化和连续性的思考，并为后来微积分的发展奠定了基础。

进入17世纪，微积分的概念正式开始形成。

众所周知的牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的创始人。

牛顿以其经典力学和引力定律的发现而著名，而莱布尼茨则发明了微积分符号和符号推导法。

他们的贡献为微积分奠定了坚实的数学基础，并将其应用于物理学和其他学科的发展中。

随着时间的推移，微积分得到了持续的发展和改进。

18世纪和19世纪，欧洲的数学家们继续推动微积分领域的研究。

拉格朗日、欧拉、高斯等数学家们为微积分理论提供了许多重要的贡献。

他们的研究使微积分得以从几何学的观点转向更加抽象和符号化的方法，这为后来微积分的发展提供了重要的基础。

20世纪，微积分进入了现代阶段，特别是与数学分析的发展相结合。

数学家们进一步探索了微积分的基础，发展了更加严格和深入的理论和方法。

对于微分学和积分学的理论基础的巩固和完善，使得微积分在数学和应用领域中的地位更加牢固。

在现代应用中，微积分广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学等学科。

例如，在物理学中，微积分被用于描述物体的运动、力学和量子力学等领域。

在工程学中，微积分为电路、信号处理和结构设计等提供了数学工具。

在计算机科学中，微积分为算法和数据分析提供了基础。

在经济学中，微积分被用于经济模型的建立和分析。

总结起来，微积分的历史与发展经历了漫长的过程，从古代的思考和猜测，到牛顿和莱布尼茨的创立，再到现代的深入研究和应用拓展。

微积分不仅是数学领域中的重要学科，也是许多其他学科中的基础和工具。

微积分发展史简述

微积分发展史简述微积分是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学、工程学、经济学等领域。

它的发展历史可以追溯到古希腊时期，但直到17世纪才得到了系统的发展和完善。

本文将简要介绍微积分的发展史。

1. 古希腊时期：微积分的雏形在古希腊时期，数学家们对于几何学有着深入的研究。

亚里士多德和欧几里得等人提出了许多与微积分相关的概念，如无穷小量和极限。

然而，由于当时的数学工具和观念的限制，微积分的发展受到了很大的阻碍。

2. 牛顿和莱布尼茨：微积分的创始人17世纪，牛顿和莱布尼茨几乎同时独立地发展出微积分学。

牛顿创立了微积分的主要思想和方法，他提出了差分和积分的概念，并建立了微分方程和牛顿运动定律等基本理论。

莱布尼茨独立地发展出了微积分的符号表示法，引入了微积分中的极限和导数的概念。

牛顿和莱布尼茨的工作为微积分的发展奠定了基础。

3. 微积分的完善：极限与连续性18世纪，欧拉和拉格朗日等数学家对微积分进行了深入的研究和发展。

欧拉进一步完善了微积分的符号表示法，并提出了欧拉公式等重要结果。

拉格朗日则对微积分中的极限和连续性进行了系统的研究，提出了拉格朗日中值定理和泰勒展开等重要定理。

这些工作使微积分的理论更加严谨和完备。

4. 微积分的应用：物理学和工程学19世纪，微积分的应用开始扩展到物理学和工程学等实际问题中。

拉普拉斯和傅里叶等数学家使用微积分的方法解决了一系列的物理学问题，为微积分的应用奠定了基础。

同时，微积分也在工程学中得到了广泛的应用，如力学、电磁学和流体力学等领域。

微积分的应用使得工程学的发展取得了重大的突破。

5. 微积分的发展与现代数学的关系20世纪，微积分的发展与现代数学的发展密切相关。

在集合论和数理逻辑的基础上，数学家们对微积分的理论进行了深入的研究和推广。

勒贝格和黎曼等数学家提出了测度论和黎曼积分等新的概念和方法，为微积分的发展带来了新的思路和工具。

同时，微积分也成为了现代数学的重要组成部分，在数学的其他分支中得到了广泛的应用。

微积分的发展历史

微积分的发展历史微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究一些连续变化的函数之间的关系，以及这些函数的一些量的变化规律。

微积分的历史可以追溯到古希腊时期，但是直到17世纪初期，微积分才真正成为独立的数学分支。

以下是微积分的发展历史。

1. 古希腊时期古希腊数学家阿基米德（287 BC - 212 BC）就是微积分的先驱之一。

他发明了一种称为“方法论”的技术，这种技术可以用来求解一些几何问题，例如圆的面积和球体的体积。

这种技术可以用来求解一些连续变化的函数的面积或体积问题。

2. 17世纪初期17世纪初期，数学家牛顿（1643-1727）和莱布尼茨（1646-1716）几乎同时发明了微积分。

他们的发现彻底改变了数学的面貌。

牛顿的微积分是基于几何直觉的发现，而莱布尼茨的微积分则是基于代数记号的发现。

3. 18世纪在18世纪，微积分的研究得到了进一步发展。

法国数学家欧拉（1707-1783）和拉格朗日（1736-1813）在微积分的研究中做出了重要的贡献。

欧拉在微积分中引入了复数，这对微积分的发展具有重要的意义。

拉格朗日发现了微积分中的一些基本定理，例如拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

4. 19世纪19世纪是微积分的发展中最重要的一个世纪。

数学家高斯（1777-1855）和魏尔斯特拉斯（1815-1897）在微积分的研究中做出了重要的贡献。

高斯发现了极值问题的解法，魏尔斯特拉斯则首次使用了极限的概念来解决微积分中的一些问题。

5. 20世纪20世纪是微积分发展的最后一个世纪。

在这个世纪里，微积分的研究得到了深入的发展。

数学家费曼（1918-1988）提出了路径积分理论，这个理论对微积分的研究有着重要的意义。

同时，微积分还应用于物理学、工程学和经济学等领域，在这些领域中发挥着至关重要的作用。

微积分的发展历史可以追溯到古希腊时期，但是直到17世纪初期，微积分才真正成为独立的数学分支。

在18世纪和19世纪，微积分得到了进一步的发展，20世纪中期，微积分已经成为了一个重要的数学分支，并被广泛应用于各个领域。

微积分发展史

微积分的发展史在古代的欧洲，随着函数概念的采用，产生了微积分，它是继欧几里德几何之后，全部数学中的一个最伟大的创造。

虽然在某种程度上，它是已被古希腊人处理过的那些问题的解答，但是，微积分的创立，首先还是为了处理十七世纪主要的科学问题的。

第一种：已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。

第二种：求曲线的切线，这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。

第三种：求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。

首先微积分学是微分学和积分学的总称。

微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入不定积分即得到积分值，微分则是导数值与自变量增量的乘积。

作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求和”。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。

因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。

学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。

所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。

在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量ε。

微积分历史很久远，经过了许多的数学家的总结，最终的理论才出现在了我们的课本上。

在古代的中国的微积分思想萌芽：公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子•天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是我国较早出现的极限思想。

微积分的创立数学史课件

重要的数学工具。
古希腊时期，数学家们就开始研究无穷小的问题，为微积分的产生奠定了基础。
牛顿和莱布尼茨是微积分的创立者，他们在17世纪末分别独立地创立了微积分。
02
古代微积分思想的萌芽
古希腊时期的微积分思想
03
阿基米德的方法
通过穷竭法计算面积和体积，体现了微积分的核心思想。
欧多克索斯的穷竭法
微积分学的基本概念与定理
01
02
函数
导数
描述两个变量之间关系的数学表达式。
函数在某一点处的切线斜率，表示函数在该点的变化率。
微积分学的基本概念与定理
• 积分：求一个函数在某个区间内与x轴围成的面积。
微积分学的基本概念与定理
微分基本定理
若函数f(x)在点x处可导，则其导数f'(x)表示f(x)在x处的变化率。
01
工程应用
02
微积分在建筑、机械等领域有广泛应用，如计算面积、体积、长度等。
03
通过微积分可以优化工程设计，降低成本和提高效率。
微积分学在17世纪的应用
01
经济应用
02 微积分在经济学中用于分析成本、收益、利润等问题。
03 通过微积分可以求解最大利润、最小成本等经济问题。
04
18世纪微积分学的发展与完善
THANKS
微积分学与其他数学分支的联系
01
与分析学的联系
04
与代数学的联系
02
微积分学是分析学的重要组成部分，与分析学中的其他分支如实分析、复分析和泛函分析等有着密切的联系。
03
分析学中的许多概念和定理都与微积分学密切相关，如连续性、可微性、可积性和收敛性等。
05
微积分学与代数学在多个领域有交叉，如代数几何、代数拓扑和抽象代数等。

微积分的创立数学史

科学的巨人——牛顿

17世纪中叶，剑桥大学的教育制度还渗透着浓厚的中世纪经院哲学的气味。当牛顿进入剑桥大学时，那里还在传授一些经院式课程，如逻辑、古文、语法、古代史、神学等等。
科学的巨人——牛顿

两年之后三一学院出现了新气象。H. 卢卡斯创设了一个独辟蹊径的讲座，规定讲授自然科学知识如地理、物理、天文和数学课程。讲座的第一任教授就是巴罗。在巴罗的指导下，牛顿掌握了算术、三角，学习了欧几里得的《几何原本》。并阅读了开普勒的《光学》、笛卡儿的《几何学》和《哲学原理》、伽利略的《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》、 R.胡克的《显微图集》和华莱士的《无穷算术》等著作，特别是笛卡儿的《几何学》和华莱士的《无穷算术》对他数学思想的形成尤为重要。

科学的巨人——牛顿

1676年，牛顿完成了他的第4篇论文《曲线求积论》（1704年发表），这是他最成熟的一部微积分论著。在这部著作中，他改变了过去那种“略去所有含瞬的项”的做法，认为“数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的。” 为此他引入了最初比和最后比的概念，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时的最后比。
先驱们的探索
17世纪上半叶，随着函数观念的建立和对机械运动规律的探求，许多实际问题摆到了数学家们的面前。几乎所有的科学大师都把自己的注意力集中到寻求解决这些难题的新的数学工具上来。他们在解决问题的过程中，逐步形成了微积分学的一些基本方法，这些问题可以分为以下四类：

先驱们的探索
科学的巨人——牛顿

1665年8月，剑桥大学因为瘟疫流行而停课放假，牛顿回到故乡乌尔斯索普，在家乡躲避瘟疫的这两年间，牛顿思考了自然科学领域中的一些前人从未思考过的问题，踏进前人没有涉及的领域，创建了前所未有的惊人业绩。

微积分发展简史

微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。

大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。

这四个问题是：1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。

第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。

微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。

开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。

1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。

这个比较接近于微积分基本定理。

牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。

可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。

微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。

牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。

二组历史上的微积分的创立和发展

› 18世纪被称为数学史上的英雄世纪。他们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。在数学本身又发展出了多元微分学、多重积分学、微分方程、无穷级数的理论、变分法，大大地扩展了数学研究的范围。
其中最著名的要数最速降线问题：即最快下降的曲线的问题。这个曾经的难题用变分法的理论可以轻而易举的解决。
中国古代数学家也产生过积分学的萌芽思想，例如三国时期的刘徽，他对积分学的思想主要有两点：割圆术及求体积问题的设想。
微积分的产生
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：
第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
让我们一起来了解微积分
› 微积分创立的历史过程 › 微积分创立的历史意义 › 微积分的发展及其价值
微积分的早期历史
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。
公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
微积分创立历史中的“争斗”
› 前面已经提到，一门学科的创立并不是某一个人的业绩，而是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的，微积分也是这样。

微积分发展简史

微积分发展简史微积分是近代数学中最伟大的成就，对它的重要性无论作怎样的估计都不会过分.- 冯·诺依曼287 年: 阿基米德的"逼近法""给我一个支点，我可以撬动地球."对数学和物理学的影响极为深远，被视为古希腊最杰出的科学家. 他与牛顿和高斯被西方世界评价为有史以来最伟大的三位数学家.他利用“逼近法”算出球表面积、球体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家依据这种方法加以发展成近代的“微积分”.1620年费地的布面油画《沉思的阿基米德》263 年: 刘徽注释《九章算术》东方古代数学泰斗用割圆术计算圆周率, "割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣".求得圆周率的近似值为3.14, 这种极限思想和无穷可分甚至是古希腊数学不能比拟的.1088 年: 沈括著《梦溪笔谈》中国科学史上的重要文献北宋的沈括所著百科全书式的著作, 因为写于润州（今镇江）梦溪园而得名，收录了沈括一生的所见所闻和见解. 内容涉及天文、数学、物理、化学、生物、地质、地理、气象、医学、工程技术、文学、史事、美术及音乐等学科. 书中开创了“垛积术”(高阶等差级数求和), “会圆术”(求出弧长的方法). "棋局都数"的研究则暗用了组合方法和指数定律.1629 年: 费马“我发现了一个美妙的证明，但由于空白太小而没有写下来.”皮埃尔·德·费马法国律师和业余数学家(不过在数学上的成就不比职业数学家差). 费马引理给出了一个求出. 可微函数的最大值和最小值的方法。

因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题.费马及费马最后定理1637 年: 笛卡尔"我思故我在. "勒内·笛卡尔, 法国著名哲学家、数学家、物理学家. 对数学最重要的贡献是创立了解析几何. 笛卡尔成功地将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起, 他向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质, 为后人在微积分上的工作提供了坚实的基础.约 1150 : 婆什迦罗印度数学的最高成就婆什迦罗, 印度古代和中世纪最伟大的数学家, 天文学家. 对数学主要贡献: 比牛顿和莱布尼茨早五个世纪就构想了微积分; 采用缩写文字和符号来表示未知数和运算; 他广泛使用了无理数, 并在运算时和有理数不加区别.婆什迦罗及他设计的永动机1665 年: 牛顿与《广义二项式定义》"如果我比别人看得更远，那是因为我站在巨人的肩上. "艾萨克·牛顿, 英格兰物理学家, 数学家, 天文学家, 在老师巴罗的指导下, 1665年发表广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学, 牛顿称之为"流数术".1670 年: 伊萨克·巴罗《几何学讲义》"一个爱书的人，他必定不致缺少一个忠实的朋友，一个良好的老师，一个可爱的伴侣，一个优婉的安慰者."英国著名数学家, 1670 年发布的《几何学讲义》包含了他对无穷小分析的卓越贡献，特别是其中“通过计算求切线的方法”，十分接近微积分基本定理，微积分的最终制定后来由其学生艾萨克·牛顿完成.伊萨克·巴罗（1630年－1677年）1684 年: 莱布尼茨关于微分学的第一篇论文"世界上没有两片完全相同的树叶."戈特弗里德·威廉·莱布尼茨, 德意志哲学家、数学家, 获誉为十七世纪的亚里士多德.在数学上，他从几何角度和牛顿先后独立发明了微积分，1684年发表了第一篇微分学论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法, 它也适用于有理量与无理量以及这种新方法的奇妙类型的计算》 , 他所发明了微积分的数学符号 dx, dy 和∫ 被更广泛的使用.莱布尼茨 1646~17161691 年: 约翰.伯努利著世界上第一本关于微积分的教科书瑞士的伯努利家族是世界颇负盛名的数学世家雅各布和弟弟约翰·伯努利是莱布尼茨的朋友，他们不但迅速掌握了莱布尼茨的微积分并加以发扬光大, 而且是最先应用微积分于各种问题的数学家.洛必达法则纠纷有一段时间，伯努利被洛必达聘请为私人数学老师。

1.微积分发展历史

第一讲微积分思想的产生与发展历史在微积分产生之前，数学发展处于初等数学时期。

人类只能研究常量，而对于变量则束手无策。

在几何上只能讨论三角形和圆，而对于一般曲线则无能为力。

到了17世纪中叶，由于科学技术发展的需要，人们开始关注变量与一般曲线的研究。

在力学上，人们关心如何根据路程函数去确定质点的瞬时速度，或者根据瞬时速度去求质点走过的路程。

在几何上，人们希望找到求一般曲线的切线的方法，并计算一般曲线所围图形的面积。

令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率；因变量在一定时间过程中所积累的变化。

前者导致了微分的概念；后者导致了积分的概念。

两者都包含了极限与无穷小的思想。

1．极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之公元前4世纪，中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论述：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。

”其中大一和小一就是无穷大和无穷小的概念。

而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”更是道出了无限分割的极限思想。

公元3世纪，中国古代数学家刘徽首创的割圆术，即用无穷小分割求面积的方法，就是古代极限思想的深刻表现。

他用圆内接正多边形的边长来逼近圆周，得到了141024<π，.3<.3142704并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。

”我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发展了刘徽的思想，在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后人称之为“祖暅原理”)：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。

”用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”)叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同，那它们的体积(“积”)必然相等。

2．十七世纪前微分学与积分学的发展历史公元前5世纪，古希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了“穷竭法”，认为圆内接正多边形当边数不断增加，最后多边形就与圆相合。

微积分的历史

这种自相矛盾的情况一直存在于十九世纪上半叶，但并不影响许多数学家在开始研究的自然科
学的一些新领域中成绩斐然。
如果认为只有在几何证明里或者在感觉的证据里才有必然，那会是一个严重的错误。 —— 柯西
17、18、19世纪，逻辑问题一直困扰着数学家。
波尔查诺、柯西、魏尔斯特拉斯和其它一些人的工作给分析提供了严密性。这些工作将微积分及其推广从几何概念、运动和直觉了解的完全依赖中解放出来。这些研究一开始就造成了巨大轰动。在一次科学会议上，柯西提出了级数收敛性理论，会后拉普拉斯急忙赶回家并隐居起来，直到查完他的《天体力学》中所用到的级数为止（幸亏他用到的级数都是收敛的）。当魏尔斯特拉斯的工作通过演讲为人们所知时，其影响更为显著。但是，分析的严密化并不证明就是基础研究的终结，恰恰相反，它是新的，更深入的问题研究的开始。例如，实数系的逻辑基础是什么？……。
在十八世纪初期，就已经出现了两个和三个变量的函数的微积分（多元函数的微积分）。通
常的导数与偏导数的区别在一开始并未被人们明确
地认识，因而对两者使用相同的记号。而物理意义
又要求人们在多个自变量的函数中，考虑只有一个
自变量变化的导数。两个或多个变量的函数的偏导数研究的主要动
力来自偏微分方程方面的工作。偏导数的演算是由
积分。这样，除了用来处理数值所需要的基础外，还需要逻辑方面的基础。
微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经
有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在
十六世纪和十七世纪，更是越来越受到人们的重
视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始
的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先
十八世纪的微积分