高等数学背景下的高考数学命题
一道高考数学试题的高等数学背景研究
从高考数学命 题技 术看 ， 是 通过 语 言转换 ， 一 将 高 中生 不熟悉 的 高等 数学 术语 “ 有界 变差 数列 ”
１ ２ ３ …） 有界 变 差． 明凡 有 有 界 变差 的 ， ，， 有 证
用 其 英 文 简 写 “ 数 列 ” ｂ ｕ ｄ ｄ ａｉ ｉｎ （ｏ ｎ ｅ ｖｒ ｔ ａｏ ｓｑ ｅ ｃ） ｅｕｎ ｅ 这一 新定 义替代 ， 高数语 言初 等化 ， 持 保 原题条件不 变 ， 变其 结论 （ 改 原题 第 ２问的否 定 即 是本试题 的（） ， Ｊ） 以达 到考 查有 界变 差数列 性质 的
若 数 列 ｛ ａ ｝满 足 ： 在 正 数 Ｍ ， 一 切 有 存 对
函数 中 的有 界 变差 函数一 脉相 承．
１ 命 题 渊 源
１ １ 命 题 背 景 ．
Ａ 一 Ｉ ２ １ｌ ３ ２ｌ … ＋Ｉ 口 一ａ 十Ｉ 一ａ ＋ ａ ｎ 一 ｌ『 ａ ≤ Ｍ． 明 ： 列 ｛ 与 ｛ 都 收敛． 证 数 ｎ｝ Ａ ｝
叙 列 ： ，一 １， ，一 ， ，一 ， ， ， １ …
厶 厶 Ｊ ０
（ 首项 为 １ 公 比为 ｑ １ ＜ １ Ｉ） 、 （ ｑｌ ）的等 比数 列 是 否为 Ｂ 数 列 ？ 说 明理 由 ； 一 请
（１ 设 Ｓ 是 数 列 ｛ ｝ Ｉ） 的前 项 和 ， 出 下 列 给 两 组论 断 ：
列ｃ 一１ ｏ ＋寺 ＋÷ ＋…＋ 是发散的， 又是递增
ｒｔ
请 以其 中一 组 中的 一个 论 断为 条 件 ， 一 组 另
中的一个论 断 为结 论 组 成 一个 命 题 ． 断所 给 命 判 题 的真假 ， 并证 明你 的结论 ； （ｌ） 数列 ｛ ，ｂ｝ 是 Ｂ 数 列 ， 明 ： Ｉ 若 １ ａ ｝ ｛ 都 一 证 数
以高等数学为背景的题型与高考走势
② Ｇ＝｛ 偶数 ｝０ 为整 数的乘法 ； ， ③ Ｇ 平 面向量 ｝ｏ 为平 面向量的加法 ； ＝｛ ， ④ Ｇ 二次 三项 式 ｝０ 为多项 式的加法 ； ＝｛ ， ⑤ Ｇ＝｛ 虚数 ｝０ 为复数的乘法． ，
其中 Ｇ关 于 运算 ① 为“ 洽集 ” 是— 融 的 “ 融洽集” 的序号 ） ． （ ０ ６年四川省数 学高考理科试题 ） ２０ — （ 出所 有 写
例 １ 非空集合 Ｇ关 于运算① 满足 ： １ 对 任意 口 ６ （） ，∈ Ｇ 都有 口 ∈Ｇ （ ） ， ①６ ；２ 存在 ｅ ∈Ｇ， 使得对一切 口 ， ∈Ｇ 都有口 ① ｅｅ ＝ ￣ａ＝ ， ｏ 则称 Ｇ关 于运算① 为“ 融洽集 ” 现给出下列 集 ． 合和运算 ：
① Ｇ＝｛ 负整数 ｝① 为整数 的加法 ； 非 ，
口一１ ４ 口一２ ， ｍ＝口一１ ＜ （ ）得 ．
综上所述 ， 所求函数的最小值 １ ， 一口 ０ ，
ｍ ＝
所以问题 可转化为 ｍ ＋￡ ｍ＋１ ≥３对任意 ｔ ∈［一１ １ 恒成 ，］ 立． （） ｔ ， ∈［一１ １ ， 记ｈ ｔ ＝ｍ ＋ｍ 一２ ｔ ， ］ 可知 函数 （） 图 ｔ的
） 似 ， ＝ 一 得
式（） ３ 成立 的充要条件是
ｆ （一１ 口一１ ； ， ｐ ）＝ ≤０
） ａ ＝（ 一． ＝ｘ ３ ２ ｘ ） 。
若口 ， ≥３ 在区间（ ， ） （ １２ 内， ）＞０ 从 而 ｆ ） 区间 ， （ 为 ［ ，］ １２ 上的增 函数 ， 由此得 ｍ＝ １ 口一 ． ）＝ １
｛ ２ ，＋－ － ｍ２ ≥ ｍ ２＞ ＋一。 ｔ
。
。；
解 得
ｍ≤ 一 ２或 ｍ≥２ ．
以 高 等 数 学 为 背 景 的 题 型 与 高 考 走 势
高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学
高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学摘要：本文用高等数学观点审视高中数学难题的解题思路教学过程，并应用多元函数极值、拉格朗日中值定理、极点极线等高数观点作为主线，注重研究高等数学观点如何有助挖掘题目本质，有助于形成中学数学的解题思路，从而达到深入浅出，提升尖子生的解题能力与数学素养。
关键词：解题思路形成；高等数学观点；多元函数极值；拉格朗日中值定理；极点极线一、论证高等数学观点在高中数学难题的解题思路点拨中的必要性首先，高中数学难题的解题思路与能力提升离不开学生的主动参与和建构。
教育心理学家布鲁纳认为：“知识的获得过程是一个主动的过程，学习者不应是信息的被动的接受者，而应是知识获取的主动参与者。
”如果教师在高考数学难题解题的教学过程中，只注重把题型归类，解题步骤灌输给学生，然后让学生针对这些题型的大量刷题就以为万事大吉，那么在实践中往往事与愿违，因为高考中往往会出现教师没归纳到的新类型，所以学生又不会做了。
所以，我们在高中数学难题教学中需要重视帮助学生挖掘题目的本质以及让学生知道解题思路的形成过程是怎样的，体验到解题的思维痕迹生成过程，从中真正提高解题思维与数学核心素养。
其次，要把握高中数学难题的本质与思维突破口，往往需要站在更高角度上去思考问题，比如从高等数学的层面思考。
罗增儒[1]在《高考数学压轴题的认识研究（续）》文章中指出，高考数学压轴难题都有背景特征。
因此，如果我们把尖子的思维与目光只局限于现有的中学阶段，这其实不利于培养尖子继续深造的潜力的，没有培养出尖子洞察到难题的思维本质，只是依靠题山题海的刷题模式打造出来的尖子是“只见树木不见森林”，其解题思维认知是孤立零散的，与当前倡导考查数学素养的高考趋势相背离。
我们用高等数学的观点去审视高中数学难题的教学，但并不是用高等数学方法代替中学数学的解题方法。
我们的难题教学模式应该是不管题目再难，在高等数学观点下，题目的本质一览无遗，找到解题的思维痕迹，再从容的用高中数学知识解出来，达到深入浅出的一个效果，这对提升尖子生的解题思维与能力是有必要的。
试析高等数学背景下的高考试题
关键 词
高等 数 学； 背景 ；高考试 题
３以琴生不等式为背景的试题
例３ （ 同 例２ ）。 我们 来看 第（ ２ ） 问左端 的证 明
明 ：当整数 ｍ＞１ 时 ，方程ｆ （ ｘ ） ＝ ０ 在［ ｅ － ｍ － ｍ， ｅ ２ ｍ — ｍ］ 内有 两 个实根 （ ２ ０ ０ ４ 年 高考 广 ‘ 东 卷２ １ 题） 本题 中给 出 的定 理 ， 正 是 介 值 定理 的 特 殊情 形一 零 点定理 。 （ １ ）略 。 （ ２）证 明 ：当时 ｍ＞ｌ 时， ｆ （ ｘ ） 在【 ｅ — ｍ， １ － ｍ］ ＊ ｌ 【 １ － ｍ， ｅ ２ ｍ ＿ ｍ］ 上 都连 续 可导 ｆ （ ｅ 。 。 ” 一 ｍ） ＝ ｅ 一 ｍ （ 一 ｍ） ： ｅ ” ＞Ｏ
出 了新 的 研 究课 题 。
ａ＋ 方
域 内为递 增 函数 又
Ｔ
，所以
ｇ （ ｑ ： ） ＞ ｇ （ ｑ １ ） Ｂ 口 ｇ （ ｇ ２ ） 一 ｇ（ ｑ Ｉ ） ＞ ０ 。 同时ｂ － ａ ＞Ｏ ，所以
ｇ （ 口 ） ＋ｇ （ ６ ） 一２ ｇ（ — ａ ＋ ＝ 一 ｂ ） ＞ ０
．
（ ）
一
，
。
．
．
’
．
．
．
．
．
．
ｇ （ ｍ） ＝ ｅ ２ ｍ ＿３ ｍ＞ｅ ２ －３ ＞０
ｘ ， ｘ ， …， ｘ 为 不全相 等 的正数 ，
ｘ ｌ ｘ２
・ ・ ・
ｆ （ ｅ ２ ｍ － ｍ） ＞０ 当ｘ∈ （ １ 一 ｍ， ｅ ２ Ｉ ｎ — ｍ） 时，
１
・
．
・ ｇ （ ） ＝ｘ ｌ ｎ ｘ ， ． ’ （ ｘ ） ＝ｌ ｎ ｘ ＋ｌ， ｇ（ ， 一 ｘ
高等数学背景下的导数问题
高等数学背景下的导数问题戎 钢随着高中新课程改革的深入，大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多，如选修4部分。
而实际上在必修部分新增的内容就已足够值得关注，这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的趋势。
导数部分内容就丰富了很多。
如指数函数、对数函数及分是函数的求导就使得我们的研究范围不仅仅局限在多项式函数主要是三次函数的系列问题。
我们还要指导学生通过类比的手段利用导数研究函数的单调性、极值点，作出函数的示意图，通过直观化解决超越函数的有关问题。
另外，随着高考命题自主化的深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题，而在命题组中高校教师占很重要的地位。
他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。
函数图像的凸凹性，导数中的拐点，拉格朗日中值定理，李普希茨条件……虽然高考考试没有要求学生掌握但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。
一、函数的拐点问题例1（2007湖南文21）已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）略；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．解析：（II ）思路一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--， 因为切线l 在点(1())A f x ，处过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+．因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102a h =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =-- 点评 本题中“l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象”实际上是指点A 处是函数的拐点。
浅析高考题中的高等数学背景
浅析高考题中的高等数学背景湖南省株洲市茶陵一中有些试题把中学数学的知识巧妙地用高等数学中的符号、形式加以叙述，或以高等数学中著名定理、经典的思想方法为背景，这些试题拓展了知识领域，开阔了数学视野，有利于高等数学与中学数学在形式或思想方法上的和谐接轨.我们一起来看看下面的例子：一．以抽象代数中的运算系统为背景例1.(2001年上春季高考试题)若记“*”表示两个实数a 与b 的算术平均数 的运算，即2b a b a +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对任意三个实数a 、b 、c 都成立的一个等式是 .解：)(c b a *+＝2c b a ++＝2)()(c a b a +++＝)()(c a b a +*+. 故满足条件的等式可以是)(c b a *+=)()(c a b a +*+. (类似可推c b a +*)(=)()(c b c a *+*等. )二．以矩阵知识为背景例2．（2003北京高考题）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k 名同学，都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，3，…k. 规定同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=)(,0)(,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij 其中=i 1，2，3，…k ，且=j 1，2，3，…k. 则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）.(A). k k a a a a a a 2222111211+++++++(B). 2221212111k k a a a a a a +++++++(C). 2122211211k k a a a a a a +++(D). k k a a a a a a 2122122111+++ .解：由乘法原理和加法原理可得，答案为(C).三．以区间套定理为背景例3．(2003年上海卷)方程18lg 3=+x x 的根≈x （结果精确到0.1）.解：显然2<x <3. 设)(x f =x x lg 3+18-，则0)5.2(<f ，故2.5<x <3. 又因为0)7.2(>f ，所以2.5<x <2.7，由于结果精确到0.1，所以6.2≈x四．以凹凸函数概念为背景例4.（2002北京理）如图所示，)(x f i ()4,3,2,1(=i 是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0,1]中任意的1x 和2x ,任意∈λ [0,1], [])()1()()1(2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+恒成立”的只有（ ）.A. )(1x f 与)(3x fB. )(2x fC. )(2x f 与)(3x fD.)(4x f解：易知，)(3x f 是正比例函数，必满足条件. 故结论只可能是A 或C. 在已知条件中令21=λ，得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，显然，要满足此条件，)(x f 的图象只能“向下凹”，不可“向上凸”，故选A.高等数学中有些内容与中学数学比较靠近，例如函数，它既是中学数学的重要知识，也是在高等数学中要继续深入研究的重要对象. 且有些概念、结论只要稍作叙述，就能以中学数学的形式出现. 这些试题既能考查学生能力，又有利于高等数学与中学数学在知识内容上的和谐接轨. 我们作为高中数学教师，在平时的教学上也应该注意这种考题的探究，引导学生树立这种意识！。
高考数学试题溯源及教学启示
2.（2007年全国一）设函数f (x) ex ex （Ⅰ）证明：f (x) 的导数 f (x)≥ 2
（Ⅱ）若对所有x ≥0 都有 f (x)≥ ax ，求 a 的取值范围．
2008全国2理
设函数 f (x) sin x ． 2 cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何 x≥0 ，都有 f (x) ≤ ax ，
的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支
上的动点，则 | PF | | PA | 的最小值为_。
教材试题原型：已知点A(1,1),而且 F1 是椭圆
P x2 y 2 1 的左焦点， 是椭圆上任意一点，
95
求| PF1 | | PA | 的最小值和最大值。
选修2—1中2.2椭圆一节中习题2—2B第2题
A. 2 1 B.1 C. 2 D.2
09年全国卷6题
若a,b, c均为单位向量，且 a b 0, 则(a c) (b c)的最小值为
A. 2 B. 2 2 C. 1 D.1 2
示例2：11年辽宁理21题
已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x ；
（I）讨论 f (x)的单调性；
.
，求证：cos cos cos 1
思考与感悟：
俗话说的好：“站的高，才能看 的远。”对于高考的研究不能仅局限 于高考范畴，要把眼界放的开一些。
教学启示：
5.试题下放于高等数学中的重要背景
高等背景下的初等试题，是对高中生 高层次理性思维和创新意识的有效检 测，能考查出学生进一步学习的潜质。
示例2(09年文8t）an已 知 2tan 2 ，则
sin2 sin cos 2cos2
（A） 4 （B）5 （C） 3（D） 4
高考数学原创试题的命题方向及典型题分析
高考数学原创试题的命题方向及典型题分析从2004年开始，全国高考11个省市独立命题。
高考数学形成了“百花齐放”的局面，各地数学试卷中出现了不少新颖的高质量原创试题. 从某种角度看， 原创试题的新颖性对考生是一种难度，可真正考查出考生的学习潜能和个性品质状况；而对命题者来说，更是命题成功与否的一个重要标志。
笔者在文[1]中已探讨了原创试题命题的七个方向，下面结合国内外课程标准，再提出原创试题的六个命题方向。
一、考查数学交流评价的试题在我国2003年制订的《普通高中数学课程标准》（下面简称《标准》）中，数学交流已作为一项教学目标被明确提出.使用交流去培养学生的数学理解力是数学交流的目标，但在我国高考数学中“数学交流”的试题现在基本上还没有涉及.以后会编制出不同种类的“数学交流”试题，让学生通过书面表述、图表、数学模式、数学图象、数学规律等方式进行数学交流，最终达到熟练掌握数学语言进行交流的目的.典型题1 (韩国高考数学题改编)下面是学生甲和学生乙争论集合的部分内容:甲:我们能够想象到的集合之全体的集合叫做Ｓ，那么(ａ)Ｓ将Ｓ自身作为元素所有，是吧?乙:那不成体统，哪有那样的事?甲:好，那么(ｂ)不把自己本身作为元素的集合之全体的集合又怎么样呢?以数学方式表达上述争论中带有底线的(ａ)，(ｂ)，哪一项最好?(A)S ∈S ，{A|A ∉A ，A 是集合}；(B) S ∈S ，{A|A ⊄A ，A 是集合}；(C) S ∈S ，{A|A ∉A ，A 是集合}；(D) S ⊂S ，{A|A ⊂A ，A 是集合}.评注：此题通过两个学生的数学交流来表明他们对集合与集合、集合与元素之间关系的理解，同时让应试者参与讨论，并把一些观点与数学表达符号化.二、考查凸显数学文化的试题数学文化是多姿多彩的，它是人类文化宝库中的奇葩.《标准》中指出：数学是人类文化的重要组成部分。
数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。
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高等数学背景下的高考数学命题在近年来的高考命题的改革中，为了考查考生的学习潜能，对学生思维的抽象性、逻辑性以及学生的理解力和自学能力提出了更高的要求，以高等数学为背景的数学思想和知识已渗透到高考命题当中。
本文对以高等数学为背景的高考信息题进行分类解析，仅供参考。
一、 以高等数学中的符号、记号、概念等为背景命题的例1．（2007年福建高考题）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -；（2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b -，b c -，则有a c -．则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：____解析：本题是考查高等数学中对记号的理解，是一道开放性问题，答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等。
解答此类题首先要读懂所给符号、概念等的实质性含义及题目的规则和要求, 运用已有的知识把所给的新概念、符号等简单化、具体化与特殊化加以分析探究。
其它还有以有界函数、闭函数、单峰函数、取整函数、符号函数等概念或符号为背景命题的。
二、以高等数学中函数的性质、定理等为背景命题的例2．（2004年广东高考题）设函数)ln()(m x x x f +-=，其中常数m 为整数。
（1） 当m 为何值时，0)(>x f ；（2）定理：若函数)(x g 在],[b a 上连续,且)(a g 与)(b g 异号，则至少存在一点),(0b a x ∈，使0)(0=x g 。
试用上述定理证明：当整数1>m 时,方程0)(=x f ，在],[2m e m e m m ---内有两个实根。
解析：该命题即为根的存在性定理为背景命题的。
第（I ）问主要考查求导问题，相对较为简单。
(II)证明：由（I ）知，当整数1>m 时，01)1(<-=-m m f ，函数)ln()(m x x x f +-=在]1,[m m e m --- 上为连续减函数m m m e m e m e f -----=-ln()( 0)>=+--m e m m ,当整数1>m 时)(m e f m --与)1(m f -异号。
由所给定理知，存在唯一的,(1m e x m -∈-)1m -使0)(1=x f ，而当整数1>m 时，1(3)(22>-=-m e m e f m m+>-+13)12m m 032)12(22>--+m m m m 。
类似地，当整数1>m 时，函数)ln()(m x x x f +-=，在],1[m e m m --- 上为连续增函数且)1(m f -与)(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使故当1>m 时，方程0)(=x f 在],[2m e m e m m ---内有两个实根。
对新定理的理解和运用就是解决本类题型的关键，其它还有以区间套定理、介值性定理、零点定理、函数的一致性定理等为背景命题的。
三、以《抽象代数》内容为背景命题的例3．（2005年辽宁高考题）在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式x a x ()(⊗- 1)<+a 对任意实数x 成立，则（ ）A ．11<<-a B ．20<<a C ．2321<<-a D ．2123<<-a 解析：本题是抽象代数的运算系统为背景的，已知运算).1(:y x y x -=⊗⊗所以1)](1)[()()(<+--=+⊗-a x a x a x a x ，即122++-<-a a x x ，当R x ∈时，]41,(2-∞∈-x x ，所以1412++-<a a ，即2321<<-a ，答案选C 。
这种题型解答时要先准确把握所给信息本质，然后应用类比等方法充分挖掘其内涵，运用新旧知识间的内在联系及迁移规律，将新运算转化为熟悉的数学运算。
四、以《线性代数》的知识为背景命题的例4．（2004年北京春季高考题）下表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i 行第j 列的数。
（I ）写出的值； （II ）写出的计算公式；（III ）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积解析：本题是以矩阵的表示为背景命题的，主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
（I ）；（II ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：，第二行是首项为7，公差为5的等差数列：……，第i 行是首项为，公差为的等差数列，因此)1)(12()1(34-++-+=j i i a ij j j i j i ij ++=++=)12(2；（III ）必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得，从而+++=+j j i N 2)12(212 1，即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得从而。
可见N 在该等差数阵中。
综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
理解矩阵的表示方法是解决此类题的关键。
其它还有以矩阵的乘法、线性相关、行列式的概念等为背景命题的。
五、以《解析几何》内容为背景命题的例5．（2000年上海春季高考题）四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是一个平行四边形，），，（），，，（），，，（121024412--==--=。
（1）求证：⊥PA 底面ABCD ;（2）求四棱锥ABCD P -的体积；（3）对于向量,(),,,(),,,(3222111x z y x z y x ===),33z y ，定义一种运算：123312231213132321)(z y x z y x z y x z y x z y x z y x ---++=⋅⨯ ，试计算⋅⨯)(的绝对值的值，说明其与四棱锥ABCD P -的体积的关系，并由此猜想这一运算AP AD AB ⋅⨯)(的绝对值的几何意义。
解析：本题是以向量的混合积为背景命题的。
第（1）、（2）直接计算即可，第（3）问是一种探索型问题，是考查学生的阅读理解能力、准确计算能力和归纳概括能力，要求抽象概括出高等数学中向量的混合积的几何意义。
混合积的运算实质就是求行列式：⋅⨯)( 333222111z y x z y x z y x =，c b a ⋅⨯)(在几何上表示以向量c b a ,,为棱的平行六面体的体积。
六、以《数值方法》内容为背景命题的例6．（2004年江苏高考题）已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数1x ，2x 都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数0a ，a ，b 满足0)(0=a f 和)(a f a b λ-=。
（Ⅰ）证明1≤λ，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；（Ⅱ）证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；（Ⅲ）证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.解析：本题与计算数学中数值逼近的牛顿广义迭代法为背景的，运用反证法和放缩法推证不等式，是对学生抽象思维、逻辑思维和数学技巧进行全面考查的新颖题型。
（1）不妨设12x x >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-，可知12()()0f x f x ->，()f x ∴是R 上的增函数，∴不存在00b a ≠，使得0()0f b =。
又∵--≤-)()[()(121221x f x x x x λ2212)()](x x x f -≤,∴1≤λ；（2）要证：222000()(1)()b a a a λ-≤-- 即证：2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦(*)。
不妨设0a a >，由)()(21221x x x x -≤-λ -)([1x f )](2x f 得00()()()f a f a a a λ-≥-，即0()()f a a a λ≥-，则≥-))((20a a a f 20)(2a a -λ,由1212()()f x f x x x -≤-得00()()f a f a a a -≤-，即0()f a a a ≤-，则22200()()2()a a f a a a λλ⎡⎤-+≤-⎣⎦；（2）由（1）（2）可得)(2)]()[(220a f a f a a ≤+-λ )(0a a -，222000()(1)()b a a a λ∴-≤--；（3）220[()]()f a a a ≤- ,1()]()[1(22≤-a f λ∴202))(a a --λ,220[()]()f b b a ≤- ，又由（2）中结论222000()(1)()b a a a λ-≤--，222[()](1)[()]f b f a λ∴≤-七、以《图论》为背景命题的例7．(2001年高考题)如图，小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为( )(A) 26. (B) 24. (C) 20. (D) 19.解析：此题是以图论内容为背景命题的，主要考查学生的观察、阅读理解图形的能力。
依题意，从A →B 传递信息，在相同时间内有四种路线同时传递，经分类讨论计算可得单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19，故选D 。
仔细观察、阅读并深刻理解图形是解答此类题的关键。
八、以《实变函数论与泛函分析》的内容为背景命题的例7．（2003年北京高考题）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件，①0)1()1(==-f f ，②对任意的u 、]1,1[-∈v ，都有|||)()(|v u v f u f -≤-。
（Ⅰ）证明：对任意]1,1[-∈x ，都有x x f x -≤≤-1)(1；（Ⅱ）证明：对任意的]1,1[,-∈v u 都有1|)()(|≤-v f u f ；（Ⅲ）在区间]1,1[-上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-]1,21[ |||)()(|]21,0[ |||)()(|uv v u v f u f uv v u v f u f ，若存在请举一例，若不存在，请说明理由． 解析：本题是以压缩映象原理为背景命题的。