高等数学背景下的高考数学命题
一道高考数学试题的高等数学背景研究
从高考数学命 题技 术看 ， 是 通过 语 言转换 ， 一 将 高 中生 不熟悉 的 高等 数学 术语 “ 有界 变差 数列 ”
１ ２ ３ …） 有界 变 差． 明凡 有 有 界 变差 的 ， ，， 有 证
用 其 英 文 简 写 “ 数 列 ” ｂ ｕ ｄ ｄ ａｉ ｉｎ （ｏ ｎ ｅ ｖｒ ｔ ａｏ ｓｑ ｅ ｃ） ｅｕｎ ｅ 这一 新定 义替代 ， 高数语 言初 等化 ， 持 保 原题条件不 变 ， 变其 结论 （ 改 原题 第 ２问的否 定 即 是本试题 的（） ， Ｊ） 以达 到考 查有 界变 差数列 性质 的
若 数 列 ｛ ａ ｝满 足 ： 在 正 数 Ｍ ， 一 切 有 存 对
函数 中 的有 界 变差 函数一 脉相 承．
１ 命 题 渊 源
１ １ 命 题 背 景 ．
Ａ 一 Ｉ ２ １ｌ ３ ２ｌ … ＋Ｉ 口 一ａ 十Ｉ 一ａ ＋ ａ ｎ 一 ｌ『 ａ ≤ Ｍ． 明 ： 列 ｛ 与 ｛ 都 收敛． 证 数 ｎ｝ Ａ ｝
叙 列 ： ，一 １， ，一 ， ，一 ， ， ， １ …
厶 厶 Ｊ ０
（ 首项 为 １ 公 比为 ｑ １ ＜ １ Ｉ） 、 （ ｑｌ ）的等 比数 列 是 否为 Ｂ 数 列 ？ 说 明理 由 ； 一 请
（１ 设 Ｓ 是 数 列 ｛ ｝ Ｉ） 的前 项 和 ， 出 下 列 给 两 组论 断 ：
列ｃ 一１ ｏ ＋寺 ＋÷ ＋…＋ 是发散的， 又是递增
ｒｔ
请 以其 中一 组 中的 一个 论 断为 条 件 ， 一 组 另
中的一个论 断 为结 论 组 成 一个 命 题 ． 断所 给 命 判 题 的真假 ， 并证 明你 的结论 ； （ｌ） 数列 ｛ ，ｂ｝ 是 Ｂ 数 列 ， 明 ： Ｉ 若 １ ａ ｝ ｛ 都 一 证 数
以高等数学为背景的题型与高考走势
② Ｇ＝｛ 偶数 ｝０ 为整 数的乘法 ； ， ③ Ｇ 平 面向量 ｝ｏ 为平 面向量的加法 ； ＝｛ ， ④ Ｇ 二次 三项 式 ｝０ 为多项 式的加法 ； ＝｛ ， ⑤ Ｇ＝｛ 虚数 ｝０ 为复数的乘法． ，
其中 Ｇ关 于 运算 ① 为“ 洽集 ” 是— 融 的 “ 融洽集” 的序号 ） ． （ ０ ６年四川省数 学高考理科试题 ） ２０ — （ 出所 有 写
例 １ 非空集合 Ｇ关 于运算① 满足 ： １ 对 任意 口 ６ （） ，∈ Ｇ 都有 口 ∈Ｇ （ ） ， ①６ ；２ 存在 ｅ ∈Ｇ， 使得对一切 口 ， ∈Ｇ 都有口 ① ｅｅ ＝ ￣ａ＝ ， ｏ 则称 Ｇ关 于运算① 为“ 融洽集 ” 现给出下列 集 ． 合和运算 ：
① Ｇ＝｛ 负整数 ｝① 为整数 的加法 ； 非 ，
口一１ ４ 口一２ ， ｍ＝口一１ ＜ （ ）得 ．
综上所述 ， 所求函数的最小值 １ ， 一口 ０ ，
ｍ ＝
所以问题 可转化为 ｍ ＋￡ ｍ＋１ ≥３对任意 ｔ ∈［一１ １ 恒成 ，］ 立． （） ｔ ， ∈［一１ １ ， 记ｈ ｔ ＝ｍ ＋ｍ 一２ ｔ ， ］ 可知 函数 （） 图 ｔ的
） 似 ， ＝ 一 得
式（） ３ 成立 的充要条件是
ｆ （一１ 口一１ ； ， ｐ ）＝ ≤０
） ａ ＝（ 一． ＝ｘ ３ ２ ｘ ） 。
若口 ， ≥３ 在区间（ ， ） （ １２ 内， ）＞０ 从 而 ｆ ） 区间 ， （ 为 ［ ，］ １２ 上的增 函数 ， 由此得 ｍ＝ １ 口一 ． ）＝ １
｛ ２ ，＋－ － ｍ２ ≥ ｍ ２＞ ＋一。 ｔ
。
。；
解 得
ｍ≤ 一 ２或 ｍ≥２ ．
以 高 等 数 学 为 背 景 的 题 型 与 高 考 走 势
高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学
高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学摘要：本文用高等数学观点审视高中数学难题的解题思路教学过程，并应用多元函数极值、拉格朗日中值定理、极点极线等高数观点作为主线，注重研究高等数学观点如何有助挖掘题目本质，有助于形成中学数学的解题思路，从而达到深入浅出，提升尖子生的解题能力与数学素养。
关键词：解题思路形成；高等数学观点；多元函数极值；拉格朗日中值定理；极点极线一、论证高等数学观点在高中数学难题的解题思路点拨中的必要性首先，高中数学难题的解题思路与能力提升离不开学生的主动参与和建构。
教育心理学家布鲁纳认为：“知识的获得过程是一个主动的过程，学习者不应是信息的被动的接受者，而应是知识获取的主动参与者。
”如果教师在高考数学难题解题的教学过程中，只注重把题型归类，解题步骤灌输给学生，然后让学生针对这些题型的大量刷题就以为万事大吉，那么在实践中往往事与愿违，因为高考中往往会出现教师没归纳到的新类型，所以学生又不会做了。
所以，我们在高中数学难题教学中需要重视帮助学生挖掘题目的本质以及让学生知道解题思路的形成过程是怎样的，体验到解题的思维痕迹生成过程，从中真正提高解题思维与数学核心素养。
其次，要把握高中数学难题的本质与思维突破口，往往需要站在更高角度上去思考问题，比如从高等数学的层面思考。
罗增儒[1]在《高考数学压轴题的认识研究（续）》文章中指出，高考数学压轴难题都有背景特征。
因此，如果我们把尖子的思维与目光只局限于现有的中学阶段，这其实不利于培养尖子继续深造的潜力的，没有培养出尖子洞察到难题的思维本质，只是依靠题山题海的刷题模式打造出来的尖子是“只见树木不见森林”，其解题思维认知是孤立零散的，与当前倡导考查数学素养的高考趋势相背离。
我们用高等数学的观点去审视高中数学难题的教学，但并不是用高等数学方法代替中学数学的解题方法。
我们的难题教学模式应该是不管题目再难，在高等数学观点下，题目的本质一览无遗，找到解题的思维痕迹，再从容的用高中数学知识解出来，达到深入浅出的一个效果，这对提升尖子生的解题思维与能力是有必要的。
试析高等数学背景下的高考试题
关键 词
高等 数 学； 背景 ；高考试 题
３以琴生不等式为背景的试题
例３ （ 同 例２ ）。 我们 来看 第（ ２ ） 问左端 的证 明
明 ：当整数 ｍ＞１ 时 ，方程ｆ （ ｘ ） ＝ ０ 在［ ｅ － ｍ － ｍ， ｅ ２ ｍ — ｍ］ 内有 两 个实根 （ ２ ０ ０ ４ 年 高考 广 ‘ 东 卷２ １ 题） 本题 中给 出 的定 理 ， 正 是 介 值 定理 的 特 殊情 形一 零 点定理 。 （ １ ）略 。 （ ２）证 明 ：当时 ｍ＞ｌ 时， ｆ （ ｘ ） 在【 ｅ — ｍ， １ － ｍ］ ＊ ｌ 【 １ － ｍ， ｅ ２ ｍ ＿ ｍ］ 上 都连 续 可导 ｆ （ ｅ 。 。 ” 一 ｍ） ＝ ｅ 一 ｍ （ 一 ｍ） ： ｅ ” ＞Ｏ
出 了新 的 研 究课 题 。
ａ＋ 方
域 内为递 增 函数 又
Ｔ
，所以
ｇ （ ｑ ： ） ＞ ｇ （ ｑ １ ） Ｂ 口 ｇ （ ｇ ２ ） 一 ｇ（ ｑ Ｉ ） ＞ ０ 。 同时ｂ － ａ ＞Ｏ ，所以
ｇ （ 口 ） ＋ｇ （ ６ ） 一２ ｇ（ — ａ ＋ ＝ 一 ｂ ） ＞ ０
．
（ ）
一
，
。
．
．
’
．
．
．
．
．
．
ｇ （ ｍ） ＝ ｅ ２ ｍ ＿３ ｍ＞ｅ ２ －３ ＞０
ｘ ， ｘ ， …， ｘ 为 不全相 等 的正数 ，
ｘ ｌ ｘ２
・ ・ ・
ｆ （ ｅ ２ ｍ － ｍ） ＞０ 当ｘ∈ （ １ 一 ｍ， ｅ ２ Ｉ ｎ — ｍ） 时，
１
・
．
・ ｇ （ ） ＝ｘ ｌ ｎ ｘ ， ． ’ （ ｘ ） ＝ｌ ｎ ｘ ＋ｌ， ｇ（ ， 一 ｘ
高等数学背景下的导数问题
高等数学背景下的导数问题戎 钢随着高中新课程改革的深入，大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多，如选修4部分。
而实际上在必修部分新增的内容就已足够值得关注，这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的趋势。
导数部分内容就丰富了很多。
如指数函数、对数函数及分是函数的求导就使得我们的研究范围不仅仅局限在多项式函数主要是三次函数的系列问题。
我们还要指导学生通过类比的手段利用导数研究函数的单调性、极值点，作出函数的示意图，通过直观化解决超越函数的有关问题。
另外，随着高考命题自主化的深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题，而在命题组中高校教师占很重要的地位。
他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。
函数图像的凸凹性，导数中的拐点，拉格朗日中值定理，李普希茨条件……虽然高考考试没有要求学生掌握但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。
一、函数的拐点问题例1（2007湖南文21）已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）略；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．解析：（II ）思路一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--， 因为切线l 在点(1())A f x ，处过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+．因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102a h =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =-- 点评 本题中“l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象”实际上是指点A 处是函数的拐点。
浅析高考题中的高等数学背景
浅析高考题中的高等数学背景湖南省株洲市茶陵一中有些试题把中学数学的知识巧妙地用高等数学中的符号、形式加以叙述，或以高等数学中著名定理、经典的思想方法为背景，这些试题拓展了知识领域，开阔了数学视野，有利于高等数学与中学数学在形式或思想方法上的和谐接轨.我们一起来看看下面的例子：一．以抽象代数中的运算系统为背景例1.(2001年上春季高考试题)若记“*”表示两个实数a 与b 的算术平均数 的运算，即2b a b a +=*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对任意三个实数a 、b 、c 都成立的一个等式是 .解：)(c b a *+＝2c b a ++＝2)()(c a b a +++＝)()(c a b a +*+. 故满足条件的等式可以是)(c b a *+=)()(c a b a +*+. (类似可推c b a +*)(=)()(c b c a *+*等. )二．以矩阵知识为背景例2．（2003北京高考题）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k 名同学，都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，3，…k. 规定同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令⎩⎨⎧=)(,0)(,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij 其中=i 1，2，3，…k ，且=j 1，2，3，…k. 则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）.(A). k k a a a a a a 2222111211+++++++(B). 2221212111k k a a a a a a +++++++(C). 2122211211k k a a a a a a +++(D). k k a a a a a a 2122122111+++ .解：由乘法原理和加法原理可得，答案为(C).三．以区间套定理为背景例3．(2003年上海卷)方程18lg 3=+x x 的根≈x （结果精确到0.1）.解：显然2<x <3. 设)(x f =x x lg 3+18-，则0)5.2(<f ，故2.5<x <3. 又因为0)7.2(>f ，所以2.5<x <2.7，由于结果精确到0.1，所以6.2≈x四．以凹凸函数概念为背景例4.（2002北京理）如图所示，)(x f i ()4,3,2,1(=i 是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0,1]中任意的1x 和2x ,任意∈λ [0,1], [])()1()()1(2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+恒成立”的只有（ ）.A. )(1x f 与)(3x fB. )(2x fC. )(2x f 与)(3x fD.)(4x f解：易知，)(3x f 是正比例函数，必满足条件. 故结论只可能是A 或C. 在已知条件中令21=λ，得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，显然，要满足此条件，)(x f 的图象只能“向下凹”，不可“向上凸”，故选A.高等数学中有些内容与中学数学比较靠近，例如函数，它既是中学数学的重要知识，也是在高等数学中要继续深入研究的重要对象. 且有些概念、结论只要稍作叙述，就能以中学数学的形式出现. 这些试题既能考查学生能力，又有利于高等数学与中学数学在知识内容上的和谐接轨. 我们作为高中数学教师，在平时的教学上也应该注意这种考题的探究，引导学生树立这种意识！。
高考数学试题溯源及教学启示
2.（2007年全国一）设函数f (x) ex ex （Ⅰ）证明：f (x) 的导数 f (x)≥ 2
（Ⅱ）若对所有x ≥0 都有 f (x)≥ ax ，求 a 的取值范围．
2008全国2理
设函数 f (x) sin x ． 2 cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何 x≥0 ，都有 f (x) ≤ ax ，
的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支
上的动点，则 | PF | | PA | 的最小值为_。
教材试题原型：已知点A(1,1),而且 F1 是椭圆
P x2 y 2 1 的左焦点， 是椭圆上任意一点，
95
求| PF1 | | PA | 的最小值和最大值。
选修2—1中2.2椭圆一节中习题2—2B第2题
A. 2 1 B.1 C. 2 D.2
09年全国卷6题
若a,b, c均为单位向量，且 a b 0, 则(a c) (b c)的最小值为
A. 2 B. 2 2 C. 1 D.1 2
示例2：11年辽宁理21题
已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x ；
（I）讨论 f (x)的单调性；
.
，求证：cos cos cos 1
思考与感悟：
俗话说的好：“站的高，才能看 的远。”对于高考的研究不能仅局限 于高考范畴，要把眼界放的开一些。
教学启示：
5.试题下放于高等数学中的重要背景
高等背景下的初等试题，是对高中生 高层次理性思维和创新意识的有效检 测，能考查出学生进一步学习的潜质。
示例2(09年文8t）an已 知 2tan 2 ，则
sin2 sin cos 2cos2
（A） 4 （B）5 （C） 3（D） 4
高考数学原创试题的命题方向及典型题分析
高考数学原创试题的命题方向及典型题分析从2004年开始，全国高考11个省市独立命题。
高考数学形成了“百花齐放”的局面，各地数学试卷中出现了不少新颖的高质量原创试题. 从某种角度看， 原创试题的新颖性对考生是一种难度，可真正考查出考生的学习潜能和个性品质状况；而对命题者来说，更是命题成功与否的一个重要标志。
笔者在文[1]中已探讨了原创试题命题的七个方向，下面结合国内外课程标准，再提出原创试题的六个命题方向。
一、考查数学交流评价的试题在我国2003年制订的《普通高中数学课程标准》（下面简称《标准》）中，数学交流已作为一项教学目标被明确提出.使用交流去培养学生的数学理解力是数学交流的目标，但在我国高考数学中“数学交流”的试题现在基本上还没有涉及.以后会编制出不同种类的“数学交流”试题，让学生通过书面表述、图表、数学模式、数学图象、数学规律等方式进行数学交流，最终达到熟练掌握数学语言进行交流的目的.典型题1 (韩国高考数学题改编)下面是学生甲和学生乙争论集合的部分内容:甲:我们能够想象到的集合之全体的集合叫做Ｓ，那么(ａ)Ｓ将Ｓ自身作为元素所有，是吧?乙:那不成体统，哪有那样的事?甲:好，那么(ｂ)不把自己本身作为元素的集合之全体的集合又怎么样呢?以数学方式表达上述争论中带有底线的(ａ)，(ｂ)，哪一项最好?(A)S ∈S ，{A|A ∉A ，A 是集合}；(B) S ∈S ，{A|A ⊄A ，A 是集合}；(C) S ∈S ，{A|A ∉A ，A 是集合}；(D) S ⊂S ，{A|A ⊂A ，A 是集合}.评注：此题通过两个学生的数学交流来表明他们对集合与集合、集合与元素之间关系的理解，同时让应试者参与讨论，并把一些观点与数学表达符号化.二、考查凸显数学文化的试题数学文化是多姿多彩的，它是人类文化宝库中的奇葩.《标准》中指出：数学是人类文化的重要组成部分。
数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。
以数学思想为背景的高观点试题探析
些探究 ，希望 能起 到抛砖 引玉的作用 ．
１ 极 限 的 思 想 为 背 景 的 高观 点 试 题 ．以
题 人手 ，把握学 科 的整体 意义 ，用统 一 的数学 观点 组织 材料 ， 侧 重体现对知识 的理解 和应用 ，尤其是综 合和 灵活 的应 用 ，以
极 限思想作 为反 映客观事 物在运 动 、变 化过程 中 由量变转
学交会是高考命 题 的六大交会 之一 ，是现代数 学新 高考创新题
的 重 要题 源 ．
Ａ（ ） Ⅱ
二、以数 学思想为 背景 的高观点试题
数学思想是 数学 知识 在更 高层次上 的抽象 和概括 ，是数学 知识 的精髓 ，是 分析 和解 决数 学问题 的基 本原则 ，也是 数学素 养的重要 内涵 ，它蕴含在数学 知识 发生 、发展和应用 的过 程中 ，
此来检 测考生将 知识迁移 到不 同情 境 中去 的能力 ，从而检 测 出 化 为质 变时 的数 量关 系或空 间形 式 ，能够通过 旧质 的量 的变化 考生个体理性 思维 的广度 和深度 ，以及进一步 学习 的潜能 ．“ 以 规律，去计算新质 的量．因此 ，它具有 由此达彼 的重大创新作用． 能力立意命题 ” ，正是为 了更 好地考查数学思想 ，促进 考生数学 极 限思 想是高等 数学知识 最基础 的一块 ，也是 高等数学教 学 的
＠ ⑥ ⑤
⑨
郭丽 云 （ 江省 温岭 中学） 浙
⑨ ⑥
⑧
２０ ０ ８年浙江省 《 高考数学科 考试说 明》 提出 ：对 数学能力 就 以高等数 学的数学 思想 为背景 的高观点试 题为例 对其解法作
的考查 ，强调 “ 以能力为立 意” ，就是 以数学 知识 为载体 ，从 问
一
以高等数学为背景的高考数学试题的研究
以高等数学为背景的高考数学试题的研究定边四中曹世鹏摘要:本文通过调查研究的方法，以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据,探析了此类问题的命题背景,充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。
给出了以高等数学为背景的中学数学问题的特点及应对策略和建议,为促进学生有效地学习数学、理解地掌握数学、恰当地运用数学的数学教学提供一个可借鉴的思路和途径。
关键词：中学数学问题、分析、教学、高观点纵观近几年的课程改革，向量、算法、概率论、导数、定积分等内容被逐一下放到中数学必修课本中,中学数学里高等数学的含量正一步步扩大.选修课程分别由若干专题组成，有些看起来很深奥，几乎都是高等数学的内容.选修2—2导数与微积分;选修系列3：选修3—1数学史选讲、选修3-3球面上的几何、选修3—4对称与群；选修系列4:选修4-4几何证明选讲、选修4-2矩阵与变换、选修4-3平面坐标系中几种常见变换、选修4-4极坐标与参数方程、选修4-5不等式、选修4-6初等数论初步。
由此可见选修课程中所涉及的内容都是高等数学的基础内容,现在把它们引入到高中数学课程中，并不是要把这些内容简化下放,而是想抓住这些数学内容的精髓把它们的基本思想介绍给高中学生.有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法，它们即呈现了现代数学多个分支，又兼顾了数学史，并凸现了其中的思想方法.作为一名高中数学老师，不断地从高等数学中汲取丰厚的营养，使之服务于中学数学教学，是一项很有意义的工作.随着中学数学里高等数学的含量进一步扩大,近几年来高考试卷中以高等数学为背景的高考试题出现的频率越来越高,本文以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据，探析了此类问题的命题背景，充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。
下面以近几年的各省市的高考题为例，来探究“高观点”下的中学数学问题的命题背景：一、 以高等数学的符号、概念为背景的问题命题1:（2013年陕西理10）设[]x 表示不大于x 的最大整数,则对任意实数y x ,,有：.A []-=-x []x .B [][]x x 22= .C [][][]y x y x +≤+ .D [][][]y x y x -≤-命题透视：本题是一道以数学分析中取整函数为背景的性质应用题.对任意的实数x ，记不超过x 的最大整数为[]x ,通常称函数[]x y =为取整函数，又称高斯函数，高斯函数有以下几个性质：高斯函数是一个不减函数,即对任意,,21R x x ∈若,21x x ≤则[][]21x x ≤;若,,R y x ∈则[][][][][]1++≤+≤+y x y x y x ;由这条性质可推得选项D 成立；若*∈N n ，,R x ∈则[][]x n nx ≥。
例析高等数学背景下的高考数学题
②在 ｅｐ，若 １－９０Ｐ，￣，ＪｌＡｑｌ ＋１￣１ ＝Ｉ
③在 曰ｃ中．１ＩＡｃｌｌ＋ｌＩ∞ｌｌ＞ＩＩＡｓＩ｛．
其 中真命题的个数为 （ ）
Ａ． ０
Ｂ． １
Ｃ． ２ Ｄ． ３
解 析 对 于 直 角 坐 标 平 面 内 的 任 意 两 点
Ａ（ｘ。， ），Ｂ（ｘ２，Ｙ２），定义它们之 间的一种“距离”：
２
福 建 中 学数 学
２００９年第 ｌ０期
｛ｆＡＢＩｆ＝？ ！～ ｆ＋ —ｊ ｝．①若点Ｃ在线段ＡＢ上．
设 Ｃ点坐标为 （ 【】＇ ）．Ｘ。在 Ｘ．、 ：之间 ．Ｙ。在 、
Ｙ 之间，则ｌＩＡＣｌｌ＋ＩＣ８ １ｌ
＝ Ｉ ０一 ｌ ｌ＋ｊ）’ｔ）一 ’ｉ ｌ＋ｉ ２～ ｊ：＋｛ ：一 ０｛
高等数学背景下的高考数 学题也 叫“高观点题”． “高观点题”指与高等数学相联 系的问题 ．这样 的问题 或以高等数 学知识 为背景 。或体现高等数 学 中常用 的数学思想 方法 ，本文将例 析这类 问题 的基本类型 和 相 应 解 法 ．
１． 以高等数学运算为背景 例 １（２００６年高考四川卷 ） 非空集合 Ｇ关 于运算 ０满足 ：（１）对任 意的 口。 ｂ∈Ｇ 。都 有 ａ０ｂ∈Ｇ ；（２）存 在 ｅ∈Ｇ ，都 有 ａ０ｅ＝ｅ０ａ＝ａ ， 则 称 Ｇ 关 于 运 算 ０ 为 “融 洽 集 ”．现 给出下列集合和运算 ： ① Ｇ＝｛非负整数 ｝，０ 为整数 的加法 ； ② Ｇ＝｛偶数 ｝，０ 为整数 的乘法 ； ③ Ｇ＝｛平面 向量 ｝，０ 为平面向量 的加 法； ④ Ｇ＝｛二次三项式 ｝，０ 为多项式 的加 法； ⑤ Ｇ＝｛虚数 ｝，０ 为复数 的乘 法． 其 中 Ｇ关于运算 ０ 为“融洽集”的是 （写 出所有“融洽集 ”的序 号 ） 解析 本 题 源 自大学 数学 专业 课 中的 《近 世代 数 》，给 出了一个新 的概念“融洽集”，考查学生理解 并且会运用此概念 来判断 以下给出的条件 是否满足 成 为“融洽集”的能力． ① Ｇ：｛非负整数 ｝，０ 为整数 的加法。满足任 意 ａ，ｂ∈Ｇ都 有 口庄 ∈Ｇ，且令 ｅ－－０，有 ａ＠０＝０＠ａ＝ａ， 所以① 符合要求． ② Ｇ＝｛偶 数 ｝， ０ 为 整数 的 乘 法 ，若 存 在 ｅ∈Ｇ。ａ０ｅ＝ａｘｅ＝ａ，则 ｅ＝１，矛盾 。．·．② 不符 合要 求． ③ Ｇ＝ｆ平面 向量 ｝，０ 为平 面向量 的加 法，取
如何利用高等数学知识解决高考数学中的极限问题
如何利用高等数学知识解决高考数学中的极限问题高考数学是每个高中生都必须面对的一项关键考试，而其中最受考生关注的部分是极限问题。
作为高等数学的一部分，极限问题需要考生掌握一定的数学知识和技巧才能得到满分。
本文将探讨如何利用高等数学知识解决高考数学中的极限问题。
一、先弄清楚什么是极限在解决极限问题前，必须先理解极限的概念。
极限是一种数学概念，指在一个函数中x趋向于一个值a的过程。
简单来说，就是当x无限靠近a时，函数f(x)越来越接近某个值L。
这个值L就是函数在a处的极限。
例如，f(x) = 1/x，在x趋向于0时，它的值越来越大，并且不会发散。
因此可以认为，f(x)在x等于0处的极限为无穷大。
二、掌握求极限的几种方法在高考数学中，求出一个函数的极限的方法有很多，下面列举一些：1. 代入法：当极限的解析式子很简单的时候，我们直接将x的值代入求解即可。
例如，求lim(x→2)(x^2 + 2x - 8)的极限，代入x=2，得到的结果为0。
因此，此函数的极限为0。
2. 夹逼准则：夹逼准则也称为挤压定理，它是一种比较常见的极限求法。
当函数f(x)在x趋于某个点a的左侧和右侧时趋于相同的极限L，且它夹在两个函数g(x)和h(x)之间，而这两个函数的极限也都是L时，我们就可以用夹逼准则来求f(x)在x等于a处的极限。
例如，求出lim(x→0)(sinx/x)的值。
因为0 < sinx/x < 1，所以我们可以将sinx/x夹在两个函数0和1之间。
当x趋向于0时，0和1的极限都是相同的，所以根据夹逼准则，sinx/x在x等于0处的极限为1。
3. 等价无穷小代换法：在某些情况下，我们可以将一个无穷小代换成另一个与其等价的无穷小来求解极限。
例如，求lim(x→0)(sin2x/x)的值。
因为sin2x/x可以化简为2cosx，而cosx在x等于0处的极限为1，所以根据等价无穷小代换法，sin2x/x在x等于0处的极限也为2。
聚焦高等数学知识背景 审视高考数学创新题型
Ｊ
１ ５
≤
１ ５
，
Ｉ
／
ｔ
解 得
Ｖ
５≤） ，１ ≤ ５
．
／
＝
’
午一 １ ｓＨ ，曲 午：且 ＝一 双 线
２
图 １ １
渐 近线斜 率 为 ｋ ＝ ， 。 直线 系斜 率为 １如 图 ｌ． ， １ 当
、
Ｄ／
＼
．
／ ４
ｔ
０
函数 ） —ｎ ＋ ） ｅ 一 １ ］ ＝ Ｉ（ ｍ 在［ ～ ｍ， 一 上为
连续 减 函数 ， 因此 ｅ 一ｍ）：ｅ 一 — ｎ ｅ 一 一 ～ ｍ ｌ（ 一 ｍ＋ｍ）：
ｅ～ ＞０．
（） ２ 定理 ： 函数 ｇ ） ［ ， ］ 若 （ 在 。 ｂ 上连续 ， 且
ｇ 口 与 ｇ（） 号 ， 至少 存在 一点 ． ∈（ ，） 使 （） ｂ异 则 １ ５ ａｂ ， 。
・
４ ０・
中学教研 （ 学） 数
２１ ０ ０卑
即 ：． 萼 当线＋＝通点÷ ）， 一， 直 Ｓ ２ 过 （， ＝手 Ｕｖ 。 时
即 一 ５≤ｙ
一
此 一， 一 ， ） 于是 ｙ ≥ ≤ ．
侈 求 Ｙ ＝ ＋２ 一 ４３ ｖｌ ＋ ＋ 的值 域． ２ ４ ３ 解 由 ２ ＋ ＋ ０ ４ ４ ３ 另 式 为 Ａ ＜ ， 函数 定义 域为 Ｒ． ０得 令 ｕ∈Ｒ， ＞０ 则 双 曲线 方 程 为 ，
类似地 ，
由 １（ 。 ）＞１ （２ ） ２ ２ ； ： ＋ ｘ ＋ ＋２ ｌ２ ｘ ］：
１ ｍ ＋ ＝ ２ ＋ ＝ 兰 一３ ． ｍ ＞ ， ０
厂 ｅ 一ｍ）＝ 一３ ＞（ ＋１ 一 ｍ＞ （ ｅ ｍ １ ） ３
高考数学模拟试题命制的实践与思考
由结论寻找条件关系式时，必须注意条件的等价性， 很多条件是不等价的． 因为由新得到的条件关系式可能可 以推出多个结论，原有结论只是其中之一，满足构造出的 关系式的结论可能会有很多．
例如我们知道奇函数的定义域关于原点对称，但如果 已知一个函数是奇函数，去求定义域结论就不唯一了，如
1 (a R) 的定 果让学生求奇函数 f ( x) 1 x xa
如在课本教材中有如下例题：
已知正三棱柱 ABC A1 B1C1 的各棱长都为 1 ， M 是 底 面 上 BC 的 中 点 ， N 是 侧 棱 CC1 上 的 点 ， 且
A1
C1
B1
N
A B M
1 CN CC1 ．求证： MN AB1 . 4
C
1 教材中这道题是要求在满足 CN CC1 这个条件时， 4
以实际问题为背景命制试题
以实际问题为背景，由此抽象出一个数学问题，这是原创题的 一个重要来源。在近几年的高考题中都有一些应用题，应用题多数 以函数、不等式、概率、统计问题出现，很多好的应用题都是由实 际问题抽象出来的。命制这种试题一般要选用当前的热点问题或社 会敏感问题为素材，选材要真实、具体，这样试题会更新颖，更结 合实际。
BC // AD ，且对角线 AC BD ． （1)求点 C 的轨迹方程； （2)若点 P 是直线 y 2 x 5 上任意一点， 过点 P 作点 C 的轨迹的两
以选修系N3为背景的数学高考试题赏析
＝ ， 戈于 去 其 等 中
令口 了 丽 １＋ １＋ １＋ １＋… ＋ １ ＋
—
（
ｎ ）： 一 一 ＋ ’ ｍ
（０６年 湖 北省 数 学 高考理科 试题 ） ２０
１ ｌ
１ ￣ ｌ ： Ｃ １ｉ ］ ｍｎ
图 ２ 中 的数 列 通 项 公 式 为 ｂ ：几 ， ４ 在
体会数学对人类文明发展的作用 ， 提高学习数学的
兴趣 ， 受数学 家 的严谨 态度 和锲 而不 舍 的探 索精 感 神具 有 重要 的意义． 例 １ 古希 腊 人 常 用 小 石 子 在 沙 滩 上 摆 成 各
个 选项 中同时满 足 ２个通 项公 式 的 只有选 项 Ｃ 故 ．
（
）
目《 ． 标准》 中选修系列 ３由 ６个专题组成 ： 数学史 选讲 、 信息安全与密码 、 面上的几何 、 球 对称与群 、
欧拉公 式 与 闭曲 面 分类 、 等 分角 与数 域 扩 充．由 三
此可 以看 出 ， 修 系 列 ３涉 及 较 多 的高 等 数 学 知 选
Ｄ． ７ １３ ８
种形 状来 研究 数． 如 ： 们 研究 过 图 １中 的 １３ 譬 他 ，， ６，０ … ， １ ， 由于这 些 数 能够表 示成 三角形 ， 将其 称为 三 角形数 ； 似 地 ， 图 ２中 的 １４ ９ １ ， 这 样 类 称 ， ， ，６ … 的数 为正 方形 数． 下列 数 中既是 三角 形数 又是 正方 形数 的是
图 １
新颖、 设计 独特 ， 较 高 的思 维 价 值 和 良好 的检 测 有
功能． 它们对引导高中数学教学、 推动高 中数学课
解析几道以迭代数列为背景的高考题
解析几道以迭代数列为背景的高考题薛红利(长春第六中学ꎬ吉林长春１３００００)摘㊀要:迭代数列的极限是数学分析中的重要内容ꎬ而以迭代数列为背景的高考试题不在少数.文章先介绍数列的有关知识和迭代数列的极限ꎬ然后深度解析高考试题的高数背景.关键词:高考题ꎻ数列ꎻ迭代数列ꎻ极限ꎻ高数背景中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－００２８－０３收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:薛红利(１９７２.５－)ꎬ女ꎬ吉林省安图人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高考题一般都是大学老师命制的ꎬ所以高考题尤其是高考压轴题ꎬ有高等数学背景也是常有的事.这就要求一线教师不仅要会做高考压轴题ꎬ还要弄清楚高考压轴题的高数背景ꎬ这样才能看清试题的命制思路和背景ꎬ才能更好地服务于教学.１预备知识定义㊀称ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ 为迭代数列ꎬ称其中的ｆ(ｘ)为迭代函数.(以下均假设ｆ与ｎ无关)[１].定理１㊀设数列{ｘｎ}满足迭代公式ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ且已知ｌｉｍｎңɕｘｎ＝ｃꎬｌｉｍｎңɕｆ(ｘｎ)＝ｆ(ｃ)ꎬ则极限ｃ是方程ｆ(ｘ)＝ｘ的根(即ｆ(ｘ)的不动点).㊀注㊀条件ｌｉｍｎңɕｆ(ｘｎ)＝ｆ(ｃ)在ｆ(ｘ)于点ｃ处连续时就成立.定理的证明是显然的ꎬ但定理提供了一种方法ꎬ即在研究迭代数列时ꎬ先假设它收敛ꎬ看极限是什么ꎬ然后再证明这就是该数列的极限.定理２㊀设函数ｆ(ｘ)在区间Ｉ上单调ꎬ数列{ｘｎ}满足迭代公式ｘｎ＋１＝ｆ(ｘｎ)ꎬｎɪＮ∗ꎬ且ｘｎɪＩꎬｎɪＮ∗ꎬ则只有两种可能:(１)当ｆ(ｘ)为单调递增时ꎬ{ｘｎ}为单调数列ꎻ(２)当ｆ(ｘ)为单调递减时ꎬ{ｘｎ}的子列{ｘ２ｎ－１}和{ｘ２ｎ}是具有相反单调性的两个单调子列.其几何解释如下图:图１㊀定理２几何解释２高考试题及其背景分析例１[２]㊀(２０１４年重庆卷理)设ａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ａ２ｎ－２ａｎ＋２＋ｂ(ｎɪＮ∗).(１)若ｂ＝１ꎬ求ａ２ꎬａ３及数列{ａｎ}的通项公式ꎻ(２)若ｂ＝－１ꎬ问:是否存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有ｎɪＮ∗成立?证明你的结论.８２解析㊀(１)ａ２＝２ꎬａ３＝２＋１ꎬａｎ＝ｎ－１＋１. (２)解法１㊀设ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)２＋１－１ꎬ则ａｎ＋１＝ｆ(ａｎ).令ｃ＝ｆ(ｃ)ꎬ即ｃ＝(ｃ－１)２＋１－１ꎬ解得ｃ＝１４.下面用数学归纳法加强命题:ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１<１.当ｎ＝１时ꎬａ２＝ｆ(１)＝０ꎬａ３＝ｆ(０)＝２－１ꎬ所以ａ２<ｃ<ａ３<１成立.假设当ｎ＝ｋ(ｋȡ１)时命题成立ꎬ即ａ２ｋ<ｃ<ａ２ｋ＋１<１.因为ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ１]上单调递减ꎬ所以ｃ＝ｆ(ｃ)>ｆ(ａ２ｋ＋１)>ｆ(１)＝ａ２.所以１>ｃ>ａ２ｋ＋２>ａ２.所以ｃ＝ｆ(ｃ)<ｆ(ａ２ｋ＋２)<ｆ(ａ２)＝ａ３<１.所以ｃ<ａ２ｋ＋３<１.因此ａ２(ｋ＋１)<ｃ<ａ２(ｋ＋１)＋１<１ꎬ即当ｎ＝ｋ＋１时命题也成立.综上ꎬ存在ｃ＝１４使ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.背景分析㊀在解法１中ꎬ为何设ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ＋２－１?又为何设ｃ＝ｆ(ｃ)呢?本题以迭代数列为背景ꎬ考查迭代数列的极限.由定理１ꎬ先求出ｆ(ｘ)的不动点ꎬ即令ｃ＝ｆ(ｃ)ꎬ再证明ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.考查函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ＋２－１ꎬ易知ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ且当ｘɪ[０ꎬ１]时ꎬ有ｆ(ｘ)ɪ[０ꎬ１]成立.因为ａ１＝１ɪ[０ꎬ１]ꎬ由数学归纳法可知ａｎɪ[０ꎬ１].根据ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ且ａｎɪ[０ꎬ１]ꎬ知本题的高数背景是定理２的情况(２)ꎬ即{ａ２ｎ}和{ａ２ｎ－１}是两个具有相反单调性的数列.利用极限知识求出它们的极限即可ꎬ具体操作如下:计算可知ꎬａ２＝ｆ(ａ１)＝０ꎬａ３＝ｆ(ａ２)＝２－１.即有ａ１>ａ３成立.又因为ｆ(ｘ)在[０ꎬ１]上单调递减ꎬ所以ａ２＝ｆ(ａ１)<ｆ(ａ３)＝ａ４.同理可得ꎬａ３＝ｆ(ａ２)>ｆ(ａ４)＝ａ５.一直下去ꎬ可得:ａ１>ａ３> >ａ２ｎ－１>ａ２ｎ＋１(ｎɪＮ∗)ꎬａ２<ａ４< <ａ２ｎ<ａ２ｎ＋２(ｎɪＮ∗).即{ａ２ｎ－１}ꎬ{ａ２ｎ}分别是两个单调有界的数列ꎬ利用单调有界定理可得:ｌｉｍｎңɕａ２ｎ＝Ａꎬｌｉｍｎңɕａ２ｎ＋１＝Ｂꎬ且ａ２ｎ<Ａꎬａ２ｎ＋１>Ｂ(ｎɪＮ∗).实际上ꎬ这里Ａ＝Ｂ＝１４.下面利用数列极限知识计算ＡꎬＢ的值.因为ａ２ｎ＋１＝ａ２２ｎ－２ａ２ｎ＋２－１ꎬａ２ｎ＋２＝ａ２２ｎ＋１－２ａ２ｎ＋１＋２－１ꎬ对以上两式两边取极限ꎬ可得Ｂ＝Ａ２－２Ａ＋２－１ꎬＡ＝Ｂ２－２Ｂ＋２－１.解得Ａ＝Ｂ＝１４.因此存在ｃ＝１４使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.解法２㊀当ｂ＝－１时由题意ꎬ得(ａｎ＋１＋１)２＝(ａｎ－１)２＋１.从而得到(ａ２ｎ＋１＋１)２＝(ａ２ｎ－１)２＋１.①假设存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有的ｎɪＮ∗都成立ꎬ又ａｎ＋１＋１ȡ１ꎬ则(ａ２ｎ＋１)２<(ｃ＋１)２<(ａ２ｎ＋１＋１)２.由①式得(ａ２ｎ＋１)２<(ｃ＋１)２<(ａ２ｎ－１)２＋１.由(ａ２ｎ＋１)２<(ａ２ｎ－１)２＋１ꎬ解得ａ２ｎ<１４.由①式得(ａ２ｎ＋１＋１)２＝(ａ２ｎ－１４)２－３２ａ２ｎ＋１５１６＋１>－３２ａ２ｎ＋１５１６＋１>－３２ˑ１４＋１５１６＋１＝２５１６.解得ａ２ｎ＋１>１４.综上ꎬ得ａ２ｎ<１４<ａ２ｎ＋１.故存在ｃ＝１４使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对一切ｎɪＮ∗成立.９２例２㊀(２０１２年大纲全国卷理)函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ－３.定义数列{ｘｎ}如下:ｘ１＝２ꎬｘｎ＋１是过两点Ｐ(４ꎬ５)ꎬＱｎ(ｘｎꎬｆ(ｘｎ))的直线ＰＱｎ与ｘ轴的交点的横坐标.(１)证明:２ɤｘｎ<ｘｎ＋１<３ꎻ(２)求数列{ｘｎ}的通项公式.解析㊀由题意得ｘｎ＋１＝４ｘｎ＋３ｘｎ＋２.(１)参考答案用的是数学归纳法.(２)ｘｎ＝３－４３ ５ｎ－１＋１.过程略背景分析㊀由ｘ１＝２ꎬｘｎ＋１＝４－５ｘｎ＋２知ꎬ２ɤｘｎ<４.由于ｆ(ｘ)＝４ｘ＋３ｘ＋２＝４－５ｘ＋２在[２ꎬ４)上单调递增ꎬ根据定理２的情形(１)ꎬ知数列{ｘｎ}单调递增.由单调有界定理ꎬ知ｌｉｍｎңɕｘｎ存在ꎬ不妨设ｌｉｍｎңɕｘｎ＝Ａꎬ则ｌｉｍｎңɕｘｎ＋１＝Ａ.对ｘｎ＋１＝４ｘｎ＋３ｘｎ＋２两边取极限ꎬ得Ａ＝４Ａ＋３Ａ＋２ꎬ即(Ａ＋１)(Ａ－３)＝０ꎬ解得Ａ＝－１(舍)ꎬＡ＝３.所以２ɤｘｎ<ｘｎ＋１<３.例３㊀设数列{ａｎ}满足:ａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ｂ１＋ａｎꎬｎɪＮ∗.(１)若ｂ＝－１４ꎬ令ｂｎ＝ａｎ＋１２ꎬ求数列{ｂｎ}的通项公式ꎻ(２)若ｂ＝１ꎬ问:是否存在实数ｃ使得ａ２ｎ<ｃ<ａ２ｎ＋１对所有ｎɪＮ∗成立?证明你的结论.解析㊀(１)ｂｎ＝３６ｎ－４.(２)方法类似于例１的解法２.背景分析㊀由于数列为正项数列ꎬ因此迭代函数ｆ(ｘ)＝１１＋ｘ在(０ꎬ１]上单调递减ꎬ且ａｎɪ(０ꎬ１].由ｃ＝ｆ(ｃ)求出不动点ꎬ得ｃ＝５－１２.根据以上分析ꎬ其高数背景是定理２的情形(２)ꎬ即需证子列{ａ２ｎ}和{ａ２ｎ－１}分别单调ꎬ且收敛于同一极限ｃ.ａ２＝１１＋１＝１２ꎬａ３＝１１＋ａ２＝２３<ａ１＝１.即０<ａ３<ａ１＝１由ｆ(ｘ)在(０ꎬ１]上单调递减ꎬ得ａ２＝ｆ(ａ１)<ｆ(ａ３)＝ａ４.即０<ａ２<ａ４<１.进而ꎬａ３＝ｆ(ａ２)>ｆ(ａ４)＝ａ５ꎬａ４＝ｆ(ａ３)<ｆ(ａ５)＝ａ６ꎬ一直下去ꎬ可得ａ２<ａ４<ａ６< <ａ２ｎ<ａ２ｎ＋２ꎬａ１>ａ３>ａ５> >ａ２ｎ－１>ａ２ｎ＋１.即{ａ２ｎ－１}ꎬ{ａ２ｎ}分别是两个单调有界的数列ꎬ故ｌｉｍｎңɕａ２ｎ＝Ａꎬｌｉｍｎңɕａ２ｎ＋１＝Ｂꎬ且ａ２ｎ<Ａꎬａ２ｎ＋１>Ｂ(ｎɪＮ∗).因为ａ２ｎ＋１＝１１＋ａ２ｎꎬａ２ｎ＋２＝１１＋ａ２ｎ＋１ꎬ对以上两式两边取极限ꎬ可得Ｂ＝１１＋Ａ且Ａ＝１１＋Ｂꎬ解得Ａ＝Ｂ＝５－１２.３结束语站得高ꎬ才能看得远.作为教师ꎬ应该具备一定的高等数学知识ꎬ这其实就是我们大学本科四年学习的基本功ꎬ这样ꎬ遇到压轴题才能轻松应对ꎬ游刃有余.在具体操作上ꎬ可先分析出试题的高数背景ꎬ获得答案ꎬ这时就得到了解题的方向ꎬ然后再用高中知识和方法去书写解题过程.由此可见ꎬ掌握一定的高数知识ꎬ弄清楚高考题的高数背景和命制思路是非常必要的.参考文献:[１]王晖.数列很重要㊀综合常考到[Ｊ].中学生理科应试ꎬ２０２０(１２):５－１０.[２]李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法[Ｍ].合肥:中国科学技术大学出版社ꎬ２０２２.[责任编辑:李㊀璟]０３。
高等数学高考利用不定积分解决问题
高等数学高考利用不定积分解决问题在高考数学的众多知识点中，高等数学中的不定积分虽然并非直接作为重点考察内容，但它所蕴含的思想和方法却能为解决一些高考难题提供独特的思路和巧妙的途径。
不定积分的概念对于高中生来说可能有些抽象，但简单来说，不定积分就是求一个函数的原函数。
如果我们对一个函数进行求导操作得到了另一个函数，那么不定积分就是要反推回去，找到最初的那个函数。
在高考中，一些涉及到曲线长度、面积、体积等几何问题，以及物理中的运动学问题等，都可以通过不定积分的方法来解决。
例如，求曲线所围成的面积问题。
假设我们有一条曲线方程为 y ＝f(x) ，要求它与 x 轴在区间 a, b 上所围成的面积。
我们知道，通过定积分可以计算出这个面积，而定积分其实就是不定积分的应用。
首先，我们需要找到 f(x) 的一个原函数 F(x) ，然后计算 F(b) F(a) ，就能得到面积的值。
再比如，在物理中的运动学问题。
如果已知物体的加速度 a 与时间t 的关系 a ＝ g(t) ，并且知道初始速度为 v₀，要求在一段时间内物体的速度 v(t) 。
这时候就可以利用不定积分，对加速度函数 g(t) 进行积分，得到速度函数 v(t) ，再加上初始速度 v₀，就能得到任意时刻 t 的速度。
为了更好地理解和应用不定积分解决高考问题，我们需要掌握一些基本的积分公式和积分方法。
常见的积分公式有：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n≠ －1），∫cos x dx ＝ sin x ＋ C ，∫sin x dx ＝ cos x ＋ C 等等。
这些公式就像是数学中的工具，是我们解决问题的基础。
而积分方法则包括换元积分法和分部积分法。
换元积分法通常是通过引入一个新的变量来简化积分式子；分部积分法则是将一个积分式子分成两部分，然后按照特定的公式进行积分。
然而，在高考中运用不定积分解题时，也需要注意一些问题。
首先，要确保积分的计算准确无误，因为一个小的计算错误可能导致整个答案的错误。
高考数学命题创新的常见类型与解题方略
考前寄语：高考数学命题创新的常见类型与解题方略“命题创新”是历届高考数学试题命题者的永恒追求，“年年岁岁花相似，岁岁年年卷不同”。
“命题创新”是高考数学试题的灵魂与生命，“命题创新”型试题是历届高考数学试题的“靓点”，它能很好地考察学生进一步学习高等数学的潜能。
研究高考数学命题创新的常见类型，领会其解题的基本方略，对于提高数学创新思维能力，无疑大有脾益。
一．“概念创新”型1．直接取材于高等数学课程。
例1．（2007广东理8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”，（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（A ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b =D ．()[()]****a b b a b b =例2．(2008福建理)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈R ，都有a +b 、a -b ， ab 、a b∈P（除数b ≠0），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集{},F a b Q =+∈也是数域.有下列命题：①整数集是数域； ②若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是③④.（把你认为正确的命题的序号填填上）例3．(2006湖南文20). 在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a . （Ⅰ）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （Ⅱ）令nn n n na a a ab 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,….. 解 （Ⅰ）由已知得15,1054==a a ，2)1(12)1(+=+++-+=n n n n a n.（Ⅱ）因为,2,1,22222211==+⋅+>+++=+=++n nn n n nn n n a a a a b nn n n n ，所以n b b b n 221>+++ . 又因为,2,1,222222=+-+=+++=n n n nn n n b n ，所以)]211()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n=32221232+<+-+-+n n n n .综上， ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n .解题方略与领悟：以上三个例题中定义的新概念直接取材于高等数学中的《高等代数》和《近世代数》等课程，这样的试题在历年的高考数学试卷中屡见不鲜，而且常考常新。
高考数学情境类创设试题的命题方向
评价研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀高考数学情境类创设试题的命题方向◉江苏省张家港高级中学㊀刘㊀学㊀㊀摘要:数学情境创设类试题是新高考数学试卷中的一类基本考点,体现了社会发展对高考的要求．根据数学情境创设中几类比较常见的形式,从自主创新与科学发展㊁文化传承与 五育 并举㊁生活情境与数学应用,以及研究探索与迁移创新等方面展开,结合实例来剖析与应用,有效培养学生的数学能力与数学核心素养等．关键词:新教材;新课程;新高考;情境;创新㊀㊀在新教材(人民教育出版社２０１９年国家教材委员会专家委员会审核通过)㊁新课程 «普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)» ㊁新高考的 三新 背景下,数学情境创设类试题已经成为高考命题中的一个热点,借助现实情境㊁数学情境㊁科学情境等的构建,巧妙渗透教学改革的价值导向及综合化㊁情境化与开放化等意识,有效考查学生的数学能力与数学核心素养等．１自主创新与科学发展习近平总书记指出: 自主创新是我们攀登世界科技高峰的必由之路．我国要在科技创新方面走在世界前列,必须在创新实践中发现人才㊁在创新活动中培育人才．数学被称为科学的 皇后 ,是学习一切科学的基础,也是人的发展的必要条件．数学学习的好坏决定着人才的发展高度,更是新时代科技创新与发展方面人才选拔的一个重要基础．借助自主创新与科学发展这方面的数学情境创设,引领高中数学教学与人才培养方向,为新时代选拔更多更优秀的人才．例１㊀(山东省济南市２０２３年３月高三模拟考试数学试卷)机器学习是人工智能和计算机科学的分支,专注于由数据和算法来模拟人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性,通常采用的方法是计算样本间的 距离 ,闵氏距离是常见的一种距离形式．两点A (x １,y １),B (x ２,y ２)的闵氏距离为D p (A ,B )＝(|x １－x ２|p ＋|y １－y ２|p )１p,其中p 为非零常数．如果点M 在曲线y ＝e x上,点N 在直线y ＝x －１上,则D １(M ,N )的最小值为．分析:根据数学情境,利用闵氏距离的创新定义并结合具体的曲线条件,构建对应距离的表达式,进而结合重要不等式结论e xȡx ＋１与绝对值不等式性质加以合理放缩,从而得以分析与求解对应的最值问题．解析:设N (x ,x －１),M (t ,e t)．则D １(M ,N )＝|x －t |＋|x －１－e t|．令f (x )＝１＋e x －x ,则f ᶄ(x )＝e x－１．当x ɪ(－ɕ,０)时,fᶄ(x )＜０;当x ɪ(０,＋ɕ)时,fᶄ(x )＞０．所以f (x )在(－ɕ,０)上单调递减,在(０,＋ɕ)上单调递增．因此f (t )ȡf (０)＝２,即１＋e tȡt ＋２＞t ．当x ɤt 时,D １(M ,N )＝t －x ＋１＋e t －x ＝e t＋t ＋１－２x ȡe t－t ＋１ȡ２;当t ＜x ＜１＋e t 时,D １(M ,N )＝x －t ＋１＋e t－x ＝１＋e t－t ȡ２;当x ȡ１＋e t 时,D １(M ,N )＝x －t ＋x －１－e t＝２x －t －１－e t ȡ２(１＋e t )－t －１－e t ＝１＋e t－t ȡ２．综上所述,可知D １(M ,N )的最小值为２．故填答案:２．点评:涉及自主创新与科学发展方面的数学情境创设问题,往往以新时代前沿科学发展或创新应用为场景来创设,合理数学建模,转化为对应的数学问题,进而利用数学知识来分析与应用．２文化传承与五育 并举任子朝先生认为:文化与数学史考题体现 创造性转化㊁创新性发展 ．借助数学文化类的情境创设试题,把弘扬中华优秀传统文化与学习借鉴国外优秀文化成果相结合,增强中华优秀传统文化的生命力和影响力,促进学生培养文化探究和创新意识,培育人文精神,实现文化传承,增强文化自觉和文化自信,体现高考选拔以及德㊁智㊁体㊁美㊁劳等 五育 全面发展的育人的重大使命．图１例２㊀(２０２３届江苏省南京市㊁盐城市高三年级第二次模拟考试数学试卷)三星堆古遗址作为 长江文明之源 ,被誉为人类最伟大的考古发现之一．３号坑发现的神树纹玉琮,为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器,有４５２０２３年１２月上半月㊀评价研究㊀㊀㊀㊀学者认为其外方内圆的构造,契合了古代 天圆地方 观念,是天地合一的体现．如图１,假定某玉琮形状对称,由一个空心圆柱及正方体构成,且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面,圆柱的高为１２c m ,圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O 上,则球O 的表面积为(㊀㊀)．A．７２πc m ２㊀㊀㊀㊀B ．１６２πc m２C ．２１６πc m ２D．２８８πc m２分析:根据数学情境,结合对应玉琮的结构特征,利用圆柱与正方体这两个基本空间图形之间的位置关系,通过设圆柱底面圆半径与球的半径,构建对应的关系式,得以求解球的半径,进而求球的表面积．解析:设圆柱底面圆的半径为r ,球O 的半径为R ,则正方体的棱长为２r ,依题可得２R ＝(２r )２＋(２r )２＋(２r )２,６２＋r ２＝R ２．{解得R ２＝５４．所以球O 的表面积为S ＝４πR ２＝２１６π(c m ２)．故选择答案:C ．３生活情境与数学应用数学源于生活,高于生活．在生活情境中提炼抽象出数学问题,本身就是将数学与生活结合在一起,真正体现学以致用．劳动创造了数学,活动是数学的表象,高考中的生活情境类问题就是考查学生透过表象抓住问题的数学本质的能力,充分体现数学的应用．例３㊀ ２０２３届广东省名校联盟高三(下)学期大联考数学试卷 打水漂 是一种游戏,通过一定方式投掷石片,使石片在水面上实现多次弹跳,弹跳次数越多越好．小赵同学在玩 打水漂 游戏时,将一石片按一定方式投掷出去,石片第一次接触水面时的速度为２０m /s,然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素,假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的８５％,若石片接触水面时的速度低于６m /s ,石片就不再弹跳,沉入水底,则小赵同学这次 打水漂 石片的弹跳次数为(㊀㊀)．(参考数据:l g ２ʈ０．３,１g ３ʈ０．４８,l g １７ʈ１．２３．)A．６㊀㊀㊀㊀B ．７㊀㊀㊀㊀C ．８㊀㊀㊀㊀D．９分析:根据数学情境,结合 打水漂 游戏构建对应的等比数列与不等式,通过函数运算以及不等式的性质,利用对数运算来求值处理,进而通过不等式的求解来确定与应用．解析:设小赵同学这次 打水漂 石片的弹跳次数为x ,x ɪN ∗,依题可得２０ˑ０．８５x －１＜６,即０．８５x －１＜０．３,则有x －１＞l o g ０．８５０．３．而l o g ０．８５０．３＝l g ０．３l g ０．８５＝l g ３－１l g ８５－２＝l g ３－１l g ５＋l g １７－２＝l g ３－１l g １７－l g ２－１ʈ７．４,即x －１＞７．４,所以x ＝８．故选择答案:C ．点评:涉及生活情境与数学应用方面的数学情境创设问题,借助生活中的实际问题来阐述相应的数学应用问题,充分展示数学来源于生活,又高于生活,同时有效指导生活．４研究探索与迁移创新借助数学情境创设,引导考生进行合理的研究探索或知识迁移,结合数学中的概念类比㊁公式设置㊁性质应用㊁知识拓展与创新应用等,通过 再加工 ,进行创新与应用．创新意识与创新应用是新时代的一个主旋律,也是高中数学教学与学习中不断渗透与培养的一种基本精神与能力．例４㊀(２０２３届江苏省盐城市㊁南京市高三第一学期期末调研测试数学试卷)在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异．若离散型随机变量X ,Y 的取值集合均为{０,１,２,３, ,n }(n ɪN ∗),则X ,Y 的散度D (X Y )＝ðni ＝０P (X ＝i )l n P (X ＝i )P (Y ＝i )．若X ,Y 的概率分布如表１所示,其中０＜p ＜１,则D (X Y )的取值范围是．表１X ０１P１２１２㊀㊀Y ０１P１－pp分析:根据数学情境,从创新定义X ,Y 的散度D (X Y )入手,结合创新公式与数据处理来构建对应的函数关系式,利用二次函数与对数函数的性质来确定函数的取值范围问题．解析:根据题设中的创新公式,可得D (X Y )＝P (X ＝０)l nP (X ＝０)P (Y ＝０)＋P (X ＝１)l n P (X ＝１)P (Y ＝１)＝１２l n １２１－p ＋１２l n １２p ＝－１２l n [４p (１－p )]．由０＜p ＜１,可得p (１－p )＝－(p －１２)２＋１４ɪ(０,１４ùûúú,则l n [４p (１－p )]ɤ０．所以D (X Y )＝－１２l n [４p (１－p )]ȡ０,即D (X Y )的取值范围是[０,＋ɕ)．故填答案:[０,＋ɕ)．点评:涉及探索与迁移创新方面的数学情境创设问题,以方法操作或创新定义等方式给出,通过对此类问题的研究与探索,合理迁移对应的数学知识,在此基础上加以有效创新应用．Z５５。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等数学背景下的高考数学命题在近年来的高考命题的改革中，为了考查考生的学习潜能，对学生思维的抽象性、逻辑性以及学生的理解力和自学能力提出了更高的要求，以高等数学为背景的数学思想和知识已渗透到高考命题当中。
本文对以高等数学为背景的高考信息题进行分类解析，仅供参考。
一、 以高等数学中的符号、记号、概念等为背景命题的例1．（2007年福建高考题）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -；（2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b -，b c -，则有a c -．则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：____解析：本题是考查高等数学中对记号的理解，是一道开放性问题，答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等。
解答此类题首先要读懂所给符号、概念等的实质性含义及题目的规则和要求, 运用已有的知识把所给的新概念、符号等简单化、具体化与特殊化加以分析探究。
其它还有以有界函数、闭函数、单峰函数、取整函数、符号函数等概念或符号为背景命题的。
二、以高等数学中函数的性质、定理等为背景命题的例2．（2004年广东高考题）设函数)ln()(m x x x f +-=，其中常数m 为整数。
（1） 当m 为何值时，0)(>x f ；（2）定理：若函数)(x g 在],[b a 上连续,且)(a g 与)(b g 异号，则至少存在一点),(0b a x ∈，使0)(0=x g 。
试用上述定理证明：当整数1>m 时,方程0)(=x f ，在],[2m e m e m m ---内有两个实根。
解析：该命题即为根的存在性定理为背景命题的。
第（I ）问主要考查求导问题，相对较为简单。
(II)证明：由（I ）知，当整数1>m 时，01)1(<-=-m m f ，函数)ln()(m x x x f +-=在]1,[m m e m --- 上为连续减函数m m m e m e m e f -----=-ln()( 0)>=+--m e m m ,当整数1>m 时)(m e f m --与)1(m f -异号。
由所给定理知，存在唯一的,(1m e x m -∈-)1m -使0)(1=x f ，而当整数1>m 时，1(3)(22>-=-m e m e f m m+>-+13)12m m 032)12(22>--+m m m m 。
类似地，当整数1>m 时，函数)ln()(m x x x f +-=，在],1[m e m m --- 上为连续增函数且)1(m f -与)(2m e f m -异号，由所给定理知，存在唯一的0)(],,,1[22=--∈-x f m e m x m 使故当1>m 时，方程0)(=x f 在],[2m e m e m m ---内有两个实根。
对新定理的理解和运用就是解决本类题型的关键，其它还有以区间套定理、介值性定理、零点定理、函数的一致性定理等为背景命题的。
三、以《抽象代数》内容为背景命题的例3．（2005年辽宁高考题）在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式x a x ()(⊗- 1)<+a 对任意实数x 成立，则（ ）A ．11<<-a B ．20<<a C ．2321<<-a D ．2123<<-a 解析：本题是抽象代数的运算系统为背景的，已知运算).1(:y x y x -=⊗⊗所以1)](1)[()()(<+--=+⊗-a x a x a x a x ，即122++-<-a a x x ，当R x ∈时，]41,(2-∞∈-x x ，所以1412++-<a a ，即2321<<-a ，答案选C 。
这种题型解答时要先准确把握所给信息本质，然后应用类比等方法充分挖掘其内涵，运用新旧知识间的内在联系及迁移规律，将新运算转化为熟悉的数学运算。
四、以《线性代数》的知识为背景命题的例4．（2004年北京春季高考题）下表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i 行第j 列的数。
（I ）写出的值； （II ）写出的计算公式；（III ）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积解析：本题是以矩阵的表示为背景命题的，主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
（I ）；（II ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：，第二行是首项为7，公差为5的等差数列：……，第i 行是首项为，公差为的等差数列，因此)1)(12()1(34-++-+=j i i a ij j j i j i ij ++=++=)12(2；（III ）必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得，从而+++=+j j i N 2)12(212 1，即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得从而。
可见N 在该等差数阵中。
综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
理解矩阵的表示方法是解决此类题的关键。
其它还有以矩阵的乘法、线性相关、行列式的概念等为背景命题的。
五、以《解析几何》内容为背景命题的例5．（2000年上海春季高考题）四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是一个平行四边形，），，（），，，（），，，（121024412--==--=。
（1）求证：⊥PA 底面ABCD ;（2）求四棱锥ABCD P -的体积；（3）对于向量,(),,,(),,,(3222111x z y x z y x ===),33z y ，定义一种运算：123312231213132321)(z y x z y x z y x z y x z y x z y x ---++=⋅⨯ ，试计算⋅⨯)(的绝对值的值，说明其与四棱锥ABCD P -的体积的关系，并由此猜想这一运算AP AD AB ⋅⨯)(的绝对值的几何意义。
解析：本题是以向量的混合积为背景命题的。
第（1）、（2）直接计算即可，第（3）问是一种探索型问题，是考查学生的阅读理解能力、准确计算能力和归纳概括能力，要求抽象概括出高等数学中向量的混合积的几何意义。
混合积的运算实质就是求行列式：⋅⨯)( 333222111z y x z y x z y x =，c b a ⋅⨯)(在几何上表示以向量c b a ,,为棱的平行六面体的体积。
六、以《数值方法》内容为背景命题的例6．（2004年江苏高考题）已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数1x ，2x 都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数0a ，a ，b 满足0)(0=a f 和)(a f a b λ-=。
（Ⅰ）证明1≤λ，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；（Ⅱ）证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；（Ⅲ）证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.解析：本题与计算数学中数值逼近的牛顿广义迭代法为背景的，运用反证法和放缩法推证不等式，是对学生抽象思维、逻辑思维和数学技巧进行全面考查的新颖题型。
（1）不妨设12x x >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-，可知12()()0f x f x ->，()f x ∴是R 上的增函数，∴不存在00b a ≠，使得0()0f b =。
又∵--≤-)()[()(121221x f x x x x λ2212)()](x x x f -≤,∴1≤λ；（2）要证：222000()(1)()b a a a λ-≤-- 即证：2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦(*)。
不妨设0a a >，由)()(21221x x x x -≤-λ -)([1x f )](2x f 得00()()()f a f a a a λ-≥-，即0()()f a a a λ≥-，则≥-))((20a a a f 20)(2a a -λ,由1212()()f x f x x x -≤-得00()()f a f a a a -≤-，即0()f a a a ≤-，则22200()()2()a a f a a a λλ⎡⎤-+≤-⎣⎦；（2）由（1）（2）可得)(2)]()[(220a f a f a a ≤+-λ )(0a a -，222000()(1)()b a a a λ∴-≤--；（3）220[()]()f a a a ≤- ,1()]()[1(22≤-a f λ∴202))(a a --λ,220[()]()f b b a ≤- ，又由（2）中结论222000()(1)()b a a a λ-≤--，222[()](1)[()]f b f a λ∴≤-七、以《图论》为背景命题的例7．(2001年高考题)如图，小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为( )(A) 26. (B) 24. (C) 20. (D) 19.解析：此题是以图论内容为背景命题的，主要考查学生的观察、阅读理解图形的能力。
依题意，从A →B 传递信息，在相同时间内有四种路线同时传递，经分类讨论计算可得单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19，故选D 。
仔细观察、阅读并深刻理解图形是解答此类题的关键。
八、以《实变函数论与泛函分析》的内容为背景命题的例7．（2003年北京高考题）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件，①0)1()1(==-f f ，②对任意的u 、]1,1[-∈v ，都有|||)()(|v u v f u f -≤-。
（Ⅰ）证明：对任意]1,1[-∈x ，都有x x f x -≤≤-1)(1；（Ⅱ）证明：对任意的]1,1[,-∈v u 都有1|)()(|≤-v f u f ；（Ⅲ）在区间]1,1[-上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-]1,21[ |||)()(|]21,0[ |||)()(|uv v u v f u f uv v u v f u f ，若存在请举一例，若不存在，请说明理由． 解析：本题是以压缩映象原理为背景命题的。