诱导公式教案

诱导公式教案

教学目标

1．通过本节课的教学，使学生掌握诱导公式的推导方法和记忆方法．

2．会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明．

3．培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识．

教学重点与难点

诱导公式的推导．

教学过程设计

师：我们前面学习过诱导公式一，请说出诱导公式一及其文字叙述．它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么？

生：(学生口述的同时，教师板书诱导公式一．)

sin(k·360°＋α)=sinα，cos(k·360°＋α)=cosα，

tan(k·360°＋α)=tanα，cot(k·360°＋α)=cotα．(k∈Z)

文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等．

它在转化任意角的三角函数中所起的作用是：把求任意角的三角函数值的问题，转化为求0°～360°(或0～2π)之间角的三角函数值的问题．

师：(副板书)试求出sin 2016°的值．

生：由公式一，

sin 2016°=sin(5×360°×216°)＝sin 216°．

(至此，绝大多数同学已无法再演算下去了．)

(以旧知识的复习，导出新的问题，使学生新的求知欲得到激发，渴望得到回答，以达到以旧带新，以旧拓新的目的．)

师：能否导出一些新的公式来解决这类问题？可先看这道具体问题如何求解．我们知道0°～90°之间的角的三角函数值可以通过查表求得．那么，能否借助一个工具，在0°～90°之间找到一个角α，把求sin 216°的值的问题转化为求α角的三角函数值问题？(进一步诱导，使学生进入愤悱状态．)

师：(投影图1)216°角的终边OP在第三象限内，将OP反向延长，与单位圆交于P′点，则在0°～90°之间找到一个角α=216°－180°=36°．由于△OPM≌△OP′M′，所以有MP=M′P′．又因为sin 216°=MP，sin 36°=M′P′，而MP与M′P′的长度相同、方向相反，所以有sin 216°=－sin 36°．这样便把求sin 216°的值的问题，转化为可查表的36°角的三角函数求值问题．

你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？(向“公式化”过渡．实际上我们先经过了一次将三角问题几何化——利用正弦线．)

生：sin 216°=sin(180°＋36°)=－sin36°．

师：180°～270°之间角的余弦函数问题，是否也可以通过这种变换，转化为求α角在0°～90°之间的三角函数问题？(迁移作用)

(师适当提示：观察余弦线的数量关系．)

生：……

师：180°～270°之间角的正切、余切函数的求值问题，是否也可以通过这样的变换转化求值？

生：……

师：可见180°～270°之间角的三角函数求值问题都可以通过类似的变换求出三角函数的值．能否把这种变换求值的方法，总结成公式形式？

(从具体问题的求解，到公式的形成是一种质的飞跃．)

师：(适当提示：先把180°～270°之间的角用α(α是0°～90°之间的角)表示出来．)

生：(板书)

sin(180°＋α)=－sinα，cos(180°＋α)=－cosα，

tan(180°＋α)=tanα，cot(180°＋α)=cot α．

师：这组公式通常称为诱导公式二．观察其结构特征：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°＋α角所在象限(第三象限)角的原三角函数值的符号相同．(为总结公式的记忆方法打基础．)

师：任意角的三角函数值问题，可以由公式一化为0°～360°之间角的三角函数值问题；180°～270°之间角的三角函数值，又可通过诱导公式二化为0°～90°之间角的三角函数值，从而得出函数值；那么90°～180°、270°～360°之间的角的三角函数值问题，能否转化为0°～90°之间角的三角函数值来求出解答？(横向联想，公式二的归纳过程，会对学生的思维产生正向的影响．)

(师提示：由对称性找出角的终边间的关系，再证出三角函数线的数量关系，正切、余切函数的诱导公式可由同角三角函数的基本关系式推出．)

生：……(讨论的同时，完成图2．)

师：(板书)

生：(板书完成)

sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，

tan(－α)＝tanα，cot(－α)＝－cotα．

(及时评价、反馈．)

师：这组公式通常称为诱导公式三．观察其结构特征：①同名函数关系；②符号规律是：右边符号与－α所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同．

生：(完成板书)

sin(180°－α)=sinα，cos(180°－α)=－cosα，

tan(180°－α)＝－tanα，cot(180°－α)＝－cotα．

(师及时评价、反馈．)

师：这组公式通常称为诱导公式四．观察其结构特征：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°－α所在的第二象限角的原三角函数值的符号相同．

师：由于360°－α角与－α角的终边相同，它们的同一三角函数值相等，所以有(板书)

sin(360°－α)=－sinα，cos(360°－α)=cosα，

tan(360°－α)＝－tanα，cot(360°－α)＝－cotα．

师：目前，连同公式一，我们一共得到了五组诱导公式，利用它们，可以求出任意角的三角函数值．为使公式更具一般性，不妨大胆猜测：若公式中的角α为任意角，公式是否仍能成立？(推广到一般性．)

生：……

师：大胆猜测，还要小心求证．没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步；(鼓励猜想)，没有经过证明的结论总是危险的．我们可先以公式二为例，证明究竟谁猜的对．(要证明猜测的结论，学生情绪进一步高涨．)

师：(投影图3)

生：……