太原理工大学MATLAB课程设计报告

MATLAB电子信息应用
课程设计
设计五
信号的频域分析及MATLAB实现
学院：信息学院
专业班级：电信1201
学号：201
姓名：
一、 设计目的
通过该设计，理解傅里叶变换的定义及含义，掌握对信号进行频域分析 的方法。

二、 设计内容
相关的信号知识：
信号的离散傅里叶变换
从连续到离散：
连续时间信号)(t x 以及对应的连续傅里叶变换)(ˆωx 都是连续函数。

将x
和x
ˆ都离散化，并且建立对应的傅里叶变换。

假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将)(t x 离散化，就可以得到有限
长离散信号，记为)(t x discrete 。

设采样周期为T ，则时域采样点数N=L/T 。

)()()()()(1010nT t nT x nT t t x t x N n N n discrete -=
-=∑∑-=-=δδ 它的傅里叶变换为∑∑-=--==-=101
0)(1)()()(ˆN n T in N n discrete e nT x T nT t F nT x x ωδω 这就是)(t x 在时域采样后的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变
换，它在频域依然是连续的。

下面将频域信号转化为有限长离散信号。

与对时域信号的处理类似，假
设频域信号是带限的，再经过离散化，即可得到有限长离散信号。

依据
采样定理，时域采样若要能完全重建原信号，频域信号)(ˆωx
应当带限于(0,1/T)。

由于时域信号时限于[0, L]，由采样定理以及时频对偶的关系，
频域的采样间隔应为1/L 。

故，频域采样点数为：N L
T =11
即频域采样的点数和时域采样同为N ，频域采样点为
N k k NT k <≤=0}/2{πω
在DTFT 频域上采样：=][ˆk x ∑-=-=102)(1)(ˆN n nk N i k discrete e
nT x T x πω
令T=1，将其归一化，就得到离散傅里叶变换。

因此，DFT 就是先将信
号在时域离散化，求其连续傅里叶变换后，再在频域离散化的结果。

离散傅里叶变换：
1、有限长序列的离散傅里叶变换公式
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==∑∑-=-=-10)/2(10)/2()(1)()()(N n kn N j N n kn N j e k X N n x e n x k X ππ MATLAB 函数：fft 功能是实现快速傅里叶变换，fft 函数的格式为： y=fft （x ），返回向量x 的不连续fourier 变化。

ifft 功能是实现快速反傅里叶变换，ifft 函数的格式为： y=ifft （x ），返回向量x 的不连续inverse fourier 变化。

若)6
cos()(πn n x =是一个N=12的有限序列，利用MATLAB 计算)(n x 它的傅里叶变换)(k X 并画出图形，然后再对)(k X 进行离散傅里叶反变换，并求出)(n x 画出其波形。

2、频率分辨率与DFT 参数的选择
在DFT 问题中，频率分辨率是指在频率轴上所能得到的最小频率间隔N
f f s =∆，即最小频率间隔反比于数据的长度N 。

若在)(n x 中的两个频率分别为1f 和2f 的信号，对)(n x 用矩形窗截断，要分辨出这两个频率，N 必须满足 122f f N
f s -= 通过下面实验，验证上面的结论：设一序列中含有两种频率成分，Hz f 21=，Hz f 05.22=，采样频率取为Hz f s 10=，表示为)/2sin()/2sin()(21s s f n f f n f n x ππ==
根据上面结论，要区分出着两种频率成分，必须满足N>400。

1)取)(n x )1280(≤≤n 时，计算)(n x 的DFT )(k X ；
2)取)(n x )5120(≤≤n 时，计算)(n x 的DFT )(k X 。

三、 总体方案设计
1. 信号的离散傅里叶变换
有限长序列的离散傅里叶变换公式
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==∑∑-=-=-10)/2(10)/2()(1)()()(N n kn
N j N n kn N j e k X N n x e n x k X ππ MATLAB 函数：fft 功能是实现快速傅里叶变换，fft 函数的格式为： y=fft （x ），返回向量x 的不连续fourier 变化。

ifft 功能是实现快速反傅里叶变换，ifft 函数的格式为： y=ifft （x ），返回向量x 的不连续inverse fourier 变化。

若)6
cos()(πn n x =是一个N=12的有限序列，利用MATLAB 计算)(n x 它的傅里叶变换)(k X 并画出图形（见仿真结果中图1和图2），然后再对)(k X 进行离散傅里叶反变换，并求出)(n x 画出其波形（见仿真结果中 图3和图4）。

2. 频率分辨率与DFT 参数的选择
在DFT 问题中，频率分辨率是指在频率轴上所能得到的最小频率间隔N
f f s =∆，即最小频率间隔反比于数据的长度N 。

若在)(n x 中的两个频率分别为1f 和2f 的信号，对)(n x 用矩形窗截断，要分辨出这两个频率，N 必须满足 122f f N
f s -= 通过下面实验，验证上面的结论：设一序列中含有两种频率成分，Hz f 21=，Hz f 05.22=，采样频率取为Hz f s 10=，表示为)/2sin()/2sin()(21s s f n f f n f n x ππ==
根据上面结论，要区分出着两种频率成分，必须满足N>400。

1)取)(n x )1280(≤≤n 时，计算)(n x 的DFT )(k X ，并画出)(n x 和)(n x 的DFT )(k X 的图形（见仿真结果中图5、图6）
2)取)(n x )5120(≤≤n 时，计算)(n x 的DFT )(k X 并画出)(n x 和)(n x 的DFT )(k X 的图形（见仿真结果中图7、图8和图9）
试比较两次实验是否能区分出两种频率成分。

（图9是经过放大后，明显得到离散傅里叶变换X(k)，可以看出能两种频率成分N 〉400）
四、 主要参数
1. )6
cos()(πn n x =是一个N=12的有限序列。

2. )/2sin()/2sin()(21s s f n f f n f n x ππ==其中Hz f 21=，Hz f 05.22=，采样频
率取为Hz f s 10=；
1)取)(n x )1280(≤≤n ；
2)取)(n x )5120(≤≤n 。

五、 源程序
1. 离散傅里叶变换及反变换的验证：
〉〉N=12;n=0:N-1;xn=cos(pi*n/6);
k=0:N-1;Wn=exp(-j*2*pi*n'*k/N);
xk=xn*Wn;
figure,subplot(1,2,1),stem(n,xn)
subplot(1,2,2),stem(k,abs(xk));
y=fft(xn);figure,stem(k,abs(y))
Pn=exp(j*2*pi*n'*k/N);
xn=xk*Pn/N;
figure,subplot(1,2,1),stem(n,xk)
subplot(1,2,2),stem(k,abs(xn))
y1=ifft(xk);figure,stem(k,abs(y1))
2. 频率分辨率与DFT 参数的选择：
〉〉 f1=2;f2=2.05;fs=10;N=128;n=0:N;
xn=sin(2*pi*f1*n/fs)+sin(2*pi*f2*n/fs);
plot(n,xn)
〉〉y=fft(xn); plot(n,abs(y))
〉〉N=512;n=0:N;xn=sin(2*pi*f1*n/fs)+sin(2*pi*f2*n/fs);
plot(n,xn)
〉〉y=fft(xn);plot(n,abs(y))
六、仿真结果
图1
图2 图3
图4 图5
图6 图7
图8 图9
七、设计总结
通过本次课程设计，对MATLAB这一软件的许多专业领域的功能有了认识，强化了对这一软件的操作及其想要实现的功能的编程。

与其不断的翻看课本，不如进行实际的演练，增加了学习的趣味性。

理论联系实践，使我对信号的离散傅里叶变换、离散傅里叶反变换、频率分辨率及DFT参数的选择有了更深的认识，利用这一好用的软件，可以将专业课《信号与系统》里的问题简单化、形象化，是一个好的辅助工具。

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