材料力学-第四章 扭转_1

d4
32
(5-8)
Wt
Ip
max
Ip d /2
d3
16
(5-9)
d
o
I p
D/2
2 2
d/2
d
(D4
32
d4)
Ip
32
D4 (1 4 )
（5-10）
Wt
Ip
max
D3 (1 4 )
16
(5-11)
[例5-2]内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面 轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A点的剪应 力及横截面上的最大和最小剪应力。
第五章 扭转
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
螺旋桨轴
受力特征： 杆受转向相反的力偶矩作用，力偶 作用面垂直于轴线。 变形特征： 横截面绕轴线相对转动。
扭转：横截面绕轴线（纵向线）作相对旋转为主要特征的变形形式。
dx
二. 扭转应力
d A
rdA T r 2 r T
dA
r
A
T
2 r 2
(5-2)
T 2 A0
根据精确的理论分析,当 ≤r/10时,上式的误差不
超过4.52%,是足够精确的。
三. 扭转角
l r
l / r ... Tl 2G r3
四、剪切胡克定律
在纯剪状态下，
单元体相对两侧面将
外力偶 Me 每分钟做的功为：
W = 2nMe
( 2)
(1)=(2) 得
P kW × 1000× 60=2 n M e N.m
Me
9549
P n
P Me 7024 n
P kW
n
r/min
Me N m
P PS
n
r/min
Me N m
(4-1)
最大功率一般用马力 (PS)或千瓦(kw)来表示。 1马力等于0.735千瓦
(5-5)
dx G I p
dA dA
o
由(b)式：
G d
dx
G T
GIp
T
Ip
（5-6）
max
T max
Ip
T Wt
（5-7）
Wt
Ip
max
(抗扭截面模量)
max
max
4.圆与圆环的极惯性矩
I
和抗扭截面模量
p
Wt
I p
d / 2 2 2 d 2 d / 24
0
4
Ip
剪应力在截面上均匀分布， 方向垂直于半径与周线相切。
nm
nm
Me
Me
?
T
T
剪应力互等定理
纯剪切：单元体上只 有剪应力而无正应力。
微元体 单元体
(dy)dx ( dx)dy
(5-3)
剪应力互等定理 : 在相互垂直 dy
的两个平面上,剪应力一定成对 出现，其数值相等，方向同时 指向或背离两平面的交线。
发生微小的相对错动，
原来互相垂直的两个
棱边的夹角改变了一
个微量。
两正交线段的直
角改变量—剪应变。
薄壁圆筒的实验, 证明剪应力与剪应变之间存在 着象拉压胡克定律类似的关系：当剪应力不超过材 料剪切比例极限τp,即当p时，剪应力与剪应变 成正比。
G (5-4)
该式称为剪切胡克定律。
材料常数： 剪切弹性模量G 拉压弹性模量E 泊松比μ
扭转角：横截面绕轴线（纵向线）相对角位移。
外力偶(moment)：垂直于杆件轴线（纵向线）的横截面内(往往在 端部）的力偶。
扭矩(Torque)：垂直于杆件轴线（纵向线）的横截面内的力偶。
二、外力偶矩的计算
设某轮传递的功率P（kW），轴的转速是n (r/min）
功率P（kW）--每秒钟做的功。
则每分钟做功为 W = P ×1000×60 (1) kW
468N m
T1 M B 351N m
T2 (M B M C ) 702 N m
T3 M D 468 N m
T(N m)
T1 351 N m T2 702 N m T3 468 N m
§5-3 薄壁圆筒的扭转
一、薄壁圆筒的扭转实验
受扭前在其表面上用圆周线nn，mm和纵向线画成方 格,然后加载，观察方格变形情况。
解：
A
TA
Ip
1000 0.015
0.044 (1 0.54 )
32
A 63.66MPa
静力学关系 三种关系：物理关系
变形几何关系
1.变形几何关系
观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没变化 (2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ （3）表面方格变为菱形。
平截面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性
平面一样绕轴线旋转了一个角度。
外表面dx rd
r d
dx 横截面上距形心为
的任一点处应变
dx d
d
dx
(a)
2. 物理关系
d
剪应力方向垂直于半径。根据剪切胡克定律, 当剪
应力不超过材料的剪切比例极限时
G
G d
dx
(b)
3.静力学关系
dA T
A
A
G
d
dx
dA
T
G d 2dA T dx A
I p 2dA 极惯性矩
A
则 d T
G E
2(1 )
gs_4_2 剪切胡克定律
G （4—2） 剪切胡克定律
式中G——剪切弹性模量； ——剪应变。
gs_4_3材料弹性常数之间关系
G E
2(1 )
（4—4）
（4—3）gs_4_4 源自切弹性应变能密度u 1 2
2 2G
§5-4 等直圆杆扭转时的应力.强度条件
一、圆杆扭转时横截面上的应力
§5-2 扭矩和扭矩图 T m 扭矩 T m
扭矩T的符号规定：
nn
T Me ㈩
T Me ㈩
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
MA
7024 N A n
nm
r
观察现象
Me
nm
l
Me
(1) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变（平 面nn，mm仍保持平行）。
(2) 纵向线倾斜了同一微小角度γ
(3)方格变为斜棱形。设想:mm相对nn转动,方格两 边发生相对错动，但两对边之间距离不变，圆筒 半径尺寸不变。
根据以上实验现象,可得结论：
圆筒横截面上只有剪应力， 而无正应力。由于壁很簿，可 认为剪应力沿簿壁均匀分布， 方向垂直于半径与周线相切。
7024 50 300
1170N m
MB
MC
7024
NB n
7024
15 300
351N m
MD
7024
NC n
7024
20 300
468 N m
NA 50PSNB NC 15PSND 20PS n = 300r/min
351N m
351N m
1170N m