材料力学-第4章-扭转
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第四章 扭转(张新占主编 材料力学)
2M A M e M B 0 （2）
联立式（1）与式（2），得
Me MB 3
MA MB Me 3
26
4.6 等直圆轴扭转时的应变能
圆轴在外力偶作用下发生扭转变形，轴内将积蓄应变能。这种 应变能在数值上等于外力所做的功。
T1 在位移 d1上所做的功为 dW T1d1
PB M eB M eC 9549 n 796(N m) PA M eA 9549 1910(N m) n PD M eD 9549 318(N m) n
5
（2）求扭矩（扭矩按正方向假设） 1-1 截面
M M M
x
0
T1 M eB 0
T1 M eB 796N m
d1 85.3 mm
取 d1 85.3 mm。 BC段：同理，由扭转强度条件得 d2 67.4 mm ，由扭转刚度条件得
d 2 74.4 mm
取 d 2 74.4 mm。
23
（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的 外径D。 由强度条件得 D 96.3 mm 由刚度条件得 D 97.3 mm 取 D 97.3 mm ，则内径为
T Me
M e RdA RRd 2R 2
A 0
2
Me 2 2R
8
二、切应力互等定理
M
z
0
（dy）dx （ dx）dy
得到
切应力互等定理：在单元体在相互垂直的一对平面上，切应力 同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同 指向或共同背离这一交线。 纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而无正应力 作用
材料力学4.
1. 剪应力互等定理 由 MZ 0
'dxdz dy dydzdx 0
得： '
图4-1
2. 剪切虎克定律 在弹性范围内应有：
G G ——剪切弹性模量
图4-2
3.E、G、μ μ μ 的关系
G
E
21
低碳钢：
E 2 105 MPa
Mnmax 4.5KN m
max
M nmax Wn
Wn
D3
16
M nmax
解得： D 66mm
（三）由刚度条件设计 D 。
max
M nmax GI p
180
D4
32
Ip
M nmax
G
180
解得： D 102mm
从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。
六、矩形截面杆的自由扭转
1. 矩形截面杆的剪应力及扭转角计算
最大剪应力发生在长边中点处：
max
Mn
hb2
4
9
单位长度的扭转角为：
Mn
G hb3
4 10
剪应力分布图 图4-10
材料力学
第四章 扭转
一、扭转时的内力及扭矩图
扭转时横截面上的内力以 Mn 表示，称为扭矩。杆件 上各截面上的扭矩如果以图来表示，该图就是扭矩图。
下面结合实例来加以说明。
例1 传动轴受力如图示，试求各段内力并绘扭矩图。 例1图
'dxdz dy dydzdx 0
得： '
图4-1
2. 剪切虎克定律 在弹性范围内应有：
G G ——剪切弹性模量
图4-2
3.E、G、μ μ μ 的关系
G
E
21
低碳钢：
E 2 105 MPa
Mnmax 4.5KN m
max
M nmax Wn
Wn
D3
16
M nmax
解得： D 66mm
（三）由刚度条件设计 D 。
max
M nmax GI p
180
D4
32
Ip
M nmax
G
180
解得： D 102mm
从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。
六、矩形截面杆的自由扭转
1. 矩形截面杆的剪应力及扭转角计算
最大剪应力发生在长边中点处：
max
Mn
hb2
4
9
单位长度的扭转角为：
Mn
G hb3
4 10
剪应力分布图 图4-10
材料力学
第四章 扭转
一、扭转时的内力及扭矩图
扭转时横截面上的内力以 Mn 表示，称为扭矩。杆件 上各截面上的扭矩如果以图来表示，该图就是扭矩图。
下面结合实例来加以说明。
例1 传动轴受力如图示，试求各段内力并绘扭矩图。 例1图
材料力学-扭转
扭转角（ 扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线相对转动的角度。又称为角 位移。通常用ϕ表示。ϕB − A表示B截面相对A截面转过的角度。 剪应变（ 剪应变（γ）： 剪应变又叫角应变或切应变，它是两个相互垂直方 向上的微小线段在变形后夹角的改变量（以弧度表示， 角度减小时为正） O ϕ B m
A m
γ
第二节 杆受扭时的内力计算
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面： 实心圆截面：
2
I p = ∫ ρ d A = ∫ ρ (2 πρ d ρ )
2
ρ
d O
dρ
A
d 2 0
= 2 π(
ρ
4
d /2
4
)
0
πd = 32
4
d A = 2 πρ d ρ
πd 3 Wp = = d / 2 16 Ip
空心圆截面： 空心圆截面：
T T = ρ max = IP IP T = WP
ρ max
Ip—截面的极惯性矩， 截面的极惯性矩，单位： 单位：m 4 , mm 4 Ip 3 3 WP —抗扭截面模量， WP = 抗扭截面模量，单位：m , mm .
ρ max
整个圆轴上——等直杆： 等直杆： τ max
Tmax = WP
三、公式的使用条件： 公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。 弹性范围内工作。
Tmax Wp
πD 3 实心, 16 T max W = 2）设计截面尺寸: 设计截面尺寸:WP ≥ 3 P [τ ] πD (1 − α 4 ) 空心. 16 ≤ ⇒ m 3）确定外荷载: 确定外荷载: Tmax WP ⋅ [τ ]
≤
材料力学第四章 扭转
则上式改写为
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
材料力学 第4章_扭转
z
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学-第四章 扭转_1
d4
32
(5-8)
Wt
Ip
max
Ip d /2
d3
16
(5-9)
d
o
I p
D/2
2 2
d/2
d
(D4
32
d4)
Ip
32
D4 (1 4 )
（5-10）
Wt
Ip
max
D3 (1 4 )
16
(5-11)
[例5-2]内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面 轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A点的剪应 力及横截面上的最大和最小剪应力。
第五章 扭转
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
§5-1 扭转的概念
一、扭转的概念及实例
螺旋桨轴
受力特征： 杆受转向相反的力偶矩作用，力偶 作用面垂直于轴线。 变形特征： 横截面绕轴线相对转动。
扭转：横截面绕轴线（纵向线）作相对旋转为主要特征的变形形式。
dx
二. 扭转应力
d A
rdA T r 2 r T
dA
r
A
T
2 r 2
(5-2)
T 2 A0
根据精确的理论分析,当 ≤r/10时,上式的误差不
超过4.52%,是足够精确的。
三. 扭转角
l r
l / r ... Tl 2G r3
四、剪切胡克定律
在纯剪状态下，
单元体相对两侧面将
外力偶 Me 每分钟做的功为：
W = 2nMe
( 2)
(1)=(2) 得
P kW × 1000× 60=2 n M e N.m
Me
材料力学-第四章 扭转_2
T
T 6b 3T TS 2 2 2 2 4G 4G ( 2b ) 8Gb 3
1 2b 2
1 4b 2 2 2 3
结论 若将开口件加工为闭口件，将极大地提高构件的扭转
强度和刚度。
本 章 作 业
4-5，4-10， 4-13，4-29 4-16， 4-17 ， 4-19 4-21（c），4-23 4-32，4-34
max
T h b2 T [ ] 2 0.246 2b b
取 b = 45 mm。
6 T 3 10 b 3 3 44.3 0.492[ ] 0.492 70
由 h / b = 2 查表得 = 0.229
T 3 10 6 2 1 2 10 m G 2b b 3 80 103 0.229 2 454
闭口薄壁杆件切应力分析
F
dx dx
x
0
1 1dx 2 2 dx 0
1
1
2
x
2
1 1 2 2
dFS ds
Const
dT ds
T ds ds 2
S S
闭口薄壁杆件切应力
ds dFS
例 正方形截面轴两端承受转矩而产生自由扭转。在强度相同
长度相等的条件下计算圆轴与正方形截面轴的重量比。
转矩 T 在矩形边中点引起最大切应力。 max 由正方形 h / b = 1
T h b2
3
查表得 = 0.208
圆轴
max
T [ ] 3 0.208b
16T d π[ ]
2.约束扭转
材料力学第4章扭转变形
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图 x
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输 入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
2 T
1
1 T
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
§4. 7 非圆截面杆扭转的概念
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面 杆的扭转。
试验现象
横向线变 成曲线
横截面发生 翘曲不再保 持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
自由扭转 翘曲不受限制。 纵向纤维无伸长 横截面上无正应力
T
max
O
max
D
d
T
Ip
max
T Wp
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质 实心圆截面：
d
O
d
O
d D d
Ip
2 d A πd 4
A
32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
Ip
2 d A πD4
A
32
1 4
Wp
Ip D /2
πD 3 16
1 4
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
材料力学实验-扭转
材料力学实验-扭转扭转实验是材料力学实验中比较常见的实验之一，它是用来研究材料在扭转载荷作用下的性能及力学性质的实验。
在此实验中，通常需要制作一个实验样品，并通过试验测量夹持在两端的样品在扭力作用下的变形量及强度等参数。
下面我们将针对扭转实验的步骤、实验原理、实验装备及注意事项等方面进行详细介绍。
一、实验步骤1、制备试样。
在扭转实验中，常用的试样选择是圆棒，通常需要通过车床等机器加工加工成指定的直径和长度，注意要做好表面的处理和清洁，以保证试样表面无瑕疵、光滑等。
2、安装实验装置。
扭转实验的装置通常由电机、夹具、扭矩传感器、转角传感器等组成，需要将这些部件安装好，并将试样夹持在夹具两端，并调整好实验设备的参数及灵敏度，以确保实验设备的正常运转及测量精度。
3、进行实验。
在实验开始前，需要先进行一些预处理，如：校准设备、检查夹具固定度、检查电路连接等。
实验进行时，需要控制外加载荷及试样的转角，并及时记录实验数据等，直到试样达到所需的扭矩、载荷或损坏为止。
4、数据处理。
在实验结束后，需要对实验数据进行处理，并根据实验结果进行分析、比较及对比等操作，从而得出实验所要得到的结论及性能指标等。
二、实验原理扭转实验主要基于材料疲劳和塑性变形的原理，通过在试样两端施加扭矩和转角，在作用下可产生应变和变形等变量，并可通过实验数据加以测量及计算，进一步分析材料力学性质的好坏。
在扭转实验中，主要涉及到的参数有：扭转角度、扭转力矩、扭转角速度、应变及变形等参数，通过对这些参数的测量及分析，可以得出试样在扭转载荷作用下的抗扭强度及剪切模量等指标，这些指标是评估材料性能及强度的重要依据。
三、实验装备扭转实验需要用到的主要装备包括：电机、夹具、扭矩传感器、转角传感器、实验数据采集器等，下面我们将针对这些装备分别进行介绍。
1、电机：扭转实验的电机通常配备较高功率的电机，以保证能够提供足够的扭矩。
2、夹具：夹具是用来夹持试样的装置，要求夹具具有高度的稳定度并能够确保试样在扭转载荷下的平衡。
《材料力学》第四章 扭转
第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
材料力学：第四章 扭转
回顾: 极惯性矩、抗扭截面系数的计算
抗扭截面系数 极惯性矩
薄壁圆管 扭转切应力
回顾: 圆轴扭转强度条件 & 应力计算公式
薄壁圆管扭 转切应力
圆轴扭转 强度条件
max
[ ] u
n
扭转极限应力τu =
扭转屈服应力ts (塑性材料) 扭转强度极限tb (脆性材料)
§5 圆轴扭转变形与刚度计算
单辉祖：材料力学Ⅰ
14
例题
例 2-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图 解：用截断法,列力偶
矩平衡方程,和x轴正向 相同者取正 (1) 1-1截面
单辉祖：材料力学Ⅰ
(2) 2-2截面 T2 MC 115 N m
(3) 画扭矩图
15
§3 圆轴扭转横截面上的应力
单辉祖：材料力学Ⅰ
64
薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆
截面中心线
－截面壁厚平分线
薄壁杆
－壁厚<<截面中心线 长度的杆件
闭口薄壁杆
－截面中心线为封闭曲线的薄壁杆
开口薄壁杆
－截面中心线为非封闭曲线的薄壁杆
单辉祖：材料力学Ⅰ
65
闭口薄壁杆扭转应力与变形
假设 切应力沿壁厚均匀分布, 并平行于中心线切线 应力公式
单辉祖：材料力学Ⅰ
62
例题
例 7-1 试比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能,设 R0＝20d
解：1. 闭口薄壁圆管
2. 开口薄壁圆管
3. 抗扭性能比较
单辉祖：材料力闭学Ⅰ口薄壁杆的抗扭性能远比开口薄壁杆好
63
§8 薄壁杆扭转
开口与闭口薄壁杆 闭口薄壁杆扭转应力与变形 开口薄壁杆扭转简介 薄壁杆合理截面形状 例题
同济大学材料力学第四章 扭转 3学时
N马力 m 7.02 n
(kN m)
N KW m 9.55 n
(kN m)
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2 求扭转内力的方法—截面法
Ⅰ
Ⅰ
3 受扭圆轴横截面上的内力—扭矩
I
Mn
I
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI I
m
Mn
扭 矩 符 号 规 定 ：
m1
d1
m2
d2
m3
I P1 I P2
d1
A
0.8kN· m
0.8m
B
1.0m
C
32 d 2 4 236cm 4 32
25.1cm
4
AB
BC
M n1L1 0.0318rad GI P1
M n 2 L2 0.0079rad GI P 2
1.5kN· m
AC AB BC 0.0318rad 0.0079rad 0.0239rad
0
τ
τ
σmin
τ
45 0
0
σmax
第四章 扭转/三 圆轴扭转时的强度计算
3 圆轴扭转时的强度条件 为保证圆轴安全工作，要求轴内的最大工作切 应力不超过材料的许用切应力，即：
max
式中的许用扭转切应力 ,是根据扭转试验, 并考虑适当的工作安全系数确定的.
M n max WP
159.2
第四章 扭转/二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
课堂练习 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA＝4kN·m， mB＝10kN·m, mC＝6kN · m，试求1－1截面和2－2截面上的 轮 扭矩，并画扭矩图。
材料力学课件 第四章扭转
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
材料力学扭转
材料力学扭转材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而扭转则是材料力学中非常重要的一种变形形式。
在工程实践中，我们经常会遇到各种扭转现象，比如轴承、螺纹、螺栓等零部件的扭转变形。
因此，了解材料力学中的扭转现象对于工程设计和实际应用具有重要意义。
首先，我们来看一下什么是扭转。
扭转是指材料在外力作用下沿着一定轴线发生的旋转变形。
在扭转过程中，材料内部会受到剪切应力的作用，从而导致材料发生扭转变形。
扭转变形不仅会影响材料的外观和尺寸，还会对材料的力学性能产生影响。
在材料力学中，我们通常用剪切模量来描述材料的扭转性能。
剪切模量是指材料在扭转过程中所表现出的抗扭转能力。
剪切模量越大，材料的抗扭转能力就越强，反之则越弱。
因此，在工程设计中，我们需要根据材料的剪切模量来选择合适的材料，以满足工程的扭转性能要求。
除了剪切模量，材料的断裂韧性也是影响材料扭转性能的重要因素。
断裂韧性是指材料在扭转过程中抵抗断裂的能力。
材料的断裂韧性越大，其扭转性能就越好，能够更好地抵抗扭转变形和破坏。
因此，在工程设计中，我们还需要考虑材料的断裂韧性，以确保材料在扭转过程中不会发生过早的断裂。
此外，材料的微观结构也会对其扭转性能产生影响。
晶粒的大小、形状以及晶界的性质都会影响材料的扭转性能。
一般来说，晶粒越细小，晶界越强化，材料的扭转性能就会越好。
因此，在材料的制备过程中，我们需要通过控制材料的微观结构来提高其扭转性能。
总的来说，材料力学中的扭转现象是工程设计中不可忽视的重要问题。
了解材料的扭转性能，选择合适的材料，并通过控制材料的微观结构来提高其扭转性能，对于保证工程零部件的稳定性和可靠性具有重要意义。
希望本文能够对大家对材料力学中的扭转问题有所帮助。
材料力学-圆杆扭转时的变形及刚度条件
扭转剪应力公式是圆轴在弹性范围内导出的，其适用条件是：
1. 必须是圆轴，否则横截面将不再保持平面，变形协调公式
将不再成立。
d
dx
2. 材料必须满足胡克定律，而且必须在弹性范围内加载，只有
这样，剪应力和剪应变的正比关系才成立：
G
d
dx
二者结合才会得到剪应力沿半径方向线性分布的结
何斌
Page 28
材料力学
第4章 圆轴扭转
连接件强度计算的工程意义
两个或多个构件相连 —— 1. 用 钉子、铆钉等联结 2. 焊接 3. 其它
联接件体系（联接件、被联接构件）的受力特点： 力在一条轴线上传递中有所偏离（与拉压情况不同）
问题：1. 力传递的偏离引起什么新的力学现象？ 2. 如何计算联接件、被联接构件的强度？
何斌
Page 12
材料力学
例 题1
第4章 圆轴扭转
θ M x θ ＝1.5 ＝1.5 π rad / m
GIp
2m 2 180
I
＝π D4 p 32
1－α 4
，α＝ d D
轴所能承受的最大扭矩为
M x
θ
GI
＝1.5 p2
π 180
rad/m G
π D4 32
1－α 4
1.5π
受扭圆轴的相对扭转角
圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动 的角度称为相对扭转角
d M x dx
GIP沿轴线方向积分，得到源自d M x dxl
l GIp
何斌
Page 6
材料力学
第4章 圆轴扭转
圆杆扭转时的变形及刚度条件
受扭圆轴的相对扭转角
对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相
材料力学 (扭转)(四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算)
Mx 0: T1 MA 0
C
T1 MA 7.03KN.m
22
Mx 0: -T2 MC 0
T2 MC 2.32KN.m
X
(4)讨论现在的设计是否合理。
若将A轮与B轮调换， X 则扭矩图如下：
可见轴内的最大扭矩值减小了。10
T(KN.M)
§3.2 薄壁圆筒扭转
在圆筒表面画 上许多纵向线 与圆周线,形成 许多小方格.
G
剪切胡克定律
Ｇ－剪切弹性模量
G E
2(1 )
2021/8/19
17
圆轴扭转时的应力和变形
根据观察到的现象， 经过推理，得出关于圆 轴扭转的基本假设。
m
m
圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，
形状和大小不变。且相邻两截面间的距离不变。这就 是圆轴扭转的平面假设。
2021/8/19
18
二. 应力在横截面上的分布
2
而象电动机的主轴，水轮 机的主轴也承受扭转作用， 但这些零件除扭转变形外， 还伴随有其它形式的变形， 属于组合变形。
• 以扭转变形为主要变形形式的构件通常称为轴。 • 工程上应用最广的多为圆截面轴，即圆轴。
2021/8/19
3
• 扭转受力的特点是：
• 在构件的两端作用两个大小相等、方向相反且作 用面垂直于构件轴线的力偶矩。致使构件的任意 两个截面都发生绕构件轴线的相对转动，这种形 式的变形即为扭转变形。
在转矩m作用下，发现圆 周线相对地旋转了一个角 度，但大小、形状和相邻 两圆周线的距离不变。
表明，在圆筒的横截面上没有正应力和径向剪应力。
2021/8/19
11
设圆筒平均半径为r，筒壁厚度为t
因圆筒壁厚很小，可认为剪应力沿
材料力学-第4章 扭转
18
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
变 形
O
dx
ρ
R A
d
O’
( ) G G
d
dx
应变特征
B B´
A
B B´
应力分布
C
C
D D´
D D´
应力公式
BB Rd G G G AB dx
19
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
材料力学
第四章 扭 转
1
材料力学－第4章 扭转
内容提纲：
• • • • • • • • 概述及示例 外力偶矩、扭矩和扭矩图 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件 扭转静不定问题 非圆截面轴扭转 薄壁杆扭转
2
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
3
材料力学－第4章 扭转
9
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
• 在工程中，功率常用千瓦 Pkw (kW) 或马力 P 给出，角 速度用转速 n(r/min (转/分钟)) 给出，则外力偶矩的计算 公式为
PkW M e 9549 nr /min M e 7024 P 马力 nr /min
1 Pkw (千瓦) 1000 N m /s 1 P (马力) 735.5 N m /s
45o
32
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转破坏与强度条件
从破坏类型可见，对于脆性材料（如铸 铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力 因此，本质上讲，应对斜截面上的正应力 进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和 横截面上的剪应力间有固定的关系，所以，习惯 上仍按最大剪应力进行强度计算
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
变 形
O
dx
ρ
R A
d
O’
( ) G G
d
dx
应变特征
B B´
A
B B´
应力分布
C
C
D D´
D D´
应力公式
BB Rd G G G AB dx
19
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
材料力学
第四章 扭 转
1
材料力学－第4章 扭转
内容提纲：
• • • • • • • • 概述及示例 外力偶矩、扭矩和扭矩图 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件 扭转静不定问题 非圆截面轴扭转 薄壁杆扭转
2
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
3
材料力学－第4章 扭转
9
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
• 在工程中，功率常用千瓦 Pkw (kW) 或马力 P 给出，角 速度用转速 n(r/min (转/分钟)) 给出，则外力偶矩的计算 公式为
PkW M e 9549 nr /min M e 7024 P 马力 nr /min
1 Pkw (千瓦) 1000 N m /s 1 P (马力) 735.5 N m /s
45o
32
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转破坏与强度条件
从破坏类型可见，对于脆性材料（如铸 铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力 因此，本质上讲，应对斜截面上的正应力 进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和 横截面上的剪应力间有固定的关系，所以，习惯 上仍按最大剪应力进行强度计算
材料力学课件(路桥)第4章扭转
计算过程中需要考虑材料的弹性模量、泊松比、剪切模量等参数，以及 结构的几何尺寸和边界条件。
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
材料力学课件-第四章 扭转-薄壁杆件的扭转
部分加厚由于最小壁厚不变，最大应力不变。部分加厚后甚至由于应力集中更危险。
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
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外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
角速度w 单位：rad/s (弧度/秒)
9
材料力学－第4章 扭转
TR IP
T IP
T WP
R
其中：
WP
d3
16
称为抗扭截面系数
26
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
空心圆轴的扭转计算
空心圆轴与实心圆轴的扭转，变形本质并无不 同，因此应力和变形计算公式均相同。唯一不同在 于极惯性矩的计算。
27
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
材料力学
第四章 扭转
1
材料力学－第4章 扭转
内容提纲：
• 概述及示例 • 外力偶矩、扭矩和扭矩图 • 圆轴扭转横截面上的应力 • 圆轴扭转破坏与强度条件 • 圆轴扭转变形与刚度条件 • 扭转静不定问题 • 非圆截面轴扭转 • 薄壁杆扭转
2
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
3
材料力学－第4章 扭转
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
基本概念：
扭转： 横截面绕轴线作相对旋转的变形形式 扭转角： 横截面间绕轴线的相对角位移 轴： 以扭转变形为主要变形的直杆 作用面垂直于杆轴的外力偶，称为扭力偶， 其矩称为扭力偶矩。
7
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
8
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
——圆轴扭转的平截面假定 即：圆轴横截面如同刚性平面绕圆轴线转动
18
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
ρ R
A
dx O
d
B
B´
C
D
D´
变形
O ’
()
G
G
d
dx
A
B
B´
应变特征 应力分布
C
D D
G G BB ´ G Rd
AB dx
应力公式
19
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
均相同
max
G
d
dx
22
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
静力平衡关系 横截面上分布的剪应力的合
力（主矢）等于零 剪应力关于原心O的合力矩应
该等于该截面上的扭矩T，即
A dA T
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
10
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
扭转时的内力——扭矩、扭矩图
• 杆件在外力偶矩的作用下发生扭转变形，同时在轴内 产生抵抗扭转变形的内力偶矩T，称为扭矩
• 扭矩T的计算仍采用截面法
假想截面m-m将杆件分为 两部分，根据平衡关系，有
T=M
11
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
• 扭矩符号的规定
扭力偶矩计算与扭矩
• 在工程中，功率常用千瓦 Pkw (kW) 或马力 P 给出，角 速度用转速 n(r/min (转/分钟)) 给出，则外力偶矩的计算 公式为
Me
9549
PkW nr /min
Me
7024
P马力 nr /min
1 Pkw (千瓦) 1000 N m /s 1 P (马力) 735.5 N m /s
2M e
m Me m
T Me
m
Me 截面法：
1.在所研究平面处假想截开
Me 2.根据平衡关系确定截面（弯） 扭矩
3.根据定义，确定（弯）扭矩正
负
13
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，画出其扭矩图
T1 M e
T
Me
T2 M e
x
Me
14
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
该圆环对圆心的微惯性矩为：
2dA 2 2d 23d
2dA
O
积分可得整个圆截面的极惯性矩：IP 源自d /2 2 3d d 4
0
32
25
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
总结 － 实心圆轴
圆轴扭转变形公式
d T
dx GIP
圆轴扭转切应力
T
IP
其中
IP
d4
32
最大切应力： max
扭转圆轴不同平面上的应力分布
dx
O
O
’
R
A
B
C
D
max
20
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
横截面上半径为 处的剪应力为
G
G
d
dx
max
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
• 剪力方向垂直于半径（由于剪切变 形发生在垂直于半径的平面内）
• 圆轴截面上的剪应力与 成正比
• 剪应力在圆轴边缘达到最大 • 在离圆心等远的各点处，剪应力则
概述及示例
• 纯扭转变形
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材料力学－第4章 扭转
概述及示例
• 杆件的扭转变形是指杆件在 M
M
两端外力偶矩作用下发生的
变形
• 受力特点：两个等值反向的 外力偶分别作用在杆件两端 垂直于轴线的平面内
• 变形特点：杆件各横截面绕 杆的轴线发生相对转动
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材料力学－第4章 扭转
概述及示例
受力及变形特点：
6
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
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材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
d dx
得到：
G d 2dA T
dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
T
IP
dA
T
O
dA
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
IP － 2圆dA截面的极惯性矩
A
考虑一半径为 ，厚度为 d 的圆环。
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
等直圆轴扭转时横截面上的应力
此问题仅仅利用静力平衡是不能解决的，而必须从几何、 物理和平衡三个方面进行综合分析。
变形
几何（位移－应变关系）
应变分布
物理（胡克定律）
应力分布
静力方程
应力公式
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力 变形 应变特征 应力分布 应力公式