椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
直线与椭圆的位置关系之弦长公式
直线与椭圆的位置关系之弦长公式一、知识点1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式引例：经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作倾斜角为60o 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．分析：左焦点(1,0)F -，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆设1122(,),(,)A x y B x y ，则||AB ===122||||x x a -= 一般：若直线l 上两点111222(,),(,)P x y Px y，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明：1） 计算12||x x -，可以通过12||x x -=但通常利用12||||x x a -=计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想2） 如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又112||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则可知，121212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题例1 经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B两点，若||7AB =l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：22220x y +-=，得到2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+则||7AB ===所以k =又当k 不存在时，||AB =所以，直线l 的方程1)y x =+配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程22220x y +-=，得到：22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（），则||AB ==，所以，λ= 当λ不存在，即0y =时，||AB =所以直线l 的方程为1x y =- 例2 经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值．解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程22220x y +-=，得到：22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（）， 法1：||AB ==O l d -，所以1||2AOBO l S AB d ∆-=⋅=2112t t t=≤++（t 当0λ=时，取到 法2：11||||122AOBA B S AB y y ∆=⋅-=⋅，下同解法1 配套练习1：经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的取值范围． 解：上题可知：21||)2AB λ=-∈+当λ不存在时，||AB =||AB ∈ 配套练习2：1、经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l 与椭圆分别交于,A B 与,C D 两点，若32||||9AB CD ⋅=，求直线1l 的方程 参考解答：设直线1:(1)l y k x =+，则21:(1)l y x k=-+，则可知||AB =，同理知22221))||221k k CD k k++==++，则由32||||9AB CD ⋅=可知1k =±，1:(1)l y x =±+例3（备用）已知椭圆22:14x G y +=，作圆221x y +=的切线l 交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB∆面积的最大值．解：设直线l ： x y n λ=+1=，所以221n λ=+代入椭圆方程：22440x y +-=，得到：222(4)240y n y n λλ+++-=，则222222=44(4)(4)16(4)=48n n n λλλ∆-+-=+-则211||11223AOB S AB t ∆=⋅==≤+t =）当λ= 配套练习：1、已知椭圆：22143x y +=，直线l ：2y x m =+与椭圆交于,A B 两点，求AOB S ∆的最大值参考解答：可知S =≤。
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT椭圆的焦点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及其应用在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢首先我们有命题：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ222221cos 2c a ab F F -=。
上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦 点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-⨯⨯α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。
例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。
分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2222=-+--by a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32+=c ca （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22222πc a ab -=516 （2）又 222c b a += （3）。
解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13)1(4)4(22=-+-y x 。
例3、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ），直线1l ：1=-by a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的52，求椭圆C 的方程。
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（） 设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦， 则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =， 即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。
椭圆过焦点的弦长公式
椭圆过焦点的弦长公式
椭圆过焦点的弦长公式是一种涉及到椭圆的数学公式，它是一个有关于椭圆的结构和形状的深入研究。
椭圆是一种双曲线（hyperbola），它可以用一组有限的四个点来定义，它的两个焦点是其重要的特点。
焦点的距离就称为椭圆的短轴，焦点到周轴的中心点的距离称为椭圆的长轴。
椭圆过焦点弦长公式描述的是椭圆的结构和形状，它的格式如下：∑ (Ea + fc + gd) = l
其中，E是椭圆的短轴，f和g是两个焦点到椭圆短轴中心的距离，d是椭圆的长轴，l是过两个焦点的弦长。
椭圆过焦点的弦长公
式可以用来计算椭圆的两个焦点之间的距离。
该公式的基本原理如下：椭圆的点经过其两个焦点和斜轴上的四个点，然后在椭圆上折线两侧至少有两个点，折线的长度就是椭圆过焦点的弦长。
即通过椭圆过焦点的弦长，可以计算椭圆的长轴、短轴、焦点到椭圆中心的距离以及椭圆的面积。
椭圆过焦点的弦长公式可以用来研究椭圆的原理以及各种物理
学和几何学问题。
例如，它可以用来研究不同角度夹角下椭圆的变化，它可以用来研究椭圆的内切圆的位置和大小的变化，也可以用来研究椭圆的变形与投影变换有关的问题，它还可以用来研究椭圆的特性以及它在几何图形中的应用等。
椭圆过焦点的弦长公式和它的计算是一种非常有用的数学公式，它可以让我们更好地理解椭圆的结构和特性，可以解决一些几何上的
问题，也可以帮助我们更好地利用椭圆的特性来解决实际的工程问题。
因此，椭圆过焦点的弦长公式在数学学术界以及工程界都具有重要的意义。
椭圆的弦长公式
椭圆的弦长公式椭圆是常见的几何图形，它与圆相似，但形状略有不同。
在本文中，我们将探讨椭圆的弦长公式及其推导过程。
椭圆的定义椭圆是在平面上定义的几何图形，它是固定点F（称为焦点）和固定直线L （称为直角边）到平面上点P的距离之和与一定的常数2a成比例的点的集合，即PF1 + PF2 = 2a其中F1和F2是一个椭圆的两个焦点，a是一个椭圆的半长轴。
椭圆的弦长弦是在椭圆内部连接两个不相邻的点的线段。
图中AB和CD是椭圆的两条弦，其长度为l。
我们的目标是推导出椭圆弦长的公式。
椭圆的标准方程为了推导椭圆的弦长公式，我们需要引入椭圆的标准方程。
标准方程是将椭圆放在坐标系中并将椭圆的中心与坐标系的原点重合时的方程。
一个椭圆的标准方程为：x²/a² + y²/b² = 1其中a和b是椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆的弦长公式的推导现在我们来推导椭圆的弦长公式。
假设椭圆的标准方程是x²/a² + y²/b² = 1弦AB的两个端点的坐标可以表示为：A（-x1, y1）和B（x2, y2）根据标准方程，我们可以得到：y1²/b² = 1 - x1²/a² (1)y2²/b² = 1 - x2²/a² (2)将式(1)和式(2)相加：y1²/b² + y2²/b² = 2 - x1²/a² - x2²/a²将x1和x2相加，得到：x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2）我们假设椭圆的中心为（0, 0），则坐标系中任意一点P的坐标为（x, y）。
以y1作为y坐标，可以得到：x = a²x1/（a² - b²），y = b²y1/（a² - b²）同样地，以y2作为y坐标，可以得到：x = a²x2/（a² - b²），y = b²y2/（a² - b²）令l为弦AB的长度，则：l² = （x2 - x1）² + （y2 - y1）²将x1和x2代入上式，得到：l² = （a²x2/（a² - b²）- a²x1/（a² - b²））² + （b²y2/（a² - b²）- b²y1/（a² - b²））²整理后得到：l² = a²(x2 - x1)²/（a² - b²）² + b²(y2 - y1)²/（a² - b²）²将x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2）代入上式，得到：l² = 4a²b²（x1 - x2）²/（a² - b²）⁴ + 4a²b²（y1 + y2）²/（a² - b²）⁴将x1 + x2代入上式中的（x1 - x2）²，得到：l² = 4a²b²（x1 + x2）²/（a² - b²）⁴ + 4a²b²（y1 + y2）²/（a² - b²）⁴ - 8a²b²x1x2/（a² - b²）⁴由于x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2），所以8a²b²x1x2/（a ² - b²）⁴可以改写为4（a² - b²）（y1 + y2）²。
椭圆的焦点弦长
椭圆的焦点弦长
椭圆是一种常见的几何图形，它具有两个焦点和两条主轴。
焦点弦是指连接椭圆的两个焦点的线段，而焦点弦长则是指这条线段的长度。
计算椭圆的焦点弦长需要使用椭圆的参数方程和勾股定理。
首先，我们需要确定椭圆的参数方程。
椭圆的参数方程为：
x = a cosθ
y = b sinθ
其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴，θ是参数。
接下来，我们需要确定椭圆的焦点坐标。
椭圆的焦点坐标可以通过以下公式计算：
c = √(a^2 - b^2)
其中，c是椭圆的焦距。
椭圆的焦点坐标为：
F1 = (-c, 0)
F2 = (c, 0)
接着，我们可以计算焦点弦长。
设焦点弦的长度为d，焦点弦的中点坐标为M，则有：
d = 2√(a^2 - c^2)
M的坐标为：
M = (0, 0)
因此，我们可以使用勾股定理计算焦点弦长：
d = 2√(c^2 + b^2)
这就是椭圆的焦点弦长的计算公式。
椭圆中的弦长公式推导
椭圆中的弦长公式推导椭圆是一种经典的曲线，它的研究和应用在流体力学、空间结构、航天学、机械设计等广泛的领域中被广泛使用。
因此，研究椭圆的形状特性非常重要。
椭圆的一个重要形状特性是，它存在一种弦长公式，即在椭圆上任意一动点P处，弦PP’的长度可用下式表示：d=2ae√1-e2sin2α其中，a, e,分别表示椭圆的长轴、离心率、弦PP与椭圆的长轴的夹角。
下面我们将通过推导证明上式的正确性。
以P(x, y)为弦PP上的任意一点，x = acost, y = bsint，坐标系以椭圆的中心为原点，a,b分别为椭圆的长短轴，e为离心率，将P位置投影到椭圆的长轴，得到点P1(acosθ, 0)，与他重合的点P1(a/cosθ, 0)，θ为PP与椭圆的长轴的夹角，由此投影出点P(a/cos θ, bsinθ)，即为PP上的另一点。
由PP上任意一点P可求出P，再求出弦PP的长度。
设PP的长度为d，根据勾股定理可得：d2=x2+y2=(acost)2+(bsinθ)2=a2cos2θ+b2sin2θ又由椭圆方程可知：b2/a2=1-e2所以有：d2=a2cos2θ+b2sin2θ=a2cos2θ+a2(1-e2)sin2θ=a2{cos2θ+(1-e2)sin2θ}令cos2θ+(1-e2)sin2θ=c（c为任意常数）即有：d2=a2c,又因为e2=1-b2/a2,可得cos2θ+(1-e2)sin2θ=cos2θ+(1-(1-b2/a2))sin2θ=cos2θ+b2/a2sin2θ即有：c=cos2θ+b2/a2sin2θ代入方程d2=a2c，可得：d2=a2{cos2θ+(1-e2)sin2θ}即有：d=2ae√1-e2sin2α因而可以得出：在椭圆上任意一点P处，弦PP的长度可用弦长公式下式表示：d=2ae√1-e2sin2α上式的证明也完成了，由此可以看出，椭圆中的弦长公式是一个非常重要的特性。
它可以用来研究椭圆的形状特性以及在实际应用中的使用，可以更好地满足工程的需要。
焦点弦公式及其应用
焦点弦公式及其应用焦点弦公式及其应用论文关键词：焦点弦公式,应用在近年来的高考数学试题中，经常出现圆锥曲线焦点弦问题．用常规方法解决这类问题时，由于解题过程复杂，运算量较大，所以很容易出现差错．为了准确而迅速地解决圆锥曲线焦点弦问题．我们可以利用下面介绍的焦点弦公式．设圆锥曲线的离心率为，焦准距为,过焦点的弦AB与主轴(即椭圆长轴、双曲线实轴、抛物线对称轴)的夹角为θ,则可以推导出弦AB的长度公式，简称焦点弦公式．特别当离心率时，焦点弦公式还可以化简．１、当时,圆锥曲线为椭圆, ；２、当时，圆锥曲线为抛物线, ．图1下面对焦点弦公式进行证明．证法一如图1,设椭圆C:焦点为,过焦点F的弦AB的倾斜角为,当时,弦AB在直线 L:上．由直线L和椭圆C的方程可得．设点A、B的坐标分为和，则．由焦半径公式得弦AB的长度为∵焦准距为,∴．当时，公式也成立．对于双曲线和抛物线用同样的方法可以证明．证法二设圆锥曲线的离心率为，焦准距为，则极坐标方程为，过焦点的弦AB与x轴的夹角为θ．当时，如图2．∵，．∴．即．当时，同理可以推得．利用焦点弦公式，可以巧妙地解决与圆锥曲线焦点弦有关的各种问题．现在分别举例如下．一、在椭圆中的应用例1 （2008年高考安徽卷文科22题）已知椭圆，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过点F1(－2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.，求证：（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求的最小值．解：（Ⅰ）由已知得，又，所以．故所求椭圆C的方程为．（Ⅱ）因为直线AB倾斜角为，，，，。
由焦点弦，可得=得证．（Ⅲ）因为直线AB倾斜角为，则DE与轴的夹角可表示为。
因而，，。
? 当且仅当即时取“＝”．所以的最小值是．二、在双曲线中的应用例2(2006年高考安徽卷22题)如图5，F为双曲线C：的右焦点、P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点,已知四边形为平行四边形，．（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程．解:（Ⅰ）∵，，图4设右准线交PM于H，则，又,∴．（Ⅱ）当时，由得，即．由得，由此得双曲线为．∵时,, ,．在中,．P点的坐标为,则,．即．令AB与的夹角为,由AB∥OP得,．∵,∴,解得,即．由，可以解得．故所求双曲线的方程为．三、在抛物线中的应用例3 (2006年高考全国Ⅱ卷第21题）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值．解：（Ⅰ）可设,,AB的倾斜角为,则AB的斜率．由知AB过焦点．所以AB的方程为．将此式代入得．则．∵,∴过A、B两点的切线方程分为，．由此解得:,．即点M为．所以,．∴为定值．(Ⅱ)∵抛物线的焦准距,过焦点F的弦AB与对称轴夹角为．∴．又,由知．∴△ABM的面积为．当,即AB与轴平行时,F点是AB的中点,,△ABM的面积S有最小值4．求的表达式的方法如下:∵,∴．设,则可以解得．又，．∴．四、综合应用(2009湖南卷理)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有 命题： 若椭圆的焦点弦F i F 2所在直线的倾斜角为，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短2ab 2~22 2a c cos上面命题的证明很容易得岀，在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长 AB 8，焦距F J F 2 4J2，过椭圆的焦点 F j 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设 PF 1X（0长？），当 取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴PQ 是椭圆的焦点弦，且 a 4，c 2.. 2，从而b 2 2，故由焦厂譬 —及题设可得：2 4（2•斗 4 2，解得a c cos16 8cos2 2 2a c cos —3cos 2 2，即 arc cos . 22 或 arc cos . 2 2。
例2、在直角坐标系中, 线|通过点F ，且倾斜角为 已知椭圆 E 的一个焦点为 F （ 3，1），相应于F 的准线为丫轴，直 —，又直线|被椭圆E 截得的线段的长度为 16，求椭圆 3 5 E 的方程。
分析：由题意可设椭圆 E 的方程为（X c 3） (y21) 1，又椭圆 b 2E 相应于F 的准线为丫 轴，故有a 2（1），又由焦点弦长公式有2ab 216(2)又a 2b 2(3) 。
解由（1）、2（2）、（3）联列的方程组得：a 24，b 2从而所求椭圆 E 的方程为(x 4)2(y 1)2F i F 222a b2及其应用 a c cos分析：由题意可知点弦长公式F 1F 2半轴长和焦半距，则有例3、已知椭圆C:2x~2a b21 （a b 0），直线h ：-丄1被椭圆a b长为2、2，过椭圆右焦点且斜率为..3的直线12被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的圆C的方程。
2 2分析：由题意可知直线h过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有 a b 8，由焦点弦长公式得2ab2~2 2 2a c cos4a5（2）因tan =、. 3，得一3b2 2 （4）。
椭圆交点弦长公式
椭圆交点弦长公式椭圆交点弦长公式是数学中关于椭圆的一个重要公式，用于计算椭圆上两点之间的弦长。
椭圆是一种特殊的曲线，具有许多独特的性质和特点。
掌握椭圆交点弦长公式，可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和应用。
椭圆交点弦长公式的推导基于椭圆的定义和性质。
首先，我们需要了解椭圆的定义。
椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点（焦点）的距离之和始终是一个常数。
这两个焦点与椭圆的长轴平行。
在椭圆上任取两个点A和B，这两个点分别到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆的半长轴），即AF1 + AF2 = 2a。
现在我们要计算点A和点B之间的弦长AB。
我们可以通过椭圆的定义得到AF1和AF2的关系式，即AF1 + AF2 = 2a。
根据这个关系式，我们可以得到AF1 = 2a - AF2。
接下来，我们可以使用勾股定理计算弦长AB。
利用勾股定理，我们可以得到弦长AB的平方等于AF1的平方加上AF2的平方减去两倍的AF1和AF2的乘积，即AB² = (2a - AF2)² + AF2² - 2(2a - AF2)(AF2)。
将上式展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4a(AF2) + (AF2)² + (AF2)² - 4a(AF2) + 4(AF2)²。
简化后，得到AB² = 4a² - 4a(AF2)+ 4(AF2)²。
由于椭圆的性质，我们可以将AF2表示为AE - EF2，其中AE为椭圆的半长轴，EF2为焦点F2到点E的距离。
代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4a(AE - EF2) + 4(AE - EF2)²。
进一步展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4AE² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。
椭圆焦点弦性质总结
椭圆焦点弦性质总结椭圆是一种非常重要的几何图形，具有许多特殊的性质。
其中，椭圆焦点弦性质是我们在研究椭圆时经常遇到的一个重要概念。
本文将对椭圆焦点弦性质进行总结和讨论。
1. 定义椭圆焦点弦是连接椭圆焦点和椭圆上任意一点的直线段。
椭圆焦点弦具有以下性质：1.1 焦半径定理椭圆焦半径定理指出，椭圆焦点弦在与椭圆法线垂直的方向上的投影长度相等。
具体而言，对于一个椭圆，任意一条椭圆焦点弦与该弦所在直线的法线的垂直投影的长度都相等。
1.2 焦弦定理椭圆焦弦定理说明，对于一个椭圆，椭圆焦点弦遵循如下规律：从椭圆上任意一点，经过焦点引出两条切线与椭圆焦点弦的夹角之和等于π/2弧度。
换句话说，对于椭圆上的任意一条焦点弦，该焦点弦上任意一点与该点的切线的夹角的和等于直角。
2. 性质证明以上两个椭圆焦点弦性质的证明可以通过数学方法进行。
对于焦半径定理，假设椭圆的焦点分别为F1和F2，椭圆上一点为P，直线FP与平行于x轴的直线交于点M。
利用三角关系可以证明，焦点弦PF1与MF1的投影长度相等。
同样，可以证明焦点弦PF2与MF2的投影长度也相等。
因此，椭圆焦点弦在与椭圆法线垂直的方向上的投影长度相等。
对于焦弦定理，可以通过利用椭圆的定义和基本几何知识进行证明。
具体证明的过程相对复杂，需要利用到椭圆的参数方程和对称性等性质进行推导。
3. 应用椭圆焦点弦性质在数学和工程应用中具有重要意义。
在数学领域，椭圆焦点弦性质可以用于求解椭圆的参数方程和相关问题的解析解。
在工程领域，椭圆焦点弦性质可以用于椭圆形的设计和布局。
例如，在光学系统中，椭圆焦点弦性质可以用于设计椭圆镜片和椭圆反射器等光学元件。
此外，椭圆焦点弦性质还可以推广到其他曲线如抛物线和双曲线等。
这些曲线的焦点弦性质都有其特殊的几何意义和应用价值。
4. 结论椭圆焦点弦性质是椭圆的重要几何特性之一。
焦半径定理指出椭圆焦点弦在与法线垂直的方向上的投影长度相等，而焦弦定理则说明了椭圆焦点弦与椭圆上的切线夹角的性质。
过椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式
椭圆是代数曲线的一种，是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
在椭圆的研究中，我们经常要涉及到椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式。
本文将从椭圆的基本概念开始，逐步介绍椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式，以便读者更加深入地理解和掌握该公式。
一、椭圆的基本概念1. 定义椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P 的轨迹，常数2a称为椭圆的长轴，F1和F2称为椭圆的焦点。
2. 椭圆的标准方程设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，椭圆的中心为坐标原点O，焦点F1(-c,0)，F2(c,0)。
则椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。
3. 弦长的定义弦是平面上连接两点的直线段，椭圆焦点垂直于x轴的弦长即为连接椭圆上焦点处的两点并且垂直于x轴的线段的长度。
二、过椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导涉及到椭圆的几何证明和数学运算，下面我们将逐步进行推导。
1. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的定义设椭圆的焦点F1(-c,0)，F2(c,0)，横轴为x轴，焦点连线垂直于x轴的弦为CD，C点的坐标为(x,0)，D点的坐标为(-x,0)。
设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。
则C、D两点上线上满足椭圆方程。
2. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导根据椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，可得点C、D的坐标分别为$(a\cos\theta, b\sin\theta)$和$(-a\cos\theta, -b\sin\theta)$（其中$\theta$为椭圆上任意一点P的极角，即向量OP与x轴正方向的夹角）。
椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式即为CD的长度公式，根据两点之间的距离公式可得：CD的长度 = $\sqrt{(a\cos\theta-(-a\cos\theta))^2 +(b\sin\theta-(-b\sin\theta))^2}$3. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的进一步推导进一步利用三角恒等式和平方展开可得：CD的长度 = $\sqrt{(2a\cos\theta)^2 + (2b\sin\theta)^2}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$由于椭圆的轨迹方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，根据单位圆的性质可得$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，代入上式可得：CD的长度 = $\sqrt{4a^2(1-\sin^2\theta) +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta+进一步整理可得：CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta+4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2$CD的长度 = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4(a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta)}$ = $\sqrt{4(a^2-b^2\sin^2\theta + b^2\sin^2\theta)}$ = $\sqrt{4a^2 -b^2\sin^2\theta}$所以椭圆焦点垂直于x轴的弦长为CD的长度为$\sqrt{4a^2 -b^2\sin^2\theta}$。