直线与抛物线问题公开课课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝221＋32＝12.
3 ． (2019· 东 北 三 校 ) 已 知 抛 物 线 y2 ＝ 2px(p>0) 的 焦 点 为
F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝ x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
(2)在讨论时应注意全面，如本例不要忽略a＝0的情况．
思考题1 (2015·福建漳州七校第一联考)已知抛物 线C过点A(1,2)且关于x轴对称．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)若直线l：y＝x＋m与抛物线C相切于点A，求直线l的方 程及点A的坐标． 【解析】 (1)由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)． 因为抛物线C过点A(1,2)，所以22＝2p×1，所以p＝2. 所以抛物线的方程是y2＝4x，其准线方程是x＝－1.
3．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾 斜角为θ，则有下列性质：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42. (2)|AF|＝x1＋p2＝1－pcosθ； |BF|＝x2＋p2＝1＋pcosθ； |AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2θ.
(3)S△AOB＝2spin2 θ(θ为直线AB的倾斜角)． (4)|A1F|＋|B1F|为定值2p. (5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． (6)以AF或(BF)为直径的圆与y轴相切．
2 2(x－1)，代入抛物线的方程消去y，得2x2－5x＋ຫໍສະໝຸດ Baidu＝0，求
得x＝2或12，所以x2＝12，故|BF|＝32.
授人以渔
题型一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共 点，求实数a的值．
【解析】 联立方程yy＝2＝aa＋x. 1x－1， (1)当a＝0时，此方程组恰有一组解xy＝＝10，. (2)当a≠0，消去x，得a＋a 1y2－y－1＝0.
【思路】 求(1)要写出焦点F的坐标 p2，0 ，由点斜式 写出过焦点F的直线方程，注意讨论斜率是否存在，然后与 y2＝2px联立，再由根与系数的关系即得；(2)中|AB|＝|AF|＋ |BF|，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距 离即可；(3)中S△AOB＝S△AOF＋S△BOF，再由面积公式求得；(4) 中将点到焦点的距离转化为点到准线的距离；求(5)要先求 出AB的中点M，再证明M点到准线的距离等于12|AB|即可．
(2)联立直线与抛物线方程，得
y＝x＋m， y2＝4x，
消去y，得
到(x＋m)2＝4x，化简得x2＋(2m－4)x＋m2＝0.①
因为直线l：y＝x＋m与抛物线C相切，所以方程①的判
别式Δ＝0，即(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1，直线l的方程
为y＝x＋1，这时方程①为x2－2x＋1＝0，解得x＝1，代入
的一条焦点弦，|AB|＝4，则 AB 中点 C 的横坐标是( )
A．2
B.1
2
C.3
D.5
2
2
答案 C
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AB|＝4，∴x1＋12＋x2＋12＝4，∴x1＋x2＝3. ∴C点横坐标为32，故选C.
5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两
直线方程得y＝2，所以切点A的坐标为(1,2)． 【答案】 (1)x＝－1 (2)y＝x＋1，A(1,2)
例2 已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物 线焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42； (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2θ(θ为直线AB与x轴的夹角)； (3)S△AOB＝2spin2 θ； (4)|A1F|＋|B1F|为定值； (5)以AB为直径的圆与抛物线准线相切．
1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共
点，这样的直线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案 C
2．(2019·新课标全国Ⅱ文)设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的
焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|
＝( )
A. 30 3
C．12
B．6 D．7 3
答案 C
解析
抛物线的准线方程为x＝－
p 2
，由定义得|FP1|＝x1
＋p2，|FP2|＝x2＋p2，|FP3|＝x3＋p2，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋p2＋x3
＋
p 2
＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝
|FP1|＋|FP3|，故选C.
4．(2020·辽宁五校期末联考)已知 AB 是抛物线 y2＝2x
答案 C 解析 先求解直线的方程，再进一步根据抛物线的定
义求解弦长．
∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F(34，0)．
∴AB的方程为y－0＝tan30°(x－34)，即y＝
33x－
3 4.
y2＝3x，
联立 y＝
33x－
43，
得13x2－72x＋136＝0.
∴x1＋x2＝－－172＝221，即xA＋xB＝221. 3
①若a＝－1，方程组恰有一解xy＝＝－－11，.
②若a≠－1，令Δ＝0，得1＋
4a＋1 a
＝0，解得a＝－
45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．
综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－45.
【答案】 a＝0或a＝－1或a＝－45
探究1 (1)直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但只 有一个公共点时未必相切，这主要体现在抛物线和双曲线的 情况．
直线与抛物线问题
课前自助餐
1．直线与抛物线的位置关系 联立yy2＝＝k2xp＋x，m， 得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. ①相切：k2≠0，Δ＝0； ②相交：k2≠0，Δ>0； ③相离：k2≠0，Δ<0.
2．抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦叫抛物线的通 径，抛物线y2＝2px(p>0)的通径长为 2p .
点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
答案
3 2
解析 抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，焦点F(1,0)，设
A(x1，y1)，B(x2，y2)．由抛物线的定义可知|AF|＝x1＋1＝
3，所以x1＝2，所以y1＝±2 2 .由抛物线关于x轴对称，假设
A(2,2 2 )，由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y－0＝
3 ． (2019· 东 北 三 校 ) 已 知 抛 物 线 y2 ＝ 2px(p>0) 的 焦 点 为
F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝ x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
(2)在讨论时应注意全面，如本例不要忽略a＝0的情况．
思考题1 (2015·福建漳州七校第一联考)已知抛物 线C过点A(1,2)且关于x轴对称．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)若直线l：y＝x＋m与抛物线C相切于点A，求直线l的方 程及点A的坐标． 【解析】 (1)由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)． 因为抛物线C过点A(1,2)，所以22＝2p×1，所以p＝2. 所以抛物线的方程是y2＝4x，其准线方程是x＝－1.
3．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾 斜角为θ，则有下列性质：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42. (2)|AF|＝x1＋p2＝1－pcosθ； |BF|＝x2＋p2＝1＋pcosθ； |AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2θ.
(3)S△AOB＝2spin2 θ(θ为直线AB的倾斜角)． (4)|A1F|＋|B1F|为定值2p. (5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． (6)以AF或(BF)为直径的圆与y轴相切．
2 2(x－1)，代入抛物线的方程消去y，得2x2－5x＋ຫໍສະໝຸດ Baidu＝0，求
得x＝2或12，所以x2＝12，故|BF|＝32.
授人以渔
题型一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共 点，求实数a的值．
【解析】 联立方程yy＝2＝aa＋x. 1x－1， (1)当a＝0时，此方程组恰有一组解xy＝＝10，. (2)当a≠0，消去x，得a＋a 1y2－y－1＝0.
【思路】 求(1)要写出焦点F的坐标 p2，0 ，由点斜式 写出过焦点F的直线方程，注意讨论斜率是否存在，然后与 y2＝2px联立，再由根与系数的关系即得；(2)中|AB|＝|AF|＋ |BF|，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距 离即可；(3)中S△AOB＝S△AOF＋S△BOF，再由面积公式求得；(4) 中将点到焦点的距离转化为点到准线的距离；求(5)要先求 出AB的中点M，再证明M点到准线的距离等于12|AB|即可．
(2)联立直线与抛物线方程，得
y＝x＋m， y2＝4x，
消去y，得
到(x＋m)2＝4x，化简得x2＋(2m－4)x＋m2＝0.①
因为直线l：y＝x＋m与抛物线C相切，所以方程①的判
别式Δ＝0，即(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1，直线l的方程
为y＝x＋1，这时方程①为x2－2x＋1＝0，解得x＝1，代入
的一条焦点弦，|AB|＝4，则 AB 中点 C 的横坐标是( )
A．2
B.1
2
C.3
D.5
2
2
答案 C
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AB|＝4，∴x1＋12＋x2＋12＝4，∴x1＋x2＝3. ∴C点横坐标为32，故选C.
5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两
直线方程得y＝2，所以切点A的坐标为(1,2)． 【答案】 (1)x＝－1 (2)y＝x＋1，A(1,2)
例2 已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物 线焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p42； (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2θ(θ为直线AB与x轴的夹角)； (3)S△AOB＝2spin2 θ； (4)|A1F|＋|B1F|为定值； (5)以AB为直径的圆与抛物线准线相切．
1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共
点，这样的直线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案 C
2．(2019·新课标全国Ⅱ文)设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的
焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|
＝( )
A. 30 3
C．12
B．6 D．7 3
答案 C
解析
抛物线的准线方程为x＝－
p 2
，由定义得|FP1|＝x1
＋p2，|FP2|＝x2＋p2，|FP3|＝x3＋p2，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋p2＋x3
＋
p 2
＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝
|FP1|＋|FP3|，故选C.
4．(2020·辽宁五校期末联考)已知 AB 是抛物线 y2＝2x
答案 C 解析 先求解直线的方程，再进一步根据抛物线的定
义求解弦长．
∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F(34，0)．
∴AB的方程为y－0＝tan30°(x－34)，即y＝
33x－
3 4.
y2＝3x，
联立 y＝
33x－
43，
得13x2－72x＋136＝0.
∴x1＋x2＝－－172＝221，即xA＋xB＝221. 3
①若a＝－1，方程组恰有一解xy＝＝－－11，.
②若a≠－1，令Δ＝0，得1＋
4a＋1 a
＝0，解得a＝－
45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．
综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－45.
【答案】 a＝0或a＝－1或a＝－45
探究1 (1)直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但只 有一个公共点时未必相切，这主要体现在抛物线和双曲线的 情况．
直线与抛物线问题
课前自助餐
1．直线与抛物线的位置关系 联立yy2＝＝k2xp＋x，m， 得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. ①相切：k2≠0，Δ＝0； ②相交：k2≠0，Δ>0； ③相离：k2≠0，Δ<0.
2．抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦叫抛物线的通 径，抛物线y2＝2px(p>0)的通径长为 2p .
点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
答案
3 2
解析 抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，焦点F(1,0)，设
A(x1，y1)，B(x2，y2)．由抛物线的定义可知|AF|＝x1＋1＝
3，所以x1＝2，所以y1＝±2 2 .由抛物线关于x轴对称，假设
A(2,2 2 )，由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y－0＝