第10章 计算机图形学的几何造型技术
计算机图形学 答案
计算机图形学Ⅰ专业：计算机科学与技术计算机科学与技术20922012年12月第1章绪论1、计算机图形学的概念？（或什么是计算机图形学？）计算机图形学是研究怎样利用计算机表示、生成、处理和显示图形的(原理、算法、方法和技术)一门学科。
2、图形与图像的区别？图像是指计算机内以位图(Bitmap)形式存在的灰度信息；图形含有几何属性，更强调物体（或场景）的几何表示，是由物体（或场景）的几何模型(几何参数)和物理属性(属性参数)共同组成的。
3、计算机图形学的研究内容？计算机图形学的研究内容非常广泛，有图形硬件、图形标准、图形交互技术、光栅图形生成算法、曲线曲面造型、实体造型、真实感图形计算与显示算法，以及科学计算可视化、计算机动画、自然景物仿真和虚拟现实等。
4、计算机图形学的最高奖是以 Coons 的名字命名的，而分别获得第一届（1983年）和第二届（1985年）Steven A. Coons 奖的，恰好是 Ivan E. Sutherland 和 Pierre Bézier 。
5、1971年，Gourand提出“漫反射模型+插值”的思想，被称为 Gourand 明暗处理。
6、1975年，Phong提出了著名的简单光照模型—— Phong模型。
7、1980年，Whitted提出了一个光透明模型—— Whitted模型，并第一次给出光线跟踪算法的范例，实现了Whitted模型。
8、以 SIGGRAPH 会议的情况介绍，来结束计算机图形学的历史回顾。
9、什么是三维形体重建？三维形体重建就是从二维信息中提取三维信息，通过对这些信息进行分类、综合等一系列处理，在三维空间中重新构造出二维信息所对应的三维形体，恢复形体的点、线、面及其拓扑关系，从而实现形体的重建。
10、在漫游当中还要根据CT图像区分出不同的体内组织，这项技术叫分割。
11、一个图形系统通常由图形处理器、图形输入设备和输出设备构成。
12、CRT显示器的简易结构图12、LCD液晶显示器的基本技术指标有：可视角度、点距和分辨率。
几何造型技术的名词解释
几何造型技术的名词解释几何造型技术是一种应用数学几何学原理和方法，用于描述和呈现物体形状和结构的技术。
在现代科技领域，几何造型技术被广泛应用于计算机图形学、工程设计、建筑设计、汽车设计、航空航天等领域。
1. CAD（计算机辅助设计）CAD是几何造型技术的重要应用之一。
它使用计算机软件辅助进行图形设计和模型构建。
通过CAD软件，设计师可以轻松创建三维模型，并进行模拟和分析。
CAD技术大大提高了设计效率和精确度，并广泛应用于工业制造、建筑设计等领域。
2. 曲线和曲面造型曲线和曲面造型是几何造型技术中常用的方法。
曲线可以用来描述二维图形的形状，曲面则用于描述三维物体的形状。
常见的曲线造型方法包括贝塞尔曲线、B样条曲线等，而曲面造型方法则有贝塞尔曲面、B样条曲面等。
这些方法能够准确描述复杂物体的形状，并为后续的分析和加工提供基础。
3. 多边形网格多边形网格是一种常用的离散化表示方法，用于描述三维物体的表面。
它将物体的表面划分成由三角形或四边形组成的网格结构，每个网格点都有自己的坐标和法线向量。
多边形网格可以通过各种技术生成，如手动建模、扫描、造型软件生成等。
它广泛应用于计算机图形学、三维建模等领域。
4. 网格编辑和细分网格编辑和细分是几何造型技术中常用的操作。
在网格编辑过程中，设计师可以对多边形网格进行修改，包括添加、删除或移动网格点等操作，从而调整物体的形状。
而网格细分则是通过对网格进行逐步细化，使其更加平滑和精细。
这些操作可以帮助设计师创建更加复杂和精美的几何模型。
5. 参数化造型参数化造型是一种通过调整参数值来自动生成不同形状的技术。
设计师可以通过改变一些参数值，如长度、角度、比例等，从而快速生成不同形态的模型。
参数化造型技术在计算机辅助设计中经常使用，它提供了一种高效、灵活的方式来生成各种形状。
6. 隐式曲面隐式曲面是一种通过数学方程来描述几何形状的技术。
它可以通过一个或多个方程来表示曲面的形状，而不需要用户指定具体的曲面边界。
几何造型技术研究背景与意义
几何造型技术研究背景与意义几何造型技术是一门研究如何以几何形状和图案来表达和传达信息的学科。
它涵盖了许多领域，如计算机图形学、建筑设计、艺术设计等。
几何造型技术的研究背景和意义在于推动了人类对于几何形状的理解和应用，为各个领域的发展带来了巨大的影响。
几何造型技术的研究背景可以追溯到古代。
古人在建筑设计和艺术创作中就开始运用几何形状来表达美感和传达信息。
例如，古希腊建筑中的柱子和梁的几何形状不仅仅是为了支撑结构，更是为了展示力与美的结合。
古代艺术中的几何图案也是以几何形状为基础，通过排列和组合不同的几何元素来表达丰富的意境和情感。
随着科技的发展和计算机技术的应用，几何造型技术得到了飞速的发展。
计算机图形学的出现使得人们可以通过计算机生成和处理各种复杂的几何形状。
在建筑设计中，几何造型技术的应用使得建筑师可以更加准确地表达设计意图，并且可以通过数字化的手段进行模拟和优化，提高设计效率和质量。
在艺术设计中，几何造型技术的应用使得艺术家可以创造出更加抽象和独特的艺术作品，打破传统的表现形式，开拓了艺术的边界。
几何造型技术的研究意义在于它为各个领域的发展提供了新的思路和方法。
在建筑设计中，几何造型技术的应用可以帮助建筑师更好地理解和掌握建筑结构的力学特性，优化结构设计，提高建筑的安全性和耐久性。
在艺术设计中，几何造型技术的应用可以帮助艺术家创造出更加独特和富有表现力的艺术作品，丰富了艺术的形式和内涵。
在计算机图形学中，几何造型技术的研究可以帮助人们更好地利用计算机生成和处理几何形状，为虚拟现实、游戏开发等领域提供技术支持。
几何造型技术的研究还有助于促进不同领域之间的交流和合作。
几何造型技术作为一门跨学科的研究领域，吸引了来自不同学科背景的研究者和专家。
他们可以通过共同的研究和合作，促进知识的交流和创新的产生。
例如，在建筑设计中，结构工程师和建筑师可以通过几何造型技术的应用，实现结构和形式的无缝衔接，提高建筑的整体性和美感。
《计算机图形学》练习测试题及参考答案
《计算机图形学》测试题一、名词解释：(每个4分)1．计算机图形学2．图象处理3．模式识别4．计算几何5．凸多边形6．种子填充算法7．窗口8．视区9．光顺性10．拟合11．多项式插值12．小挠度曲线13．图形变换14．齐次坐标系15．凸包16．轮廓线17．等值线18．图形的翼边表示19．ER模型20．图形消隐21．本影22．半影23．用户坐标系24．规范化设备坐标系25．构造26．约束技术27．光线跟踪28、走样29、CRT（Cathode Ray Tube）30、隔行（interlaced）扫描31、输入模式32、取样方式（sample mode）33、区域34、边界表示法35、复合变换36、二维复合平移37．二维复合比例38．二维复合旋转39．视区（Viewport）40、投影变换41、平面几何投影42. 参数图43. 像素图44．人机界面45．地理信息系统46．虚拟现实47.几何造型技术48．扫描转换49. 插值曲线50．逼近曲线51. 用户接口52. 交互技术53. 交互式图形系统的基本交互任务54. 定位任务55. 选择任务56. 拾取任务57 .选择技术58. 菜单技术59. 文字输入任务60. 数值输入任务61．动画62．帧63．场64. 消隐65.物体空间的消隐算法66. 漫反射光67. 环境光68. 镜面反射光二、选择题（每题2分）1、计算机图形学与计算几何之间的关系是( )。
A）学术上的同义词B）计算机图形学以计算几何为理论基础C）计算几何是计算机图形学的前身D）．两门毫不相干的学科2、计算机图形学与计算机图象学的关系是( )。
A）计算机图形学是基础，计算机图象学是其发展B）不同的学科，研究对象和数学基础都不同，但它们之间也有可转换部分C）同一学科在不同场合的不同称呼而已D）完全不同的学科，两者毫不相干3、触摸屏是( )设备。
A）输入B）输出C）输入输出D）既不是输入也不是输出4．计算机绘图设备一般使用什么颜色模型？( )A）RGB；B）CMY；C）HSV ；D）HLS5. 计算机图形显示器一般使用什么颜色模型？( )A）RGB；B）CMY；C）HSV ；D）HLS6．分辨率为1024×1024的显示器各需要多少字节位平面数为24的帧缓存？( ) A）512KB；B）1MB；C）2MB ；D）3MB7．哪一个不是国际标准化组织（ISO）批准的图形标准？( )A）GKS；B）PHIGS；C）CGM ；D）DXF8.下述绕坐标原点逆时针方向旋转a角的坐标变换矩阵中哪一项是错误的? ( )| A B || C D |A) cos a;B) sin a;C) sin a;D) cos a9、在多边形的逐边裁剪法中,对于某条多边形的边(方向为从端点S到端点P)与某条裁剪线(窗口的某一边)的比较结果共有以下四种情况,分别需输出一些顶点.请问哪种情况下输出的顶点是错误的? ( )A)S和P均在可见的一侧,则输出S和P.B)S和P均在不可见的一侧,则输出0个顶点.C)S在可见一侧,P在不可见一侧,则输出线段SP与裁剪线的交点.D)S在不可见的一侧,P在可见的一侧,则输出线段SP与裁剪线的交点和P.10、在物体的定义中对边的哪条限制不存在? ( )A) 边的长度可度量且是有限的B) 一条边有且只有两个相邻的面C) 一条边有且只有两个端点D) 如果一条边是曲线,那么在两个端点之间不允许曲线自相交11.下述哪一条边不是非均匀有理B样条(NURBS)的优点? ( )A) NURBS比均匀B样条能表示更多的曲面B) 对于间距不等的数据点,用NURBS拟合的曲线比用均匀B样条拟合的曲线更光滑C) NURBS提供的权控制方法比用控制点更能有效的控制曲线的形状D) 使用NURBS可以提高对曲面的显示效率12.下列关于图的存储表示的叙述中，哪一个是不正确的？A) 无向图的相邻矩阵是对称矩阵B) 对于带权的图，其相邻矩阵中值为1的元素，其值可以用边的权来权替C) 用邻接表法存储包括n个结点的图需要保存一个顺序存储的结点表和n个链接存储的边表D) 用邻接表法存储包括n条边的图需要保存一个顺序存储的结点表和n个链接存储的边表13*.在面片的数量非常大的情况下哪一个消隐算法速度最快? ( )A) 深度缓存算法(Z-Buffer)B) 扫描线消隐算法C) 深度排序算法(画家算法)D) 不知道14*.下面关于深度缓存消隐算法(Z-Buffer)的论断哪一条不正确? ( )A) 深度缓存算法并不需要开辟一个与图像大小相等的深度缓存数组B) 深度缓存算法不能用于处理对透明物体的消隐C) 深度缓存算法能并行实现D) 深度缓存算法中没有对多边形进行排序15.在用射线法进行点与多边形之间的包含性检测时,下述哪一个操作不正确? ( )A) 当射线与多边形交于某顶点时且该点的两个邻边在射线的一侧时,计数0次B) 当射线与多边形交于某顶点时且该点的两个邻边在射线的一侧时,计数2次C) 当射线与多边形交于某顶点时且该点的两个邻边在射线的两侧时,计数1次D) 当射线与多边形的某边重合时,计数1次16*、扫描消隐算法在何处利用了连贯性（相关性Coherence）?(1)计算扫描线与边的交点；（2）计算多边形在其边界上的深度；（3）计算多边形视窗任意点处的深度值；（4）检测点与多边形之间的包含性。
几何和特征造型技术及应用
几何和特征造型技术及应用几何和特征造型技术是计算机图形学中的两个重要领域，它们在不同的应用中发挥着重要的作用。
在这篇文章中，我将介绍几何和特征造型技术的基本概念，并介绍它们在不同领域的应用。
几何造型是计算机图形学中用于描述和表示物体形状的一种技术。
它通过使用一系列的几何图元（如点、线、面）来构建物体的模型。
几何造型技术可以分为两类：基于顶点的造型和基于体素的造型。
基于顶点的造型是通过定义物体的顶点和边来描述其形状的。
这种技术可以使用多边形网格来表示物体的表面。
多边形网格是由一系列的三角形、四边形等简单几何形状所组成的。
它可以用于建模各种形状的物体，从简单的立方体到复杂的有机形状都可以使用多边形网格进行表示。
基于顶点的造型技术常用于计算机游戏、动画制作和虚拟现实等领域。
基于体素的造型是通过将物体空间分割成一系列的小立方体来描述其形状的。
这种技术可以用于建模实体物体，如建筑物、车辆等。
基于体素的造型技术通常需要大量的计算和存储资源，因此在实际应用中常常只用于建模少数物体。
除了几何造型技术，特征造型技术也是计算机图形学中的重要技术之一。
特征造型是一种用于描述和表示物体结构和特征的技术。
特征可以是物体的局部形状、纹理、颜色等。
特征造型技术可以分为两类：基于模型的特征造型和基于图像的特征造型。
基于模型的特征造型是通过对物体进行建模和分析来提取物体的特征。
这种技术通常需要使用专门的算法和工具来完成。
基于模型的特征造型技术可以用于人脸识别、目标跟踪等应用。
基于图像的特征造型是通过对物体的图像进行处理和分析来提取物体的特征。
这种技术通常需要使用计算机视觉和图像处理的技术来完成。
基于图像的特征造型技术可以用于图像检索、图像分类等应用。
几何和特征造型技术在很多领域中都有广泛的应用。
在工业设计中，几何和特征造型技术可以用于产品设计和建模。
在医疗领域中，几何造型技术可以用于制作人体器官的模型，以及进行医学图像的分析和处理。
计算机图形学课件第四章造型技术
目
CONTENCT
录
• 造型技术概述 • 几何造型技术 • 光照模型与渲染技术 • 纹理映射与贴图技术 • 三维模型数据结构与存储 • 造型技术应用实例分析
01
造型技术概述
定义与分类
定义
造型技术是指利用计算机生成、表示、操作和显示三维几何形状 的技术。
分类
根据造型方法的不同，可分为线框造型、表面造型和实体造型三 种类型。
层次细节压缩
根据视点位置和距离等因素，动态调整模型 细节层次，实现不同精度下的压缩与传输。
模型文件格式与标准
通用文件格式
如OBJ、STL等，支持多种三维建模软件和平台，易 于共享和交换数据。
专用文件格式
如FBX、DAE等，针对特定软件或平台进行优化，提 供更高的性能和兼容性。
标准化文件格式
如glTF、COLLADA等，遵循国际标准化组织制定的 规范，促进三维模型数据的互操作性和可扩展性。
真实感图形渲染
真实感渲染
真实感图形渲染是指通过模拟真实世界 中的光线传播和物体表面的反射、折射 、阴影等效果，生成具有高度真实感的 二维图像。
VS
实现方法
实现真实感图形渲染需要采用复杂的光照 模型和渲染算法，如全局光照算法、路径 追踪算法等，同时还需要考虑物体表面的 细节和纹理等因素，通过精细的建模和贴 图等技术手段，达到高度真实的效果。
04
细胞自动机
一种模拟细胞生长和繁殖的算法，可用于生成具有复 杂结构的纹理图像，如木材、大理石等。
05
基于物理模型的合成方法
通过建立物理模型来模拟真实世界中的物理现象，如 水流、烟雾等，从而生成相应的纹理图像。
05
计算机图形学三维造型技术
化要求而产生的，是建立在实体造型方法基础之上， 更适合于计算机集成制造系统的产品设计方法
2022/6/3
58
特征模型 vs. 设计意图
特征的引用直接体现了设计意图
Brep也称为边界模型－Boundary Model表示了点边 面等几何信息及其相互连接关系
用于表示物体边界的有--平面多边形(三角网格是其特例)、 曲面片
边界表示的数据结构
翼边结构
半边结构
2022/6/3
7
翼边结构
由Baumgart引入
精简的、基于边的边界模型 表示出体素的面、边、点的信息，并可检索
什么是客观存在（有效）—实体的定义
具有一定的形状 具有封闭的边界（表面) 内部连通 占据有限的空间 经过运算后，仍然是有效的物体
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28
关于实体（2）
内点 边界点 取内点运算i 取闭包运算c
正则运算r r • A c •i • A
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29
关于实体（3）
推移表示
实体模型
构造实体几何表示
特征表示
空间分割表示
非传统造型技术
分形造型
粒子系统
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53
特征造型系统举例
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54
什么是特征(Feature)
由工作中的面、边及顶点围成的一个特定几何外形/ 一个具有一定工程含义的特定形状
用于论证设计、工程和制造的任何实体
根据边的方向，将新的边界面分类为：in和 out
根据布尔操作类型，将in/out类边界面恰当 组合，构造结果实体：拼合边表和顶点表
《几何造型技术员》课件
• 几何造型技术概述 • 几何造型技术基础知识 • 几何造型技术实践应用 • 几何造型技术面临的挑战与展望 • 几何造型技术案例分析
01
几何造型技术概述
几何造型技术的定义
几何造型技术是一种利用计算机技术 进行三维几何模型设计和创建的技术 。
这种技术广泛应用于工业设计、建筑 设计、动画制作和游戏开发等领域。
案例三：游戏开发中的模型制作
总结词
游戏开发中的模型制作是利用几何造型 技术对游戏中的角色、场景、道具等进 行数字化建模的过程，以提高游戏的视 觉效果和游戏体验。
VS
详细描述
游戏开发中的模型制作需要综合考虑游戏 风格、玩家体验、性能优化等多个因素， 利用几何造型技术建立游戏模型的数字化 模型，并进行细节调整和优化，以达到设 计要求。这一过程中需要掌握相关的软件 工具和技术，如Maya、ZBrush等。
几何造型技术的应用领域广泛，需要与其 他领域的技术和专业知识进行结合，这需 要技术员具备更广泛的技能和知识。
由于几何造型技术需要较高的专业技能和 经验，目前市场上高技能人才短缺，企业 招聘和培养成本较高。
几何造型技术的未来发展方向
智能化 随着人工智能技术的发展，几何 造型技术将更加智能化，能够自 动识别和生成复杂的几何形状， 提高设计效率。
包括线框模型、表面模型和实 体模型等。
拓扑结构
描述三维实体之间的空间关系 和连接方式。
边界表示法
使用边界曲面描述三维实体的 外轮廓。
构造元素法
将三维实体分解为基本的几何 元素，如点、线、面等。
几何建模的常用算法
三维几何变换
包括平移、旋转、缩放等操作。
实体造型算法
实现三维实体的布尔运算、交、并、差等操 作。
计算机图形学曲线和曲面造型ppt课件
• 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连续。
一般来说，如果曲线连续的阶数越高，那么曲线就越光滑。 在几何上，C0，C1，C2依次表示曲线的位置、切线方向，曲 率连续。
• 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的
连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线
具有Ck或k阶参数连续性。
| | dpk (u)
duk
u u0
dpk (u) duk
u
u
0
k 0,1,, n
12
y
y(u, v)
z z(u, v)
曲面的范围通常用两个参数u和v的变化区间的矩形区域 u1 u u2 , v1 v v2 给出。这种曲面通常叫做矩形域曲面。参数u和v的变化区间一般规范为0，1，
10
矢量方程式为 s s(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
计算机图形学
第专题
曲线和曲面造型
1
一. 曲面造型的发展
• 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何
设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD) 和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要 内容，主要研究在计算机图形系统中对曲面的表 示、设计、显示和分析。
多样性 特殊性 拓扑结构复杂性 一体化 集成化 网络化
三维数据采样技术 及硬件设备完善
曲 基于网格细分 面 的离散造型 造 型 曲面变形 研 究 曲面重建 的 开 曲面简化 拓 创 曲面转换 新
计算机图形学_PPT完整版
图形软件主要类型
3. 专用图形软件包 针对某一种设备或应用，设计/配置专用的图形 生成语言或函数集，例如： 场景描述：Open Inventor 建立虚拟世界的三维模型：VRML 生成三维Web显示：Java3D 创建Java applet中的二维场景：Java 2D 生成各种光照模型下的场景：Renderman Interface（Pixar）……
图元的绘制、显示过程
顶点
法向量、颜色、纹理…
像素
图元操作、像素操作 光栅化（扫描转换）
像素信息 帧缓存 显示器
调用底层函数，如 setPixel (x,y)；将当 前像素颜色设定值存 入帧缓存的整数坐标 位置（x,y）处。
图元描述与操作
几何图元由一组顶点（Vertex）描述 这一组顶点可以是一个或是多个。每个顶点信息二维或 三维，使用 2~4 个坐标。顶点信息由位置坐标、颜色 值、法向量、纹理坐标等组成。 图元操作： 几何变换、光照、反走样、消隐、像素操作等，然后准 备进行光栅化处理。 扫描转换或光栅化（Rasterization ） 将对象的数学描述、颜色信息转换成像素信息（像素段 写入帧缓存），送到屏幕显示。
应用程序
图形应用程序
图形语言连接 外部应用 数据库 内部应用 数据库 API GKS/GKS 3D PHIGS OpenGL
图形编程软件包，如OpenGL、 VRML、Java2D、Java3D……
GKSM
图形设备驱动程序，如显卡驱动、 打印机/绘图仪驱动…… 支持图形处理的操作系统,如 Macintosh、Windows、Unix、 Linux 、各种嵌入式OS…… 图形输
计算机图形软件的标准化意义
可移植性 通用、与设备无关 推动、促进计算机图形学的推广、应用 资源信息共享
《计算机图形学》练习试题及参考答案(六)
《计算机图形学》练习试题及答案一、名词解释1、齐次坐标系2、光顺性3、种子填充算法4、镜面反射光5、投影变换6、光线跟踪7、复合变换8、走样9、几何造型技术10、虚拟现实二、简答题1、前截面距离F和后截面距离B定义了什么？2、计算机动画的制作主要步骤3、计算机图形显示器和绘图设备表示颜色的方法各是什么颜色系统？它们之间的关系如何？4、图形软件主语言的选择应考虑哪些因素？5、制定CGI,CGM,IGES标准的目的分别是什么？6、自由曲面的表示通常有哪两种？7、什么叫做走样？什么叫做反走样？反走样技术包括那些？8、简述区域连贯性、扫描线的连贯性以及边的连贯性。
9、简述Bezier曲线的不足之处。
10、建立图形软件可采用哪三种方法？11、在观察空间中，如何确定投影的类型和方向？12、简述编码裁剪法（即Cohen-Sutherland线段裁剪法）的算法过程。
三、应用题1、分析边标志算法的实现过程，并写出其算法的C语言描述。
2、简述深度缓存算法及其特点。
3、假设在观察坐标系下窗口区的左下角坐标为（wxl=10,wyb=10）,右上角坐标为（wxr=50，wyt=50）。
设备坐标系中视区的左下角坐标为（vxl=10,vyb=30）,右上角坐标为（vxr=50,vyt=90）。
已知在窗口内有一点p(20,30),要将点p映射到视区内的点p`,请问p`点在设备坐标系中的坐标是多少？（本题10分）4、如下表是采用DDA算法画出（0，0）到（5，2）的直线的数据，请填写空格处。
i xi yi yi+0.5 int(yi+0.5)1 0 0 0.5 02 13 24 35 46 5 2 2.5 25、已知三角形ABC各顶点的坐标A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相对直线Y=4做对称变换后到达A’、B’、C’。
试计算A’、B’、C’的坐标值。
（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵）6、试对下图中的多边形进行裁剪，用图表示裁剪过程。
计算机图形学-实体几何造型基础
将三维形体点集分成内部点集和边界点集两部分 先找出形体的内部点集 然后形成形体内部点集的闭包
(a) 形体的开集
(b) 图(a)开集的闭包
(c) 图(a)形体的内部点集 (d) 图(c)内部点集的闭包
图6-9 正则形体的形成过程示意图
22
哈尔滨工业大学计算机学院 苏小红
实体的定义（3/14）
多面体模型（4/10）
基于边的表示
边数组的每个元素包含4个指针，分别指向对应 边的两个顶点和它邻接的两个多边形法向量
Nv3
Np2 Nv2 E3
V3
E2
Np1 Nv0
V2 E0Nv1 E4
E1
V0
V1
边数组
1,2,2,0 0,1,1,0 3,0,1,0 2,3,2,0 3,1,2,1
…
顶点数组
V0,Nv0 V1,Nv1 V2,Nv2 V3,Nv3
（4）边界的确定性
根据实体的意次序的集合运算之后，实体 仍保持其同等的有效性
25
哈尔滨工业大学计算机学院 苏小红
实体的定义（4/14）
正则形体的表面的性质
（1）连通性
位于实体表面上的任意两个点都可用实体表面上的一条 路经连接起来
10
哈尔滨工业大学计算机学院 苏小红
多面体模型（2/10）
通常以层次结构存储
表面表数组 多边形表面数组 顶点数组
表面表0 表面表1
…
多边形表0 多边形表1
…
V0,Nv0 V1,Nv1 V2,Nv2 V3,Nv3
…
在背面剔除中用到
多边形法向量数组 Np0 Np1
…
在Phong明暗处理算法中用到
第10章 计算机图形学的几何造型技术
可界定出面，面包围成体等等。 其中的点、边、面在
几何上要协调一致，在拓扑关系上也要满足一定的要 求，其中一个重要的结果就是欧拉公式:
V(顶点数)-E(边数)+F(面数)-R(环数)+2H(通孔数)2S(3D实体数)=0 (10.1.2) 其中: 通孔表示没有上、下底面的洞，不包括凹陷 的坑; 3D实体表示相互不连通的3D几何实体。
可按图10.2所示结构层次的几何对象进行描述。
第10章 计算机图形学的几何造型技术
E il 1
Vi0 Fi0
E il 0
Eir1
Ei vi1 Eir0
Fi1
图10.1 基本三维几何实体的数据结构
第10章 计算机图形学的几何造型技术 图10.2中各名词术语的意义可进一步明确如下： 壳是由具有某种一致方向的一组面的集合构成的， 它形 成封闭的单一连通空间并构成实体的边界。 面是有界、不自交的连通表面， 带有方向性，由一个外 环和若干内环作边界。 面可以无内环， 但一定有外环。 一 张面只能从属于一个壳。 环是面的封闭边界， 由有向边按一定顺序组成。 环不 能自交，即环的各条组成边除了公共端点外不能再有其它交 点。 环有内外之分， 确定面中内孔或凸台周界的环是内环， 具有顺时针走向； 确定面的最大外边界的环是外环， 具有 逆时针走向。 基于这一定义， 在面上沿任一条边的正向前 进， 物体内部总保持在左侧、外部总保持在右侧。
第10章 计算机图形学的几何造型技术 10.1.2 由三维欧氏几何实体表示的数据结构 1. 数据的翼边结构 正规形体模型的翼边数据结构表示的实体的分层 几何实体结构如图10.2所示。 翼边结构由Baumgart等 提出，它以边为中心，清楚说明多面体模型中点、线、 面之间的拓扑关系。图10.1表示从外面观察多面体的一 条边Ei 时，可以见到边Ei 的前后两个顶点Vi0 和Vi1 ，左 右两个邻面Fi0 和Fi1 ，以及上下左右四条邻边: 左顺时 针边Eil0 、左逆时针边Eil1 、右顺时针边Eir0 和右逆时针 边Eir1。
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第10章 计算机图形学的几何造型技术 例如图10.3所示的实体， 可以用长方体和圆柱体 两种基本实体进行拼合获得:
立存在的低维部分，如二维的面、一维的线或零维的点。 这也就是通常所说的孤点、悬边或面。
CSG模型通过将简单的基本实体进行集合的并、交、
差运算产生复杂的几何实体。 在直接的集合运算过程中， 并不能保证所得结果的正则性。 为保证CSG模型结果的正 则性，需要对直接的集合运算结果进行正则化处理。
第10章 计算机图形学的几何造型技术 正则多面体的顶点、边、环、面之间满足一定的 条件： 如两点成一边，首尾相连的若干边组成环，环
的曲线，相同参数对应的两点之间形成对应。 其次是
每组对应点之间的过渡关系的建立。 比较简单直观的 是让所有对应点沿两点之间的连线进行过渡，所有连
线都与基准线具有同一个参数。 对应基准线的每一个
参数的所有点构成一条相应的过渡线。 在基准线不是 一点时， 令先前产生的两剖面线之间的过渡线的起点
平移到基准线上的相应位置。
实体= (长方体+ 粗圆柱体)-细圆柱体(10.1.1)
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(－) (＋)
图10.3 基本三维几何实体数据结构
第10章 计算机图形学的几何造型技术 2. 实体的正则性及欧拉运算 前面我们已经提到了实体的正则性。 其本质的含义就
是说我们要处理的三维实体是真正的三维几何体，不包括独
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第10章 计算机图形学的几何造型技术
10.1 三维欧氏几何实体造型方法 10.2 分形几何方法
习题
第10章 计算机图形学的几何造型技术
10.1 三维欧氏几何实体造型方法
10.1.1 基本三维欧氏几何实体描述 通常情况下， 三维实体是由封闭表面围成的有限 的三维空间，一个基本的三维几何实体由点、线、面 构成。这里以最简单的长方体为例来说明。如图10.1所 示，如果这个长方体中间有圆柱形空洞，则相应物体
空间与两个圆柱半空间的交，并且要注意两个圆柱半 空间的不同： 一个是内侧，另一个是外侧。
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图10.4 几何实体半空间表示法
第10章 计算机图形学的几何造型技术 10.1.4 三维欧氏几何实体的面表示法 1. 扫描曲面的产生
一种比较常用的操作性面表示法称为扫描或扫成 (sweeping)法。 它用来表示在移动某个指定的几何 对象的过程中经过的三维空间区域产生的几何实体。 移动的方式包括平移、旋转及其它对称变换等。 在移 动的过程中，移动的几何对象大多为二维几何体部分 或全部边界线，其形状可以变化，也可以不变化。由 于这类实体的几何形状通常被其边界曲面所指定，因 此我们主要关心其作为扫描面的边界曲面的形状，而 较少提到三维扫描几何实体。
可界定出面，面包围成体等等。 其中的点、边、面在
几何上要协调一致，在拓扑关系上也要满足一定的要 求，其中一个重要的结果就是欧拉公式:
V(顶点数)-E(边数)+F(面数)-R(环数)+2H(通孔数)2S(3D实体数)=0 (10.1.2) 其中: 通孔表示没有上、下底面的洞，不包括凹陷 的坑; 3D实体表示相互不连通的3D几何实体。
翼边数据结构通过边指明了如上所述的所有相关
信息，可帮助我们方便快速地查找构成体的各几何元 素之间的连接关系。 当然，这种方法的存储内容有重
复，要求存储的信息比较大。
第10章 计算机图形学的几何造型技术 2. 数据的对称结构 翼边数据结构是以边为中心表示实体的方法。 用
对称数据结构表示实体时，点、边、面处于对称的地
终渐变成终止剖面线时扫描产生曲面。这个过程中要 做的是建立起始和终止两条剖面线上点的对应关系。
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Q( )
P(u)
图10.5 一条剖面线沿一条基准线
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P1(u) Q( )
P0(u)
图10.6 两条剖面线沿一条基准线
第10章 计算机图形学的几何造型技术 为简化问题，先考虑基准线为一个点的特殊情 形。 一般认为这两条剖面曲线都是参数空间［0, 1］上
位： 由某个边出发，可明确指出边所在的面和构成边 的点； 同时，由某个点出发，可明确指出边所在的所
有边和所有面； 由某个面出发，也可明确指出组成面
的所有边和所有点。
第10章 计算机图形学的几何造型技术 10.1.3 三维欧氏几何实体的体表示法 1. CSG树构造法
CSG即Constructive Solid Geometry（构造实体几何） 的缩写。 这个方法的思路是将简单的基本实体通过集合 的并、交、差运算产生复杂的几何实体。 常用的基本几 何实体有长方体、球体、圆柱体、圆锥体、圆台、三维 环等，甚至还有更复杂的自定义实体。
第10章 计算机图形学的几何造型技术 图10.7可解释成给定一条剖面线和两条基准线，让剖 面线的两端分别沿两条基准线的起点同步移动到基准线的 终点时扫描产生曲面。 抛开剖面线和两条基准线的实际含 义，交换两者的名称，则这里曲面的生成与图10.6中给定 两条不同的剖面线和一条基准线生成曲面的方式相同。 给 定两条剖面线和两条基准线生成曲面可以用孔斯曲面的方 法。 扫描面生成曲面的方式由于操作简单、直观， 因而易 于在交互设计中应用。 给定剖面线和基准线后生成曲面的 数学表达式都不难依据其生成方式求得，详细的细节推导 留做习题。
第10章 计算机图形学的几何造型技术 (3) mev(v1，v2，e， f1，f2): 在已知顶点v1和v2之间 生成一条新边e， 由此产生f1的邻面f2。 如分裂了一
个顶点， 则产生一条环形边， 把面分成两个区域。 其
逆操作为kev(v1，v2，e，f1，f2)。 (4) kekr(v1，v2，e): 删除v1和v2之间的边e， 生成内
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Q0( ) P(u) Q1( )
图10.7 一条剖面线沿两条基准线
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图10.8 常见曲面的扫描产生
第10章 计算机图形学的几何造型技术 需要说明的是，剖面线和基准线都可以是闭曲线。 如图10.8所示，常见的旋转面就是基准线为闭曲线圆弧的扫 描面。 圆柱面就是剖面线为闭曲线圆弧的扫描面。 圆环曲 面就是剖面线和基准线都为闭曲线圆弧的扫描面。 2. 曲面求交 前面的曲面的造型技术在实际应用中常需要把单个的曲 面拼合起来， 以构成设计所需要的复杂外形。 另外，三维 实体的并、交、差也需要确定相关集合的边界面的交叉部分。 所有这些都涉及到不同曲面的相交和分割问题。 可以说曲面求交是曲面及实体造型操作中最基本的算法 之一，使用得最频繁。 因此要求曲面求交必须准确、可靠、 迅速， 并且保留相交曲面的已知拓扑关系， 以便获得正确 的实体造型结果。
第10章 计算机图形学的几何造型技术 通过面指定的半空间即是我们所需要的基本几何 体。 一个三维实体可以用若干个面所指定的实半空间
的交来表示。 例如如图10.4所示， 一个长方体可以看
成是由六个侧平面指定的六个半空间的交； 一个圆柱 体可以看个空心圆柱体则是由两个平面定义的半
第10章 计算机图形学的几何造型技术 边是物体上两个相邻面的交界线段， 通常一条边 只能为两个面所共有。 边有从起点指向终点的方向，
除首尾相连的封闭边外，不能自交。
顶点是边的端点， 不能出现在边的内部， 也不能 孤立存在于物体的内部。 复杂的三维几何实体可以由简单的基本几何实体 组合构成。 下面介绍结合计算机的要求，用点、线、 面、体表示复杂的三维实体的各种方法。
第10章 计算机图形学的几何造型技术
体：三维实体
壳：成组的面，体的边界
面：平面或曲面
环：成组的边，面的边界
线：直线或曲线边
点：顶点
图10.2 基本三维几何实体的构成要素
第10章 计算机图形学的几何造型技术 图10.1中的边的顶点信息只存储一次，有一个惟一 的标识号。 但它被左右邻面的环表引用两次: 一次正 向，一次反向。 可以在环的边表结构中设一标识位， 说明每一条边在环的统一走向中与边的原始定义方向 一致还是相反。
(1) mvfs(v, f): 输入一个点， 构造一个拓扑球， 也就是建
立一个实体骨架， 形成边界模型的初始状态。 这时只有一个 顶点和一张没有边界的(球) 面。 其逆操作为kvfs(v, f)。
(2) mev(v1, v2, e): 输入一个顶点v2， 与已有的顶点v
1连成一条新边e。 其逆操作是kev(v1，v2，e)。
第10章 计算机图形学的几何造型技术 10.1.2 由三维欧氏几何实体表示的数据结构 1. 数据的翼边结构 正规形体模型的翼边数据结构表示的实体的分层 几何实体结构如图10.2所示。 翼边结构由Baumgart等 提出，它以边为中心，清楚说明多面体模型中点、线、 面之间的拓扑关系。图10.1表示从外面观察多面体的一 条边Ei 时，可以见到边Ei 的前后两个顶点Vi0 和Vi1 ，左 右两个邻面Fi0 和Fi1 ，以及上下左右四条邻边: 左顺时 针边Eil0 、左逆时针边Eil1 、右顺时针边Eir0 和右逆时针 边Eir1。
可按图10.2所示结构层次的几何对象进行描述。
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E il 1
Vi0 Fi0
E il 0
Eir1
Ei vi1 Eir0
Fi1
图10.1 基本三维几何实体的数据结构
第10章 计算机图形学的几何造型技术 图10.2中各名词术语的意义可进一步明确如下： 壳是由具有某种一致方向的一组面的集合构成的， 它形 成封闭的单一连通空间并构成实体的边界。 面是有界、不自交的连通表面， 带有方向性，由一个外 环和若干内环作边界。 面可以无内环， 但一定有外环。 一 张面只能从属于一个壳。 环是面的封闭边界， 由有向边按一定顺序组成。 环不 能自交，即环的各条组成边除了公共端点外不能再有其它交 点。 环有内外之分， 确定面中内孔或凸台周界的环是内环， 具有顺时针走向； 确定面的最大外边界的环是外环， 具有 逆时针走向。 基于这一定义， 在面上沿任一条边的正向前 进， 物体内部总保持在左侧、外部总保持在右侧。