离散数学第五章
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f g
∴函数的复合运算不满足交换律。
《定理》：函数的复合运算是可结合的，即如果f,g,h均 为函数，则有：
h (g f ) (h g) f
证明： ∵二元关系的复合是满足结合律的，而函数 也是
一种二元关系，∴函数的复合也是满足结合律 。
例：I是整数集合，f：I→I定义成f(i)=2i+1，求复合函数 f 3 (i)
§ 3 函数的复合和逆函数
设 x, y R ，则 y, x R~
现在讨论函数能否像二元关系那样得到逆函数呢？
例：定义一函数 f如右图所示
(1) ~f 的定义域不是Y，而是Y的子集 (2) ~f 不满足函数定义中值是唯一的条件
~f 是一种二元关系，而不是函数
（3）只有双射函数存在逆函数.
为了和逆关系相区别，函数f的 “逆函数” 用 f 1 来表示
又∵g为入射函数,且 f (xi ) f (x j )
g( f (xi )) g( f (x j )) 即 g f (xi ) g f (x j )
xi , x j 是任意的，
g f 也是入射函数。
可用同样的方法证明（1）和（3）
例：设 I 是负整数集合，定义二个双射函数f和g，
f : I I f(x)= - x ={<-1,1><-2,2>…}， g : I N g(x)= x-1={<1,0><2,1>…}，
g f : I N g( f (x)) ((x) 1) { 1,0 2,1 }
《定理》：设f: X→Y，g:Y→Z， g f 是一合成函数，则：
(1)如果f和g都是满射函数，则 g f 也是满射函数； (2)如果f和g都是入射函数，则 g f 也是入射函数； (3)如果f和g都是双射函数，则 g f 也是双射函数。
证明：（2）设任一 xi , x j X xi x j ∵f为入射函数，∴ f (xi ) f (x j )
| Y||X | nm
§2 特殊函数
1.几种特殊函数 《定义》：给定函数f: X→Y，如果值域 Rf=Y
则称f为满射函数。
满射函数一定有： (1)|X|≥|Y| (2) Rf=Y
《定义》：给定f: X→Y，如果有 x1 x2 f (x1) f (x2 )
或者：f (x1) f (x2 ) x1 x2 则称f是入射函数。
函数f的定义域为： dom f A
（3）对任意 x A ，其函数值f(x)是唯一的
（4）函数f 的值域： ranf B
例：判定下列关系是否为函数
Df X
Rf Y
是函数
Df X
不是函数
值不是唯一的 不是函数
例：设X=Y=R（实数） (1) f { x, y | x, y R y x2}
解： f 3 (i) f ( f f (i)) f f (2i 1) f (2(2i 1) 1)
2(2(2i 1) 1) 1 8i 6 1 8i 7
f 3 (i) f ( f 2 (i)) 2 f 2 (i) 1 2(2 f (i) 1) 1
2(2(2i 1) 1) 1 8i 6 1 8i 7
X Y { a,0 a,1 b,0 b,1 c,0 c,1 }
X Y 中，有 26 64 个子集。
每个子集对应一个二元关系，因此在集合X → Y上 可以产生64个二元关系。
但在64个关系中只有8个二元关系符合函数的定义。
这8个函数为：
abc f0 { a,0 b,0 c,0 } 000
例：sin(cos x)，先求cos x，然后求sin(cos x)
讨论定义： 两个函数的复合可以形成一个新的函数。
例：设X={1,2,3}, Y={p,q}, Z={a,b} f: X→Y={<1,p><2,p><3,q>} g:Y→Z={<p,b><q,b>}
则： g f { 1,b 2,b 3,b } g f 是X→Z的函数
入射函数满足： (1)|X|≤|Y| (2) Rf⊆Y
《定义》：给定函数f: X→Y，如果f既是满射函数， 又是入射函数，则称f为双射函数。
双射函数满足： (1)|X|=|Y| (2) Rf=Y
例：在全班同学的集合中，设：X={学号}，Y={姓名} 则：f: X→Y是一双射函数（学号和姓名的关系）
这是函数 (2)g { x, y | x, y R x y2}
这不是函数
2．函数相等
《定义》：给定函数f:A→B和g:C→D，如果A=C，B=D，
并对所有的 x A 或 x C 都有f(x)=g(x)，则称
函数f和பைடு நூலகம்是相等的 。
２．函数的构成
例：设X={a,b,c}，Y={0,1}，则
第五章 函 数
§1 函数的概念 §2 特殊函数 §3 函数的复合和逆函数
§1 函数的概念
１．函数的定义 《定义》设A和B是任意两个集合，f是 A→B的一个二
元关系，若对于任意x∈A，集合B都存在 唯一的 元
素y ， 使得<x,y>∈ f ，则称二元关系f为函数（映
射）,并记为：f：A→B。
讨论定义： （1）若<x,y>∈ f，则称x为自变量，y称作函数f在x点处 的值。也可用y=f(x)表示<x,y>∈ f。 （2）二元关系f为集合A→B上的函数，则
《定义》：设 f : X Y 是一双射函数，称 f 1 : Y X
为f的逆函数。
《定理》：如果f: X→Y是双射函数，则 ： 也为双射函数。
f 1 : Y X
《定义》：设f: X→Y和g:W→Z是二个函数，若 f (X ) W 则：
g f { x, z | x X z Z y( y Y y f (x) z g( y))} 称g在函数f的左边可复合。
f2 0a1b0c abc
f4 100 abc
f6 110
abc f1 001
abc f3 011
abc f5 101
abc f7 111
讨论： （1）设|X|=m，|Y|=n，则函数f: X→Y中都是m个序偶的集
合；（即序偶个数=定义域的基数）
（2）X中每一个元素所对应的象点f(x)可能是Y中n个， 则从集合X-Y的所有函数个数为：
∴函数的复合运算不满足交换律。
《定理》：函数的复合运算是可结合的，即如果f,g,h均 为函数，则有：
h (g f ) (h g) f
证明： ∵二元关系的复合是满足结合律的，而函数 也是
一种二元关系，∴函数的复合也是满足结合律 。
例：I是整数集合，f：I→I定义成f(i)=2i+1，求复合函数 f 3 (i)
§ 3 函数的复合和逆函数
设 x, y R ，则 y, x R~
现在讨论函数能否像二元关系那样得到逆函数呢？
例：定义一函数 f如右图所示
(1) ~f 的定义域不是Y，而是Y的子集 (2) ~f 不满足函数定义中值是唯一的条件
~f 是一种二元关系，而不是函数
（3）只有双射函数存在逆函数.
为了和逆关系相区别，函数f的 “逆函数” 用 f 1 来表示
又∵g为入射函数,且 f (xi ) f (x j )
g( f (xi )) g( f (x j )) 即 g f (xi ) g f (x j )
xi , x j 是任意的，
g f 也是入射函数。
可用同样的方法证明（1）和（3）
例：设 I 是负整数集合，定义二个双射函数f和g，
f : I I f(x)= - x ={<-1,1><-2,2>…}， g : I N g(x)= x-1={<1,0><2,1>…}，
g f : I N g( f (x)) ((x) 1) { 1,0 2,1 }
《定理》：设f: X→Y，g:Y→Z， g f 是一合成函数，则：
(1)如果f和g都是满射函数，则 g f 也是满射函数； (2)如果f和g都是入射函数，则 g f 也是入射函数； (3)如果f和g都是双射函数，则 g f 也是双射函数。
证明：（2）设任一 xi , x j X xi x j ∵f为入射函数，∴ f (xi ) f (x j )
| Y||X | nm
§2 特殊函数
1.几种特殊函数 《定义》：给定函数f: X→Y，如果值域 Rf=Y
则称f为满射函数。
满射函数一定有： (1)|X|≥|Y| (2) Rf=Y
《定义》：给定f: X→Y，如果有 x1 x2 f (x1) f (x2 )
或者：f (x1) f (x2 ) x1 x2 则称f是入射函数。
函数f的定义域为： dom f A
（3）对任意 x A ，其函数值f(x)是唯一的
（4）函数f 的值域： ranf B
例：判定下列关系是否为函数
Df X
Rf Y
是函数
Df X
不是函数
值不是唯一的 不是函数
例：设X=Y=R（实数） (1) f { x, y | x, y R y x2}
解： f 3 (i) f ( f f (i)) f f (2i 1) f (2(2i 1) 1)
2(2(2i 1) 1) 1 8i 6 1 8i 7
f 3 (i) f ( f 2 (i)) 2 f 2 (i) 1 2(2 f (i) 1) 1
2(2(2i 1) 1) 1 8i 6 1 8i 7
X Y { a,0 a,1 b,0 b,1 c,0 c,1 }
X Y 中，有 26 64 个子集。
每个子集对应一个二元关系，因此在集合X → Y上 可以产生64个二元关系。
但在64个关系中只有8个二元关系符合函数的定义。
这8个函数为：
abc f0 { a,0 b,0 c,0 } 000
例：sin(cos x)，先求cos x，然后求sin(cos x)
讨论定义： 两个函数的复合可以形成一个新的函数。
例：设X={1,2,3}, Y={p,q}, Z={a,b} f: X→Y={<1,p><2,p><3,q>} g:Y→Z={<p,b><q,b>}
则： g f { 1,b 2,b 3,b } g f 是X→Z的函数
入射函数满足： (1)|X|≤|Y| (2) Rf⊆Y
《定义》：给定函数f: X→Y，如果f既是满射函数， 又是入射函数，则称f为双射函数。
双射函数满足： (1)|X|=|Y| (2) Rf=Y
例：在全班同学的集合中，设：X={学号}，Y={姓名} 则：f: X→Y是一双射函数（学号和姓名的关系）
这是函数 (2)g { x, y | x, y R x y2}
这不是函数
2．函数相等
《定义》：给定函数f:A→B和g:C→D，如果A=C，B=D，
并对所有的 x A 或 x C 都有f(x)=g(x)，则称
函数f和பைடு நூலகம்是相等的 。
２．函数的构成
例：设X={a,b,c}，Y={0,1}，则
第五章 函 数
§1 函数的概念 §2 特殊函数 §3 函数的复合和逆函数
§1 函数的概念
１．函数的定义 《定义》设A和B是任意两个集合，f是 A→B的一个二
元关系，若对于任意x∈A，集合B都存在 唯一的 元
素y ， 使得<x,y>∈ f ，则称二元关系f为函数（映
射）,并记为：f：A→B。
讨论定义： （1）若<x,y>∈ f，则称x为自变量，y称作函数f在x点处 的值。也可用y=f(x)表示<x,y>∈ f。 （2）二元关系f为集合A→B上的函数，则
《定义》：设 f : X Y 是一双射函数，称 f 1 : Y X
为f的逆函数。
《定理》：如果f: X→Y是双射函数，则 ： 也为双射函数。
f 1 : Y X
《定义》：设f: X→Y和g:W→Z是二个函数，若 f (X ) W 则：
g f { x, z | x X z Z y( y Y y f (x) z g( y))} 称g在函数f的左边可复合。
f2 0a1b0c abc
f4 100 abc
f6 110
abc f1 001
abc f3 011
abc f5 101
abc f7 111
讨论： （1）设|X|=m，|Y|=n，则函数f: X→Y中都是m个序偶的集
合；（即序偶个数=定义域的基数）
（2）X中每一个元素所对应的象点f(x)可能是Y中n个， 则从集合X-Y的所有函数个数为：