离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数教学文案

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离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数

离散数学习题解答

习题五（第五章格与布尔代数）

1．设〈L ，≼〉是半序集，≼是L 上的整除关系。问当L 取下列集合时，〈L ，≼〉是否是格。

a) L={1，2，3，4，6，12} b) L={1，2，3，4，6，8，12} c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10}

[解] a) 〈L ，≼〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。

b) 〈L ，≼〉不是格。因为L 中存在着两个元素没有上确界。例如：8

12=LUB{8，12}不存在。

c) 〈L ，≼〉不是格。因为L 中存在着两个元素没有上确界。

倒例如：46=LUB{4，6}不存在。

2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。证明：〈S ，⊆〉是〈2B

，⊆〉的子格。其中

S={y|y=f (x)，x ∈2A

}

[证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A

，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}⊆B 所以B 1∈2B

，故此S ⊆2B

；又B 0=f (A)∈S (因为A ∈2A

)，所以S 非空；

对于任何B 1，B 2∈S ，存在着A 1，A 2∈2A

，使得B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，从而 L ∪B{B 1，B 2}=B 1∪B 2=f (A 1)f (A 2)

=f (A 1∪A 2) （习题三的8的1））由于A 1∪A 2⊆A ，即A 1∪A 2∈2A

，因此f (A 1∪A 2)∈S ，即上确界L ∪B{B 1，B 2}存在。

大学《离散数学》题库及答案

《离散数学》题库与答案

一、选择或填空

（数理逻辑部分）

1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A )

(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P

答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）

2、下列公式中哪些是永真式？( )

(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)

答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明

3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )

(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q

(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P

答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式

4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z（考察定义在公式∀x A和∃x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在∀x A和∃x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为

约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和∃z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）

5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )

《离散数学》教学大纲

《离散数学》教学大纲（专科）

说明

一．课程的性质

本课程是为计算机科学与技术专业专科开设的专业基础课。

离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程，是学习专业理论不可少的数学工具。离散数学是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个和可数个元素，充分描述了计算机科学离散性的特点。在计算机科学中，离散数学与数据结构、操作系统、逻辑设计、算法分析、编译原理、人工智能、系统结构等课程联系紧密。

学习离散数学不仅为后续课程作必要的理论准备，而且其课程内容中所提供的一些把科学理论应用于实践的范例，可以培养学生逐步增强如何实施“科学理论---技术---生产力”转化的观念和方法，提高学生在知识经济时代中的适应能力。同时本课程在培养学生的创新能力，提高学生的科研素质方面都有着重要作用。

二．课程的教学目的和要求

在计算机科学教学中，离散数学主要是为专业服务的基础理论课，是一门概念较多、理论性较强，应用性较广的课程。本课程主要教授数理逻辑、集合论、代数系统、图论方面的基础知识，是计算机科学与技术教学中一些后续课程学习的基础和工具。通过本课程的学习，要使学生掌握离散数学的基本概念和基本原理，以现代数学的观点和方法，初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法。同时，也要培养学生抽象思维、慎密概括、逻辑推理的能力，从而使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力。

三．课程的主要教学内容

1.集合论：集合的基本概念，集合的运算，包含排斥原理。

离散数学《离散结构R》教学大纲

《离散结构R》教学大纲

课程编号：（00007732）

课程中文名称：（离散结构R）注:此时为（离散结构R）

课程英文名称：Discrete Mathematical Structures R

总学时：（56）实验学时：（0）上机学时：（0）

学分：（3.5）

适用专业：计算机与软件学院——软件工程专业、计算机应用技术、物联网工程、信息安全专业

一、课程性质、目的和任务（300字内）

离散结构是现代数学的一个重要分支和计算机科学基础理论的核心学科，它充分描述了计算机科学离散性的特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立起来的新兴基础学科。

离散结构是《离散的数学结构》的缩写。研究对象是世间一切事物之间的关系。所采用的研究方法有集合、代数、图、数理逻辑等。与计算机的关系：第一部分集合论.。集合：一种重要的数据结构；关系：关系数据库的理论基础；函数：所有计算机语言中不可缺少的一部分。第二部分代数系统。计算机编码和纠错码理论；数字逻辑设计基础；计算机使用的各种运算。第三部分图论。数据结构、操作系统、编译原理、计算机网络原理的基础。第四部分数理逻辑。计算机是数理逻辑和电子学相结合的产物。

二、课程教学内容及学时分配（每章均包括以下三项内容）

离散数学的其基本内容为：

离散数学的内容分为四部分：第一部分数理逻辑：命题演算、谓词演算。第二部分集合论：集合、关系、函数。第三部分代数系统：运算、代数系统、半群、群、环、域、格、布尔代数。第四部分图论：点与边、路与圈、最短路、Euler图、Hamilton图、二分图、平面图、树。

离散数学课程教学大纲

《离散数学》课程教学大纲

四川广播电视大学计算机教研室

责任教师孙继荣

第一部分大纲说明

一、课程的性质与任务

《离散数学》是中央电大数学与应用数学专业本科与计算机应用专业计算机信息管理方向必修的专业基础课程。它是学习后续专业课程不可缺少的数学工具。该课程结合计算机学科的特点，主要研究离散量结构及相互关系，是一门理论性较强，应用性较广的课程。

掌握集合论、数理逻辑和图论等离散数学的基本概念和基本原理，为学习计算机专业各后续课程做好必要的知识准备。进一步提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。

二、与其他相关课程的关系

先修课程：高等数学、线性代数。

后续课程：数据结构、数据库、操作系统、计算机网络等。

三、课程的教学内容和教学要求

本课程分为四个部分：集合论、数理逻辑、代数系统以及图论，主要是要求学生掌握离散数学（集合论、数理逻辑和图论）的有关基本概念，对基本原理及基本运算的应用。

第一章集合

主要内容：集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集；集合的交、并、差、补等运算及运算律和文氏图；序偶与笛卡儿积。

重点：集合概念、集合的运算、集合恒等式的证明、笛卡儿积。

第二章二元关系

主要内容：关系、关系矩阵和关系图；复合关系和逆关系；关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）；关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）；等

价关系和等价类；偏序关系与哈斯图、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界；函数及其性质（单射、满射、双射）；复合函数与反函数；

格和布尔代数资料

例: 设A为非空集合，则<P(A),∩, ∪> 是一个代数格，它所对应的幂集P(A)上的偏序关系为。
要证明定理6-1.4，我们需要如下引理：
引理6-1.1 设<A,,>是一个代数系统，其中和都是二元运算且满足吸收性，则和都满足幂等性。
14
定理6-1.5 在一个格<A,≼> 中，对任意a,b,c∈A，
Ø
{a} {b} {a,b}
6
定义6-1.3 设<A, >是一个格，由<A, >诱导的代数系统为<A,∨,∧>，设BA且B≠ø,如果A 中的这两个运算∨和∧关于B是封闭的，则称<B, >是<A, >的子格。
7
例：偏序关系<I+,|>是一个格，由它诱导的代数系统为<I+,∨,∧>,其中a∨b就是a,b的最小公倍数， a∧b就是a,b的最大公约数。因为任何两个偶数的最大公约数和最小公倍数都是偶数，所以，如果取 E+是正偶整数的全体，那么∨和∧关于E+是封闭的，因此<E+,|>是<I+,|>的子格。注意：对于格<A,≼>,设B是A的非空子集，尽管 <B,≼>必定是一个偏序集，然而<B,≼>不一定是格，而且即使<B,≼>是格，也不一定是<A,≼>的子格。

离散数学9-格与布尔代数

3
例如：集合C={1, 2, 4, 6, 12}与整除关系组成偏序集,对任意a,b∈N，
inf(a,b)=GCD(a,b)∈N，sup(a,b)=LCM(a,b)∈N，因此（N,|）是格，其中GCD表示最大公约数，LCM表示最小公倍数。集合S={a, b}的幂集(S)和包含关系组成偏序集，对任意A,B(S)， inf(A, B)=A∩B(S)，sup(A, B)= A∪B(S)，因此（P(S),⊆）是格。
8
一、基本概念
定义3: 格的对偶性原理：S为格<A，≤>上的有效命题，当且仅当S*为<A，≥>上的有效命题，这里S*称为 S的对偶式，即将S中符号∨，∧，≤分别改为∧， ∨，≥后所得的公式，而 a≥b意即b≤a 。
例如S1：a∨(a’∧b)=a∨b成立，则S1*： a∧(a’∨b)=a∧b也成立。S2：a∧b≤a成立，则 S2*：a∨b≥a也成立。
证明：根据a≤b⟺a⊙b=a，有 f(a⊙b)=f(a)∧f(b)=f(a) 所以 f(a)≤′f(b)。
23
有一、二、三个元素的格，分别同构于一、二、三个元素的链。四个元素的格必同构于图9-4中(a)和(b) 之一。五个元素的格必同构于图9.1.5中(a)，
(b)，(c)，(d)，(e)之一。
12
一、基本概念
证明： (1) 自反性：由于a∨a=a，所以<a, a>R。 (2) 反对称性：如果<a, b>R且<b, a>R，那么a∨b=b且

离散数学教学大纲

《离散数学》教学大纲

前言

离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。是研究计算机科学的基本数学工具，离散数学是以离散量作为其研究对象，在离散数学中非常重视“能行性”问题的研究，要解决一个问题，首先要证明此问题解的存在性，同时要找出得到此问题解的步骤来，而且其步骤必须是有限的、有规则的。这就构成了离散数学的特征。在计算机科学中，离散数学与数据结构、操作系统、逻辑设计、算法分析、编译原理、人工智能、系统结构等课程联系紧密。

教学目的要求和内容

离散数学是计算机类专业基础理论的核心课，它根据计算机科学的特点，主要研究离散对象之间的数据结构和相互关系。它的预修课程是线性代数。离散数学涉及的数学领域非常广，同时与计算机科学和相关学科关系非常密切，是很多计算机有关课程的基础，如：高级语言、数据结构、编译原理、操作系统、可计算性理论、人工智能、形式语言与自动机、信息管理与检索以及开关理论等，离散数学也是研究自动控制、管理科学、电子工程等的重要工具。教学目的通过本课程的学习，为计算机各专业理论的讲授做好必要的准备知识，使得学生了解离散结构之间的关系和基于这些离散结构的算法，掌握基本的计数技巧，能够对一些简单的算法给出定量的分析，培养学生的抽象思维和严密的概括能力，强化思维的推理，能够在理论推导上有所提高，并且能够对计算机描述的世界进行基本建模，并为提高专业理论水平打下扎实的基础。

学生应该按照本大纲的具体要求，掌握基本的离散对象结构和特性，以及离散结构之间的关系和算法，能够对一些简单的算法给出定量的分析，并有较强的逻辑推理能力，了解机器证明的基本技术。

离散数学_第5章_代数系统(学生用)

子代数积代数
笛卡儿积成分：集合及运算公理：运算性质产生等价关系代数系统的构成映射
同种的同类型的
商代数
新代数系统
代数系统的同态与同构
代数系统间的关系
§5.1 代数系统的引入

先引进在一个集合A上的运算概念。
2013-7-31
离散数学
6

一元运算
例1：将实数集合R上的每一个数a ≠ 0映射成它的倒数例2：求一个复数的共轭复数（复数集合C上的一元运算）。

*
一元硬币
二元硬币
一元硬币
二元硬币
矿泉水
可口可乐
可口可乐
酷儿
不封闭思考：例5例6中的运算封闭吗？
2013-7-31
离散数学
8

封闭定义：对于集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。如果BA，则称该n 元运算是封闭的。不是所有的代数系统都是封闭的，但一般情况下，我们总是讨论封闭的代数系统。
2013-7-31
离散数学
19
交换性

定义5-2.3：设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y∈A，都有x*y＝y*x，则称该二元运算*是可交换的。特点 —— 运算表中的元素关于主对角线对称。
【例】设Q是有理数集合，△是Q上的二元运算，对任意的 a，b∈Q，a△b＝a+b-a· b，问运算△是否可交换。

离散数学格与布尔代数

引理： <A,∨,∧>是代数系统，如果∨和∧是满足吸收律的二元运算，则∨和∧必满足幂等律。
证明：任取a,b∈A 因为 ∨和∧满足吸收律。于是有
a∨( a∧b) =a ------⑴ a∧(a∨b) =a -------⑵。由于上式中的b是任意的，可以令b=a∨b 并代入⑴ 式得
a∨(a∧(a∨b)) =a 由⑵式得 a∨a=a 同理可证a∧a=a
a) 先证 a≤1b f (a)≤2f(b) 任取a,b∈A1,设a≤1b ，由格同态保序性得
f(a)≤2 f(b) b)再证f (a)≤2f(b) a≤1b 设 f(a)≤2f(b)，于是有
f(a) = f(a)∧2f(b) = f(a∧1b) 因f 是双射，所以 a=a∧1b 所以 a≤1b 最后得 a≤1b f (a)≤2f(b) 。
例：<A,≤>，A={1,2,3,6}, ≤是A上整除关系。
<P(E),>，E={a,b}
它们诱导的代数系统分别是<A,∨,∧>和<P(E),∪,∩>
其中∨和∧分别是求两个数的最小公倍数和最大公约数.
6
{a,b}
Af P(E) 6 {a,b}
2
3
{a}
{b}
3 {b}
1
f(2∨3)=f(6)={a,b}
b c d

《离散数学》教学大纲

安徽大学数学与计算科学学院

二OO五年十月

课程性质与设置目的要求（前言）

离散数学，是现代数学的一个重要分支。离散数学是计算机科学中基础理论的核心课程。离散数学以研究离散变量的结构和相互关系为主要目标。由于电脑的迅速发展和广泛应用，大量的应用到数学的实际问题往往都首先化成离散数学的问题再由电脑处理解决。离散数学着重培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，为学生提高专业理论水平打下坚实的数学基础，为后续专业理论课的学习作好准备。《离散数学》课程是信息与计算科学专业高等教育的重要专业基础课程。以数理逻辑、集合论、关系与函数、代数结构与布尔代数和图论为讲授对象。是理论性较强、应用性较广、集理论性与应用性为一体的学科。

设置本课程的目的是：使学习者具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具的构造思想。同时，也要培养学生抽象思维和缜密概括的能力（强调培养学生正规的逻辑思维方式），使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力，为学好后续课程及胜任今后工作奠定坚实的基础。

学习本课程的要求是：应通过本课程的教学，使学生初步掌握基本的离散数学知识和抽象、严格的数学方法，并为进一步学习其它计算机课程打下坚实的基础。

先修课程要求：数学分析、高等代数。

本课程计划90学时，5学分，安排在二年级下学期。

选用教材：

离散数学，方世昌编著，西安电子科技大学出版社，1996年第二版。

教学手段：课堂多媒体讲授。

考核方法：考试。

注：按每周5学时统一安排教学进度表，若因黄金周、校运动会、期中考试等原因未能上课时，按实际情况顺延。

离散数学讲解第五章

2018/12/20 10
练习
1．判断下述论断正确与否，在相应的括号中键入“Y”或“N”， (1) 在实数集R上定义二元运算*为：对于任意的 a,b R a*b=a+b+ab (a) <R;*>是一个代数系统；（ Y ） (b) <R;*>是一个半群；（ Y ）（c） <R;*>是一个独异点。（ Y ） (2) 在实数集R上定义二元运算为，对任意 a, bR, ab=|a|· b(其中· 表示通常数的乘法运算) (a) <R;>是一个代数系统；（ Y ） (b) <R;>是一个半群；（ Y ） (c) <R;>是一个独异点。（ N ）
2018/12/20 14
定义5-8 如果群<G; * >的运算*是可交换的，则称该群为交换群或阿贝尔群。
2018/12/20
15
二、循环群 1．群中元素的幂对于任意aG, a0=e, an+1=an*a 引进记号a-n=(a-1)n=a-1*a-1*…*a-1 ( n = 0,1,2, …) ( n个a-1 )
13
2018/12/20
对于任意的a,b,c∈N4，令a+b=4m1+res4(a+b), b+c=4m2+res4(b+c) 于是(a4b)4c= res4(a+b)4c=res4(res4(a+b)+c) = res4((4m1+res4(a+b))+c)=res4((a+b)+c) a4 (b4c) = a4res4(b+c) =res4(a+res4(b+c)) = res4(a+(4m2+res4(b+c))) = res4(a+(b+c)) = res4((a+b)+c) 因此(a4b)4c= a4(b4c)，即4满足结合律。 0是单位元，0的逆元是0，1和3互为逆元，2的逆元是2。 <Z4;4>是一个群。

离散数学课程教学大纲教案

《离散数学》课程教学大纲教案

课程编号：** 适用专业：计算机科学与技术、信息安全、软件工程

学时数：学分数：4 开课学期：第 2 学期

先修课程：线性代数、高级语言程序设计(C语言)

一、课程性质和目标

授课对象：本科生

课程类别：学科基础课

教学目标：离散数学是一门理论兼实际应用的综合性学科，即具有严备的理论基础，又具备应用科学的特点。它是计算机科学和其他应用科学的基础理论课。在课堂教学中，不仅要求学生掌握离散数学的基本理论与方法，更重要的是强调离散数学课程的思想。

通过本课程学习，培养和训练学生的抽象的离散思维能力、严格的逻辑推理的能力，以及获取知识、应用知识和创新的的能力；培养和训练学生的离散建模能力；培养和学生能有条理、明确和系统地描述问题、分析和求解问题的能力。通过本课程学习，使学生了解离散数学在计算机学科和日常生活中的作用，为学生今后处理离散信息以及用计算机处理大量的日常事物和科研项目，从事计算机科学和应用打下坚实基础，特别是对那些从事计算机科学与理论研究的高层次计算机人员来说，更是一门必不可少的基础理论工具。

二、教学内容安排及基本要求

（一）课时安排

（二）教学内容、要求及教学方法

第1章集合论 2学时

教学方法：课堂面授

教学目的：集合是数学的基础，通过本章的学习，要求学生能熟悉集合的表示、运算与证明，为以后各章的学习奠定基础。

基本内容：集合相关的基本概念及性质、集合间的各种运算及运算性质、几个特殊的集合、集合的证明、无限集和与集合相关的应用。

教学重点：集合的概念及集合间关系的证明；集合的表示方法：列举法、描述法和文氏图；集合运算及定律和幂集P(A)的计算。

离散数学教案

44
§1.2 命题联结词
(4) ―→‖分为形式条件和实质条件命题，当前件为“Ｆ”时，不论后件怎样，则单条件命题的真值均为“Ｔ”。 (5)命题联结词是命题或命题之间的联结词，而不是名词之间、数字之间和动词之间的联结词。
45
§1.2 命题联结词
以上介绍了五种常用的联结词及其相应的复合命题形式。数理逻辑的特点是把逻辑推理变成类似数学演算的完全形式化了的逻辑演算，为此，首先要把推理所涉及到的各命题符号化。步骤如下： ①找出各简单命题，分别符号化。 ②找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。
10
第一章命题逻辑
§1.1 命题 §1.2 命题联结词 §1.3 命题公式 §1.4 等价式 §1.5 永真蕴含式 §1.6 其他命题联结词 §1.7 范式 §1.8 推论理论
11
第一章命题逻辑
教学目的及要求：深刻理解和掌握命题逻辑中基本概念和基本方法。教学内容：命题及表示、联结词、命题公式与翻译、真值表与等价公式、重言式与蕴涵式、对偶与范式、推理理论。教学重点：命题逻辑中的基本概念和基本推理方法。教学难点：推理理论。
12
§1.1 命题
定义：具有确定真假值的陈述句叫命题。
讨论定义：（1）命题可以是真的，或者是假的，但不能同时为真又为假。（2）命题分类： ⅰ)原子命题（基本命题、本原命题）：不能分解成为更简单的命题。例：我是一位学生。

《离散数学》题库及答案

《离散数学》题库与答案

一、选择或填空

（数理逻辑部分）

1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )

(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P

答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别）

2、下列公式中哪些是永真式？( )

(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)

答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明

3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )

(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q

(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P

答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式

4、公式?x((A(x)?B(y，x))??z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z（考察定义在公式?x A和?x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在?x A和?x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和?z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元）

5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )

(1)北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。

离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数教学文案