福建省福州市八中2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题

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福州市八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题

1八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1．命题：“0>∀x ，02≥-x x ”的否定形式是（）A 0x ∀≤，20x x ->B 0x ∀>，02≤-x xC 0>∃x ，02<-x xD 0≤∃x ，02>-x x 2．抛物线:C 24x y =的焦点坐标为（） A )1,0( B )0,1( C )161,0( D )0,161( 3．若向量)1,0,1(-=→a ，向量),0,2(kb =→，且满足向量→a //→b ，则k 等于（） A 1 B 1- C 2 D 2-4．“21<<m ”是“方程13122=-+-my m x 表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5．经过点(2,2)P -，且与双曲线:C 2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是（）A 12422=-y xB 14222=-x yC 14222=-y xD 12422=-x y6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若→→→→++=AD y xAB AA BE 1，则（）A 21,21=-=y x B 21,21-==y x C 21,21-=-=y x D 21,21==y x7．ABC ∆中,)0,5(),0,5(B A -，点C 在双曲线191622=-y x 上，则CBA sin sin sin -=（）A53 B 53± C 54 D 54± 8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→M A与→1DC 所成角的余弦值为（）A 62-B 62C 1010-D 10109．已知抛物线:C )0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l l 于M ，若060=∠PFM ,则PFM ∆的面积为（）A 2pB 23pC 22p D 232p10．如果命题“若y x ⊥，z y //，则z x ⊥”是假命题．．．，那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形可能是( )A z y x ,,全是直线B z y x ,,全是平面C z x ,是直线，y 是平面D y x ,是平面，z 是直线 11．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有共同的焦点)0,(c -和)0)(0,(>c c ，且满足c 是a 与m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率为( ) A33 B 22 C 41 D 2112．在平面直角坐标系中，一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都具有相同的离心率和焦距，称它们为一组“共性双曲线”；例如将等轴双曲线222=-y x 绕原点逆时针转动045，就会得到它的一条“共性双曲线”x y 1=；根据以上材料可推理得出双曲线113-+=x x y 的焦距为（）A 4B 24C 8D 28二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

(全优试卷)版福建省福州市第八中学高一数学下学期期末考试试题

福州市2014-2015高一数学第二学期期末试题（带答案）必修4考试时间：120分钟试卷满分：150分2015.7.7A 卷（共100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知α为第二象限角，54sin =α，则=-)2sin(απ A ．2425- B ．2425 C ．1225D ．1225-2. 已知函数()=sin f x x ,下列结论中错误的是A ．()f x 既偶函数,又是周期函数.B. ()f xC. ()y f x =的图像关于直线2x π=对称D. ()y f x =的图像关于(),0π中心对称3. 设向量(2,0),(1,1)a b ==，则下列结论中正确的是 A ．2=⋅b aB ．||||a b =C ．a b ⊥D ．//a b4. 若a =(2,1)，b =(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的投影为A ．52B. 2C. 5D. 105．已知αtan 0απ∈-（，），则sin αα的值是A B ．－3C D ．36.函数()()1cos f x x x =的最小正周期为A ．2πB ．32π C ．πD ．2π 7.在△ABC 中，若tan A ·tan B <1，则△ABC 的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 8.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=C A ．6π B ．3πC ．6π-D ．3π-9.如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =，若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FE FD ∙的值是A.34- B. 89- C. 14- D. 不确定 10．设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移8π个单位得函数()y g x =的图象，则 A. ()02g x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递减 B. ()344g x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在，上单调递减C. ()02g x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增 D. ()344g x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在，上单调递增二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

福建省福州市第八中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题

某某八中2014—2015学年第二学期期末考试高一数学必修4考试时间：120分钟试卷满分：150分2015.7.7A 卷（共100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1. 已知α为第二象限角，54sin =α，则=-)2sin(απ A ．2425-B ．2425C ．1225D ．1225-2. 已知函数()=sin f x x ,下列结论中错误的是A ．()f x 既偶函数,又是周期函数.B.()f x 的最大值为2C.()y f x =的图像关于直线2x π=对称D.()y f x =的图像关于(),0π中心对称3. 设向量(2,0),(1,1)a b ==，则下列结论中正确的是 A ．2=⋅b aB ．||||a b =C ．a b ⊥D ．//a b4.若a =(2,1)，b =(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的投影为 A ．52 B.2C.5D.105．已知αtan 0απ∈-（，），则sin αα-的值是A B ．－3C D ．36.函数()()1cos f x x x =的最小正周期为A ．2πB ．32πC ．πD ．2π7.在△ABC 中，若tan A ·tan B <1，则△ABC 的形状是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=A ．6πB ．3πCC ．6π-D ．3π- 9.如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且FEFD •2BF FA =，若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则的值是 A.34-B. 89-C. 14-D. 不确定10．设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移8π个单位得函数()y g x =的图象，则 A. ()02g x π⎛⎫ ⎪⎝⎭在，上单调递减 B. ()344g x ππ⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递减C. ()02g x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增D. ()344g x ππ⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2014-2015年福建省福州市八县一中高一下学期数学期末试卷及答案解析

2014-2015学年福建省福州市八县一中高一（下）期末数学试卷一．选择题（每小题各5分，共60分）1．（5分）sin（﹣600°）的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣2．（5分）若满足sinαcosα＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）在下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．B．C．D．4．（5分）已知三点A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．5．（5分）下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间（）上为减函数的是（）A．y=sin2x B．y=2|cosx|C．y=cos D．y=tan（﹣x）6．（5分）把函数y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得函数解析式为y=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0），则（）A．ω=2，φ=﹣B．ω=2，φ=﹣C．ω=D．ω=7．（5分）若||=2sin15°，||=4cos15°，与的夹角为30°，则•的值是（）A．B．C．D．8．（5分）如果cosα=，那么cosα等于（）A．B．±C．D．±9．（5分）sin、cos、tan的大小关系为（）A．sin B．cosC．tan D．tan10．（5分）关于平面向量．下列判断中正确的是（）A．若，则B．若，，，则k=C．|+|=|﹣|，则D．若与是单位向量，则．11．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数的部分图象如图所示，A、B、C分别是函数图象与x轴交点、图象的最高点、图象的最低点．若f （0）=，且•=﹣8．则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（2x+）B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（3x+）D．f（x）=2sin（3x+）二、填空题（每小题各5分，共20分）13．（5分）若角α的终边经过点（1，﹣2），则的值为．14．（5分）计算的值．15．（5分）已知△ABC的三个顶点的直角坐标分别为A（2，﹣1），B（0，0），C（2+m，﹣2），且∠BAC为钝角，则实数m的取值范围为．16．（5分）给出下列四个结论：①存在实数，使sinα+cosα=②函数y=1+sin2x是偶函数③直线x=是函数的一条对称轴方程④若α、β都是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤．共70分）17．（10分）（1）求值：（2）求证：cosx+sinxtan=1，（x≠π+2kπ，k∈z）18．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC=3，点M满足，（1）用、向量表示向量．（2）求||．19．（12分）已知向量，，其中x ∈R．（1）当时，求x值的集合；（2）当时，求x值的集合．20．（12分）设函数f（x）=Acos（πx+φ）（其中A＞0，0＜φ＜π，x∈R）．当x=时，f（x）取得最小值﹣2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间．21．（12分）设函数f（x）=sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）图象的一个对称中心到离它最近的对称轴的距离为．（1）求ω的值；（2）求f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值，并求取得最大值与最小值时相应的x的值．22．（12分）合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域ABCD，AB=100米，BC=50米，为了便于同学们平时休闲散步，学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到学校整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且OE⊥OF，如图所示．（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长L表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为800元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．2014-2015学年福建省福州市八县一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题各5分，共60分）1．（5分）sin（﹣600°）的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：sin（﹣600°）=sin（﹣720°+120°）=sin120°=sin（180°﹣60°）=sin60°=，故选：C．2．（5分）若满足sinαcosα＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由sinαcosα＜0可知α是第二或第四象限的角，又cosα﹣sinα＜0，可知cosα＜0且sinα＞0．所以α在第二象限．故选：B．3．（5分）在下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．B．C．D．【解答】解：A中，∵=，故不适合做为向量的基底；B中，，，﹣1×（﹣1）﹣2×5≠0，故两个向量不共线（平行），故可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底；C中，，，3×10﹣5×6=0，故两个向量共线（平行），故可以不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；D中，，2×（）﹣（﹣3）×=0，故两个向量共线（平行），故可以不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；故选：B．4．（5分）已知三点A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．【解答】解：=（﹣2，3），；向量在向量方向上的投影为：cos=．故选：A．5．（5分）下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间（）上为减函数的是（）A．y=sin2x B．y=2|cosx|C．y=cos D．y=tan（﹣x）【解答】解：在A中，y=sin2x的最小正周期是π，在区间（）上先减后增；在B中，y=2|cosx|的最小周期是π，在区间（）上为增函数；在C中，y=cos的最小正周期是4π，在区间（）上为减函数；在D中，y=tan（﹣x）的最小正周期是π，在区间（）上为减函数．故选：D．6．（5分）把函数y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得函数解析式为y=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0），则（）A．ω=2，φ=﹣B．ω=2，φ=﹣C．ω=D．ω=【解答】解：把函数y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin（x ﹣）再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到y=sin（2x﹣）∵解析式为y=sin（ωx+φ），∴ω=2，φ=﹣，故选：A．7．（5分）若||=2sin15°，||=4cos15°，与的夹角为30°，则•的值是（）A．B．C．D．【解答】解：根据向量数量积的定义，得•=||•||cosθ，其中θ为与的夹角∵||=2sin15°，||=4cos15°，θ为30°，∴•=2sin15°•4cos15°•cos30°=4（2sin15°cos15°）cos30°=4sin30°cos30°=2sin60°=故选：B．8．（5分）如果cosα=，那么cosα等于（）A．B．±C．D．±【解答】解：∵cosα=，∴sinα==，∴cosα=sinαcos+cos﹣cosα=×sinα==±．故选：D．9．（5分）sin、cos、tan的大小关系为（）A．sin B．cosC．tan D．tan【解答】解：∵∈（0，），y=sinx在（0，）上单调递增，y=cosx在（0，）上单调递减，又sin＜sin=，cos＞cos=，∴0＜sin＜cos，cos＞．再由tan=＞sin，且tan＜tan=，可得cos＞tan＞sin，故选：B．10．（5分）关于平面向量．下列判断中正确的是（）A．若，则B．若，，，则k=C．|+|=|﹣|，则D．若与是单位向量，则．【解答】解：对于A，若，则=0，则或者或者垂直；故A错误；对于B，若，，，则﹣2k=6，所以k=；故B 错误；对于C，|+|=|﹣|，两边平方，化简得到；故C正确；对于D，若与是单位向量，则=cosθ，θ为两个向量的夹角，所以错误．故选：C．11．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．12．（5分）已知函数的部分图象如图所示，A、B、C分别是函数图象与x轴交点、图象的最高点、图象的最低点．若f （0）=，且•=﹣8．则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（2x+）B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（3x+）D．f（x）=2sin（3x+）【解答】解：设A（a，0），函数f（x）=2sin（ωx+φ）的周期为T，则B（a+，2），C（a+，﹣2），∴=（，2），=（，﹣4），∵•=﹣8，∴﹣8=﹣8，整理得：T2=π2，∴T=π，解得：ω==2，故有：f（x）=2sin（2x+φ），∵f（0）=2sinφ=，可得sinφ=，又|φ|，解得：φ=．∴f（x）的解析式为：2sin（2x+）．故选：A．二、填空题（每小题各5分，共20分）13．（5分）若角α的终边经过点（1，﹣2），则的值为．【解答】解：由已知得到tanα==﹣2，所以=；故答案为：．14．（5分）计算的值﹣+．【解答】解：原式=﹣sin+sin=﹣+．故答案为：﹣+15．（5分）已知△ABC的三个顶点的直角坐标分别为A（2，﹣1），B（0，0），C（2+m，﹣2），且∠BAC为钝角，则实数m的取值范围为（﹣，2）∪（2，+∞）．【解答】解：由题意知：=（﹣2，1），=（m，﹣1），又∠BAC是钝角，所以•＜0，即﹣2m﹣1＜0∴m＞﹣且m≠2．故答案为：（﹣，2）∪（2，+∞）．16．（5分）给出下列四个结论：①存在实数，使sinα+cosα=②函数y=1+sin2x是偶函数③直线x=是函数的一条对称轴方程④若α、β都是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ其中正确结论的序号是②③．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：①sinα+cosα=sin（α+），α∈（0，），∴α=0或时，取得最小值1，取不到，故①错误；②令x=﹣x，得y=1+sin2（﹣x）=1+sin2x，是偶函数，故②正确；③当x=时，函数y=sin（+π）=sin=﹣1，故x=是函数的一条对称轴，故③正确；④若α=2π+＞β=，但是sinα＜sinβ，故④错误，故答案为：②③．三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤．共70分）17．（10分）（1）求值：（2）求证：cosx+sinxtan=1，（x≠π+2kπ，k∈z）【解答】（1）解：原式=…（2分）=…（4分）==1…（5分）（2）证明：方法一∵左边=cosx+sinx•…（6分）=…（7分）==1=右边…（9分）∴原式成立．…（10分）方法二：∵左边=﹣+2sin cos•…（6分）=+…（8分）=1=右边…（9分）∴原式成立．…（10分）18．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC=3，点M满足，（1）用、向量表示向量．（2）求||．【解答】解：如图建立平面直角坐标系．由题意知：A（3，0），B（0，3），…（1分）设M（x，y），由得：（x，y﹣3）=2（3﹣x，﹣y），∴，∴，∴M（2，1）…（4分）（1）设，可求出，∴…（8分）（2）∵，∴．…（12分）19．（12分）已知向量，，其中x ∈R．（1）当时，求x值的集合；（2）当时，求x值的集合．【解答】解：（1）由，得=0，即．…（4分）则cos2x=0，得．…（5分）∴为所求．…（6分）（2）由，得…（10分）则sin2x=0，得．…（11分）∴为所求．…（12分）20．（12分）设函数f（x）=Acos（πx+φ）（其中A＞0，0＜φ＜π，x∈R）．当x=时，f（x）取得最小值﹣2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由f（x）最小值﹣2，且A＞0，所以A=2．…（2分）因为，所以，…（4分）由0＜φ＜π可得，所以，所以．…（6分）故f（x）的解析式为．…（7分）（2）由，由余弦函数的图象和性质可得：，k∈Z，…（9分）解得：，k∈Z，…（11分）∴函数f（x）的单调递增区间为．…（12分）21．（12分）设函数f（x）=sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）图象的一个对称中心到离它最近的对称轴的距离为．（1）求ω的值；（2）求f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值，并求取得最大值与最小值时相应的x的值．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx﹣sinωxcosωx=…（2分）=﹣sin（2ωx﹣），…（4分）因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，可得周期T=π=，又ω＞0，因此ω=1．…（6分）（2）由（1）知f（x）=﹣sin（2x﹣），…（7分）当时，2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，…（8分）故f（x）=﹣sin（2ωx﹣）在区间[π，]上最大值和最小值分别为，﹣1．…（10分）当2x﹣，即x=π时，f（x）取最大值．…（11分），f（x）取最小值﹣1．…（12分）22．（12分）合肥一中生活区内建有一块矩形休闲区域ABCD，AB=100米，BC=50米，为了便于同学们平时休闲散步，学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到学校整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且OE⊥OF，如图所示．（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长L表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为800元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．【解答】解：（1）在Rt△BOE中，，在Rt△AOF中，在Rt△OEF中，，当点F在点D时，角α最小，，当点E在点C时，角α最大，，则，定义域为．（2）设，则，．则当时，，总费用最低为元．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

福建省福州八中2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题新人教A版

福建省福州八中2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题新人教A 版本次考试不可使用计算器参考公式：锥体体积公式球的外表积、体积公式13V Sh =23434,S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径柱体体积公式台体体积公式V=Sh 其中S 为底面面积，h 为高圆台的外表积公式其中台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h第1卷〔共18题，100分〕一、选择题(本大题共10小题，每一小题5分，共50分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请将所选答案写在答题卷上) 1. 在平面直角坐标系中，(1,2)A -，(3,0)B ，那么线段AB 中点的坐标为A ．(2,1)-B ． (2,1)C ．(4,2)-D ．(1,2)-2. 圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为A ．(0,2),2B ．(2,0),4C ．(2,0),2-D ．(2,0),23. 如下四个命题中错误的答案是．．．．．． A ．假设直线a 、b 互相平行，如此直线a 、b 确定一个平面 B ．假设四点不共面，如此这四点中任意三点都不共线 C ．假设两条直线没有公共点，如此这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面4. 关于空间两条直线a 、b 和平面α，如下命题正确的答案是 A ．假设//a b ，b α⊂，如此//a α B ．假设//a α，b α⊂，如此//a bC ．假设//a α，//b α，如此//a bD ．假设a α⊥，b α⊥，如此//a b 5. 某几何体的俯视图是如下列图的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的1()3V S S S S h ''=++22()S r r r l rl π''=+++CB AAD CEB C等腰三角形．如此该几何体的体积为 A.48 B.64C.96D.1926. 如图，一个封闭的立方体，它的六个外表各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，如此字母A,B,C 对面的字母分别为 A. D ,E ,F B. F ,D ,E C. E, F ,DD. E, D, F7. 圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，如此AB 的垂直平分线的方程是 A. x+y+3=0B. 2x-y-5=0C. 3x-y-9=0D.4x-3y+7=08．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，如此它们之间的距离为A ．4B ．21313C ．D ．710209. 在四面体ABCD 中，E,F 分别是AC,BD 的中点，假设2,4,AB CD EF AB ==⊥，如此EF 与CD 所成的角的度数为 A. 90°B.45°C.60°D.30°10. 圆C 与直线040x y x y -=--=及都相切，圆心在直线0x y +=上，如此圆C 的方程为A ．22(1)(1)2x y -++=B ．22(1)(1)2x y ++-= C ．22(1)(1)8x y -++=D ．22(1)(1)8x y ++-=二、填空题〔此题共4小题，每题4分，共16分，请将所选答案写在答题卷上〕11. 直线a 和两个不同的平面α、β，且a α⊥，a β⊥，如此α、β的位置关系是_____.12. 定点A(0，1),点B 在直线x+y=0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是___________________.13.圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是14. 三棱锥V-ABC 四个顶点在同一个球面上，90,2BAC AB AC ∠===，假设球心到平面ABC 距离为1，如此该球体积为______________.三、解答题(共4题,共34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请将所选答案写在答题卷上)15．〔8分〕直线l 经过两点(2,1)，(6,3). 〔1〕求直线l 的方程；〔2〕圆C 的圆心在直线l 上，并且与x 轴相切于(2,0)点，求圆C 的方程. 16．〔9分〕如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ， AP=AB ，BP=BC=2，E ，F 分别是PB,PC 的中点.(Ⅰ)证明：EF ∥平面PAD ；(Ⅱ)求四棱锥E-ABCD 的体积V ； (Ⅲ)求二面角E-AD-C 的大小.17. 〔9分〕半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．〔Ⅰ〕求圆的方程；〔Ⅱ〕设直线50ax y -+=(0)a >与圆相交于,A B 两点，求实数a 的取值范围； 18. 〔8分〕某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q 〔百件〕与销售价格p 〔元〕的关系如如下图，每月各种开支2000元.〔1〕写出月销售量Q 〔百件〕与销售价格p 〔元〕的函数关系；〔2〕写出月利润y 〔元〕与销售价格p 〔元〕的函数关系；B C DEFPA〔3〕当商品价格每件为多少元时，月利润最大？并求出最大值.第2卷〔共7题，50分〕四、选择题和填空题(本大题共5小题，每一小题5分，共25分)19. 集合A=｛(x,y)｜x 2+y 2=4｝，B=｛(x,y)｜(x-3)2+(y-4)2=r 2｝，其中r ＞0，假设A ∩B 中有且仅有一个元素，如此r 的值是______________.20. 点A 〔x,5〕关于点〔1，y 〕的对称点〔-2，-3〕，如此点P 〔x ，y 〕到原点的距离是。

福建省福州市八县一中2014_2015学年高一数学上学期期末试卷含解析

福建省福州市八县一中2014 -2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．（5分）用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（）A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体2．（5分）已知A（﹣1，3）、B（3，﹣1），则直线AB的倾斜角为（）A．45°B．60°C．120°D．135°3．（5分）已知直线l1：y=2x+1，若直线l2与l1关于直线x=1对称，则l2的斜率为（）A．﹣2 B．﹣C．D．24．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面5．（5分）在空间直角坐标系中一点P（1，3，4）到x轴的距离是（）A．5 B．C．D．6．（5分）若两条平行线l1，l2的方程分别是2x+3my﹣m+2=0，mx+6y﹣4=0，记l1，l2之间的距离为d，则m，d分别为（）A．m=2，d=B．m=2，d=C．m=2，d=D．m=﹣2，d=7．（5分）设l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列论述正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l∥m，l⊥α，则m⊥αD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β8．（5分）直线y=﹣x绕原点按逆时针方向旋转90°后所得直线与圆（x﹣2）2+y2=1的位置关系是（）A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心C．直线与圆相切D．直线与圆没有公共点9．（5分）平面α的斜线l与平面α所成的角是45°，则l与平面α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是（）A．45°B．90°C．135°D．60°10．（5分）一个正八面体的八个顶点都在同一个球面上，如果该正八面体的棱长为．则这个球的表面积为（）A．πB．2πC．4πD．11．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=112．（5分）设集合A={（x，y）|y=x}与集合B={（x，y）|x=a+，a∈R}，若A∩B的元素只有一个，则实数a的取值范围是（）A．a=±B．﹣1＜a＜1或a=± C．a=或﹣1≤a＜1 D．﹣1＜a≤1或a=﹣二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置上.）13．（4分）若直线y=3x+b过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则b=．14．（4分）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于．15．（4分）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=．16．（4分）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B，E，F，C四点共面；②直线BF与AE异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD；．⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．其中正确的有．（请写出所有符合条件的序号）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．（12分）已知直线l：kx﹣y+1﹣2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|=|OB|，求k的值．18．（12分）有100件规格相同的铁件（铁的密度是7.8g/cm3），该铁件的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成（图中单位cm）．（1）指出该几何体的形状特征；（2）根据图中的数据，求出此几何体的体积；（3）问这100件铁件的质量大约有多重（π取3.1，取1.4）？19．（12分）已知点M（2，0），两条直线l1：2x+y﹣3=0与l2：3x﹣y+6=0，直线l经过点M，并且与两条直线l1•l2分别相交于A（x1，y1）•B（x2，y2）两点，若A与B重合，求直线l的方程，若x1+x2=0，求直线l的方程．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．（12分）如图，已知正三角形ABC的边长为6，将△ABC沿BC边上的高线AO折起，使BC=3，21．得到三棱锥A﹣BOC．动点D在边AB上．（1）求证：OC⊥平面AOB；（2）当点D为AB的中点时，求异面直线AO、CD所成角的正切值；（3）求当直线CD与平面AOB所成角最大时的正切值．22．（14分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x﹣4y﹣15=0．（1）求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．福建省福州市八县一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．（5分）用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（）A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体考点：平行投影及平行投影作图法．专题：常规题型；空间位置关系与距离．分析：由各个截面都是圆知是球体．解答：解：∵各个截面都是圆，∴这个几何体一定是球体，故选C．点评：本题考查了球的结构特征，属于基础题．2．（5分）已知A（﹣1，3）、B（3，﹣1），则直线AB的倾斜角为（）A．45°B．60°C．120°D．135°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：先求出直线的斜率，再求出直线的倾斜角．解答：解：∵A（﹣1，3）、B（3，﹣1），∴k AB==﹣1，∴直线AB的倾斜角α=135°．故选：D．点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意斜率公式的合理运用．3．（5分）已知直线l1：y=2x+1，若直线l2与l1关于直线x=1对称，则l2的斜率为（）A．﹣2 B．﹣C．D．2考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：由已知条件作出直线l1，直线l2与直线x=1的图象，结合图象，得到直线l2与l1的倾斜角互补，由此能求出l2的斜率．解答：解：∵直线l1：y=2x+1，直线l2与l1关于直线x=1对称，作出图象，如图，结合图象，得直线l2与l1的倾斜角互补，∵直线l1：y=2x+1的斜率k=2，∴l2的斜率为k′=﹣2．故选：A．点评：本题考查直线的斜率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．4．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面考点：平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．解答：解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B 对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．点评：本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．5．（5分）在空间直角坐标系中一点P（1，3，4）到x轴的距离是（）A．5 B．C．D．考点：空间两点间的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：欲求P（1，3，4）到x轴的距离，转化为长方体中求点到棱的距离即可，利用长方体的性质得，即求某个面上对角线的长．解答：解：∵点（x，y，z）到x轴的距离d等于：d=．∴点P（1，3，4）到x轴的距离d等于：d==5．故选：A．点评：本小题主要考查点、线、面间的距离计算、空间直角坐标系的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．6．（5分）若两条平行线l1，l2的方程分别是2x+3my﹣m+2=0，mx+6y﹣4=0，记l1，l2之间的距离为d，则m，d分别为（）A．m=2，d=B．m=2，d=C．m=2，d=D．m=﹣2，d=考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：直接利用两条直线平行求出m，通过平行线之间的距离求出d即可．解答：解：两条平行线l1，l2的方程分别是2x+3my﹣m+2=0，mx+6y﹣4=0，可得：，解得m=2，两条平行线l1，l2的方程分别是2x+6y=0，2x+6y﹣4=0，平行线之间的距离为：d==．故选：B．点评：本题考查平行线的应用，平行线之间的距离的求法，考查计算能力．7．（5分）设l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列论述正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l∥m，l⊥α，则m⊥αD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系进行判断．解答：解：由l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，知：若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故A错误；若l∥α，l∥β，则α与β平行或相交，故B错误；若l∥m，l⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理知m⊥α，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l相交β、平行或l⊂β，故D错误．故选：C．点评：本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间能力的培养．8．（5分）直线y=﹣x绕原点按逆时针方向旋转90°后所得直线与圆（x﹣2）2+y2=1的位置关系是（）A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心C．直线与圆相切D．直线与圆没有公共点考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由题意可得，所得直线与原直线垂直，再利用点斜式求得所得直线的方程．再根据圆心（2，0）到所得直线的距离正好等于圆的半径，可得所得直线与圆相切．解答：解：把直线y=﹣x绕原点按逆时针方向旋转90°后所得直线与原直线垂直，所得直线的斜率为，故所得直线的方程为y=x，即x﹣3y=0．再根据圆心（2，0）到所得直线x﹣3y=0的距离为=1，正好等于圆的半径，故所得直线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，故选：C．点评：本题主要考查两直线垂直的性质，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．9．（5分）平面α的斜线l与平面α所成的角是45°，则l与平面α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是（）A．45°B．90°C．135°D．60°考点：两直线的夹角与到角问题；直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：根据斜线与平面所成角的范围，说明直线与斜线垂直时，所成角最大．解答：解：因为一个斜线跟平面上的直线所成的角要小于等于90°，在平面α任意做一条垂直于该斜线在平面α内的射影的直线，该直线与斜线成90°为最大角．故选B点评：本题考查两直线的夹角与到角问题，直线与平面所成的角，考查空间想象能力，是基础题．10．（5分）一个正八面体的八个顶点都在同一个球面上，如果该正八面体的棱长为．则这个球的表面积为（）A．πB．2πC．4πD．考点：球的体积和表面积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则其中四点所组成的截面在球的一个大圆面上，可得，此四点组成的正方形是球的大圆的一个内接正方形，其对角线的长度即为球的直径，由此求出球的表面积．解答：解：由题意正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则其中四点所组成的截面在球的一个大圆面上，因为正八面体的棱长为，所以底面四点组成的正方形的对角线的长为2，球的半径是1所以此球的表面积4π．故选：C．点评：本题考查球的表面积公式，解此题的关键是理解得出球的直径恰好是正八面体中间那个正方形的对角线的长度．11．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．12．（5分）设集合A={（x，y）|y=x}与集合B={（x，y）|x=a+，a∈R}，若A∩B的元素只有一个，则实数a的取值范围是（）A．a=±B．﹣1＜a＜1或a=± C．a=或﹣1≤a＜1 D．﹣1＜a≤1或a=﹣考点：交集及其运算；元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：利用数形结合求出B对应的图象，结合直线和圆的位置关系，即可得到结论．解答：解：由x=a+，得（x﹣a）2+y2=1，（x≥a），即集合B表示圆心在（a，0），半径为1的圆的右半部分，由图象知当直线y=x经过点A（a，1）时，直线和半圆有一个交点，此时a=1，当直线y=x经过点B（a，﹣1）时，直线和半圆有2个交点，此时a=﹣1，当直线和半圆相切时，圆心（a，0）到直线y=x的距离d=，交点a=（舍）或a=﹣，若A∩B的元素只有一个，则a=﹣或﹣1＜a≤1，故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置上.）13．（4分）若直线y=3x+b过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则b=5．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，可得它的圆心，再根据直线y=3x+b过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，求出b的值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y=0 即圆（x+1）2+（y﹣2）2 =5，它的圆心为（﹣1，2），再根据直线y=3x+b过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，可得2=﹣3+b，求得 b=5，故答案为：5．点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，属于基础题．14．（4分）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于2π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长×．解答：解：∵圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，∴底面半径=1，底面周长=2π，∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π，故答案为：2π．点评：本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式、圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．15．（4分）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=10．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：建立坐标系，利用坐标法，确定A，B，D，P的坐标，求出相应的距离，即可得到结论．解答：解：建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA|=a，|CB|=b，则A（a，0），B（0，b）∵点D是斜边AB的中点，∴，∵点P为线段CD的中点，∴P∴===∴|PA|2+|PB|2==10（）=10|PC|2∴=10．故答案为：10点评：本题考查坐标法，考查距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（4分）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B，E，F，C四点共面；②直线BF与AE异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD；．⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．其中正确的有①②③．（请写出所有符合条件的序号）考点：棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：首先可根据几何体的平面展开图画出其直观图，然后根据中位线的性质，两条平行直线可确定一个平面，异面直线的概念，线面平行的判定定理，二面角的平面角的定义及求法，即可判断每个结论的正误，而对于结论⑤，可画出该几何体沿底面正方形的边，及侧棱PD剪开后所得的平面展开图，由该展开图即可求出从B点出发，绕过平面PAD，到达点C的最短距离，从而判断出该结论的正误．解答：解：根据几何体的平面展开图，画出它的直观图如下：①根据已知，EF∥AD∥BC；∴EF∥BC；∴B，E，F，C四点共面；∴该结论正确；②由图可看出BF和AE异面；∴该结论正确；③由①EF∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC；∴EF∥平面PBC；∴该结论正确；④分别取AD，EF，BC的中点G，H，M，并连接GH，HM，MG，则GH⊥EF，HM⊥EF；而EF是平面BCE和平面PAD的交线；∴∠GHM为平面BCE与平面PAD形成的二面角的平面角；若设该几何体的侧棱长为2，则：GH=，HM=，MG=2；显然GH2+HM2≠MG2；∴∠GHM≠90°；∴平面BCE与平面PAD不垂直；∴该结论错误；⑤把该正四棱锥沿底面各边及侧棱PD剪开，得到的展开图如下：B H⊥PA，∴B到侧棱PA的最短距离为BE，BE=；过E作EN⊥PD，则EN是点E到PD的最短距离，且EN=，NP=；而N到C的最短距离便是线段NC的长，NC=；∴从B点出发，绕过PAD面到达C点的最短距离为；而BE+EF+FC=；∴该结论错误；综上得正确的结论为①②③．故答案为：①②③．点评：考查中位线的性质，两平行直线可确定一个平面，能根据几何体的平面展开图画出它的直观图，线面平行的判定定理，以及二面角的平面角的概念及求法，将立体图形转变成平面图形解题的方法．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．（12分）已知直线l：kx﹣y+1﹣2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|=|OB|，求k的值．考点：恒过定点的直线．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）设直线过定点（x0，y0），则kx0﹣y0+1﹣2k=0对任意k∈R恒成立，即（x0﹣2）k﹣y0+1=0恒成立，即可证明直线l过定点；（2）求出直线l在y轴上的截距为1﹣2k，在x轴上的截距为2﹣，利用|OA|=|OB|，即可求k的值．解答：（1）证明：设直线过定点（x0，y0），则kx0﹣y0+1﹣2k=0对任意k∈R恒成立，即（x0﹣2）k﹣y0+1=0恒成立，∴x0﹣2=0，﹣y0+1=0，解得x0=2，y0=1，故直线l总过定点（2，1）．…（6分）（2）解：因直线l的方程为y=k x﹣2k+1，则直线l在y轴上的截距为1﹣2k，在x轴上的截距为2﹣，依题意：1﹣2k=2﹣＞0解得k=﹣1 或k=（经检验，不合题意）所以所求k=﹣1 …（12分）点评：本题考查恒过定点的直线，考查直线的一般式方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）有100件规格相同的铁件（铁的密度是7.8g/cm3），该铁件的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成（图中单位cm）．（1）指出该几何体的形状特征；（2）根据图中的数据，求出此几何体的体积；（3）问这100件铁件的质量大约有多重（π取3.1，取1.4）？考点：由三视图求面积、体积；简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由三视图可知，该几何体是个组合体；上部分是个正三棱锥，其三条侧棱两两垂直；下部分为一个半球；（2）分别求出棱锥的体积和半球的体积，相加可得答案；（3）计算出这100件铁件的体积和，乘以密度后可得质量．解答：解：（1）由三视图可知，该几何体是个组合体；上部分是个正三棱锥，其三条侧棱两两垂直；下部分为一个半球，并且正三棱锥的一个侧面与半球的底面相切．…（3分）（2）由图可知：…（5分）球半径…（6分）…（8分）所以该几何体体积V=…（9分）（3）这100件铁件的质量m：…（11分）答：这批铁件的质量超过694g．…（12分）点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．19．（12分）已知点M（2，0），两条直线l1：2x+y﹣3=0与l2：3x﹣y+6=0，直线l经过点M，并且与两条直线l1•l2分别相交于A（x1，y1）•B（x2，y2）两点，若A与B重合，求直线l的方程，若x1+x2=0，求直线l的方程．考点：待定系数法求直线方程．专题：直线与圆．分析：（1）若A与B重合，可得直线过l1•l2的交点N的坐标，可得方程；（2）①直线l过点M且斜率不存在时，不满足x1+x2=0；②直线l过点M且斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣2），分别解方程组可得x1和x2，由x1+x2=0可得k的方程，解方程可得k值，可得直线方程．解答：解：（1）若A与B重合，则直线过l1•l2的交点N，联立2x+y﹣3=0与3x﹣y+6=0可解得x=且y=，∴直线过点M（2，0）和N（，），∴直线的斜率k MN==，∴直线的方程为y﹣0=（x﹣2），即21x+13y﹣42=0；（2）①直线l过点M且斜率不存在时，不满足x1+x2=0；②直线l过点M且斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣2），联立y=k（x﹣2）和2x+y﹣3=0可解得x1=（k≠﹣2），联立y=k（x﹣2）和3x﹣y+6=0可解得x2=（k≠3），∵x1+x2=0，∴+=0，解得k=或k=﹣1，可得方程为x+y﹣2=0或3x+4y﹣6=0；综合①②可得直线的方程为：21x+13y﹣42=0或x+y﹣2=0或3x+4y﹣6=0点评：本题考查待定系数法求直线的方程，涉及分类讨论的思想，属中档题．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：对（I），通过作平行线的方法，由线线平行来证线面平行．对（II），只需证明平面BDE内的一条直线BD垂直于平面PAC内的两条相交直线即可．解答：证明：（Ⅰ）连接OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．点评：本题考查线面平行的判定与面面垂直的判定．证明线面平行常有两种思路：一是线线平行⇒线面平行；二是面面平行⇒线面平行．证明面面垂直的常用方法是：线面垂直⇒面面垂直．（12分）如图，已知正三角形ABC的边长为6，将△ABC沿BC边上的高线AO折起，使BC=3，21．得到三棱锥A﹣BOC．动点D在边AB上．（1）求证：OC⊥平面AOB；（2）当点D为AB的中点时，求异面直线AO、CD所成角的正切值；（3）求当直线CD与平面AOB所成角最大时的正切值．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）对比折叠前后便可得出，A O⊥平面BOC，从而OC⊥AO，并且可说明△BOC为直角三角形，OC⊥OD，从而得到OC⊥平面AOB；（2）根据上面可分别以OC，OB，OA三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而求出向量，的坐标．设异面直线AO、CD所成角为θ，由cos即可求出cosθ，再求出sinθ，从而求出tanθ；（3）根据条件并结合图形可设D（），并且说明是平面AOB的法向量，设直线CD与平面AOB所成角为α，从而根据sin即可求得α最大时sinα值，从而求出cosα，tanα．解答：解：（1）证明：根据条件，AO⊥OB，AO⊥OC，OB∩OC=O；∴AO⊥底面BCO，OC⊂平面BCO；∴AO⊥OC，即OC⊥AO；又OB=OC=3，BC=3；∴OB2+OC2=BC2；∴OC⊥OB，AO∩OB=O；∴OC⊥平面AOB；∴OC，OB，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，0，3），B（0，3，0），C（3，0，0）；D为AB中点，∴D（0，）；∴，；设异面直线AO，CD所成角为θ，则cosθ=|cos|=；∴，tan；即异面直线AO、CD所成角的正切值为；（3）由（1）知，为平面AOB的法向量，设直线CD与平面AOB所成角为α，D（0，），（），则：sin==；∴时，sinα取最大值，此时α最大；∴此时cosα=，tanα=；∴当直线CD与平面AOB所成角最大时的正切值为．点评：考查对折叠前后图形的认识，线面垂直的判定，线面垂直的性质，以及通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求线线角及线面角的方法，平面法向量的概念，直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量夹角的关系，以及清楚异面直线所成角和线面角的范围．22．（14分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x﹣4y﹣15=0．（1）求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．考点：相交弦所在直线的方程；圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：（1）根据直线和圆相交的弦长公式即可求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；（2）求出两圆的公共弦结合直线平行的条件即可求出直线l；（3）根据两点间的距离公式结合弦长关系即可得到结论．解答：解：（1）因为圆的圆心O（0，0），半径r=5，所以，圆心O到直线l：3x﹣4y﹣15=0的距离d：，由勾股定理可知，圆被直线l截得的弦长为．…（4分）（2）圆C与圆C1的公共弦方程为2x﹣4my﹣4m2﹣25=0，因为该公共弦平行于直线3x﹣4y﹣15=0，则≠，解得：m=…（7分）经检验m=符合题意，故所求m=；…（8分）（3）假设这样实数m存在．设弦AB中点为M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|所以点P（2，0）在以弦AB为直径的圆上．…（10分）设以弦AB为直径的圆方程为：x2+y2﹣2x+4my+4m2+λ（3x﹣4y﹣15）=0，则消去λ得：100m2﹣144m+216=0，25m2﹣36m+54=0因为△=362﹣4×25×54=36（36﹣25×6）＜0所以方程25m2﹣36m+54=0无实数根，所以，假设不成立，即这样的圆不存在．…（14分）点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．。

福建省福州市第八中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题解析(解析版)

福建省福州市第八中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分2016.1.26第Ⅰ卷（100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是A.45°,1B.135°,-1C.90°,不存在D.180°,不存在【答案】C【解析】试题分析：直线和x 轴垂直，所以倾斜角为90︒，斜率不存在.故选c.考点：直线的倾斜角和斜率.2.直线y 2mx m -=+经过一定点,则该点的坐标为 ( )A.(-1,2)B.(2,- 1)C.(1,2)D.(2,1)【答案】A【解析】试题分析：直线可变为y 2m x 1-=+（），根据直线的点斜式方程可知，直线经过定点()1,2-.故选A. 考点：直线的点斜式方程.3.对于直线m,n 和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 ( )A. m ⊥n, m ∥α,n ∥βB. m ⊥n, α∩β=m, n ⊂αC. m ∥n, n ⊥β,m ⊂αD. m ∥n, m ⊥α, n ⊥β【答案】C【解析】试题分析：判定两平面垂直的常用方法就是面面垂直的判定定理，选项C 就是.故选C.考点：面面垂直的判定定理.4.如图所示，直观图四边形A B C D ''''是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A 2+B 1-C D ．【答案】A【解析】试题分析：由题可得A'D'A'B'1==,B'C'1=+ ,所以原平面图形中AD=1，AB=2，BC 1=+,根据梯形的面积计算公式可得2S ==故选A. 考点：斜二测画法. 5.与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B【解析】试题分析：圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0可变为()()22221x y ++-=，圆心为()2,2-，半径为11r =；圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0可变为()()222516x y -+-=，圆心为()2,5，半径为24r =；所以15O O =，125r r +=，所以两圆相切；所以与两圆都相切的直线有3条.故选B. 考点：圆与圆的位置关系.6.正方体的内切球和外接球的体积之比为( )A ．1∶ 3B ．1∶3C ．1∶9D ．1∶33【答案】D【解析】试题分析：设正方体的棱长为1，则其内切球的直径为1，半径为12，根据球的体积公式可知两球的体积之比为3311:2⎛⎫=⎪⎝⎭故选D. 考点：正方体内切球和外接球的体积.7.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M ，N 分别是棱DD 1，D 1C 1的中点，则直线OM( )A ．与AC ，MN 均垂直相交B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与AC ，MN 均不垂直【答案】A【解析】试题分析：方法（1）：此题的条件使得建立空间坐标系方便，且选项中研究的位置关系也适合用空间向量来证明其垂直关系，故应先建立坐标系，设出边长，据几何特征，给出各点的坐标，验证向量内积是否为零．以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a ，则D （0，0，0）、D 1（0，0，2a ）、M （0，0，a ）、A （2a ，0，0）、C （0，2a ，0）、O （a ，a ，0）、N （0，a ，2a ）．∴=（-a ，-a ，a ），=（0，a ，a ），=（-2a ，2a ，0）．∴•=0，•=0，∴OM ⊥AC ，OM ⊥MN ．方法（2）：由三垂线定理可证OM ⊥AC ，由勾股定理逆定理可证OM ⊥MN.故选A ．考点：向量语言表述线线的垂直、平行关系；三垂线定理；线线垂直的判定与性质.8.设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x 【答案】B【解析】试题分析：由已知得，圆22(x 1)y 1－＋＝的圆心()1,0O ，半径为1；由PA 是圆的切线且|PA|＝1，得(),P x y =22(x 1)y 2－＋＝.故选B.考点：点的轨迹方程的求法. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x －ay －1＝0平行，则a 的值是________．【答案】0或12. 【解析】试题分析：由直线平行的充要条件得：()21a a a -=-，解得102a =或.故答案为0或12. 考点：直线平行的充要条件.10.若点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy 及y 轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c+e= .【答案】1.【解析】试题分析：∵点P（-4，-2，3）关于坐标平面xoy的对称点为（-4，-2，-3），点P（-4，-2，3）关于y 轴的对称点的坐标（4，-2，-3），点P（-4，-2，3）关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c）、（e，f，d），∴c=-3，e=4，∴c+e=1，故答案为：1．考点：空间中的点的坐标.11.一个圆锥的轴截面是个边长为2的正三角形，这个圆锥的侧面积等于 .【答案】2π.【解析】试题分析：∵圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，∴底面半径为1，底面周长为2π，∴圆锥的侧面积=12222ππ⨯⨯=，故答案为：2π．考点：圆的周长公式和扇形面积公式；圆锥的轴截面；圆锥的侧面积.12.．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B，E，F，C四点共面；②直线BF与AE异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD；.⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径.其中正确的有_____________．(请写出所有符合条件的序号)【答案】①②③.【解析】试题分析：由展开图恢复原几何体如图所示：①在△PAD中，由PE=EA，PF=FD，根据三角形的中位线定理可得EF∥AD，又∵AD∥BC，∴EF∥BC，因此四边形EFBC是梯形，故B，E，F，C四点共面，所以①正确；②由点A不在平面EFCB内，直线BE不经过点F，根据异面直线的定义可知：直线BE与直线AF异面，所以②正确；③由①可知：EF∥B C，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴直线EF∥平面PBC，故③正确；④如图：假设平面BCEF⊥平面PAD．过点P作PO⊥EF分别交EF、AD于点O、N，在BC上取一点M，连接PM、OM、MN，∴PO⊥OM，又PO=ON，∴PM=MN．若PM≠MN时，必然平面BCEF与平面PAD不垂直．故④不一定成立．⑤可画出该几何体沿底面正方形的边及侧棱PD剪开后所得的平面展开图，由该展开图即可求得从B点出发，绕过平面PAD，到达点C的最短距离，从而判断出该结论是错误的.综上可知：只有①②③正确.考点：棱锥的结构特征；空间中直线与直线的位置关系.三、解答题（本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13.（本小题满分10分）如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(2)求△ABC的面积．－－＝； (2)2.【答案】(1)x y10考点：直线的方程；三角形的面积.14.（本小题满分10分）下图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)请画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥B—CEPD的体积．【答案】(1)见解析；(2)2.【解析】试题分析：（1）根据空间几何体三视图的画法即可画出；(2)由已知可得四棱锥B—CEPD的底面是直角梯形，只需求得其高即可.由PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE，得平面PDCE⊥平面ABCD；四边形ABCD为正方形，得BC⊥CD；又因为平面PDCE∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，得BC⊥平面PDCE，所以BC是四棱锥的高，代入棱锥的体积公式即可求得.试题解析：解: (1)该组合体的三视图如图所示．-----------3分(2)∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ，∴平面PDCE ⊥平面ABCD . ----------5分∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥CD ，且BC ＝DC ＝AD ＝2.又∵平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD .∴BC ⊥平面PDCE . -----------7分∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又∵EC ∥PD ，PD ＝2，EC ＝1，∴四边形PDCE 为一个直角梯形，其面积：S 梯形PDCE ＝12(PD ＋EC )·DC ＝12×3×2＝3， ∴四棱锥B —CEPD 的体积V B —CEPD ＝13S 梯形PDCE ·BC ＝13×3×2＝2. -------10分考点：空间几何体的三视图；棱锥的体积.15.（本小题满分10分）已知圆C 经过点(1,0)A -和(3,0)B ，且圆心在直线0x y -=上．（1）求圆C 的方程；（2）若点(,)P x y 为圆C 上任意一点，求点P 到直线240x y ++=的距离的最大值和最小值．【答案】(1) 22(1)(1)5x y -+-= ；(2)最大值为. 【解析】试题分析：(1) 由圆心在圆的弦的中垂线上和直线0x y -= ，可得圆心的坐标；由圆心到圆上点的距离等于半径，可得圆的半径的长，代入圆的标准方程即可求得；(2)先判断直线和圆的位置关系，再根据圆上点P 到直线的距离最大值为圆心到直线距离加半径，最小值为圆心到直线距离减半径即可求得.试题解析：解：(1) AB 的中点坐标为(1,0)，∴圆心在直线1x =上, ………… 1分又知圆心在直线0x y -=上,∴圆心坐标是(1,1),圆心半径是r =, …………3分∴圆的方程是22(1)(1)5x y -+-= ………… 5分(2)设圆心到直线240x y ++=的距离d >7分 ∴直线240x y ++=与圆C 相离,∴点P 到直线240x y ++=+=, ………9分-=………… 10分考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系.16.（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）设Q 为PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，求证：QG //平面PBC ．【答案】（1）（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）要证直线BC 与平面PAC 垂直只需在面PAC 内找两条相交直线与BC 垂直即得；（2）要证线面平行方法有两个：一是在面内找一条直线与面外的直线平行即可，二是利用面面平行亦可证得线面平行，本题用的是方法二.试题解析：证明：(1)AB 是圆O 的直径,得AC BC ⊥,… 1分由PA ⊥平面ABC ,BC平面ABC ,得PA BC ⊥,………3分又PA AC A =, PA 平面PAC ,AC 平面PAC ,……… 4分所以BC ⊥平面PAC .……… 5分(2)连OG 并延长交AC 于M ,连接,QM QO ,由G 为AOC ∆的重心，得M 为AC 中点．……… 6分由Q 为PA 中点，得//QM PC ,又O 为AB 中点，得//OM BC ,……… 7分因为,QM MO M =QM 平面QMO ,MO 平面QMO ,,BC PC C =BC 平面PBC ,PC 平面PBC所以平面//QMO 平面PBC .……… 9分因为QG 平面QMO ,所以//QG 平面PBC .……… 10分考点：直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定与性质.第Ⅱ卷一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）17.已知平面α外不共线的三点A ，B ，C 到α的距离相等，则正确的结论是( )A ．平面ABC 必平行于αB ．平面ABC 必不垂直于αC ．平面ABC 必与α相交D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内【答案】D【解析】试题分析：已知平面α外不共线的三点A 、B 、C 到α的距离都相等，则可能三点在α的同侧，即．平面ABC 平行于α，这时三条中位线都平行于平面α；也可能一个点A 在平面一侧，另两点B 、C 在平面另一侧，则存在一条中位线DE ∥BC ，DE 在α内，故选D ．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．18.函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ． (0,1)C ． (－1,0)D ．(1,2)【答案】B【解析】试题分析：因为()010f =-<，()110f e =->，所以函数零点在区间()0,1.故选B.考点：函数零点的判定定理.19.已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠φ，则实数b 的取值范围是( )A ．[－32，32]B ．[－3,3]C ．(－3,32]D ．[－32，3)【答案】C【解析】试题分析：方法一：由M ∩N ≠空集,即x b +=有解，两边平方，得22229x bx b x ++=-，即222290x bx b ++-=有解，则根的判别式()224890b b ∆=--≥， 218b ≤，即b -≤≤；由M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，根据被开方数是正数，得290x ->，33x -<<；由b>-x 得b>-3综上所述：3b -<≤；20.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=，且在区间 [0，2]上()f x x =，若关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，则a 的范围为（）A ．)4,2(B ．)22,2(C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：因为(4)()f x f x -=所以此函数为周期函数，且周期为4；因为在区间[0，2]上()f x x =，且函数()f x 为定义在上的偶函数，则在区间[20]-，上()f x x =-；当[]0,10x ∈时函数图像如图所示；要使方程有三个不同的根则有，解得a <<故选D.考点：函数的奇偶性和单调性.二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）21.设点A(－3,5)和B(2,15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上找一点P ，使|PA|＋|PB|为最小，则这个最小值为________ 【答案】513. 【解析】试题分析：由题意知，点A,B 在直线l 的同一侧；由平面几何性质可知，先作出点A 关于直线l 的对称点'A ，然后连接'A B ，则直线'A B 与l 的交点P 即为所求的点，线段'A B 的长即为PA PB ＋的最小值.设点()',A a b ，则543335344022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得33a b =⎧⎨=-⎩，则()'3,3A -，=,即PA PB ＋的最小值为.考点：线段的垂直平分线的性质；求两直线的交点坐标.22.矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为【答案】1256π.【解析】试题分析：因为球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且其半径为AC 长度的一半，矩形对角线AC=5，则345125==326V ππ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭球.考点：球的体积和表面积.三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）23.（本小题满分12分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设△AOB 的外接圆圆心为E.(1)若圆E 与直线CD 相切,求实数a 的值.(2)设点P 在圆E 上,使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有3个,试问这样的圆E 是否存在?若存在,求出圆E 的标准方程;若不存在,说明理由.【答案】(1)4；(2) ()()22x 5y 550-+-=. 【解析】试题分析：(1)先求出圆心坐标和半径，由圆心到切线的距离等于半径，解出实数a 的值；(2)要使 △PCD 的面积等于12的点P 有且只有3个，则⊙E 上到直线CD 的距离为，圆心E 到直线CD 的距离为2错误！未找到引用源。

福建省福州八中2013-2014学年高一数学上学期期中试题新人教A版

某某八中2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分2013.11.7第Ⅰ卷（100分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，A ={1，2，4}，B ={2，3，5}，则（∁U A ）∩B 是 A ．{2，3} B ．{3，5} C ．{1，2，3，4} D ．{2，3，5}2. 函数()1lg(2)f x x x =-+的定义域为A. (2,1)-B.[2,1)-C. (2,1]-D.[]1,2-3. 下列函数中，与函数(0)y x x =≥有相同图象的一个是A ．2y x =．2y x =C ．33y x =．2x y x=4.右图是函数)(x f y =的图像，它与x 轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数)(x f y =在区间（）上的零点. A ．[]1,1.2--B ．[]3.2,9.1C ．[]5,1.4D ．[]1.6,55.已知U 为全集，集合P ⊆Q ，则下列各式中不成立．．．的是 A ． P ∩Q =P B. P ∪Q =Q C. P ∩(C U Q ) =∅ D. Q ∩(C U P )=∅6. 已知函数)(x f y =的值域是]41[，，则)1(-=x f y 的值域是 A ．]41[， B. ]51[， C. ]30[，D. ]52[，7. 下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是A.xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 B. y=－x 3C.x y 1=D.)(log 3x y -=8. 已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=)0(1)0(2log )(22x x x x x f ，若2)(=x f ，则x 的值是A ．1或2B ．2或－1C ．1或－2D ．±1或±29. 若x x x f 2)1(+=-，则f (x)=A ． x 2+4x+3(x ∈R)B ．x 2+4x(x ∈R)C ．x 2+4x(x ≥－1)D ．x 2+4x+3(x ≥－1)10. 若()1,10lg lg ≠≠=+b a b a ，则函数xa x f =)(与xb x g =)(的图象 A. 关于直线y=x 对称 B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于原点对称二、填空题：4小题，每小题5分，共20分，把答案填在相应的位置上.11.设全集U=R ，A={x| x<－2,或x ≥1}，B={x| a －1<x<a ＋1}，B ⊆∁R A ，则实数a 的取值X 围是______.12.计算5lg 2lg 1001lg1640313--++⋅e 的值为_________. 13. 已知2log 3P =，43log 3=Q ，12109R -⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么将这三个数从大到小．．．．排列为____. 14. 已知实数x ，y 满足2240x y y ++=，则2224s x y y =+-的最小值为___. 三、解答题：本大题三个小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题10分）已知偶函数y=f (x )定义域是[－3，3]，当0≥x 时，f (x )=x －1.（1）求函数y=f (x )的解析式；（2）画出函数y=f (x )的图象，并利用图象写出．．函数y=f (x )的单调区间和值域.16.（本小题10分）已知函数xx x f m4)(-=的图象过点(2，0). ⑴求m 的值；⑵证明)(x f 的奇偶性；⑶判断)(x f 在),0(+∞上的单调性，并给予证明; 17. （本小题10分）已知二次函数a ax x x f -+-=2)(2在区间[]0,1上有最大值2，某某数a 的值第Ⅱ卷（50分）一、选择题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）18.函数)1(||>=a x xa y x的图象的大致形状是A B C D19. 已知函数2(1)log (21)f x x +=+，那么()f x 的定义域是A ．1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭B ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．2|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭D ．{}|0x x >20. 若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在（0，+)∞为增函数，又(2)f 0=，则不等式[]0)(1ln <⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛x xf e 的解集为A ．(2,0)(2,)-+∞B ．(,2)(0,2)-∞-C ．)2,0()0,2( -D ．(,2)(2,)-∞-+∞二、填空题：两小题，每小题5分，共10分，把答案填在相应的位置上.21. 函数21()211x x f x x x ⎧<=⎨-⎩，，≥，若方程()f x a =有两个不相等的实数解，则a 的取值X 围是________．22. 给出下列四个命题：①函数2212-+-=x x y 为奇函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点； ③函数xy 12=的值域是()∞+,0；④若函数)2(x f 的定义域为]2,1[，则函数)2(xf 的定义域为]2,1[； ⑤函数()x x y 2lg 2+-=的单调递增区间是(]1,0.其中正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题两个小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.23.（本小题12分）已知增函数()21xbax x f ++=是定义在（－1，1）上的奇函数，其中R b ∈，a 为正整数，且满足54)2(<f . ⑴求函数()x f 的解析式；⑵求满足0)()2(2<+-t f t t f 的t 的X 围;24.（本小题13分）已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (k ∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)探究函数f (x )＝ax ＋bx(a 、b 是正常数)在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ,0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,a b上的单调性（只需写出结论，不要求证明）.并利用所得结论，求使方程f (x )－log 4m ＝0有解的m 的取值X 围．某某八中2013—2014学年第一学期期中考试高一数学必修Ⅰ试卷参考答案及评分标准Ⅰ卷一、选择题：BCBBD ABCDC二、填空题：11. -1≤a ≤0； 12. 2； 13.P>R>Q ； 14. 0 三、解答题：15.（本小题10分）解：(1) 设x<0，则－x>0.由y=f (x )是偶函数，得f (x)=f (－x)=x -－1…………3分所以，⎩⎨⎧<--≥-=0,10,1)(x x x x x f …………………………4分(2)画图…………………………………………6分由图象得该函数的单调递减区间是(]0,∞-，单调递增区间是[)∞+,0. …8分函数的值域为[)∞+-,1……………………………………10分16.（本小题10分）解：⑴ 0)2(=f ，∴022=-m，1=∴m . ………2分⑵因为x x x f 4)(-=，定义域为{}0|≠x x ，关于原点成对称区间. ……3分又)()4(4)(x f xx x x x f -=--=---=-，所以)(x f 是奇函数. ……………… 6分 ⑶设021>>x x ，则)41)(()4(4)()(2121221121x x x x x x x x x f x f +-=---=-……8分因为021>>x x ，所以021>-x x ，04121>+x x ，所以)()(21x f x f >，因此，)(x f 在),0(+∞上为单调增函数. ……………10分17. （本小题10分）解析：由a a a x x f -+--=22)()(，得函数)(x f 的对称轴为：x a =，……1分 ①当0<a 时，()f x 在]1,0[上递减，2)0(=∴f ，即2,2-=∴=-a a ； ……………………4分 ②当1>a 时，()f x 在]1,0[上递增，2)1(=∴f ，即3=a ； ……………………7分 ③当01a ≤≤时，()f x 在],0[a 递增，在]1,[a 上递减，2)(=∴a f ，即22=-a a ，解得：12-=或a 与01a ≤≤矛盾；综上：a =－2或3=a ……………………10分Ⅱ卷24.（本小题13分）解：(1)由函数f (x )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )．∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x＋1)－kx .即log 44x＋14－x ＋1＝－2kx ，………………2分 log 44x＝－2kx ，……………………4分∴x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立．∴k ＝－12.………………5分（注：利用f(-1)=f(1)解出k ＝－12，亦可得满分)(2)结论：函数f (x )＝ax ＋bx(a 、b 是正常数)在区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b ,0上为减函数，在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,a b上为增函数.………………………………………………6分由题意知，可先求f (x )＝log 4(4x ＋1)－12x 的值域，f (x )＝log 44x＋12x ＝log 4(2x＋12x )．…8分设u=2x ＋12x ，又设xt 2=，则t t u 1+=，由定理，知t t u 1+=在()1,0单调递减，在()+∞,1单调递增，所以2)1(min ==u u ，…………11分∵y=log 4x 为增函数，由题意，只须log 4m ≥log 42，即m ≥2故要使方程f(x)－log 4m ＝0有解，m 的取值X 围为m≥2.……………………13分。

2015-2016学年福建省福州八中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年福建省福州八中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1 B．135°，﹣1 C．90°，不存在D．180°，不存在【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【专题】阅读型．【分析】利用直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，选出答案．【解答】解：∵直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，而斜率不存在，故选C．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及直线的图象特征与直线的倾斜角、斜率的关系．2．直线y﹣2=mx+m经过一定点，则该点的坐标是（）A．（﹣2，2）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（2，1）【考点】恒过定点的直线．【专题】直线与圆．【分析】直线y﹣2=mx+m的方程可化为m（x+1）﹣y+2=0，根据x=﹣1，y=2时方程恒成立，可直线过定点的坐标．【解答】解：直线y﹣2=mx+m的方程可化为m（x+1）﹣y+2=0当x=﹣1，y=2时方程恒成立故直线y﹣2=mx+m恒过定点（﹣1，2），故选：C．【点评】本题考查直线恒过定点，解题的关键是将方程中的参数分离，属于基础题．3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，α与β相交或相行；在B中，α与β不一定垂直；在C中，由由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．【解答】解：在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或相行，故A错误；在B中，m⊥n，α∩β=m，n⊂α，则α与β不一定垂直，故B错误；在C中，m∥n，n⊥β，m⊂α，由由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C．D．【考点】平面图形的直观图．【专题】规律型．【分析】原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．【解答】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A'B'=2，下底为BC=1+，∴．故选：A．【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础．5．与圆x2+y2+4x﹣4y+7=0和x2+y2﹣4x﹣10y+13=0都相切的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】确定两圆相外切，即可得出结论．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y+7=0的圆心为（﹣2，2），半径为1，x2+y2﹣4x﹣10y+13=0圆心是（2，5），半径为4故两圆相外切∴与圆x2+y2+4x﹣4y+7=0和x2+y2﹣4x﹣10y+13=0都相切的直线共有3条．故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．6．正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A．1：B．1：3 C．1：3D．1：9【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】设出正方体的棱长，分别求出正方体的内切球与其外接球的半径，然后求出体积比．【解答】解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1：3，选C【点评】本题考查正方体的内切球和外接球的体积，是基础题．7．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM（）A．与AC、MN均垂直相交B．与AC垂直、与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直 D．与AC、MN均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】此题的条件使得建立空间坐标系方便，且选项中研究的位置关系也适合用空间向量来证明其垂直关系，故应先建立坐标系，设出边长，据几何特征，给出各点的坐标，验证向量内积是否为零【解答】解：以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图因为正方体的棱长为2，则D（0，0，0）、D1（0，0，2）、M（0，0，1）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、O（1，1，0）、N（0，1，2）．∴=（﹣1，﹣1，1），=（0，1，1），=（﹣2，2，0）．∴=0，=0，∴OM⊥AC，OM⊥MN．故选A．【点评】本题考查用空间向量的方法来判断线线垂直，解答本题的关键是正确建立坐标系，使所求坐标化，利用向量的坐标运算解答．8．设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4 C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2【考点】圆的切线方程；轨迹方程．【专题】计算题．【分析】圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1，根据PA是圆的切线，且|PA|=1，可得，从而可求P点的轨迹方程【解答】解：设P（x，y），则由题意，圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1 ∵PA是圆的切线，且|PA|=1∴∴P点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=2故选D．【点评】本题以圆的标准方程为载体，考查圆的切线性质，考查轨迹方程的求解，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是0或．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】分类讨论；转化法；直线与圆．【分析】根据直线平行的等价条件进行求解即可．【解答】解：若a=0，则两直线方程为x﹣1=0，﹣x﹣1=0，满足两直线平行，当a≠0时，若两直线平行，则，得a=，故答案为：0或．【点评】本题主要考查直线平行的求解和应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．10．若点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c），（e，f，d），则c+e=1．【考点】空间中的点的坐标．【专题】空间位置关系与距离．【分析】点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xoy的对称点为（﹣4，﹣2，﹣3），点P（﹣4，﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标（4，﹣2，﹣3），求出c与e的值，即可求得c与e的和．【解答】解：∵点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xoy的对称点为（﹣4，﹣2，﹣3），点P（﹣4，﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标（4，﹣2，﹣3），点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c）、（e，f，d），∴c=﹣3，e=4，∴c+e=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查求空间中的一个点关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标的求法，属于基础题．11．已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长×．【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，∴底面半径=1，底面周长=2π，∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π，故答案为：2π．【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式、圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．12．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B，E，F，C四点共面；②直线BF与AE异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD；．⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．其中正确的有①②③．（请写出所有符合条件的序号）【考点】棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】首先可根据几何体的平面展开图画出其直观图，然后根据中位线的性质，两条平行直线可确定一个平面，异面直线的概念，线面平行的判定定理，二面角的平面角的定义及求法，即可判断每个结论的正误，而对于结论⑤，可画出该几何体沿底面正方形的边，及侧棱PD剪开后所得的平面展开图，由该展开图即可求出从B点出发，绕过平面PAD，到达点C的最短距离，从而判断出该结论的正误．【解答】解：根据几何体的平面展开图，画出它的直观图如下：①根据已知，EF∥AD∥BC；∴EF∥BC；∴B，E，F，C四点共面；∴该结论正确；②由图可看出BF和AE异面；∴该结论正确；③由①EF∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC；∴EF∥平面PBC；∴该结论正确；④分别取AD，EF，BC的中点G，H，M，并连接GH，HM，MG，则GH⊥EF，HM⊥EF；而EF是平面BCE和平面PAD的交线；∴∠GHM为平面BCE与平面PAD形成的二面角的平面角；若设该几何体的侧棱长为2，则：GH=，HM=，MG=2；显然GH2+HM2≠MG2；∴∠GHM≠90°；∴平面BCE与平面PAD不垂直；∴该结论错误；⑤把该正四棱锥沿底面各边及侧棱PD剪开，得到的展开图如下：BH⊥PA，∴B到侧棱PA的最短距离为BE，BE=；过E作EN⊥PD，则EN是点E到PD的最短距离，且EN=，NP=；而N到C的最短距离便是线段NC的长，NC=；∴从B点出发，绕过PAD面到达C点的最短距离为；而BE+EF+FC=；∴该结论错误；综上得正确的结论为①②③．故答案为：①②③．【点评】考查中位线的性质，两平行直线可确定一个平面，能根据几何体的平面展开图画出它的直观图，线面平行的判定定理，以及二面角的平面角的概念及求法，将立体图形转变成平面图形解题的方法．三、解答题（本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x﹣2y+2=0上．（Ⅰ）求AB边上的高CE所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】（I）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．（II）联立直线方程可得交点，利用直角三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，E为AB的中点，∴E（3，2），k AB==﹣1．且k CE=﹣=1，∴CE：y﹣2=x﹣3，即x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）由得C（4，3），∴|AC|=|BC|=2，AC⊥BC，∴S△ABC==2．【点评】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、直线的交点、直角三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．14．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．（1）请画出该几何体的三视图；（2）求四棱锥B﹣CEPD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知中底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．根据三视图的定义，易得到该几何体的三视图；（2）由已知中PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2EC=2，我们计算出棱锥的底面面积和高，代入棱体积公式，即可求出四棱锥B﹣CEPD的体积；【解答】解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：（3分）（2）∵PD平面ABCD，PD⊂平面PDCE∴平面PDCE⊥平面ABCD∵BC⊥CD∴BC⊥平面PDCE（5分）∵S PCDE=（PD+EC）•DC=3（6分）∴四棱锥B﹣CEPD的体积V=•S PCDE•BC=2．（8分）【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，棱锥的体积，熟练掌握空间几何图形的几何特征，三视图的定义及画法，棱锥的体积公式是解答本题的关键．15．已知圆C经过点A（﹣1，0）和B（3，0），且圆心在直线x﹣y=0上．（1）求圆C的方程；（2）若点P（x，y）为圆C上任意一点，求点P到直线x+2y+4=0的距离的最大值和最小值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）确定圆心坐标与半径，可求圆C的方程；（2）点P到直线x+2y+4=0的距离转化为圆心到直线x+2y+4=0的距离问题．【解答】解：（1）AB的中点坐标为（1，0），∴圆心在直线x=1上，…（1分）又知圆心在直线x﹣y=0上，∴圆心坐标是（1，1），圆心半径是，…（4分）∴圆方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=5；…（7分）（2）设圆心到直线x+2y+4=0的距离，∴直线x+2y+4=0与圆C相离，…（9分）∴点P到直线x+2y+4=0的距离的最大值是，…（12分）最小值是．…（15分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的转化能力，正确转化是关键．16．如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．（1）由PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC，【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可得结论．（2）连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点．利用三角形的中位线性质，证明OM∥BC，QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，从而证明QG∥平面PBC．【解答】解：（1）AB是圆O的直径，PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，C是圆O上的点，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC．再由AC∩PA=A，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC．（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，连接OG并延长交AC于点M，连接QM，则由重心的性质可得M为AC的中点．故OM是△ABC的中位线，QM是△PAC的中位线，故有OM∥BC，QM∥PC．而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，AC和BC是平面PBC内的两条相交直线，故平面OQM∥平面PBC．又QG⊂平面OQM，∴QG∥平面PBC．【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）17．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是（）A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】压轴题．【分析】考虑三个点的位置，可能在平面同侧，也可能在两侧，不难判定结论的正确性．【解答】解：已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则可能三点在α的同侧，即．平面ABC平行于α，这时三条中位线都平行于平面α；也可能一个点A在平面一侧，另两点B、C在平面另一侧，则存在一条中位线DE∥BC，DE在α内，所以选D．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考虑仔细全面，找反例有时事半功倍，是基础题．18．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．19．已知M={（x，y）|y=，y≠0}，N={（x，y）|y=x+b}且M∩N≠∅，则实数b的取值范围是（）A．[﹣3，3]B．[﹣3.3]C．[﹣3，﹣3）D．（﹣3，3]【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】集合M表示的图形是一个半圆．N}表示一条直线，当直线和圆相切时，求出b值．当直线过点（3，0）时，求出对应的b值，结合结合图形可得实数b的取值范围．【解答】解：集合M={（x，y）|y=，y≠0}表示的图形是一个以原点为圆心，以3为半径的半圆（x轴以上部分），如图：N={（x，y）|y=x+b}表示一条直线．当直线和圆相切时，由r=3=，解得b=3，或b=﹣3（舍去）．当直线过点（3，0）时，0=3+b，b=﹣3．当M∩N≠∅时，结合图形可得实数b的取值范围是（﹣3，3]，故选D．。

福建省福州市第八中学高一数学上学期期末考试试题

福州八中2015—2016学年第一学期期末考试高一数学必修2考试时间：120分钟试卷满分：150分2016.1.26第Ⅰ卷（100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是 A.45°,1 B.135°,-1 C.90°,不存在 D.180°,不存在 2.直线y-2=mx+m 经过一定点,则该点的坐标为 ( )A.(-1,2)B.(2,-1)C.(1,2)D.(2,1)3.对于直线m,n 和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 ( ) A. m ⊥n, m∥α,n∥β B. m⊥n, α∩β=m, n ⊂αC. m∥n, n⊥β,m ⊂αD . m∥n, m⊥α, n⊥β4．如图所示，直观图四边形A B C D ''''是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( ) A ．22+ B ．21-C ．22D ．225．与圆O 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线条数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 6．正方体的内切球和外接球的体积之比为( )A ．1∶ 3B ．1∶3C ．1∶9D ．1∶3 37．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面 ABCD 的中心，M ，N 分别是棱DD 1，D 1C 1的中点，则直线OM( ) A ．与AC ，MN 均垂直相交 B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与AC ，MN 均不垂直8．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x －ay －1＝0平行，则a 的值是________．10.若点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy 及y 轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c+e= .11．一个圆锥的轴截面是个边长为2的正三角形，这个圆锥的侧面积等于 .12．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论： ①B ，E ，F ，C 四点共面； ②直线BF 与AE 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD ；.⑤折线B →E →F →C 是从B 点出发，绕过三角形PAD 面，到达点C 的一条最短路径.其中正确的有_____________．(请写出所有符合条件的序号)三、解答题（本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．（本小题满分10分）如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上． (1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．14．（本小题满分10分）下图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝AD ＝2EC ＝2.(1)请画出该几何体的三视图； (2)求四棱锥B —CEPD 的体积．15．（本小题满分10分）已知圆C 经过点(1,0)A -和(3,0)B ，且圆心在直线0x y -=上．（1）求圆C 的方程；（2）若点(,)P x y 为圆C 上任意一点，求点P 到直线240x y ++=的距离的最大值和最小值．16．（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）设Q 为PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，求证：QG //平面PBC ．第Ⅱ卷一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）17．已知平面α外不共线的三点A ，B ，C 到α的距离相等，则正确的结论是( ) A ．平面ABC 必平行于α B ．平面ABC 必不垂直于αC ．平面ABC 必与α相交D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内18．函数f(x)＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ． (0,1)C ． (－1,0)D ．(1,2)19．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠φ，则实数b 的取值范围是( ) A ．[－32，32] B ．[－3,3]C ．(－3,32]D ．[－32，3)20.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=，且在区间[0，2]上()f x x =，若关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，则a 的范围为（）A ．)4,2(B ．)22,2(C ．(6,22)D ．(6,10)二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）21．设点A(－3,5)和B(2,15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上找一点P ，使|PA|＋|PB|为最小，则这个最小值为________22．矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）23．（本小题满分12分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设△AOB 的外接圆圆心为E.(1)若圆E 与直线CD 相切,求实数a 的值.(2)设点P 在圆E 上,使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有3个,试问这样的圆E 是否存在?若存在,求出圆E 的标准方程;若不存在,说明理由.24．（本小题满分14分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC 与11B D 交点，已知11AA AB ==,60BAD ∠=o .（Ⅰ）求证：11A C ⊥平面11B BDD ；（Ⅱ）求证：AO ∥平面1BC D ；（Ⅲ）设点M 在1BC D ∆内（含边界）,且OM ⊥11B D ，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最小值.A BD 1 C 1D COA 1B 1福州八中2015—2016学年第一学期期末考试高一数学必修2 试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1-8 CACA BDAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分9. 0或1210. 1 11. 2π 12. ①②③三、解答题：本大题共有4个小题，共40分 13. 解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点，∴E(3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1 -----------2分∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0. -----------4分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C(4,3)，-----------6分∴|AC|＝|BC|＝2，AC ⊥BC ，-----------8分 ∴S △ABC ＝12|AC|·|BC|＝2. -----------10分14. 解 (1)该组合体的三视图如图所示．-----------3分(2)∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ， ∴平面PDCE ⊥平面ABCD . ----------5分∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥CD ，且BC ＝DC ＝AD ＝2. 又∵平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD . ∴BC ⊥平面PDCE . -----------7分 ∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC . 又∵EC ∥PD ，PD ＝2，EC ＝1，∴四边形PDCE 为一个直角梯形，其面积：S 梯形PDCE ＝12(PD ＋EC ∴四棱锥B —CEPD 的体积V B —CEPD ＝3S 梯形PDCE ·BC ＝3×3×2＝2. -------10分15. 解：(1) AB 的中点坐标为(1,0)，∴圆心在直线1x =上, ………… 1分又知圆心在直线0x y -=上, ∴圆心坐标是(1,1),圆心半径是5r =,…………3分∴圆方程是22(1)(1)5x y -+-=;………… 5分 (2)设圆心到直线240x y ++=的距离12475555d ++==>，………7分 ∴直线240x y ++=与圆C 相离,∴点P 到直线240x y ++=的距离的最大值是71255555+=, ………9分最小值是7255555-=.………… 10分 16. 证明：(1)AB 是圆O 的直径,得AC BC ⊥,… 1分由PA ⊥平面ABC ,BC 平面ABC ,得PA BC ⊥,………3分又PA AC A =I , PA平面PAC ,AC平面PAC ,……… 4分所以BC ⊥平面PAC .……… 5分(2)连OG 并延长交AC 于M ,连接,QM QO ,由G 为AOC ∆的重心，得M 为AC 中点．……… 6分由Q 为PA 中点，得//QM PC ,又O 为AB 中点，得//OM BC ,……… 7分因为,QM MO M =I QM平面QMO ,MO平面QMO ,,BC PC C =I BC 平面PBC ,PC 平面PBC所以平面//QMO 平面PBC .……… 9分因为QG平面QMO ,所以//QG 平面PBC .……… 10分第Ⅱ卷一、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 17-20 DBCD二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分 21. 513 22. 1256π三、解答题: 本大题共有2个小题，共26分23. 解：(1)直线CD 的方程为y=x+4,圆E 的圆心为E(错误!未找到引用源。

2014-2015年福建省福州八中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2014-2015学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）在复平面内，复数﹣|2i|对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|3．（5分）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4B．y=7x+2C．y=x﹣4D．y=x﹣24．（5分）在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有（）A．①③B．②③C．①④D．③④5．（5分）对于非零复数a，b，以下有四个命题：①a+≠0；②（a+b）2=a2+2ab+b2；③若|a|=1，则a=±1或±i；④若a2=ab，则a=b或a=0．则其中一定为真命题的是（）A．②④B．①③C．①②D．③④6．（5分）利用数学归纳法证明＜1（n∈N*，且n≥2）时，第一步不等式左端是（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．π+6B．π﹣2C．2πD．88．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，OF2（O为椭圆中心）为半径作圆F2，若它与椭圆的一个交点为M，且MF1恰好为圆F2的一条切线，则椭圆的离心率为（）A．﹣1B．2﹣C．D．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则=（）A．；B．C．D．10．（5分）当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二.填空题：（5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）函数y=lnx ﹣x 2的单调递增区间为．12．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，CC 1中点为E ，则直线AE 与BC 1所成的角的大小为．13．（4分）设a=，b=，c=，则a 、b 、c 的大小关系为．（按从大到小的顺序排列，否则不给分） 14．（4分）已知点A （x 1，a），B （x 2，a）是函数y=a x （a ＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A（x 1，lnx 1），B （x 2，lnx 2）是函数y=lnx 的图象上任意不同两点，则类似地有．15．（4分）已知f （x ）=，定义f 1（x ）=f′（x ），f 2（x ）=[f 1（x ）]′，…，f n +1（x ）=[f n （x ）]′，n ∈N *．经计算f 1（x ）=，f 2（x ）=，f 3（x ）=，…，照此规律，则f n （x ）= ．三、解答题：（3小题，共30分）16．（10分）复数z 1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．17．（10分）设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．①若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；②若f（x）在（1，3）上不单调，求a的取值范围．18．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，E为CB1与BC1的交点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）求直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值．第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（2个小题，每小题5分，共10分）19．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，）D．（1，）20．（5分）已知数列{a n}，，把数列{a n}的各项排成三角形状，如图所示．记A（m，n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）=（）A．B．C．D．二、填空题：（1个小题，共4分）21．（4分）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y=h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）=+lnx的“类对称中心点”的坐标是．三、解答题：（3个小题，共36分）22．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）问侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角E﹣BD﹣P的余弦值为．若存在，试确定点E的位置；若不存在，说明理由．23．（12分）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P （2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．24．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当x∈（0，2π），求证：lnx+cosx+．2014-2015学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）在复平面内，复数﹣|2i|对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：化简可得﹣|2i|=﹣2=1+i﹣2=﹣1+i对应的点为（﹣1，1）在第二象限，故选：B．2．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|【解答】解：由于结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|，用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设：|a|≤|b|，由此推出矛盾．故选：C．3．（5分）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4B．y=7x+2C．y=x﹣4D．y=x﹣2【解答】解：∵y=4x﹣x3，∴y'︳x==4﹣3x2︳x=﹣1=1，﹣1∴曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为k=1，即利用点斜式求出切线方程是y=x﹣2，故选：D．4．（5分）在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有（）A．①③B．②③C．①④D．③④【解答】解：图①中；图②中；图③中；图④中．故选：D．5．（5分）对于非零复数a，b，以下有四个命题：①a+≠0；②（a+b）2=a2+2ab+b2；③若|a|=1，则a=±1或±i；④若a2=ab，则a=b或a=0．则其中一定为真命题的是（）A．②④B．①③C．①②D．③④【解答】解：①a=i时，a+=0，故不成立；②（a+b）2=a2+2ab+b2，成立；③设a=x+yi（x，y∈Z），|a|=1，则x2+y2=1，故不成立；④若a2=ab，则a（a﹣b）=0，∴a=b或a=0，成立．故选：A．6．（5分）利用数学归纳法证明＜1（n∈N*，且n≥2）时，第一步不等式左端是（）A．B．C．D．【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=2时，不等式左边为．故选：D．7．（5分）函数f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．π+6B．π﹣2C．2πD．8【解答】解：f（x）dx=（∫﹣20（2﹣x）dx+∫2dx）∵∫﹣20（2﹣x）dx=（2x﹣x2）|﹣20=6，∵∫02dx表示的几何意义是以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，∴∫02dx==π∴﹣22f（x）dx=∫﹣20（2﹣x）dx+∫02dx=π+6故选：A．8．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，OF2（O为椭圆中心）为半径作圆F2，若它与椭圆的一个交点为M，且MF1恰好为圆F2的一条切线，则椭圆的离心率为（）A．﹣1B．2﹣C．D．【解答】解：∵以F2为圆心，OF2（O为椭圆中心）为半径作圆F2，若它与椭圆的一个交点为M，且MF1恰好为圆F2的一条切线，∴F1M⊥F2M．∵，∴|F1M|=c．∴c+c=2a，∴．∴椭圆的离心率为﹣1．故选：A．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则=（）A．；B．C．D．【解答】解：=====﹣=．故选：C．10．（5分）当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣2ax=0，即x=0或x=2a，∵a＞0，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．设a=1，则f（x）=（x2﹣2x）e x，∴f'（x）=（x2﹣2）e x，由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，＜x＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B．二.填空题：（5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）函数y=lnx﹣x2的单调递增区间为（0，）．【解答】解：函数的定义域为为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣2x=，由f′（x）=＞0，得1﹣2x2＞0，解得0＜x＜，故函数的单调递增区间为（0，），故答案为：（0，）12．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1中点为E，则直线AE与BC1所成的角的大小为．【解答】解：如图，连接D1A，D1E，∠D1AE（或其补角）为异面直线BC1与AE 所成角设边长为1，则D1A=，D1E=，AE=，利用余弦定理得cos∠D1AE==∴∠D1AE=故答案为：．13．（4分）设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系为c＞a＞b．（按从大到小的顺序排列，否则不给分）【解答】解：∵（=﹣9＜0，∴＜4，∴c==＞=a，又﹣2==a，∴c＞a＞b．故答案为：c＞a＞b．14．（4分）已知点A（x1，a），B（x2，a）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A （x1，lnx1），B（x2，lnx2）是函数y=lnx的图象上任意不同两点，则类似地有＜ln（）．【解答】解：由题意知，点A、B是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有＞a成立；点A（x1，lnx1），B（x2，lnx2）是函数y=lnx的图象上任意不同两点，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论＜ln （）．故答案为：＜ln（）．15．（4分）已知f（x）=，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，f n+1（x）=[f n（x）]′，n∈N*．经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，则f n（x）=．【解答】解：∵f1（x）==，f2（x）==，f3（x）==，…，由此归纳可得：f n（x）=，故答案为：三、解答题：（3小题，共30分）16．（10分）复数z 1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，若+z2是实数，求实数a的值．【解答】解：∵z1=+（10﹣a2）i，z2=+（2a﹣5）i，∴+z 2是=[+（a2﹣10）i]+[+（2a﹣5）i]=（+）+（a2﹣10+2a﹣5）i=+（a2+2a﹣15）i，∵+z 2是实数，∴a2+2a﹣15=0，解得a=﹣5或a=3．又分母a+5≠0，∴a≠﹣5，故a=3．17．（10分）设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．①若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；②若f（x）在（1，3）上不单调，求a的取值范围．【解答】解：①f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），∵f（x）在x=3处取得极值，∴f′（3）=6（3﹣a）（3﹣1）=0，解得a=3．经过检验，当a=3时，x=3为函数f（x）的极值点．②令f′（x）=6（x﹣a）（x﹣1）=0，解得x=a或1．当a≤1时，f′（x）≥0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递增，不合题意舍去；当1＜a＜3时，当1＜x＜a时，f′（x）＜0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递减；当a＜x＜3时，f′（x）＞0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递增，满足题意；当a≥3时，f′（x）＜0，可知：函数f（x）在（1，3）上单调递减，不合题意舍去．综上可得：a的取值范围是（1，3）．18．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，E为CB1与BC1的交点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）求直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵E为CB1与BC1的交点，∴E为BC1的中点，又点D是AB的中点，即DE为三角形ABC1的中位线，∴DE∥AC1，又DE⊄平面ACC1A1，∴DE∥平面AC C1 A1，（2）解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∵AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，而由条件知，AC⊥C1C，且BC⊥C1C=C，以CA．CB．CC1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，∵AC=3，BC=4，AA1=4，∴，．设平面DB1C的法向量=（x0，y0，z0），则由，令x0=4，则y0=﹣3，z0=3，∴=（4，﹣3，3），又直线BC1与平面DB1C所成角θ的正弦值即直线BC1与平面DB1C的法向量夹角的余弦值，∴，∴直线BC1与平面DB1C所成角的正弦值为．第Ⅱ卷（共50分）一、选择题：（2个小题，每小题5分，共10分）19．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（1，）D．（1，）【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为：y=x，∵点（1，2）在“上”区域内，∴×1＜2，即＜2，∴e==＜，又e＞1，则双曲线离心率e的取值范围是（1，）．故选：D．20．（5分）已知数列{a n}，，把数列{a n}的各项排成三角形状，如图所示．记A（m，n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，第一行有1项，第二行有2项，…，第n行有n项，则前9行共有1+2+3+…+9==45，所以第10行第8个数是数列的第45+8=53项，因为，所以A（10，8）=，故选：D．二、填空题：（1个小题，共4分）21．（4分）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y=h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）=+lnx的“类对称中心点”的坐标是．【解答】解：由题意得，f′（x）=，f（x0）=（x＞0），即函数y=f（x）的定义域D=（0，+∞），所以函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为：y﹣（）=（）（x﹣x0），则g（x）=（）（x﹣x0）+（），设F（x）=f（x）﹣g（x）=+lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]，则F（x0）=0，所以F′（x）=f′x）﹣g′（x）=﹣（）===当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）=0，此时，当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）=0，此时，∴y=F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．若x0=e，=＞0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）=0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）=0，故，即此时点P是y=f（x）的“类对称点”，综上可得，y=F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，又f（e）==，所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是，故答案为：．三、解答题：（3个小题，共36分）22．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）问侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角E﹣BD﹣P的余弦值为．若存在，试确定点E的位置；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1），=（1，1，0）．=（﹣1，1，0）所以，所以BC⊥BD，又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又PD∩DB=D，所以BC⊥平面PBD．（Ⅱ）因为=（0，2，﹣1），又且λ∈（0，1），设E（x0，y0，z0），则（x0，y0，z0﹣1）=（0，2λ，﹣λ），所以，E（0，2λ，1﹣λ），即=（0，2λ，1﹣λ），．…（6分）设平面EBD的法向量为=（a，b，c），因为=（1，1，0），由，，得，令a=﹣1，则可得平面EBD的一个法向量为=（﹣1，1，）…（9分）而平面PDB的法向量即为…（10分）所以，=||=，解得或λ=﹣1，…（11分）又由题意知λ∈（0，1），故，即点E在靠近点P的三等分处．…（12分）23．（12分）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P （2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C上，∴p=1，∴y2=2x．…（2分）设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m，代入抛物线方程可得x2+（2m﹣2）x+m2=0，∴△=（2m﹣2）2﹣4m2=4﹣8m=0，得m=，则直线l′方程为y=x+．∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，∴有，解得b=2或b=﹣1（舍去）．∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x．…（6分）（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x得ky2﹣2y﹣4k+2=0，设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∵k1===，k2=，…（9分）∴．…（10分）由得，y M =，∴k3==，…（13分）∴k1+k2=2k3．因此，存在实数λ，使得k1+k2=λk3成立，且λ=2．…（14分）24．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当x∈（0，2π），求证：lnx+cosx +．【解答】解：（Ⅰ）由条件知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；故f min（x）=f （）=﹣；（Ⅱ）对一切x∈[3，+∞）恒有f（x）≥g（x）成立，即xlnx≥﹣x2+ax﹣6恒成立，（x∈[3，+∞））；即a≤lnx+x +恒成立，（x∈[3，+∞））；令h（x）=lnx+x +，则h′（x）==；第21页（共22页）故h（x）在[3，+∞）上是增函数；故h min（x）=h（3）=5+ln3；故实数a的取值范围为（﹣∞，5+ln3]．（Ⅲ）证明：由题意，当x∈（0，2π）时，要证：lnx+cosx +成立，只需证xlnx≥sinx﹣xcosx ﹣；设P（x）=sinx﹣xcosx ﹣，则P′（x）=xsinx，故P（x）在（0，π）上是增函数，在（π，2π）上是减函数；故P max（x）=P（π）=﹣；由（Ⅰ）知，f min（x）=f （）=﹣＞﹣；故当x∈（0，2π），lnx+cosx+恒成立．第22页（共22页）。

2015-2016学年福建省福州八中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年福建省福州八中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1 B．135°，﹣1 C．90°，不存在D．180°，不存在【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【专题】阅读型．【分析】利用直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，选出答案．【解答】解：∵直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，而斜率不存在，故选C．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及直线的图象特征与直线的倾斜角、斜率的关系．2．直线y﹣2=mx+m经过一定点，则该点的坐标是（）A．（﹣2，2）B．（2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（2，1）【考点】恒过定点的直线．【专题】直线与圆．【分析】直线y﹣2=mx+m的方程可化为m（x+1）﹣y+2=0，根据x=﹣1，y=2时方程恒成立，可直线过定点的坐标．【解答】解：直线y﹣2=mx+m的方程可化为m（x+1）﹣y+2=0当x=﹣1，y=2时方程恒成立故直线y﹣2=mx+m恒过定点（﹣1，2），故选：C．【点评】本题考查直线恒过定点，解题的关键是将方程中的参数分离，属于基础题．3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，α与β相交或相行；在B中，α与β不一定垂直；在C中，由由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．【解答】解：在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或相行，故A错误；在B中，m⊥n，α∩β=m，n⊂α，则α与β不一定垂直，故B错误；在C中，m∥n，n⊥β，m⊂α，由由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C．D．【考点】平面图形的直观图．【专题】规律型．【分析】原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．【解答】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A'B'=2，下底为BC=1+，∴．故选：A．【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础．5．与圆x2+y2+4x﹣4y+7=0和x2+y2﹣4x﹣10y+13=0都相切的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】确定两圆相外切，即可得出结论．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y+7=0的圆心为（﹣2，2），半径为1，x2+y2﹣4x﹣10y+13=0圆心是（2，5），半径为4故两圆相外切∴与圆x2+y2+4x﹣4y+7=0和x2+y2﹣4x﹣10y+13=0都相切的直线共有3条．故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．6．正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A．1：B．1：3 C．1：3D．1：9【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】设出正方体的棱长，分别求出正方体的内切球与其外接球的半径，然后求出体积比．【解答】解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1：3，选C【点评】本题考查正方体的内切球和外接球的体积，是基础题．7．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM（）A．与AC、MN均垂直相交B．与AC垂直、与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直 D．与AC、MN均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】此题的条件使得建立空间坐标系方便，且选项中研究的位置关系也适合用空间向量来证明其垂直关系，故应先建立坐标系，设出边长，据几何特征，给出各点的坐标，验证向量内积是否为零【解答】解：以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图因为正方体的棱长为2，则D（0，0，0）、D1（0，0，2）、M（0，0，1）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、O（1，1，0）、N（0，1，2）．∴=（﹣1，﹣1，1），=（0，1，1），=（﹣2，2，0）．∴=0，=0，∴OM⊥AC，OM⊥MN．故选A．【点评】本题考查用空间向量的方法来判断线线垂直，解答本题的关键是正确建立坐标系，使所求坐标化，利用向量的坐标运算解答．8．设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4 C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2【考点】圆的切线方程；轨迹方程．【专题】计算题．【分析】圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1，根据PA是圆的切线，且|PA|=1，可得，从而可求P点的轨迹方程【解答】解：设P（x，y），则由题意，圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1∵PA是圆的切线，且|PA|=1∴∴P点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=2故选D．【点评】本题以圆的标准方程为载体，考查圆的切线性质，考查轨迹方程的求解，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是0或．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】分类讨论；转化法；直线与圆．【分析】根据直线平行的等价条件进行求解即可．【解答】解：若a=0，则两直线方程为x﹣1=0，﹣x﹣1=0，满足两直线平行，当a≠0时，若两直线平行，则，得a=，故答案为：0或．【点评】本题主要考查直线平行的求解和应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．10．若点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c），（e，f，d），则c+e=1．【考点】空间中的点的坐标．【专题】空间位置关系与距离．【分析】点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xoy的对称点为（﹣4，﹣2，﹣3），点P（﹣4，﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标（4，﹣2，﹣3），求出c与e的值，即可求得c与e的和．【解答】解：∵点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xoy的对称点为（﹣4，﹣2，﹣3），点P（﹣4，﹣2，3）关于y轴的对称点的坐标（4，﹣2，﹣3），点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c）、（e，f，d），∴c=﹣3，e=4，∴c+e=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查求空间中的一个点关于坐标平面xoy及y轴的对称点的坐标的求法，属于基础题．11．已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长×．【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，∴底面半径=1，底面周长=2π，∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π，故答案为：2π．【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式、圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．12．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B，E，F，C四点共面；②直线BF与AE异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD；．⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．其中正确的有①②③．（请写出所有符合条件的序号）【考点】棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】首先可根据几何体的平面展开图画出其直观图，然后根据中位线的性质，两条平行直线可确定一个平面，异面直线的概念，线面平行的判定定理，二面角的平面角的定义及求法，即可判断每个结论的正误，而对于结论⑤，可画出该几何体沿底面正方形的边，及侧棱PD剪开后所得的平面展开图，由该展开图即可求出从B点出发，绕过平面PAD，到达点C的最短距离，从而判断出该结论的正误．【解答】解：根据几何体的平面展开图，画出它的直观图如下：①根据已知，EF∥AD∥BC；∴EF∥BC；∴B，E，F，C四点共面；∴该结论正确；②由图可看出BF和AE异面；∴该结论正确；③由①EF∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC；∴EF∥平面PBC；∴该结论正确；④分别取AD，EF，BC的中点G，H，M，并连接GH，HM，MG，则GH⊥EF，HM⊥EF；而EF是平面BCE和平面PAD的交线；∴∠GHM为平面BCE与平面PAD形成的二面角的平面角；若设该几何体的侧棱长为2，则：GH=，HM=，MG=2；显然GH2+HM2≠MG2；∴∠GHM≠90°；∴平面BCE与平面PAD不垂直；∴该结论错误；⑤把该正四棱锥沿底面各边及侧棱PD剪开，得到的展开图如下：BH⊥PA，∴B到侧棱PA的最短距离为BE，BE=；过E作EN⊥PD，则EN是点E到PD的最短距离，且EN=，NP=；而N到C的最短距离便是线段NC的长，NC=；∴从B点出发，绕过PAD面到达C点的最短距离为；而BE+EF+FC=；∴该结论错误；综上得正确的结论为①②③．故答案为：①②③．【点评】考查中位线的性质，两平行直线可确定一个平面，能根据几何体的平面展开图画出它的直观图，线面平行的判定定理，以及二面角的平面角的概念及求法，将立体图形转变成平面图形解题的方法．三、解答题（本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x﹣2y+2=0上．（Ⅰ）求AB边上的高CE所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】（I）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．（II）联立直线方程可得交点，利用直角三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，E为AB的中点，∴E（3，2），k AB==﹣1．且k CE=﹣=1，∴CE：y﹣2=x﹣3，即x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）由得C（4，3），∴|AC|=|BC|=2，AC⊥BC，∴S△ABC==2．【点评】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、直线的交点、直角三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．14．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．（1）请画出该几何体的三视图；（2）求四棱锥B﹣CEPD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知中底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．根据三视图的定义，易得到该几何体的三视图；（2）由已知中PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2EC=2，我们计算出棱锥的底面面积和高，代入棱体积公式，即可求出四棱锥B﹣CEPD的体积；【解答】解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：（3分）（2）∵PD平面ABCD，PD⊂平面PDCE∴平面PDCE⊥平面ABCD∵BC⊥CD∴BC⊥平面PDCE（5分）∵S PCDE=（PD+EC）•DC=3（6分）∴四棱锥B﹣CEPD的体积V=•S PCDE•BC=2．（8分）【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，棱锥的体积，熟练掌握空间几何图形的几何特征，三视图的定义及画法，棱锥的体积公式是解答本题的关键．15．已知圆C经过点A（﹣1，0）和B（3，0），且圆心在直线x﹣y=0上．（1）求圆C的方程；（2）若点P（x，y）为圆C上任意一点，求点P到直线x+2y+4=0的距离的最大值和最小值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）确定圆心坐标与半径，可求圆C的方程；（2）点P到直线x+2y+4=0的距离转化为圆心到直线x+2y+4=0的距离问题．【解答】解：（1）AB的中点坐标为（1，0），∴圆心在直线x=1上，…（1分）又知圆心在直线x﹣y=0上，∴圆心坐标是（1，1），圆心半径是，…（4分）∴圆方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=5；…（7分）（2）设圆心到直线x+2y+4=0的距离，∴直线x+2y+4=0与圆C相离，…（9分）∴点P到直线x+2y+4=0的距离的最大值是，…（12分）最小值是．…（15分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的转化能力，正确转化是关键．16．如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC，根据直线和平面垂直的判定定理可得结论．（2）连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点．利用三角形的中位线性质，证明OM∥BC，QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，从而证明QG∥平面PBC．【解答】解：（1）AB是圆O的直径，PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，C是圆O上的点，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC．再由AC∩PA=A，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC．（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，连接OG并延长交AC于点M，连接QM，则由重心的性质可得M为AC的中点．故OM是△ABC的中位线，QM是△PAC的中位线，故有OM∥BC，QM∥PC．而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，AC和BC是平面PBC内的两条相交直线，故平面OQM∥平面PBC．又QG⊂平面OQM，∴QG∥平面PBC．【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）17．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是（）A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】压轴题．【分析】考虑三个点的位置，可能在平面同侧，也可能在两侧，不难判定结论的正确性．【解答】解：已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则可能三点在α的同侧，即．平面ABC平行于α，这时三条中位线都平行于平面α；也可能一个点A在平面一侧，另两点B、C在平面另一侧，则存在一条中位线DE∥BC，DE在α内，所以选D．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考虑仔细全面，找反例有时事半功倍，是基础题．18．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．19．已知M={（x，y）|y=，y≠0}，N={（x，y）|y=x+b}且M∩N≠∅，则实数b的取值范围是（）A．[﹣3，3]B．[﹣3.3]C．[﹣3，﹣3）D．（﹣3，3]【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】集合M表示的图形是一个半圆．N}表示一条直线，当直线和圆相切时，求出b值．当直线过点（3，0）时，求出对应的b值，结合结合图形可得实数b的取值范围．【解答】解：集合M={（x，y）|y=，y≠0}表示的图形是一个以原点为圆心，以3为半径的半圆（x轴以上部分），如图：N={（x，y）|y=x+b}表示一条直线．当直线和圆相切时，由r=3=，解得b=3，或b=﹣3（舍去）．当直线过点（3，0）时，0=3+b，b=﹣3．当M∩N≠∅时，结合图形可得实数b的取值范围是（﹣3，3]，故选D．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．20．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣4）=f（x），且在区间[0，2]上f（x）=x，若关于x的方程f（x）=log a x有三个不同的根，则a的范围为（）A．（2，4）B．（2，2）C．（，2）D．（，）【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的图象；函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先求出f（x）的周期是4，画出函数的图象，得到关于a的不等式，解得即可【解答】解：：由f（x﹣4）=f（x）可得周期等于4，当x∈（0，10]时，函数的图象如图f（2）=f（6）=f（10）=2，再由关于x的方程f（x）=log a x有三个不同的根，可得，解得a∈，故选D．【点评】本题主要考查函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）21．设点A（﹣3，5）和B（2，15），在直线l：3x﹣4y+4=0上找一点P，使|PA|+|PB|为最小，则这个最小值为5．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】设点A（﹣3，5）关于直线l：3x﹣4y+4=0的对称点为A′（a，b），求出A′．可得|PA|+|PB|的最小值=|A′B|．【解答】解：设点A（﹣3，5）关于直线l：3x﹣4y+4=0的对称点为A′（a，b），则，解得A′（3，﹣3）．则|PA|+|PB|的最小值=|A′B|=5．故答案为：5．【点评】本题考查了点关于直线对称点的求法、互相垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球=π×（）3=π．故答案为：π．【点评】本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题．三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（﹣4，0），D（0，4）设△AOB的外接圆圆心为E．（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；（2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．【考点】圆的标准方程；点到直线的距离公式；圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）根据△AOB为等腰直角三角形，算出它的圆心为E（，），半径r=．求出直线CD的方程，根据⊙E与CD相切，利用点到直线的距离公式建立关于a的等式，解之即可得出实数a的值；（2）由|CD|=4与△PCD的面积等于12，算出P到直线CD的距离为d=3．若满足条件的点P有3个，说明与CD平行且与CD距离为3的两直线中的一条与⊙E相切且另一条与⊙E相交．由此算出⊙E的半径，进而算出实数a的值，得到满足条件的⊙E的标准方程．【解答】解：（1）∵C（﹣4，0）、D（0，4），∴直线CD方程为．化简得x﹣y+4=0．又∵△AOB的外接圆圆心为E（，），半径r=．∴由⊙E与直线CD相切，得圆心E到直线CD的距离等于半径，即=，即=，解之得a=4；（2）C（﹣4，0）、D（0，4），可得|CD|==4，设P到直线CD的距离为d，可得△PCD的面积S=|CD|×d=12，即，解之得d=3．因此，只须与CD平行且与CD距离为3的两条直线中的一条与⊙E相切，另一条与⊙E相交．∵由（1）的计算，可知圆心E到直线CD距离为2，∴圆E的半径为2+3=，即r==，解得a=10．即存在a=10，满足使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，⊙E的标准方程是（x﹣5）2+（y﹣5）2=50．【点评】本题给出三角形AOB的外接圆与直线CD，探究直线与圆的位置关系．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．24．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E 为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．【解答】解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．。

福建省福州市八县2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题新人教A版

福建省福州市八县2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题新人教A 版一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分。

在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题意要求的，请把答案填在答题卡相应位置1．过两点A 〔4，y 〕，B 〔2，-3〕的直线的倾斜角是1350，如此y= 〔〕A ．5B 、-5C 、1D 、-1 2两条相交直线a 、b ，//a 平面α，如此b 与α的位置关系是〔〕A ．b ⊂平面αB ．b 与平面α相交C ．//b 平面αD ．b 与平面α相交或//b 平面α3．方程052422=+-++m y x y x 表示圆的条件是〔〕 A. 1<m B. 1>m C. 41<m D. 141<<m 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、3，且它的8个顶点都在同一球面上，如此这个球的外表积是〔〕A π7B π14C π28D π565．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形'''A B O ，假设''1O B =，那么原∆ABO 的面积是〔〕A ．12B ．22C 2D ． 226．在空间直坐标系中，点P 在x 轴上，它到P 1〔02，3〕的距离为32，如此点P 的坐标为〔〕A 〔0，1，0〕或〔0，－1，0〕B 〔1，0，0〕C 〔1，0，0〕或〔－1，0，0〕D 〔0，1，0〕或〔0，0，1〕 7．直线l 、、n 与平面α、，给出如下四个命题： ①假设m ∥l ，n ∥l ，如此m ∥n ②假设m ⊥α ，m ∥β，如此α ⊥β图1正视图俯视图侧视图556355 63③假设m ∥α ，n ∥α，如此m ∥n④假设m ⊥β ，α ⊥β ，如此m ∥α 或m ⊂α 其中假命题．．．是〔〕． (A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④ 8．一个几何体的三视图如图1所示，它的体积为〔〕 A. 24π B. 30π C. 48π D. 72π9．圆22:40C x y x +-=，直线l ：x+my-3=0，如此〔〕A.l 与C 相交B. l 与C 相切C.l 与C 相离D. 以上三个选项均有可能10．如图，三棱柱111A B C ABC -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，如此如下表示正确的答案是〔〕A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．直线AC ⊥平面11ABB A C ．直线A 1C 1与平面1AB E 不相交D ．EB B 1∠是二面角B 1-AE-B 的平面角11．假设直线03)1(:1=--+y a ax l 与直线02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直，如此a 的值是( 〕A. 1或3-B. 1C. 0或23-D. 3-CABP N M12．假设圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，如此直线l 的倾斜角的取值范围是〔〕.A ]60,15[ .B ]90,0[ .C ]60,30[ .D ]75,15[二、填空题：本大题共4小题，每一小题4分，总分为16分。

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