(练习)刚体转动解析

d π 2 t 由 dt 150 π t 2 t dt 得 d 0 150 0 π 3 t rad 450
在 300 s 内转子转过的转数
π 3 4 N (300 ) 3 10 2π 2π 450

例6 半径为R,质量为m的均 匀圆盘在水平桌面上绕中心轴 转动,盘与桌面间的摩擦系数为 μ ,求转动中的摩擦力矩的大小. 解:设盘厚度为h,以盘轴心 为圆心取半径为r, 宽为dr的 微圆环,其质量为
(C) 只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关.
一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分 例1 别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2
、 d3
求
解
此时刻质点对三个参考点的动量矩 A
LA d1mv
LB d1mv
LC 0
d1 d2
m v d3 C
B
例2 哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭 圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是 4 -1 10 v 5 . 46 10 m s r近 日 8.75 10 m , 速率 近 日 2 -1 ；它离太阳最远时的速率 v远 日 9.08 10 m s ，这时它离太阳的距离 r远 日 ？ v远 日
• 第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它 们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于 零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统 始末状态的总角动量中各项的正负。对在有心力 场作用下绕力心转动的质点问题，可直接 用角动 量守恒定。 • 第三类：在刚体所受的合外力矩不等于零时，比 如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般 应用刚体的转动 动能定理求解 。对于仅受保守力 矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律 求解。 另 外：实际问题中常常有多个复杂过程， 要分成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求 解。
解题指导
• 定轴转动的动力学问题
刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。 其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和 力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应 选用的规律，最后列方程求解。 • 第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度，一般应用 转动定律求解。如质点和刚体组成的系统，对质点 列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角 量和线量的关联方程，并联立求解。
0
整个圆盘的摩擦力矩为:
2mg 2 M dM r dr 2 R 0 2 mg 1 3 2 R mgR 2 R 3 3
R
6-1. 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是:
(A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关. (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关.
例4 在高速旋转的微型电机里，有一圆 柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转 轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动后 t / 其转速随时间变化关系为： m (1 e ) , 式中 m 540r s1， 2.0s ．求：(1)t=6s 时电动机的转速．(2)起动后，电动机在 t=6s 时间内转过的圈数．(3)角加速度随时 间变化的规律．
1 GMm 1 GMm 2 mv 0 mv 2 2 r0 2 R
m
r0
v0
v
R
OM

mv 0 r0 sin( π ) mvR
1 3GM sin 1 2 4 2 Rv 0
1/ 2
v 0 r0sin v 4v 0sin R 1/ 2 3GM v v0 1 2 Rv 2 0
解 (1) 将 t=6s 代入 m (1 et / )
ω 0.95ωm 513r s (2) 电动机在6s内转过的圈数为
1 6 1 6 t / N dt m (1 e )dt 2 0 2 0
1
2.2110 r
3
(3) 电动机转动的角加速度为
d m t / t / 2 2 Байду номын сангаас e 540 πe rad s dt
例5 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通 过中心的轴转动．开始时，它的角速度 ω0 0 ， 经300s 后，其转速达到 18000r· min-1 ．转子的角 加速度与时间成正比．问在这段时间内，转子转 过多少转？
代入数据可, 得
r远 日 5.26 1012 m
例 3
发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R
的行星.当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发
射一质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面 求 θ角及着陆滑行时的速度多大？ 解 引力场（有心力） 系统的机械能守恒 质点的动量矩守恒
d 解 令 ct，即 ct ，积分 dt 1 2 t 得 ct d c t d t 0 0 2
1 2 ct 2
当 t=300s 时
18000r min 600π rad s
1
1
2 2 600 π π 3 c 2 rad s 2 t 300 75 1 2 π 2 ct t 2 150
r近 日
r远 日
v近 日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近 日 v近 日 r远 日 v远 日 因为 r近日 v近日，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
dm=ρdv m 2 h 2rdr 2mr dr 2 R h R
它对桌面的压力为:
2mgr dN dm g dr 2 R
与桌面间的摩擦力为:
dr r h
0
2 mg df dN rdr 2 R
该摩擦力的力矩为:
2 mg 2 r dr dM rdf sin 90 2 R