泰勒(Taylor)公式
3.3泰勒公式 [兼容模式] (1)
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3.3泰勒(Taylor)公式泰勒公式的建立泰勒(Taylor) (英)1685-1731泰勒公式常用函数的麦克劳林公式多项式函数特点一、泰勒公式的建立简单函数复杂的函数近似表示:(1)易计算函数值;(2)导数仍为多项式;用怎样的多项式去逼近给定的函数误差又如何呢,)(0存在若x f 'xx x ∆+=0记xx f x f x x f ∆'≈-∆+)()()(000回想微分一次多项式在x 0附近有=)(x f ))(()()(000x x x f x f x f -'+≈,0时当x x →))(()(000x x x f x f -'+)(0x x o -+其误差是比(x –x 0)高阶的无穷小.需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?{不足 1. 精确度不高; 2. 误差不能定量的估计.))(()(000x x x f x f -'+)(x f ≈希望一次多项式在x 0附近用适当的高次多项式2问题(1)系数怎么定?(2)误差(如何估计)表达式是什么?nn n x x a x x a x x a a x P )()()()(002010-++-+-+= )(x f ≈nn n x x a x x a x x a a x P )()()()(0202010-++-+-+= ,)(00a x P n =f ')()(0)(0)(x f x P k k n=),(00x f a =),()(00x f x P n =又,)(10a x P n ='),()(x f x P '='又0000nk ,,2,1,0 =因为因为所以所以3.3 泰勒公式n 次多项式系数的确定),(101x a =⋅)(!202x f a ''=⋅, )(10)(x f a k k =得)(!0)(x f a n n n =⋅00n 同理代入P n (x )中得=)(x P n .)(0nx x -+ ),,2,1,0(n k =20)(x x -+)(0x f )(0x x -+)(0x f '!2)(0x f ''!)(0)(n x f n 能满足要求.有x x x f x x x f x f )(!2)())(()(200000-''+-'+阶内有在若)1(),()()(0+∈n b a x x f ,),(时则当b a x ∈二、泰勒公式导数,泰勒中值定理:nn x x n x f )(!)(00)(-++ )(x R n +10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ其中).(0之间与在x x ξ的幂展开的按称为)()(0x x x f -n 阶泰勒公式.的幂展开的按称为)()(0x x x f -n 次泰勒多项式.拉格朗日型余项1.泰勒公式就是拉格朗日中值公式200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f -''+-'+=).(0之间与在x x ξ10)1(00)()()!1()()(!)(++-++-++n n n n x x n f x x n xf ξ n 阶泰勒公式00000000时当.2. 在泰勒公式中,故之间介于则,,0x ξ),10(<<=θθξξx 可表为这时的泰勒公式, 按x 的幂(在零点)展开的泰勒公式;带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.,0=n ,00=x 若称为或称为f (x )的麦克劳林(Maclaurin)公式nn xn f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2++''+'+= 1)1()!1()(++++n n x n x f θ)10(<<θ近似公式误差估计式为1||)!1(||++≤n n x n M R 带有拉格朗日型余项≈)(x f nn xn f x f x f f !)0(!2)0()0()0()(2++''+'+当不需要余项的精确表达式时,n 阶泰勒公式也可写成带有佩亚诺(Peano)0()[()]nn R x o x x =-佩亚诺型余项.的泰勒公式.称为!n 型余项0()()f x x x -称按为的幂展开的解,e )()()()(xn x f x f x f ===''=' x x e )(=的n 阶带有拉格朗日型余项麦克劳林公式.因为(P 142, 例1)三、常用函数的麦克劳林公式nn xn f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2++''+'+= 1)1()!1()(++++n n x n x fθ)10(<<θn 阶带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式1)0()0()0()0()(===''='=n ff f f .e )()1(xn x fθθ=+代入公式=xe ).10(,)!1(e !!2112<<+++++++θθn xnx n n x x x 所以得.!!21e 2n x x x nx++++≈ xe 有的近似表达公式这时产生的误差为1)!1(e ++=n xn x n R θ1e (1)!xn xn +<+)10()!1(e !!21e 12<<++++++=+θθn xn xx n n x x x 3.3 泰勒公式(01)θ<<时当1=x ,!1!2111e n ++++≈ 得到.)!1(3+<n 其误差n R )!1(e +<n ,8=n 若取其误差8R .!93<,718279.2e ≈可算出解),,2,1,0(2πsin )()( =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n x x f n ,0)0(=f 例,1)0(='f ,0)0(=''f ,,1)0( -='''f 因为所以x x f sin )(=求的n 阶带有拉格朗日型余项麦克劳林公式.(P 143, 例2)=x sin ≈x sin .)!12()1(!5!3212153m m m R m x x x x +--+-+--- ,)!12()1(!5!312153--+-+---m x x x x m m 的麦克劳林公式为从而x sin 的多项式近似表达式为所以x sin=mR 2).10(,)!12(12<<+≤+θm xm mm m R m x x x 212153)!12()1(!5!3+--+-+--- ξ),,2,1,0(2πsin )()( =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n x x f n x θ,3x≤12)!12(]2π)12(sin[++++m x m m ,1时当=m ,001.0要使误差小于,2时当=m ,001.0要使误差小于,sin x x ≈有.1817.0<x 必须2R 误差,!3sin 3x x x -≈有4R 误差.6544.0<x 必须6,1205x ≤xy =泰勒多项式逼近xsin xy sin =泰勒多项式逼近xsin mm 2)!12(!5!3-xy =xy sin =!33xx y -=o泰勒多项式逼近xsin mm 2)!12(!5!3-xy =xy sin =!33xx y -=o!5!353xx x y +-=泰勒多项式逼近xsin mm 2)!12(!5!3-xy =!7!5!3753xx x x y -+-=xy sin =!33xx y -=!5!353xx x y +-=o泰勒多项式逼近xsin mm 2)!12(!5!3-!11!9!7!5!3119753xx x x x x y -+-+-=xy sin =o类似地, 有)!2()1(!4!21cos 242m x x x x mm -+-+-= ]π)22(cos[++m x θ,)!22(222+++m x m ).10(<<θ例.()(1),(),0.f x x R x αα=+∈=()()(1)(1)(1),n nfx n x αααα-=--++ ()(0)(1)(1),n fn ααα=--+ 解2(1)(1)12!x x x αααα-+=+++(1)(1)().!nnn x o x n ααα--+++特别，有,n =α21(1)1)1.2!n n n n n x nx x nx x --+=+++++ （二项式展开公式1,α=-当时有2311(1)(),1n n n x x x x o x x=-+-++-++ 2311().1n n x x x x o x x =++++++-1253-=x x m ⎪⎩⎪⎨⎧+++++=!!21e 2n x x x n x 常用函数的麦克劳林公式带佩氏余项),0()(→x x o n 带拉氏余项,)!1(e 1++n x x n θ)10(<<θ(P 142--144))!12()1(!5!3sin 1--++---m x x x m ),0()(2→x x o m ⎪⎩⎪⎨⎧+带佩氏余项带拉氏余项,)!12(]2π)12(sin[12++++m x m m x θ)10(<<θ)!2()1(!6!4!21cos 2642m x x x x x m m -++-+-= ⎪⎩⎪⎨⎧+),0()(12→+x x o m 带佩氏余项带拉氏余项,)!22(]2π)22(cos[22++++m x m m x θ3.3 泰勒公式),0()(→x x o n )10(<<θnx x x x x n n 132)1(32)1ln(--+-+-=+ ⎪⎩⎪⎨⎧+带佩氏余项带拉氏余项,)1)(1()1(11++++-n n n x x n θ)10(<<θ带佩氏余项2(1)(1)12!(1)(1)!n x x x n x n ααααααα-+=+++--++ ),0()(→x x o n⎧3.3 泰勒公式带拉氏余项⎪⎩⎪⎨+11(1)(1)()(1),(1)!n n n n x x n αααααθ--+--+-++ )10(<<θ例解用间接展开的方法较简便.-x )(!!21e 2n nx x o n x x x +++++= 1112----+n n n x x xx 取代用-(带佩亚诺型余项).阶麦克劳林公式展开为把n x x f x-=e )(3.3 泰勒公式=e 两端同乘x , 得).()!1()1(!2e 132n n n x x o n x x x x x +--+-+-=-- )()!1()1(!21+--+-x o n x例.()30sin cos lim sin x x x x x →-利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求3.3 泰勒公式(P 144, 例3)解33sin ()3!x x x o x =-+22x 33x cos 1()2!x o x =-+()2!x o x =-+[]x x 注：两个比x 3高阶无穷小的代数和还是比x 3的高阶无穷小()30sin cos lim sin x x x x x →-则3330()3=lim x x o x x →+1=333()3x o x +=-x x x cos sin处的在求函数1423)(023-=+-+=x x x x x f 解5)1(-=-'f 8)1(=-f 263)(2-+='x x x f 一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.)()!)()(000)(x R x x k x f x f n k n k k +-=∑=3.3 泰勒公式66)(+=''x x f 6)(='''x f 0)1(=-''f 6)1(=-'''f )()1(58)(1x R x x f ++-=f (x )的一阶泰勒公式是!2)1)((21+''=x f R ξ2)1(!2)1(6++=x ξ其中.)1(之间与介于x -ξ三阶泰勒公式是.0)(3≡x R )()1()1(58)(33x R x x x f ++++-=)0)(()4(=x f 因。
高数上3.3 泰勒公式
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
f
(n)
(x 0
)
(x
x
)n
R
(x)
n!
0
n
用类似的证明方法，我们可以证得另外一种带有 皮亚诺余项的泰勒公式.
设 f (x (n) ) 存在，则 0
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
例 2 求 f ( x) e x 的 n 阶麦克劳林公式.
解 f ( x) f ( x) f (n)( x) e x ,
f (0) f (0) f (0) f (n)(0) 1,
注意到 f ( (n1) x) e x 代入泰勒公式， 得
e
x
1
x
x2 2!
xn n!
ex (n 1)!
但这种近似等式存在明显不足, 首先是精度 不高,误差会比较大，其次是误差无法估计.
能否用其它较简单的曲线函数来近似替代 复杂的连续函数f(x)呢？
事实上多项式函数
Pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn
是一种处处连续可导分析性质很好的函数， 在n>1时，它是一条连续的曲线函数。 因此在讨论较复杂的连续函数f(x)在某一个 邻域内的分析性质时，经常用多项式函数来 近似代替较复杂的连续函数。
f
(5)
(
)
6
2
.
例1 写出函数 f ( x) x3ln x 在 x0 1 处的四阶
泰勒公式.
解
f
(4) ( x)
6 x
,
f (4)(1) 6,
f
(5)(
x)
6 x2
高数 极限计算 泰勒公式
高数极限计算泰勒公式
高数中的极限计算是指当一个函数的变量趋近于特定值或者无穷时，函数值接近于某一特定值的概念，极限计算用于求解一些模糊不定的函数表达式、不可解的不定积分及确定非线性微分方程的问题，极限计算的最经典方法就是泰勒公式。
泰勒公式（Taylor’s theorem）是一种可以用来求解复杂函数的极限计算方法，它是一种连续函数的一阶无穷近似，也就是可以将一个函数f(x)无穷近似等价于函数Rn(x)，这个无穷近似的函数Rn(x)可以用如下方式来表示：
Rn(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-
a)^3/3!+....+f^(n)(a)(x-a)^n/n!
其中a为函数f(x)的某一点，Rn(x)是f(x)的后n项泰勒展开式，当n趋向无穷的时候，Rn(x)接近f(x)的极限，而这就可以用来求解复杂函数的极限。
泰勒公式
f
(k )
(k = 0 , 1 , 2 , … , n) (0) sin(x k ) 2 x 0
k si n 2
0 ,
k = 2m
(－1)m , k = 2m+1
数学分析（上）
可得
x sin x x 3!
3
3
(1)
5
n 1
x n cos x 2 n 1 (1) x (2n 1)! (2n 1)!
数学分析（上）
x 0 I， 设 f ( x ) 在区间 I 上具有 n+1 阶导数，
多项式 ( n) f ( x0 ) n Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) n! 称为 f ( x )在x0处 n次Taylor多项式,公式(1)称为 f ( x ) 按 ( x x0 ) 的幂展开的 n阶泰勒公式， Rn ( x ) 称为拉格朗日型余项 . 注 1) n = 0 时 , 得到 Lagrange 中值定理 . 因此 Taylor公式是 Lagrange 定理的推广 . 2) n = 1 时 , 得到微分近似计算公式 .
2 n 1
x x sin x x 3! 5!
2 4
(1)
n 1
x 2 n 1 o x (2n 1)!
2n
2 n 1
x x n x 2 n 1 cos x 1 (1) o( x ) 2! 4! (2n)!
o( x )
数学分析（上）
Rn
( n 1 )
( x) f
( n 1 )
( x)
( n)
令 g（x）= ( x －x0 )n+1 , 则
泰勒(Taylor)公式
x2 x3 思 Q e x = 1 + x + + + o( x 3 ) 2! 3! 考 x3 3 题 sin x = x − + o( x ) 3! 解 e x sin x − x (1 + x ) = 答 ∴ lim 3 x →∞ x x2 x3 x3 3 3 + + o( x ) x − + o( x ) − x(1 + x ) 1 + x + 2! 3! 3! lim x →∞ x3 x3 x3 − + o( x 3 ) 1 = = lim 2! 3! 3 x →∞ x 6
差 Rn( x) = f ( x) − P ( x) 误 n
、 二 Pn 和Rn 的 定 确
分析: 分析
近 似 程 度 越 来 越 好
1.
x0
Pn ( x0 ) = f ( x0 )
y
y = f (x)
2.
′ Pn ( x0 ) = f ′( x0 )
3.
′ Pn′( x0 ) = f ′′( x0 )
x2 2
2
五、小结
用; 1.Taylor 公 在 似 算 的 用 式 近 计 中 应 ;
y= x
y = sin x
播放
---局 2.Taylor 公 的 学 想 局 逼 . 式 数 思 --- 部 近
播放
思考题
e x sin x − x (1 + x ) 利用泰勒公式求极限 lim 3 x →∞ x
f (n+1) (θx) n+1 x 则 项 Rn ( x) = 余 (n + 1)!
麦克劳林(Maclaurin)公式 麦克劳林(Maclaurin)公式 (Maclaurin)
3-3 泰勒公式
+
1)n+1 ,
ξ在 − 1与x之间.
注 1的误差为 Rn( x) = f ( x) − pn( x)
Rn( x) =
f (n+1)(ξ )
(n + 1) !
(
x
−
x0
)n+1
(ξ 在 x0 与 x 之间).
当在 x0 的某邻域内 f (n+1)( x) ≤ M (常数) 时 , 有
的具体估计式.
pn(x) 的确定: pn( x) = a0+ a1( x − x0 ) + a2( x − x0 )2 + + an( x − x0 )n ,
观察： f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )
有
= f ( x0 ) p1( x) 相交
Rn (1)
<
(n
3 + 1)
!<
10−6
,
由ex计=算1 +可x知+ x当2 +n =x39+时上+式x成n 立 , 因此
+
1)!.
f (−1) = −1, f ′(−1) = −1, f ′′(−1) = −2!,
因此
, f (n)(−1) = −n!.
f ( x) = −1 − ( x + 1) − ( x + 1)2 − − ( x + 1)n + Rn( x),
其中Rn( x)
=
(−1)n+1
ξ n+2
(
x
− −
Rn′ x0
泰勒公式
f ( x) sin( x k ) 2 k 2m 0, (k ) (m 1, 2 ,) f (0) sin k 2 (1) m1 , k 2m 1
(k )
x3 x5 x 2 m1 sin x x (1) m1 R2m ( x) 3! 5! (2m 1) !
x x e e 1 x x n1 2! n! ( n 1)!
x
2
n
x
(0 1).
x2 xn x 由公式可知 e 1 x 2! n!
估计误差 (设 x 0)
ex ex Rn ( x ) x n 1 x n1 (0 1). ( n 1)! ( n 1)! 1 1 取x 1, e 1 1 2! n! 3 e 其误差 Rn . ( n 1)! ( n 1)!
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
f ( n1) ( ) 其中 Rn ( x ) ( x x0 )n1，介于x与x0之间. ( n 1)!
2 f (1) f ( x ) f (1) f (1)( x 1) ( x 1) 2! (4)
f
(1)
4!
( x 1)
4
5 f ( 5 ) ( ) ( x 1) 5!
例3 将f ( x) 1 3x 5 x 2 x 化为含
2 3
f ( 1 ) f ( x ) f ( 1 ) f ( 1 )( x 1 ) ( x 1) 2 解 2! (4) ( 1 ) f f ( ) 3 ( x 1) ( x 1) 4 3! 4!
泰勒(Taylor)公式
O
π
x
p8 ( x ) 比 p2 ( x )在更大的范围 想法：对于精确度要求 内更接近余弦函数. 较高时候可以用高次多 项式来近似表达函数.
-1
p2 ( x )
问：要找的多项式应满足什么条件？ 从几何上看， y f ( x ), y Pn ( x ) 代表两条曲线，
很明显 要使它们在x0附近与很靠近，
使得 f ( x ) Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )n 且误差 Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) 可估计。 Pn ( x0 ) f ( x0 ), 为了在性质上吻 ( x0 ) f ( x0 ), Pn 合的更好，我们 ( x0 ) f ( x0 ), Pn 要求: P ( x ) f ( x )
( n) pn ( x) n1 n a ( x x ) a1 2a2 ( x x0 ) n 0
2 ! a2
n( n 1)an ( x x0 )n 2
n 3
( x ) pn
3 !a3 n( n 1)( n 2)an ( x x0 )
1 ( n) 1 ( n) , an pn ( x0 ) f ( x0 ) n! n!
Pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n 1 a0 f ( x0 ) a1 f ( x0 ) a2 f ( x0 ) 2!
( n 1) 1 ( n) f ( ) f ( x0 )( x x0 )n ( x x0 ) n 1 n! ( n 1)!
f ( n1) ( ) (4) Rn ( x ) ( x x0 )n1叫Lagrange余项. ( n 1)! M n 1 ( n 1 ) 若f ( x ) M， 则 Rn ( x ) x x0 ( n 1)!
北京理工大学工科数学分析3-3泰勒(Taylor)公式
(2n)!
x2 x3 ln(1 x) x
(1)n
x n1
o( x n1 )
23
n1
1 1 x x2 xn o( xn ) 1 x
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn o( xn ) n!
例1. f ( x) ln(1 sin2 x) 在 x 0 的展开式到 x4 次项；
解：ln(1 sin2 x) sin2 x 1 sin4 x o(sin4 x)
2
x
x3 3!
o(
x3
2 )
1[ 2
x
o(
x)]4
o(
x4)
x2 5 x4 o( x4 ) 6
§3 泰勒(Taylor)公式
❖ 局部泰勒展开式(Taylor expension) ❖ Lagrange 余项的泰勒公式(Taylor’s
formula)
问题的提出
1. 设 f ( x) 在 x0 处连续，则有
f ( x) f ( x0 )
[ f ( x) f ( x0 ) ]
2. 设 f ( x) 在 x0 处可导，则有 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
2! 4! 6!
x2
e2
1
x2
1
x4
1
x6
o( x6 )
2 2! 4 3! 8
f ( x) 1 x4 7 x6 o( x6 ) 12 360
6.3 泰勒公式
二、皮亚诺型余项泰勒公式
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) ( x − x0 )n + Rn ( x), + L+ n! n 其中 Rn ( x) = o[( x − x0 ) ] ( x → x0 ).
{
L + an ( x − x0 )n ≈ f (x)
系数怎么定? 问题 (1) 系数怎么定 (2) 误差 如何估计 表达式是什么 误差(如何估计 表达式是什么? 如何估计)表达式是什么
5
6.3 泰勒公式
1. n 猜想 近 1. x0 似 程 Pn ( x0 ) = f ( x0 ) 度 越 2. 来 ′ Pn ( x0 ) = f ′( x0 ) 越 好 3.
f ′′(0) 2 f (n) (0) n x + o( xn ) f ( x) = f (0) + f ′(0) x + x + L+ 2! n! ( x → 0)
带有皮亚诺型余项的麦克劳林( 带有皮亚诺型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式 麦克劳林 )
代入上公式, 代入上公式 得
x2 xn n x e = 1 + x + + L+ + o( x ) ( x → 0). 2! n!
分析 即证
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! ( n)
f
Rn ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ).
高等数学 第三节 泰勒(Taylor)公式
例 3 . 求 sin x 的 Maclaurin 展开式 .
解.
D n sin x sin x cos x sin x cos x sin x
D n sin x 0 1 0 1 0
x 0
sin x 0 1 x 0 x 2 1 x 3 0 x 4 1 x 5 4! 2! 3! 5!
D n f ( x0 )
56
21
24 x 30 24 0 f x 56 21 ( x 4) 74 ( x 4)2 2! 66 ( x 4)3 24 ( x 4)4 3! 4!
74 66 24
( 余项 Rn 0 .)
56 21( x 4) 37 ( x 4)2 11( x 4)3 ( x 4)4 .
称 pn ( x ) 为 f ( x ) 的 Taylor 多项式 , 或 Taylor 展开式 . *
1
余项 :
Rn ( x ) f ( x ) pn ( x )
应用 Cauchy 定理和罗彼塔法则可推出余项的两个重要形式 :
f ( n 1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n 1. ( 介于 x0 与 x 之间 .) ( n 1)! 称为 Taylor 公式的拉格朗日(Lagrange) 余项 .
第三节
泰勒(Taylor)公式
P 137
设 f ( x ) 在 U ( x0 ) 内有 n 1 阶导数 . pn ( x ) a0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n . 为了能用 n 次多项式 pn ( x ) 近似代替 f ( x ) , 我们规定 :
3 泰勒公式
只须证明 ak = bk , k = 0,1,2,L, n.
上式中令 x → x0 , 则 a0 = b0 .
函数展开式中消去常数 项，并除以 x − x0 得 :
a1 + a2 ( x − x0 ) + L + an ( x − x0 )n−1 + o(( x − x0 )n−1 ) = b1 + b2 ( x − x0 ) + L + bn ( x − x0 )n−1 + o(( x − x0 )n−1 )
P ( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + L+ an ( x − x0 )n n
误差 Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x)
分析: 分析
近 似 程 度 越 来 越 好
1.
x0 Pn ( x0 ) = f ( x0 )
y
y = f (x)
f ( x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
[ f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )]
例如, 很小时, 例如, 当x 很小时, e ≈ 1 + x , ln(1 + x) ≈ x
x
y = ex
y = ex
x2 7 4 x2 7 4 4 = e[1 − + x + o( x )] = e − e + e x + o( x 4 ) 2 4 2 4
1 5. 给定一般项为 an = 1 − n sin 的趋于 0 的序列， 的序列， n 穷小。 试求出它的一个等价无 穷小。
泰勒公式x0与x的选取原则
泰勒公式x0与x的选取原则泰勒公式（Taylor's formula）是数学中一个重要的概念，可以用来近似表示函数在一些点附近的值。
其中最关键的就是选择适当的x0和x 值。
下面将详细介绍泰勒公式x0和x的选取原则。
泰勒公式的形式为：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+Rn(x)，其中f(x)是被近似的函数，f(x0)是函数在x0处的值，f'(x0)是函数在x0处的导数，f''(x0)是函数在x0处的二阶导数，f^n(x0)是函数在x0处的n阶导数，(x-x0)^n是差值，n!是阶乘，Rn(x)是余项。
1.选择x0：选择适当的x0是求得近似结果的基础。
通常选择函数在一些点附近且易于计算的值作为x0，同时该点附近函数值的变化不太大。
例如，考虑近似计算函数sin(x)，可以选择x0=0，因为在0附近，函数值变化较小，而且易于计算。
2.选择x：选择合适的x是得到精确近似结果的关键。
一般来说，x的取值范围要与x0的取值范围相近，且要远离x0以保证近似的精确性。
根据泰勒公式的特性，选择的x值应该接近x0，但又不能太过接近。
3.余项Rn(x)的控制：余项Rn(x)用来评估近似结果的误差。
根据泰勒公式的特性，余项Rn(x)与(x-x0)^n/n!成正比，即余项的大小与导数的阶数n有关，而与变量x的取值无关。
因此，通过控制导数的阶数n，可以控制近似结果的精度。
4.注意函数的光滑性：在选择x0和x时，需要注意函数的光滑性。
泰勒公式适用于光滑函数，即连续且可导的函数。
对于不光滑的函数，泰勒公式的近似效果会大打折扣。
综上所述，泰勒公式中的x0和x的选取是影响近似结果的关键因素。
适当选择x0和x，可以得到较为准确的近似结果。
同时，要注意函数的光滑性和余项的控制，以确保近似结果的有效性和精确性。
函数展开成幂级数泰勒公式
解 f ( x) sin x cos 2x 1[sin 3x sin x]
2 sin x x 1 x3 1 x5 (1)n
x 2n1
3! 5!
(2n 1)!
1 ( 1)n (3 x)2n1 1 ( 1)n x2n1
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2,)
且 f (n) ( x) sin( x n) 1 x (,)
2
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
4 2x 在 x 2 展开成 幂级数
经济数学
三、小结
1.如何求函数的泰勒级数; 2.泰勒级数收敛于函数的条件; 3.函数展开成泰勒级数的方法.
经济数学
思考题
什么叫幂级数的间接展开法？
经济数学
思考题解答
从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运 算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数 展开式的方法称之.
解:
x2
1 4x
3
(x
1 1)( x
3)
x1
x1
2
4
1 (1)n (x 1)n
4 n0
2n
( x 1 2)
(1)n
n0
1 2n2
1 22n3
(x 1)n
(1 x 3 )
经济数学
思考： sin x 展开成 x 的幂级数
二、泰勒级数
上节例题 (1)n1 xn ln(1 x) (1 x 1)
泰勒公式求极限常用公式
泰勒公式求极限常用公式
泰勒公式（Taylor's theorem）是数学中用于近似表示函数值的公式。
它可以用来计算函数在某一点处的极限值。
泰勒公式的一般形式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)
其中，f(x)是要近似的函数，a是要计算的点，f'(a)、f''(a)等是函数f的各阶导数在点a处的值，R_n(x)是泰勒多项式的余项，在泰勒公式中可用来估计近似误差。
除了泰勒公式外，常用的求极限的公式还有：
1.利用夹逼定理求极限：当极限不能直接求得时，可以通过夹逼定理，找到两个较为简单的函数，它们均趋向于要求的极限值，从而利用夹逼定理求解极限。
2.利用洛必达法则求极限：当直接求极限的方法无法求解时，可以利用洛必达法则进行简化，将原极限转化为求导数的极限形式，从而求得极限值。
3.利用级数展开求极限：一些特殊函数无法直接求得极限值，可以将函数进行级数展开，找到级数收敛的范围，从而求得函数在该范围内的极限值。
这些常用公式和方法在求解极限时起到了重要的作用，通过它们可以更准确地得到函数在某一点处的极限值。
泰勒_Taylor_公式
所以 f ( x) = sin x 在 x0 = 0 处的带皮亚诺型余项的泰勒公式为
= f ( x)
= m
∑
n
n f (2 m +1) (0) 2 m +1 (−1)m 2 m +1 += + o( x 2 n +1 ) 。 x o( x 2 n +1 ) ∑ x + + m m (2 1)! (2 1)! m 0 0=
=
f ( n−1) ( x) − f ( n−1) ( x0 ) 1 lim − f ( n ) ( x0 ) ． n! x→ x0 x − x0
因为函数 f ( x) 在 x0 处具有 n 阶导数，所以
lim f ( n −1) ( x) − f ( n −1) ( x0 ) = f ( n ) ( x0 ) ， x − x0
1 Note = 1− x
k =0
∑ x k + o( x n ) 。
n
例 3 求函数 f (= x) ln(1 + x) 在 x0 = 0 处的 n 阶带皮亚诺型余项的泰勒公式。 解因为 f ( k ) ( x) =
(−1)k −1 (k − 1)! (k 1, 2, , n) ，所以 = (1 + x) k
x → x0
从而
f ( n−1) ( x) − f ( n−1) ( x0 ) − f ( n ) ( x0 ) = lim 0． x→ x0 x − x0
f ( x) − ∑ f ( k ) ( x0 ) ( x − x0 )k k ! k =0 = 0． ( x − x0 ) n
f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o[( x − x0 )1 ] ．
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f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) 1! 2! f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 3 ( x x0 ) ( x x0 ) n 3! n!
称为函数
f ( x) 按 ( x x ) 的幂展开的 N 阶泰勒公式。
f ( n 1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 其中： (n 1)!
这里
是 ( x, x0 ) 之间的某个值。
二、 泰勒公式： 如果函数
f ( x) 在含有 x 0
的某个开区间（a,b）内具有知道
（n+1）阶的导数，则当 x ( a, b) 时，近似多项式：
0
Rn ( x) 称作拉格朗日型余项。
三、 误差 当 x x0
Rn ( x) 0 x x0 ( x x )n 0
lim
误差 Rn ( x) 是比 ( x x0 ) 的高阶无穷小，即：
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Rn ( x) o[( x x0 )n ]
一、 泰勒中值定理： 如果函数
f ( x) 在含有 x 0
直到 的某个开区间（a,b）内具有知道
（n+1）阶的导数，则当 x ( a, b) 时， 个
f ( x) 可以表示成一
x x0 的一个 n 次多项式与一个余项的和的形式：
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 3 ( x x0 ) ( x x0 ) n R （ n x） 3! n! f ( x0 )
泰 勒（Taylor）公式
对于一些复杂的函数，为了便于研究，常常用一些简单的函数 来近似表达，常用的是多项式来表达原函数。 如前期所学的等价无穷小，
e x ~ 1 x ， ln(1 x) ~ x
这些函数都是用一次多项式来表达的，但是这样的表达存在着 很多不足：
a) 精确度不高，产生的误差是比 X 的高阶无穷小。 b) 不能具体估算出误差的大小。