傅里叶变换经典
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
积分变换
Fourier变换
Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分
(周期趋于无穷时的极限形式)
1
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数fT(t)打交道. 例如:
引进复数形式：
c o snt e in t e in t, 2
s in nt e in t 2 i e in t
5
级数化为：
a 0 2 n1
aneint
eint 2
bneint
eint 2i
a
0
an ibneint an ibneint
2 n1 2
2
令c0 a20,cn
lim
T
fT
t
f
t
8
例 矩形脉冲函数为
f t 1 0
t 1 t 1
如图所示: f (t)
1
-1
O
1
t
9
现以f (t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则
f 4
t
f t 4n ,
n
2
T
2
4
2
,
n
n n
2
f4(t)
t -1 1 3
T=4
10
则
cn
1 T
T
2 T
1 4
sinc
n
n
0, 1, 2,
15
wenku.baidu.com
则在T=8时,
cn
1 4
sinc
n
n
0, 1, 2,
n
n
n
2
8
n
4
, 再将c
n 以竖线标在频率图上
16
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
cn
1 8
sinc
n
n
0, 1, 2,
n
n
n
2
16
n
8
,
再将c n 以竖线标在频率图上
17
一般地, 对于周期T
一周期为8的周期函数f8(t)
f
8
t
f t 8n ,
n
2
T
2
8
4
,
n
n n
4
f8(t)
-1 1
7
t
T=8
14
则
cn
1 T
T
2 T
fT
t
e jntdt
2
1 8
4 4
f
8
t e jntdt
1 8
1 e jntdt
1
1
8jn
e jnt
1 1
1
8jn
e jn
e jn
1 sin n 4 n
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近 3
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的
情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的
情况.
fT
t
是以T为周期的函数，在
T 2
T ,
2
上满足
Dirichlet条件：
fT t 连续或只有有限个第一类间断点；
fT t 只有有限个极值点；
cn
1 T
T
2 T
fT
t e jntdt
2
1 T
1 e jntdt
1
1
Tjn
e jnt
1 1
1
Tjn
e jn
e jn
2 T
sin n n
2 T
sinc n
n
0, 1, 2,
18
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间 隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是 sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f (t)看作是周 期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无 穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的 形状看作是方波函数f (t)的各个频率成份上的分布, 称 作方波函数f (t)的傅里叶变换.
级数化为：n c n e in t T 1n T T 2 2fT e in d e in t
cn Fn fTt的离散频谱；
cn fTt的离散振幅频谱； argcn fTt的离散相位频谱；n.
若以fT t 描述某种信号，则c n 可以刻画fT t 的特征频率。
fT
t e jntdt
2
1 4
2 2
f 4
t e jntdt
1 4
1 e jntdt
1
1
4jn
e jnt
1 1
1
4jn
e jn
e jn
1 sin n 2 n
1 2
sinc
n
n
0, 1, 2,
11
sinc函数介绍
sinc函数定义为 sinc
x
sin x
x
严格讲函数在x
0处是无定义的,
fT t 可展开成Fourier级数，且在连续点t处成立：
fT
t
a 0
2
an
n 1
cosnt
bn
sinnt
4
其中2 T,
an T2
f T 2
T 2 T
tcosntdt
n0,1,2,
bn T2
f T 2
T 2 T
tsinntdt
在 间 断 点 t处 成 立 ：
n1,2,
fTt0 2fTt0a 2 0n 1ancosntbnsinnt
an
ibn 2
,dn
an
ibn 2
,则c0
T1
TT22fTtdt
cn
T1
TT22fTtcosntisinntdt T1
T2 f
T 2
tTeintdt
dn
T1
TT22fTtcosntisinntdt T1
T2 f
T 2
tTeintdtcn
n1,2, cn cn
6
合并为： c n T 1 T T 2 2fT t e in td t n 0 , 1 , 2 ,
7
对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期
函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于
f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T 越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T 时,周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有
但是因为lim x 0
sin x
x
1
所以定义sinc 0
1,用不严格的形式就写作
sin x x
x
0
1,
则函数在整个实轴连续。
sinc(x)
x
12
前面计算出
cn
1 2
sinc
n
n 0, 1, 2,
n
n
n
2
T
n
2
,
可将c
n 以竖线标在频率图上
13
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f (t)为基础构造
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
设fT t为T周期函数，在T2 ,T2上满足Dirichlet条件,
则fT t可展开为Fourier级数:
fT t cneint cneint ,
n
n
n n2n T,cn T1
Fourier变换
Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分
(周期趋于无穷时的极限形式)
1
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数fT(t)打交道. 例如:
引进复数形式：
c o snt e in t e in t, 2
s in nt e in t 2 i e in t
5
级数化为：
a 0 2 n1
aneint
eint 2
bneint
eint 2i
a
0
an ibneint an ibneint
2 n1 2
2
令c0 a20,cn
lim
T
fT
t
f
t
8
例 矩形脉冲函数为
f t 1 0
t 1 t 1
如图所示: f (t)
1
-1
O
1
t
9
现以f (t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则
f 4
t
f t 4n ,
n
2
T
2
4
2
,
n
n n
2
f4(t)
t -1 1 3
T=4
10
则
cn
1 T
T
2 T
1 4
sinc
n
n
0, 1, 2,
15
wenku.baidu.com
则在T=8时,
cn
1 4
sinc
n
n
0, 1, 2,
n
n
n
2
8
n
4
, 再将c
n 以竖线标在频率图上
16
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
cn
1 8
sinc
n
n
0, 1, 2,
n
n
n
2
16
n
8
,
再将c n 以竖线标在频率图上
17
一般地, 对于周期T
一周期为8的周期函数f8(t)
f
8
t
f t 8n ,
n
2
T
2
8
4
,
n
n n
4
f8(t)
-1 1
7
t
T=8
14
则
cn
1 T
T
2 T
fT
t
e jntdt
2
1 8
4 4
f
8
t e jntdt
1 8
1 e jntdt
1
1
8jn
e jnt
1 1
1
8jn
e jn
e jn
1 sin n 4 n
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近 3
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的
情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的
情况.
fT
t
是以T为周期的函数，在
T 2
T ,
2
上满足
Dirichlet条件：
fT t 连续或只有有限个第一类间断点；
fT t 只有有限个极值点；
cn
1 T
T
2 T
fT
t e jntdt
2
1 T
1 e jntdt
1
1
Tjn
e jnt
1 1
1
Tjn
e jn
e jn
2 T
sin n n
2 T
sinc n
n
0, 1, 2,
18
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间 隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是 sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f (t)看作是周 期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无 穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的 形状看作是方波函数f (t)的各个频率成份上的分布, 称 作方波函数f (t)的傅里叶变换.
级数化为：n c n e in t T 1n T T 2 2fT e in d e in t
cn Fn fTt的离散频谱；
cn fTt的离散振幅频谱； argcn fTt的离散相位频谱；n.
若以fT t 描述某种信号，则c n 可以刻画fT t 的特征频率。
fT
t e jntdt
2
1 4
2 2
f 4
t e jntdt
1 4
1 e jntdt
1
1
4jn
e jnt
1 1
1
4jn
e jn
e jn
1 sin n 2 n
1 2
sinc
n
n
0, 1, 2,
11
sinc函数介绍
sinc函数定义为 sinc
x
sin x
x
严格讲函数在x
0处是无定义的,
fT t 可展开成Fourier级数，且在连续点t处成立：
fT
t
a 0
2
an
n 1
cosnt
bn
sinnt
4
其中2 T,
an T2
f T 2
T 2 T
tcosntdt
n0,1,2,
bn T2
f T 2
T 2 T
tsinntdt
在 间 断 点 t处 成 立 ：
n1,2,
fTt0 2fTt0a 2 0n 1ancosntbnsinnt
an
ibn 2
,dn
an
ibn 2
,则c0
T1
TT22fTtdt
cn
T1
TT22fTtcosntisinntdt T1
T2 f
T 2
tTeintdt
dn
T1
TT22fTtcosntisinntdt T1
T2 f
T 2
tTeintdtcn
n1,2, cn cn
6
合并为： c n T 1 T T 2 2fT t e in td t n 0 , 1 , 2 ,
7
对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期
函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于
f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T 越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T 时,周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有
但是因为lim x 0
sin x
x
1
所以定义sinc 0
1,用不严格的形式就写作
sin x x
x
0
1,
则函数在整个实轴连续。
sinc(x)
x
12
前面计算出
cn
1 2
sinc
n
n 0, 1, 2,
n
n
n
2
T
n
2
,
可将c
n 以竖线标在频率图上
13
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f (t)为基础构造
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
设fT t为T周期函数，在T2 ,T2上满足Dirichlet条件,
则fT t可展开为Fourier级数:
fT t cneint cneint ,
n
n
n n2n T,cn T1