傅里叶变换经典
快速傅里叶变换FFT算法源码经典
快速傅里叶变换FFT算法源码经典以下是一个经典的快速傅里叶变换（FFT）算法的源码，包含详细的注释解释每个步骤的作用。
```pythonimport cmath#递归实现快速傅里叶变换def fft(x):N = len(x)#基本情况：如果输入向量只有一个元素，则直接返回该向量if N <= 1:return x#递归步骤：#将输入向量分成两半even = fft(x[0::2]) # 偶数索引的元素odd = fft(x[1::2]) # 奇数索引的元素T = [cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / N) * odd[k] for k in range(N // 2)]#组合结果return [even[k] + T[k] for k in range(N // 2)] + \[even[k] - T[k] for k in range(N // 2)]#逆傅里叶变换def ifft(X):N = len(X)#将输入向量取共轭X_conj = [x.conjugate( for x in X]#应用快速傅里叶变换x_conj = fft(X_conj)#将结果取共轭并归一化return [(x.conjugate( / N).real for x in x_conj]#示例测试if __name__ == "__main__":x=[1,2,3,4]X = fft(x)print("快速傅里叶变换结果：", X)print("逆傅里叶变换恢复原始向量：", ifft(X))```这个源码实现了一个经典的快速傅里叶变换（FFT）算法。
首先，`fft`函数实现了递归的快速傅里叶变换，接收一个输入向量`x`作为参数，返回傅里叶变换后的结果`X`。
如果输入向量只有一个元素，则直接返回。
否则，将输入向量分成两半，分别对偶数索引和奇数索引的元素递归应用FFT。
傅里叶变换性质及常见函数傅里叶变换总结,表格打印版
（为虚、奇函数）
7
奇偶性
（为实、偶函数）
（为实、偶函数）
（为实、奇函数）
（为虚、奇函数）
8
尺度展缩
，
9
时域延迟
，
10
频移
▲初值：
（条件:）
（条件:）
（条件： ）
11
时域微分
▲ 函数的性质
·
·
＊
＊
·
·
＊ ；
＊
·
·
＊
＊
·
12
时域积分
பைடு நூலகம்13
频域微分
14
频域积分
15
时域卷积
16
频域卷积
17
时域抽烟
序号
性质名称
▲信号功率:
（直流分量+各次谐波分量）
▲能量信号:
1.一个信号只能是功率信号或
能量信号二者之一,但也可
以两者都不是。
2.直流信号与周期信号为功率
信号；收敛和有界的非周期
信号为能量信号。
3.功率信号能量为∞,能量信
号功率为0.
1
唯一性
2
齐次性
3
叠加性
4
线性
5
折叠性
6
对称性
（一般函数）
（为实、偶函数）
18
频域抽样
常用时间信号傅里叶变换
常用非周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
序号
↔
1
1
↔
2
↔
3
单位直流信号1
↔
4
5
6
一般周期信号
↔
其中
或,
或 ，
典型信号的傅里叶变换
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
由欧拉公式
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos0t
同理
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
sin0t jπ 0 jπ 0
dt
t
2
E
ejt d t E
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
F( ) t ej t d t 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不
满足绝对可积条件，不能用定义求。
(t) 1 ( ) 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
F
1
O
1 f t
傅里叶变换公式
傅里叶变换公式傅里叶变换是数学中一种重要的变换方法，用于将一个函数从时域表示（函数在时间上的表示）转换为频域表示（函数在频率上的表示）。
它是由法国数学家约瑟夫·傅里叶于19世纪提出的，广泛应用于信号处理、图像处理、通信、音频处理等领域。
F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示频率为ω的正弦波在函数f(t)中的振幅，即将函数f(t)分解为振幅谱F(ω)。
e代表自然对数的底数，j表示虚数单位，ω为频率。
这个公式的意义在于将一个函数f(t)转换成一系列振幅谱F(ω)，表示不同频率正弦波在函数中所占的比重。
由于函数f(t)是由无数个不同频率的正弦波叠加而成的，因此通过傅里叶变换，我们可以分析一个函数中不同频率的成分。
这个过程也被称为频域分析。
傅里叶变换公式中的积分符号表示对整个时域进行积分，求出对应频率的振幅谱。
e^(-jωt)表示频率为ω的正弦波，振幅谱F(ω)表示频率为ω的正弦波在函数f(t)中的振幅。
通过在不同频率上进行积分，我们可以得到整个函数在频域上的表示。
傅里叶变换公式的应用非常广泛。
在信号处理领域，我们经常需要对信号进行频谱分析，以了解信号的频率成分。
例如，通过分析音频信号的频谱，我们可以分辨出不同乐器在音乐中的音高，从而实现音乐的识别和分类。
在图像处理领域，傅里叶变换可用于图像滤波、边缘检测等任务，提取图像中不同频率的特征。
此外，傅里叶变换还具有一些重要的性质，如线性性、位移性、尺度性等，这些性质使得傅里叶变换成为一种强大的工具。
例如，线性性质使得我们可以将傅里叶变换应用于信号的线性叠加，通过对不同频率的信号进行叠加，得到整体信号的频域表示。
总之，傅里叶变换是一种重要的数学工具，它能够将函数从时域表示转换为频域表示，帮助我们更好地理解信号和图像。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号中不同频率的成分，实现信号处理、图像处理、通信等领域中的一系列任务。
光学经典理论傅里叶变换
光学经典理论｜傅里叶光学基础2018-02-24 17:00今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础，傅里叶光学是现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。
光学人们可以看看！在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。
在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。
两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。
包含内容60年代发明了激光器，使人们获得了新的相干光源后，傅里叶光学无论在理论和应用领域均得到了迅速发展。
傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统理论对广泛的光学现象作了新的诠释。
其主要内容包括标量衍射理论、透镜成像规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。
推导演示一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。
从信息论角度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一个通信信道。
这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。
当物体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）关系。
而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)（狄喇克δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空间位移而变（即等晕条件）。
常用傅里叶变换公式大全
常用傅里叶变换公式大全傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地理解信号的特性。
下面就是常用的傅里叶变换公式大全：1、傅里叶变换：$$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi iux}dx$$2、傅里叶反变换：$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iux}du$$3、离散傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-2\pi iun}$$4、离散傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iun}$$5、快速傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)W_N^{nu}$$6、快速傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)W_N^{-nu}$$7、离散余弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$8、离散余弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$9、离散正弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$10、离散正弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$以上就是常用的傅里叶变换公式大全，它们可以帮助我们更好地理解信号的特性，并且可以用来解决许多实际问题。
因此，傅里叶变换在科学研究和工程应用中都有着重要的作用。
傅里叶变换的11个性质公式
傅里叶变换的11个性质公式傅里叶变换的11个性质公式是傅立叶变换的基本性质，由他们可以推出其它性质。
其中包括线性性质、有穷性质、周期性质、旋转性质、折叠性质、应变性质、平移性质、对称性质、频域算子性质、滤波性质、压缩性质等共11条。
1、线性性质：如果x(t)和y(t)是两个信号，则有：X(ω)=F[x(t)]，Y(ω)=F[y(t)]，则有：X(ω)+Y(ω)=F[x(t)+y(t)]；αX(ω)=F[αx(t)]；X(ω)*Y(ω)=F[x(t)*y(t)]。
2、有穷性质：如果x(t)是有穷的，则X(ω)也是有穷的。
3、周期性质：如果x(t)在周期T内无穷重复，则X(ω)也在周期2π/T内无穷重复。
4、旋转性质：X(ω-ω0) = F[x(t)e^(-jω0t)]，即信号x(t)经过相位旋转成x(t)e^(-jω0t)，其傅里叶变换也会经过相位旋转成X(ω-ω0)。
5、折叠性质：X(ω+nω0)=F[x(t)e^(-jnω0t)]，即信号x(t)经过频率折叠后变为x(t)e^(-jnω0t)，其傅里叶变换也会经过频率折叠成X(ω+nω0)。
6、应变性质：X(aω)=F[x(at)]，即信号x(t)经过时间应变成x(at)，其傅里叶变换也会经过频率应变成X(aω)。
7、平移性质：X(ω-ω0) = F[x(t-t0)]，即信号x(t)经过时间平移成x(t-t0)，其傅里叶变换也会经过频率平移成X(ω-ω0)。
8、对称性质：X(-ω) = X*(-ω)，即傅里叶变换的实部和虚部对称。
9、频域算子性质：X(ω)Y(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换不仅可以表示信号，还可以表示系统的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为X(ω)Y(ω)。
10、滤波性质：H(ω)X(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换可以用来表示滤波器的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为H(ω)X(ω)。
傅里叶变换经典
t 具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
布在整个数轴上:
2
2
T
T
{ {
O 1 2 3
n-1n
令 n n1 2 T (与n无关)，T 2 0 T ,此时视n为(连续变量)
21
f
t lim 1 T T
n
T
f2
T T
2
e jn
d
e
jn
t
lim 1
2 n 0
n
T
f2
T T
2
e jn
d
e
jn
t
n
T
令 FT
n
2 T
fT
e jn
d
2
f
t
1 lim
2 n 0
FT
n
n
2
f
cos t
d d。
24
又考虑到积分
f cos t d是 的偶函数,
从 f t 1
2
f
cos t
傅里叶变换__经典ppt
1
§1 Fourier积分公式 积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数f 打交道. 例如: 变化的周期函数 T(t)打交道. 例如:
t 具有性质f 称作周期, 具有性质 T(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹( 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). , ).
sinc(x)
x
12
前面计算出
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 2 2π nπ ωn = nω = n , 可将cn以竖线标在频率图上 = T 2
ω
13
现在将周期扩大一倍, 现在将周期扩大一倍 令T=8, 以f (t)为基础构造 为基础构造 一周期为8的周期函数 的周期函数f 一周期为 的周期函数 8(t)
6
1 合并为： 合并为： cn = T
+∞
∫
fT (t )e −T 2
T 2
−in ωt
dt (n = 0, ±1, ±2,L)
级数化为： 级数化为：
n =−∞
cne in ωt ∑
T 2 1 +∞ = ∑ ∫ fT (τ )e −in ωτ dτ e in ωt T n =−∞ −T 2
19
积分公式与Fourier积分存在定理 1.2 Fourier积分公式与 积分公式与 积分存在定理
− T , T 上满足Dirichlet条件, 设fT (t ) 为T − 周期函数，在 2 2 则 fT (t ) 可展开为Fourier级数: fT (t ) =
傅里叶变换常用公式大全
傅里叶变换常用公式大全
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
以下是傅里叶变换的常用公式：
1. 傅里叶变换公式：
F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(-jωt) dt
f(t) = ∫[−∞,+∞] F(ω) e^(jωt) dω
2. 傅里叶变换的线性性质：
F(a*f(t) + b*g(t)) = a*F(ω) + b*G(ω)
3. 傅里叶变换的频移性质：
F(f(t - τ)) = e^(-jωτ) F(ω)
4. 傅里叶变换的时移性质：
f(t - τ) = F^(-1)(ω) e^(jωτ)
5. 傅里叶变换的尺度变换性质：
F(f(a*t)) = (1/|a|) F(ω/a)
6. 傅里叶变换的对称性质：
F(-t) = F^*(ω)
f(-ω) = F^*(-t)
7. 傅里叶变换的卷积定理：
F(f * g) = F(f) * F(g)
8. 傅里叶变换的相关定理：
∫[−∞,+∞] f(t)g*(t) dt = 1/2π ∫[−∞,+∞]
F(ω)G^*(ω) dω
9. 傅里叶变换的能量守恒性质：
∫[−∞,+∞] |f(t)|^2 dt = 1/2π ∫[−∞,+∞]
|F(ω)|^2 dω
10. 傅里叶变换的Parseval定理：
∫[−∞,+∞] f(t)g*(t) dt = 1/2π ∫[−∞,+∞]
F(ω)G^*(ω) dω
以上是傅里叶变换的一些常用公式，可以用于分析和处理信号的频谱特性。
在实际应用中，根据具体问题选择合适的公式进行计算和推导。
常用傅里叶变换表
常用傅里叶变换表傅里叶变换是信号处理和数学分析中常用的重要工具，可以将一个函数表示为一系列复指数函数的加权和，从而揭示了信号的频谱特性。
为了方便使用傅里叶变换，人们总结了一些常用的傅里叶变换表，以便在实际应用中快速查找和计算傅里叶变换。
以下是一些常用傅里叶变换表的示例：1. 时间域和频率域的关系当我们进行傅里叶变换时，需要将信号从时间域转换到频率域。
在时间域中，信号通常用函数的自变量表示，而在频率域中，信号则以频率为变量进行表示。
傅里叶变换表中可以列出频率的取值范围以及对应的时间域函数。
这样，我们就可以根据频率的取值范围，找到对应的时间域函数。
2. 傅里叶级数的表达傅里叶级数是傅里叶变换的一种特殊形式，适用于周期信号的分析。
傅里叶级数表包含了一系列关于系数和频率的信息，用于计算周期信号的频谱成分。
3. 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换具有许多重要的性质和定理，包括线性性、平移性、尺度性等。
常用的傅里叶变换表可以列出这些性质和定理，并给出相应的公式和解释。
4. 常见函数的傅里叶变换表达式常见的函数，例如矩形函数、三角函数、指数函数等，它们的傅里叶变换具有一定的规律和特点。
傅里叶变换表可以提供这些常见函数的变换表达式，以便将它们与其他信号进行比较和分析。
5. 傅里叶变换的逆变换表达式傅里叶变换提供了将信号从时域转换到频域的方法，而逆傅里叶变换则将信号从频域转换回时域。
逆傅里叶变换表中包含了逆变换的表达式，可以用于将傅里叶变换后的频域信号还原为时域信号。
6. 傅里叶变换的性质推导除了使用表格给出傅里叶变换的常用形式，也可以通过推导的方式得到某些信号的傅里叶变换形式。
这种方式在一些特殊的情况下很有帮助，可以帮助理解和推广傅里叶变换的性质。
总结：常用傅里叶变换表是信号处理领域必备的工具之一。
通过使用傅里叶变换表，我们可以快速计算信号的频谱成分，深入理解信号的特性，加快信号处理的速度。
只要掌握了常见傅里叶变换表的使用方法和基本要点，我们就能更好地应用傅里叶变换进行信号分析和处理工作，提高工作效率。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学技术。
在信号处理中，傅里叶变换可以用来分析各种信号的频率成分。
下面是一些常见信号的傅里叶变换：
1. 正弦信号：正弦信号是基本的周期信号，其傅里叶变换是两个峰值的Delta函数，分别位于正负频率轴上。
峰值的高度与正弦信号的振幅成正比。
2. 方波信号：方波信号的傅里叶变换是一系列的Delta函数，位于基频和其倍频的频率轴上。
每个Delta函数的幅值与方波的斜率成正比。
3. 三角波信号：三角波信号的傅里叶变换是一系列的Delta函数，位于基频和其奇倍频的频率轴上。
每个Delta函数的幅值与三角波的斜率成正比，而且随着频率的增加而逐渐减小。
4. 窗函数信号：窗函数信号可以用来限制一个信号的频率范围。
常见的窗函数信号有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
它们的傅里叶变换都是一系列的Delta函数，位于基频和其倍频的频率轴上。
不同的窗函数有不同的幅值分布。
5. 常见滤波器的傅里叶变换：滤波器可以用来去除一个信号的某些频率成分。
常见的滤波器有低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等。
它们的傅里叶变换都有不同的频率响应曲线，用来描述信号在不同频率上的响应情况。
以上是一些常见信号的傅里叶变换，它们可以用来分析和处理各
种实际的信号。
在实际应用中，傅里叶变换经常和其它技术一起使用，如滤波、采样、量化等，以实现更复杂的信号处理任务。
y=x傅里叶变换
y=x傅里叶变换
本篇文章将介绍y=x的傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
y=x是一条直线，它的傅里叶变换可以通过以下公式计算：
F(ω) = δ(ω) + jπδ'(ω)
其中，δ(ω) 和δ'(ω) 分别是单位冲击函数和它的导数。
可以看出，y=x 的傅里叶变换是一个复合函数，包含了单位冲击函数和它的导数。
在频域中，它的幅度谱是一个常数，而相位谱是一个线性函数。
总的来说，y=x 的傅里叶变换可以用简单的公式表示，但它的物理意义却非常重要。
它是傅里叶变换理论中的一个经典示例，可以帮助我们更好地了解傅里叶变换和频域分析的基本概念。
- 1 -。
北京大学数学物理方法经典课件第五章-傅里叶变换
逆变换的概念
详细介绍傅里叶变换的逆变换 以及其作用。
逆变换公式
掌握逆变换的常用公式，理解 如何从频域还原原始信号。
信号重构
通过逆变换实现原始信号的还 原，并研究其重构误差。
时频分析和不确定性原理
时域分析 频域分析 不确定性原理
在时间域上分析信号的时变特性，研究信号的 时序行为。
将信号转换到频域，揭示信号的频谱分布和频 域行为。
学习如何使用傅里叶级数分析周期性信号， 揭示其频域特性。
实际案例
探索傅里叶级数在音频、图像和通信等实际 应用中的作用。
傅里叶变换的定义和性质
1
线性性质
2
学习傅里叶变换的线性性质及其意义。
3
定义
介绍傅里叶变换的基本定义和公式。
频域解释
了解傅里叶变换的频域解释，研究信 号的频谱特征。
傅里叶变换的逆变换
北京大学数学物理方法经 典课件第五章-傅里叶变 换 本课件是北京大学数学物理方法经典课件的第五章，深入讲解了傅里叶变换
的概念和性质，以及在不同领域中的广泛应用。
傅里叶级数
数学基础
了解傅里叶级数的定义和性质，掌握其在数 学领域中的应用。
信号重建
通过傅里叶级数的逆变换，实现信号的还原 和重建。
周期信号分析
探索时频分析中的不确定性原理，分析信号在 时频平面上的限制条件。
傅里叶变换的应用
信号滤波
利用傅里叶变换对信号进行滤波处理，去除 干扰或提取感兴趣的频率成分。
通信技术
研究傅里叶变换在调制、解调和频谱分析等 通信技术中的应用。
图像处理
探索傅里叶变换在图像处理中的应用，如图 像增强和去噪。
量子力学
了解傅里叶变换在量子力学研究中的重要作 用，如波函数的变换和量子力学运算符的表 示。
经典的傅里叶变换(下)-一般人都能看明白
这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义
欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时 间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基 础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：
第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。
另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：
cos 1 (e j e j )
2
我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则 可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同 的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！
往昔连续非周期， 回忆周期不连续， 任你ZT、DFT，
还原不回去。
在这个世界上，有的事情一期一会，永不再来，并且时间始终不曾停息地将那 些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。但是这些事情往往又成为了我们格 外宝贵的回忆，在我们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下，可惜这些 回忆都是零散的片段，往往只有最幸福的回忆，而平淡的回忆则逐渐被我们忘 却。因为，往昔是一个连续的非周期信号，而回忆是一个周期离散信号。
但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。
所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的
地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要
的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的
常见傅里叶变换公式
常见傅里叶变换公式
1. 傅里叶级数公式:
设函数 f(t) 周期为 T，可以表示为以下和式：
f(t) = a0 + ∑ [an*cos(nωt) + bn*sin(nωt)]
其中, ω = 2π/T，an 和 bn 是函数 f(t) 的傅里叶系数。
2. 离散傅里叶变换 (DFT) 公式:
函数 f(n) 可以通过以下公式表示为频域的离散复数表示：
F(k) = ∑ [f(n) * exp(-2πikn/N)]
F(k) 表示频域的复数系数，N 是离散样本的总数，k 表示频域的离散频率。
3. 反离散傅里叶变换 (IDFT) 公式:
若已知频域复数系数 F(k)，则原函数 f(n) 可以通过以下公式还原：
f(n) = (1/N) * ∑ [F(k) * exp(2πikn/N)]
N 表示离散样本的总数，n 表示时域的离散时间。
注意：上述公式描述了常见的傅里叶变换和反变换的原理，但并未提及具体的数学表达式符号。
傅里叶变换相关参考书籍
傅里叶变换相关参考书籍1.《傅里叶分析导论》(An Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions) - William P. Ziemer2.《傅立叶分析与信号处理》(Fourier Analysis and Signal Processing) - P. Raja Rao3.《傅里叶变换与其应用》(Fourier Transforms and Its Applications) - J.K. Pati4.《傅里叶分析与其应用》(Fourier Series and Boundary Value Problems) - James Ward Brown, Ruel V. Churchill5.《数值傅里叶分析方法》(Numerical Fourier Analysis: Fourier-禸unk, Fast Fourier, Wavelets) - Lazarus6.《傅里叶分析与信号处理》(Fourier Analysis and Signal Processing) - Mourad Barkat7.《实用傅里叶变换分析》(Applied Fourier Transform Analysis) - Hwei Hsu8.《数学分析的复化数据结构》(Using Complex Data Structures in Computer Science and Mathematics, Volume 2: Fourier Analysis, Kettenübergagänge, Polynomielle Approximation) - J.Güting, S.M. Mehlhorn9.《傅里叶分析与泛函之应用》(Applications of Fourier Analysis) - Narayanaswami Balakrishnan, Konstantinos Efstathiou, Giovanni Peccati, Murad S. Taqqu10.《基于傅里叶变换的图像处理与分析》(Image Processing and Analysis Based on Fourier Transform) - Jianmin Jiang, Wenlu Zhang上述书籍都是关于傅里叶变换及相关主题的经典参考书，适合对傅里叶变换有一定了解基础，并希望进一步提升知识和应用的读者阅读。
常用傅里叶变换表
时域信号
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
1
线性
2
时域平移
3
频域平移, 变换2的频域对应
4
如果
值较大，则会收缩到原
点附近，而会扩散并变得
扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为
Delta 函数。
5
傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量 和频域变量 得到.
6
傅里叶变换的微分性质
7
变换6的频域对应
表示和的卷积—这就是卷积定理
矩形脉冲和归一化的
变换
想的低通滤波器，
滤波器对反因果冲击的响应。
tri
变换
高斯函数
换是他本身
这是可积的。
a>0
变换本身就是一个公式δ
这个变换展示了狄拉克要性：
变换
由变换
由变换
式
由变换
这里
是狄拉克
这个变换是根据变换将此变换与
换所有多项式。
此处
换与变换
变换
变换
此处
根据变换
u
狄拉克梳状函数
理解从连续到离散时间的转变
Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
但是因为lim x 0
sin x
x
1
所以定义sinc 0
1,用不严格的形式就写作
sin x x
x
0
1,
则函数在整个实轴连续。
sinc(x)
x
12
前面计算出
cn
1 2
sinc
n
n 0, 1, 2,
n
n
n
2
T
n
2
,
可将c
n 以竖线标在频率图上
13
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f (t)为基础构造
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
设fT t为T周期函数，在T2 ,T2上满足Dirichlet条件,
则fT t可展开为Fourient ,
n
n
n n2n T,cn T1
积分变换
Fourier变换
Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分
(周期趋于无穷时的极限形式)
1
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数fT(t)打交道. 例如:
7
对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期
函数fT(t)当T时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于
f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T 越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T 时,周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有
cn
1 T
T
2 T
fT
t e jntdt
2
1 T
1 e jntdt
1
1
Tjn
e jnt
1 1
1
Tjn
e jn
e jn
2 T
sin n n
2 T
sinc n
n
0, 1, 2,
18
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间 隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是 sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f (t)看作是周 期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无 穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的 形状看作是方波函数f (t)的各个频率成份上的分布, 称 作方波函数f (t)的傅里叶变换.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近 3
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的
情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的
情况.
fT
t
是以T为周期的函数，在
T 2
T ,
2
上满足
Dirichlet条件：
fT t 连续或只有有限个第一类间断点；
fT t 只有有限个极值点；
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
fT t 可展开成Fourier级数，且在连续点t处成立：
fT
t
a 0
2
an
n 1
cosnt
bn
sinnt
4
其中2 T,
an T2
f T 2
T 2 T
tcosntdt
n0,1,2,
bn T2
f T 2
T 2 T
tsinntdt
在 间 断 点 t处 成 立 ：
n1,2,
fTt0 2fTt0a 2 0n 1ancosntbnsinnt
1 4
sinc
n
n
0, 1, 2,
15
则在T=8时,
cn
1 4
sinc
n
n
0, 1, 2,
n
n
n
2
8
n
4
, 再将c
n 以竖线标在频率图上
16
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
cn
1 8
sinc
n
n
0, 1, 2,
n
n
n
2
16
n
8
,
再将c n 以竖线标在频率图上
17
一般地, 对于周期T
引进复数形式：
c o snt e in t e in t, 2
s in nt e in t 2 i e in t
5
级数化为：
a 0 2 n1
aneint
eint 2
bneint
eint 2i
a
0
an ibneint an ibneint
2 n1 2
2
令c0 a20,cn
fT
t e jntdt
2
1 4
2 2
f 4
t e jntdt
1 4
1 e jntdt
1
1
4jn
e jnt
1 1
1
4jn
e jn
e jn
1 sin n 2 n
1 2
sinc
n
n
0, 1, 2,
11
sinc函数介绍
sinc函数定义为 sinc
x
sin x
x
严格讲函数在x
0处是无定义的,
lim
T
fT
t
f
t
8
例 矩形脉冲函数为
f t 1 0
t 1 t 1
如图所示: f (t)
1
-1
O
1
t
9
现以f (t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则
f 4
t
f t 4n ,
n
2
T
2
4
2
,
n
n n
2
f4(t)
t -1 1 3
T=4
10
则
cn
1 T
T
2 T
级数化为：n c n e in t T 1n T T 2 2fT e in d e in t
cn Fn fTt的离散频谱；
cn fTt的离散振幅频谱； argcn fTt的离散相位频谱；n.
若以fT t 描述某种信号，则c n 可以刻画fT t 的特征频率。
an
ibn 2
,dn
an
ibn 2
,则c0
T1
TT22fTtdt
cn
T1
TT22fTtcosntisinntdt T1
T2 f
T 2
tTeintdt
dn
T1
TT22fTtcosntisinntdt T1
T2 f
T 2
tTeintdtcn
n1,2, cn cn
6
合并为： c n T 1 T T 2 2fT t e in td t n 0 , 1 , 2 ,
一周期为8的周期函数f8(t)
f
8
t
f t 8n ,
n
2
T
2
8
4
,
n
n n
4
f8(t)
-1 1
7
t
T=8
14
则
cn
1 T
T
2 T
fT
t
e jntdt
2
1 8
4 4
f
8
t e jntdt
1 8
1 e jntdt
1
1
8jn
e jnt
1 1
1
8jn
e jn
e jn
1 sin n 4 n