41 正弦函数、余弦函数的图象

课时分层作业(四十一) 正弦函数、余弦函数

的图象

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．用“五点法”作函数y ＝2sin x －1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )

A ．0，π2，π，3π

2，2π B ．0，π4，π2，3π

4，π C ．0，π，2π，3π，4π

D ．0，π6，π3，π2，2π

3

A [依据“五点法”作图规则可知选A.]

2．若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )

A ．0

B ．1

C ．－1

D ．2 C [当x ＝π2时，y ＝sin π

2＝1，故－m ＝1，m ＝－1.]

3．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －π2，则f (x )的图象( )

A ．与g (x )的图象相同

B ．与g (x )的图象关于y 轴对称

C ．向左平移π

2个单位，得g (x )的图象 D ．向右平移π

2个单位，得g (x )的图象 D [f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －π2

＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2－x ＝sin x ，

f (x )图象向右平移π

2个单位得到g (x )图象．]

4．将余弦函数y ＝cos x 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数y ＝－

sin x 的图象，则m ＝( )

A.π2 B ．π C.3π2

D.3π4

C [根据诱导公式得，y ＝－sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2，故欲得到y ＝－sin x 的图象，需将y ＝cos x 的图象向右至少平移3π

2个单位长度．]

5．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )

D [由题意得

y ＝⎩⎪⎨⎪⎧

2cos x ，0≤x ≤π2或3

2π≤x ≤2π，0，π2＜x ＜3

2π.

显然只有D 合适．] 二、填空题

6．用“五点法”作函数y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________．

(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫

3π2，1，(2π，0) [x 依次取0，π2，π，3π2，2π得五个

关键点(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝ ⎛⎭

⎪⎫

3π2，1，(2π，0)．] 7．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫

3π2，4 [由⎩⎨⎧

y ＝cos x ＋4，y ＝4

得cos x ＝0，

当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π

2， ∴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭

⎪⎫

3π2，4.]

8．函数y ＝lg(2－2cos x )的定义域是________．

⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

π4＋2k π＜x ＜7π

4＋2k π，k ∈Z

[由2－2cos x ＞0得cos x ＜22，

作出y ＝cos x 的图象和直线y ＝2

2，

由图象可知cos x ＜2

2的解集为

⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

π4＋2k π＜x ＜7π

4＋2k π，k ∈Z

.] 三、解答题

9．用“五点法”作下列函数的简图． (1)y ＝2sin x (x ∈[0,2π])； (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2.

[解] (1)列表如下：

x 0 π

2

π 3π2

2π

2sin x 0 2 0 －2 0

(2)列表如下：

x

π2

π

3π2

2π

5π2

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2 0 1 0 －1 0

描点连线如图：

10．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．

[解] 观察图可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4.

因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC 的面积．

∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 矩形OABC ＝2×2π＝4π， ∴所求封闭图形的面积为4π.

[等级过关练]

1．如图所示，函数y ＝cos x ·|tan x |0≤x ＜3π2且x ≠π2的图象是( )

C [当0≤x ＜π

2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ； 当π

2＜x ≤π时，

y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ；

当π＜x ＜3π

2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图象为C.] 2．方程sin x ＝x

10的根的个数是( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

A [在同一坐标系内画出y ＝x

10和y ＝sin x 的图象如图所示：

根据图象可知方程有7个根．]

3．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是______．

⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4，5π4 [在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0,2π)与y ＝cos x ，x ∈(0,2π)的图象如图所示，

由图象可观察出当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π4，5π4时，sin x >cos x ．]

4．函数f (x )＝⎩⎨⎧

sin x ，x ≥0，x ＋2，x ＜0，

则不等式f (x )＞1

2的解集是________．

⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

－32

＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π

6＋2k π，k ∈N

[在同一平面直角坐标系中画

出函数f (x )和y ＝12图象(略)，由图易得：－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π

6＋2k π，k ∈N .]

5．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．

[解] f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎨⎧

3sin x ，x ∈[0，π]，

－sin x ，x ∈(π，2π].