旋转法构造全等三角形ppt课件
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《全等三角形》ppt课件人教版初中数学3
（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”
二.角的平分线：
1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, ∴ △EBC≌△EBD (AAS)
（可简写成“ASA”) 如图，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且
平分DE. 用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB,
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与
“对角”的不同含义；
如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
D AC=DF
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
∴ △ABC≌△ABD (SAS)
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2.角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
三.练习：
1、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。
c
第12章全等三角形复习 课
全章知识结构图
三角形全等 （全等的判定）
S.S.S. S.A.S. A.S.A. A.A.S. H.L.（RtΔ）
（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”
二.角的平分线：
1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, ∴ △EBC≌△EBD (AAS)
（可简写成“ASA”) 如图，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且
平分DE. 用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB,
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与
“对角”的不同含义；
如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
D AC=DF
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
∴ △ABC≌△ABD (SAS)
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2.角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
三.练习：
1、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。
c
第12章全等三角形复习 课
全章知识结构图
三角形全等 （全等的判定）
S.S.S. S.A.S. A.S.A. A.A.S. H.L.（RtΔ）
12-1 全等三角形 课件(共26张PPT)
时，对应的顶点放在对应的位置上.
知识梳理
例题 1：如图所示，△ ≌△ ，指出所有的对应边和对应角.
AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；
∠ABC与∠DCB，∠A与∠D，∠ACB与∠DBC是对应角。
【解答】（1）已知△ABC≌△DCB，故公共边BC和CB
是对应边，它们所对的∠A和∠D是对应角，最短边
【结论】本题考查了全等三角形的性质及
比较角的大小，解题的关键是找到两全等
三角形的对应角、对应边.
80°
.
知识梳理
例题4：如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，
如果∠BAF = 60°，那么∠DAE= 15°
角
例题5：如图，△ ABC ≌△ ADE，则AB = AD ，∠E =
知识梳理
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合
的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。例如，图中的△ 和△
全等，记作△ ≌ ，其中点和点，点和点，点
和点是对应顶点；和，和，和是对应边；∠和
∠，∠和∠，∠和∠是对应角.
∠BAE = 130°，∠BAD = 50°，则∠BAC=
。
80°
∠C
，若
知识梳理
例题6：如图，已知△ ABC ≌△ EBF，AB ⊥ CE，ED ⊥ AC，∠A = 24°，
则：（1）AB =
EB ，BC = BF ，∠C = 66 °，∠EFB = 66 °；
（2）若AB = 5cm，BC = 3cm，则AF = 2cm 。
AB和DC是对应边，它们所对的∠ACB和∠DBC是对应
角，余下的一对边和一对角分别是对应边和对应角.
（2）根据书写规范可知点A和点D，点B和点C，点C
知识梳理
例题 1：如图所示，△ ≌△ ，指出所有的对应边和对应角.
AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；
∠ABC与∠DCB，∠A与∠D，∠ACB与∠DBC是对应角。
【解答】（1）已知△ABC≌△DCB，故公共边BC和CB
是对应边，它们所对的∠A和∠D是对应角，最短边
【结论】本题考查了全等三角形的性质及
比较角的大小，解题的关键是找到两全等
三角形的对应角、对应边.
80°
.
知识梳理
例题4：如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，
如果∠BAF = 60°，那么∠DAE= 15°
角
例题5：如图，△ ABC ≌△ ADE，则AB = AD ，∠E =
知识梳理
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合
的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。例如，图中的△ 和△
全等，记作△ ≌ ，其中点和点，点和点，点
和点是对应顶点；和，和，和是对应边；∠和
∠，∠和∠，∠和∠是对应角.
∠BAE = 130°，∠BAD = 50°，则∠BAC=
。
80°
∠C
，若
知识梳理
例题6：如图，已知△ ABC ≌△ EBF，AB ⊥ CE，ED ⊥ AC，∠A = 24°，
则：（1）AB =
EB ，BC = BF ，∠C = 66 °，∠EFB = 66 °；
（2）若AB = 5cm，BC = 3cm，则AF = 2cm 。
AB和DC是对应边，它们所对的∠ACB和∠DBC是对应
角，余下的一对边和一对角分别是对应边和对应角.
（2）根据书写规范可知点A和点D，点B和点C，点C
构造全等三角形的六种常用方法课件
构造方法简介
01
02
03
04
尺规作图法
利用尺规作图工具，通过已知 条件构造全等三角形。
翻折法
将已知三角形沿某条直线翻折， 得到与原三角形全等的三角形。
平移法
将已知三角形沿某方向平移一 定距离，得到与原三角形全等
的三角形。
旋转法
将已知三角形绕某点旋转一定 角度，得到与原三角形全等的
三角形。
02 方法一：SSS全 等法
感谢观看
拓展延伸：其他构造方法及应用场景
构造中位线
利用三角形中位线性质构 造全等三角形，常用于证 明线段相等或倍长中线等 问题。
构造角平分线
利用角平分线性质构造全 等三角形，常用于证明角 相等或线段成比例等问题。
构造垂直平分线
利用垂直平分线性质构造 全等三角形，常用于证明 线段相等或点共圆等问题。
THANKS
判定条件
两个三角形中，两个角及这两个角的夹边分别相等，则这两个三角形全等。
构造步骤这两个角的夹边相等，最后根据ASA判定条件证明两个三角形全等。
示例
在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD。根据ASA全等法，可以判定△ABC≌△ADE。
应用场景分析
1 2 3
解决角度和边长问题 当题目中给出两个角和它们的夹边相等时，可以 利用ASA全等法证明两个三角形全等，从而解决 与角度和边长相关的问题。
构造全等三角形 在几何证明题中，有时需要构造全等三角形以证 明某些线段或角度相等。ASA全等法是构造全等 三角形的常用方法之一。
辅助线策略 当遇到复杂的几何问题时，可以通过作辅助线构 造全等三角形，将问题转化为已知的全等三角形 问题，从而简化解题过程。
1三角形全等的判定(第4课时)PPT课件(华师大版)
当堂检测
1．为班级中每名同学准备了长分别为a、b、c三根木条，所有同学都
用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所
有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法根据
_______．
SSS
根据：三个木条长度a，b，c，无论怎么摆放，长度不变，利用三
角形全等的判定理由：SSS
当堂检测
（简写为“边边边”或“S.S.S.”）
A
几何语言：
在△ABC和△ DEF中，
AB=DE，
B
C
D
BC=EF，
CA=FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（S.S.S.）.
E
F
讲授新课
典例精析
【例1】如图，在四边形 ABCD 中，AD = CB，AB = CD.
求证: ∠B = ∠D.
证明：在△ABC 和△CDA 中，
＝，
＝ ,
＝.
∴△ABC≌△DFC(SSS).
讲授新课
变式1 若将上题中右边的三角形向左平移(如图)，若AB＝DF，
AC＝DE，BE＝CF.问：△ABC和△DFE全等吗？
解:全等.
A
B
E
D
C
F
∵ BE＝CF ，
∴BE+EC=CF+EC.
即BC＝FE .
在△ABC和△DFE中，
在△ABD和△CDB中,
＝(已知)，
= (已知),
＝(公共边).
∴△ABD≌△CDB（SSS）,
∴∠A=∠C.（全等三角形的对应角相等）.
②证明:∵ △ABD≌△CDB（已证） ,
∴∠ABD=∠CDB， ∠ADB=∠CBD .
（全等三角形的对应角相等）
旋转型的全等三角形ppt课件
是△BCD的中线，求证：CM= CM⊥AE
1 2
AE且
变式二：已知△ACD和△CBE都是等边三 角形，AB和DE有什么关系吗？
旋转前后的三角形位置有什么特点？特征？
全等的三角形有什么特点？
探究的两条线段有什么关系？你还有什
位置
大小
么猜想？
两个呢 有兴趣的同学利用几何 画板进一步探索
如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、 CD上的点，且∠EAF= 45° 求证：BE+DF=EF
A EF
D
C
B
猜想DE ⊥AB，DE=AB.请给出证明
延长DE交AB于F
证明：延长DE交AB于F
在DCE和ACB中
DC=AC（已知）
A EF
ECB ACD已知
D
EC=CB(已知)
C
B
DCE ACB(SAS ) DE AB(全等三角形对应边相等 )
A D(全等三角形对应角相等 )
在RtACB中，ACB 90 A B 90
D B 90 (等量代换)
在BDF中，
B D BFD 180 D
BFD 90
即DE AB
A EF
C
B
探究二
A
F E
D
C
B
图中有特殊的直角三角形吗？ 连接AB、DE
F G
H
请问：AB、DE有什么关系？
变式一：DE和AB又有怎样的关系呢？ F
变式二：已知△ACD和△CBE都是等边三 角形，AB和DE有什么关系吗？
专题探究
旋转型的全等三角形
探究一 E
D
C
(1)已知线段DC ⊥ EC，将∠DCE绕点C 顺时针旋转90°得到∠ACB. 请作出∠ACB
等边三角形的旋转全等课件
AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与 AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小 值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
谢谢！
大小不等的等边 三角形擦出 的火花
如图，△ABC和△CEF是两个大小不 等的等边三角形，有一个公共顶点C 且点F在CB的延长线上，连接AF和 BE．线段AF和BE有怎样的大小关系?
请证明你的结论.
按照题干要求摆放你手中 的两个三角形纸片，并连 接相应的线段，标注字母
分析题意，说说你的方法 和应该注意的问题
书写过程
如图，△ABC和△CEF是两个大小不 等的等边三角形，有一个公共顶点C 且点F在CB的延长线上，连接AF和 BE．线段AF和BE有怎样的大小关系? 请证明你的结论.
1.如果删除题干中的一些限制条件并撤去例图，图形会发生变 化吗？利用你手中的三角形纸片摆一摆. 2.每得到一个不同的构图，立即画出图形并标注相应的字母. 你得到了几个新图？
A
A
F B
cF
B
cF
A
B c F
B A
c F
B
c
A
F
在不E 同的构图B 中E，AF与BE的E 关系还成 立吗？请c 任选两个F 图形进行 E
A
B A
A
BA
A B
c
EF
A
cE
F
cE
B
B
B
E
E
E
你能把以下的题目对应到哪个图形？
1.（2011•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与 AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小 值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
谢谢！
大小不等的等边 三角形擦出 的火花
如图，△ABC和△CEF是两个大小不 等的等边三角形，有一个公共顶点C 且点F在CB的延长线上，连接AF和 BE．线段AF和BE有怎样的大小关系?
请证明你的结论.
按照题干要求摆放你手中 的两个三角形纸片，并连 接相应的线段，标注字母
分析题意，说说你的方法 和应该注意的问题
书写过程
如图，△ABC和△CEF是两个大小不 等的等边三角形，有一个公共顶点C 且点F在CB的延长线上，连接AF和 BE．线段AF和BE有怎样的大小关系? 请证明你的结论.
1.如果删除题干中的一些限制条件并撤去例图，图形会发生变 化吗？利用你手中的三角形纸片摆一摆. 2.每得到一个不同的构图，立即画出图形并标注相应的字母. 你得到了几个新图？
A
A
F B
cF
B
cF
A
B c F
B A
c F
B
c
A
F
在不E 同的构图B 中E，AF与BE的E 关系还成 立吗？请c 任选两个F 图形进行 E
A
B A
A
BA
A B
c
EF
A
cE
F
cE
B
B
B
E
E
E
你能把以下的题目对应到哪个图形？
1.（2011•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
全等三角形的判定PPT课件共34张
24
2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
25
准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等；全等三角形的周长、面积相等； 全等三角形的对应边上的中线、高线 、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角 形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至 与另一个三角形两边重合 ，由于夹角相等，因此两 个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形全等，简 称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
2024/1/30
14
2024/1/30
04
判定方法的证明与推导
15
SSS判定法的证明
01
02
03
已知条件
三边分别相等的两个三角 形。
2024/1/30
证明过程
通过平移或旋转其中一个 三角形，使得两个三角形 的三边分别重合，从而证 明两个三角形全等。
2024/1/30
在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相 等。
9
2024/1/30
03
全等三角形的判定方法
10
边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等 。
2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
25
准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等；全等三角形的周长、面积相等； 全等三角形的对应边上的中线、高线 、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角 形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至 与另一个三角形两边重合 ，由于夹角相等，因此两 个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形全等，简 称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
2024/1/30
14
2024/1/30
04
判定方法的证明与推导
15
SSS判定法的证明
01
02
03
已知条件
三边分别相等的两个三角 形。
2024/1/30
证明过程
通过平移或旋转其中一个 三角形，使得两个三角形 的三边分别重合，从而证 明两个三角形全等。
2024/1/30
在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相 等。
9
2024/1/30
03
全等三角形的判定方法
10
边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等 。
三角形全等证明的解题思路课件PPT
∴∠MOP＝∠NOP
OP＝OP
O
BN
∴△AOP≌△BOP(AAS)
∴AO ＝ BO
典例精解
类型一：全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型)
如图,已知四边形ABCD中,AB＝CD且AB∥CD,连接BD,在BD上截取BE＝
DF,连接AE,CF. 求证:AE＝CF
A
B 证明：
AB=CD
F D
E
∵AB∥CD
03
的短文来进行群读,训练自己一次扫视3~5个字或词。
经常进行这样训练,快速阅读速度就能大大提高。
变式题
以跳读的方式翻阅全书
优翼微课
当拿到一本书时,我们不要一页一页地去翻,要先看书的
初中数学知识点精讲课程 标题和副标题、作者和出版者、编者的话和关于作者的说
明;然后浏览目录,阅读内容提要、前言或后记;最后,以跳读
CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F.
A
求证：EF＝CF－BE； F
B
P
C
E
如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP＜
CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F.
A
求证：EF＝CF－BE； F
证明：∵∠BAC＝90°
∴∠BAE＋∠CAF＝90° ∵BE⊥AE ∴∠BAE＋∠ABE＝90° ∴∠CAF＝∠ABE ∵CF⊥AP，BE⊥AE ∴∠AEB＝∠CFA
B
P
C
在△ABE和△CAF中
E ∴△ABE≌△CAF
∠ABE＝∠CAF
∴CF＝AE，AF＝BE
∠AEB＝∠CFA
∴EF＝AE－AF＝CF－BE
旋转法构造全等三角形
旋转法构造全等三角形在我们生活中，几何形状随处可见，三角形更是其中的“老大”。
今天咱们聊聊旋转法构造全等三角形。
想象一下，咱们手里有一个三角形，就像拿着一个切好的水果拼盘。
旋转这个三角形就像在舞会上转圈圈，让它变得更加迷人，仿佛随时要跳起舞来。
这样转一圈，嘿，原来的形状没变，只是位置换了，太神奇了吧？就好比你换了个发型，结果还是那个你，真是让人忍俊不禁。
你看，这个旋转法其实是个挺简单的操作。
先把一个三角形固定在一个点上，这个点就像是咱们舞会的中心。
然后轻轻一转，就能看到另一个全新的三角形就此诞生。
想象一下，原来的三角形就像个古灵精怪的小孩，而旋转出来的那个三角形就像是它的双胞胎，简直是一个模子里刻出来的，毫无二致，真是“如出一辙”呢。
每个边的长度、每个角的大小都保持不变，简直完美！有趣的是，旋转的角度也可以随意选择，像你在舞池里想怎么转就怎么转。
可能是30度、60度，甚至是360度。
说到360度，那简直就是个圈啊，转完后你会发现自己又回到了原点，哈哈，就像过山车一样刺激。
不过不管怎么转，三角形的形状和大小都没变化。
试想一下，生活中有多少事情都是这样的，经过一番折腾，结果却还是老样子，真是让人哭笑不得。
你知道吗，旋转法不仅在数学上好玩，在生活中也是处处可见。
比如说，咱们在厨房里切菜时，把刀从一个角度旋转到另一个角度，最终切出的菜肴依然是原来的那些食材，只不过形状变了。
这就像我们的日常生活，有时候改变一下角度，事情可能会变得截然不同，但核心却依然不变，真是有趣。
再说说这些全等三角形，它们就像是朋友间的相互理解，虽然在不同的地方，却能保持着同样的默契。
想想那些打篮球的小伙伴们，虽然在场上跑来跑去，但每个人的配合都那么自然，简直像是天生的一对。
这种相互之间的联系，跟全等三角形的性质如出一辙，真是让人感慨万千。
在课堂上，老师常常给我们讲这个旋转法，其实更深层的含义在于它教会我们如何去看待事物。
有时候换个角度，事情就会豁然开朗。
《全等三角形》PPT优质课件
D A
O
C B
AD
O
B
C
A
B D
E C
A
E
D
B
C
1. 有公共边，则公共边为对应边； 2. 有公共角（对顶角），则公共角（对顶角）为对应角； 3.最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；
最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；
4. 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角.
探究新知
找一找下列全等图形的对应元素？
A
D
A
2 B E CF
A
3 21 4
B E
CF
B
D CF
A
D
1
23 4
B
C
探究新知
全等的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
A
F
B
CD
E
△ABC≌△FDE
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在 对应的位置上.
探究新知
全等的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
A
D
B
C
E
∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E. （全等三角形对应角相等）
探究新知
素养考点 1 识别全等三角形的对应元素
例1 如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全 等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角 形的对应角.
解：△BOD与△COE的对应边为： BO与CO，OD与OE，BD与CE； △ADO与△AEO的对应角为：
课堂检测
拼接的图形展示
课堂小结
全等 三角形
定 义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
基本 性质
O
C B
AD
O
B
C
A
B D
E C
A
E
D
B
C
1. 有公共边，则公共边为对应边； 2. 有公共角（对顶角），则公共角（对顶角）为对应角； 3.最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；
最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；
4. 对应角的对边为对应边；对应边的对角为对应角.
探究新知
找一找下列全等图形的对应元素？
A
D
A
2 B E CF
A
3 21 4
B E
CF
B
D CF
A
D
1
23 4
B
C
探究新知
全等的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
A
F
B
CD
E
△ABC≌△FDE
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在 对应的位置上.
探究新知
全等的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
A
D
B
C
E
∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E. （全等三角形对应角相等）
探究新知
素养考点 1 识别全等三角形的对应元素
例1 如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全 等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角 形的对应角.
解：△BOD与△COE的对应边为： BO与CO，OD与OE，BD与CE； △ADO与△AEO的对应角为：
课堂检测
拼接的图形展示
课堂小结
全等 三角形
定 义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
基本 性质
全等三角形 PPT优秀课件
• 能够完全重合的两个图形叫做全 等形
• 能够完全重合的两个三角形叫做 全等三角形
全等形包括规则图形和不规 则图形全等
下面三组图形，它们是不 是全等图形？为什么？
形状相同
大小相同
两个图形全等，它们的形状 一定相同 ，大小一定相等！
下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形？它们有什么特点？
∠ACB= ∠AED.
规律三：有公共角的，公共角是对应角
先写出全等式，再指出 它们的对应边和对应角
A ∵△ABC≌△FDE
E B
∴AB=FD,AC=FE,
BC=DE
∴∠A=∠F, ∠B=∠D, ∠ACB= ∠FED.
D
C
规律四：一对最长的边是对应边
一对最短的边是对应边
规律五：一对最大的角是对应角
F
一对最小的角是对应角
1.有公共边的，公共边一定是对应边。
2.有对顶角的，对顶角一定是对应角。
3.有公共角的，公共角一定是对应角。
4.对应角所对的边是对应边，对应边 所对的角是对应角．
5.在两个全等三角形中最长边对最长边， 最短边对最短边，最大角对最大角，最 小角对最小角。
找出下列全等三角形的对应边、对应角
∠ACB与∠DBC是对应角
例题讲解，掌握新知
图中△ABO≌△DCO， A 试写出这两个三角形中 相等的边和相等的角。
D O
B
C
解：∵△ABO≌△DCO
∴AB=DC，BO=CO，AO=DO
∠A=∠ D，∠ABO=∠DCO，
∠AOB=∠DOC
先写出全等式，再指出
它们的对应边和对应角
A
D
C
E
B
F
• 能够完全重合的两个三角形叫做 全等三角形
全等形包括规则图形和不规 则图形全等
下面三组图形，它们是不 是全等图形？为什么？
形状相同
大小相同
两个图形全等，它们的形状 一定相同 ，大小一定相等！
下列两三角形是怎样由一 个三角形得到另一个三角 形？它们有什么特点？
∠ACB= ∠AED.
规律三：有公共角的，公共角是对应角
先写出全等式，再指出 它们的对应边和对应角
A ∵△ABC≌△FDE
E B
∴AB=FD,AC=FE,
BC=DE
∴∠A=∠F, ∠B=∠D, ∠ACB= ∠FED.
D
C
规律四：一对最长的边是对应边
一对最短的边是对应边
规律五：一对最大的角是对应角
F
一对最小的角是对应角
1.有公共边的，公共边一定是对应边。
2.有对顶角的，对顶角一定是对应角。
3.有公共角的，公共角一定是对应角。
4.对应角所对的边是对应边，对应边 所对的角是对应角．
5.在两个全等三角形中最长边对最长边， 最短边对最短边，最大角对最大角，最 小角对最小角。
找出下列全等三角形的对应边、对应角
∠ACB与∠DBC是对应角
例题讲解，掌握新知
图中△ABO≌△DCO， A 试写出这两个三角形中 相等的边和相等的角。
D O
B
C
解：∵△ABO≌△DCO
∴AB=DC，BO=CO，AO=DO
∠A=∠ D，∠ABO=∠DCO，
∠AOB=∠DOC
先写出全等式，再指出
它们的对应边和对应角
A
D
C
E
B
F
三角形全等的判定ppt课件
追问1：这个尺规作图的方法利用了上节课中的哪个知识点？
追问2：根据前面的操作，你能探究到什么结论？
例1. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平 Nhomakorabea上取一个可以
直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，
使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两
个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？
解：BD=CD
在Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
AB=AC
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴ BD=CD
例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证：BC =AD．
（1）
AD = BC
（ HL ）；
（2）
AC = BD
（ HL ）；
（3） ∠DAB = ∠CBA
（ AAS ）；
（4） ∠DBA = ∠CAB
（ AAS ）．
D
A
C
B
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个三
特殊方法
角形就全等了？
HL定理
SSS
一
般
方
法
SAS
AAS
AAS
直角三角形全等
问题:三角分别相等的两个三角形全等吗？
追问:证明两个三角形全等的方法有哪些？
评价3.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
追问2：根据前面的操作，你能探究到什么结论？
例1. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平 Nhomakorabea上取一个可以
直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，
使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两
个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？
解：BD=CD
在Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
AB=AC
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴ BD=CD
例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证：BC =AD．
（1）
AD = BC
（ HL ）；
（2）
AC = BD
（ HL ）；
（3） ∠DAB = ∠CBA
（ AAS ）；
（4） ∠DBA = ∠CAB
（ AAS ）．
D
A
C
B
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个三
特殊方法
角形就全等了？
HL定理
SSS
一
般
方
法
SAS
AAS
AAS
直角三角形全等
问题:三角分别相等的两个三角形全等吗？
追问:证明两个三角形全等的方法有哪些？
评价3.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
全等三角形ppt课件
解： △ABD≌△ACD，BD=CD，∠B=∠C，理由如下： 由AD平分∠BAC，知∠1=∠2. 因此，将图1沿AD对折时，射线AC与射线AB重合. ∵AB=AC， ∴点C与点B重合，也就是△ACD与△ABD重合（图2）
∴ △ABD≌△ACD（全__等__三__角__形__的__定__义__）_________
解：∵∠A＝50°，∠B＝48°， ∴∠C＝180°－50°－48°＝82°. 又∵△ABC≌△DEF， ∴∠C＝∠F，∴∠F＝82°. ∵DE的对应边为AB，所以DE＝AB， ∴AB＝10 cm.
【点悟】利用全等三角形的对应角相等、对应边相等解决问 题时，应注意不要将对应边(对应角)弄错，也就是要求在表 示两个三角形全等时书写规范．
寻找对应边、角的规律：
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；
例2 如图，AD平分∠BAC，AB=AC.△ABD与△ACD全等吗？
起可以重合
能够完全重合的 两个图形叫做全
等图形
A
B′
A′
B
C
C′
1.它们重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点：如A和A′、B和 B′、C和C′； 2.互相重合的边叫做全等三角形的对应边：如AB和A′B′、BC和B′C′、CA和C′A′; 3.互相重合的角叫做全等三角形的对应角：如∠A和∠A′、 ∠B和∠B′、 ∠C和 ∠C′.
怎样判断两个图形是不是全等图形？
确定两个图形全等要符合两个条件： ①形状相同，②大小相同； 是否是全等图形与位置无关． 判断两个图形是否全等还可以通过平移、旋转、翻折等方法把两 个图形叠合在一起，看它们能否完全重合，即用叠合法判断．
∴ △ABD≌△ACD（全__等__三__角__形__的__定__义__）_________
解：∵∠A＝50°，∠B＝48°， ∴∠C＝180°－50°－48°＝82°. 又∵△ABC≌△DEF， ∴∠C＝∠F，∴∠F＝82°. ∵DE的对应边为AB，所以DE＝AB， ∴AB＝10 cm.
【点悟】利用全等三角形的对应角相等、对应边相等解决问 题时，应注意不要将对应边(对应角)弄错，也就是要求在表 示两个三角形全等时书写规范．
寻找对应边、角的规律：
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；
例2 如图，AD平分∠BAC，AB=AC.△ABD与△ACD全等吗？
起可以重合
能够完全重合的 两个图形叫做全
等图形
A
B′
A′
B
C
C′
1.它们重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点：如A和A′、B和 B′、C和C′； 2.互相重合的边叫做全等三角形的对应边：如AB和A′B′、BC和B′C′、CA和C′A′; 3.互相重合的角叫做全等三角形的对应角：如∠A和∠A′、 ∠B和∠B′、 ∠C和 ∠C′.
怎样判断两个图形是不是全等图形？
确定两个图形全等要符合两个条件： ①形状相同，②大小相同； 是否是全等图形与位置无关． 判断两个图形是否全等还可以通过平移、旋转、翻折等方法把两 个图形叠合在一起，看它们能否完全重合，即用叠合法判断．
全等三角形ppt课件
其他领域的应用在工程领源自中，全等三角形可用于解 决一些复杂的几何问题，例如机构设 计、零件配合等。
在物理学中，全等三角形可用于分析 光的反射、折射等现象，以及解决一 些与角度、长度相关的物理问题。
2024/1/25
在地理学和地质学中，全等三角形可 用于测量地形高度、计算地层厚度等 。
18
05
全等三角形拓展知识
误区二
忽视三角形的边长和角度的对应关系。
2024/1/25
纠正
在判断三角形是否全等时，必须确保边长和角度的 对应关系正确。
误区三
错误使用SSS、SAS、ASA、AAS或HL判定方法。
纠正
熟练掌握并正确应用各种全等三角形的判定方法，注意 判定条件的准确性和完整性。
6
02
全等三角形证明方法
2024/1/25
12
求解角度大小问题
利用全等三角形对应角相等的 性质，通过构造全等三角形来 求解角度大小。
2024/1/25
在复杂图形中，通过寻找或构 造全等三角形，将问题转化为 简单的角度计算。
利用全等三角形的性质进行角 度的平移、旋转等操作，以简 化问题并求解角度大小。
13
判定图形形状问题
利用全等三角形的性质来判断图 形的形状，例如通过证明两个三 角形全等来证明四边形是平行四
7
边角边定理及应用
边角边定理：如果两个三角形有两边和 夹角分别对应相等，则这两个三角形全 等。
在几何图形中，通过已知条件寻找全等 三角形，从而推导其他边的长度或角的 大小。
用于证明两个三角形全等。
2024/1/25
示例：在△ABC和△DEF中，如果AB=DE ，BC=EF，∠B=∠E，则△ABC≌△DEF。
全等三角形的判定ppt课件完整版
注意事项
在证明过程中，需要注意两边和所夹 的角分别相等的条件必须同时满足， 且所夹的角必须是两边的夹角，否则 不能得出全等的结论。
角边角（ASA）判定定理证明
基本思路
证明方法
注意事项
如果两个三角形有两个角和它们的夹边 分别相等，则这两个三角形全等。
可以通过构造法或者余弦定理来证明。 构造法可以构造出两个三角形，然后通 过证明它们有两个角和夹边分别相等来 得出它们全等的结论。余弦定理可以通 过三角形的边角关系来证明两个三角形 有两个角和夹边分别相等，从而得出它 们全等的结论。
注意事项
在证明过程中，需要注意两个角和其 中一个角的对边分别相等的条件必须 同时满足，否则不能得出全等的结论。 同时，AAS和ASA的区别在于所给的条 件不同，但都可以用来判定两个三角 形是否全等。
04
全等三角形的应用举例
Chapter
在几何证明中的应用
证明线段相等
通过证明两个三角形全等，可以推出它们对应的边相等，从而证 明线段相等。
全等三角形的判定ppt课件完整版
目录
• 引言 • 全等三角形的判定方法 • 全等三角形判定定理的证明 • 全等三角形的应用举例 • 实验操作与探究 • 全等三角形判定的拓展与延伸
01
引言
Chapter
三角形的定义与性质回顾
三角形的定义
由不在同一直线上的三条线段首尾顺 次相接所组成的图形。
三角形的分类
在证明过程中，需要注意两个角和夹边 分别相等的条件必须同时满足，且所夹 的边必须是两个角的夹边，否则不能得 出全等的结论。
角角边（AAS）判定定理证明
基本思路
证明方法
如果两个三角形有两个角和其中一个 角的对边分别相等，则这两个三角形 全等。
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7
练习4：如图，AD为三角形ABC 的中线，AE=EF ，求证:BF=AC
8
练习
如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作 为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写 出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知： EG∥AF 求证：
A
E
B
G
D
C F
高
9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
构造辅助线的方法：
倍长中线法：题中条件若有中线，可延长 一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集 中在一个三角形内。
3
▪ 例1、如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD
4
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE
∵AD为△ABC的中线 （已知）
A
∴BD=CD （中线定义）
5
▪ 2，练习；如图1，AD是△ABC的中线，AB=3,AC=5，求中 线AD的取值范围。
6
▪ 例2、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB、∠ADC的 平分线交AB、AC于E、F。求证：BE+CF＞EF
分析：本题中已知D为BC的中点，要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D 将BE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。
在△ACD和△EBD中
BD=CD （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等）
D
B
C
AD=ED （辅助线作法）
∴△ACD≌△EBD （SAS）
E
∴BE=CA（全等三角形对应边相等） 图5 1
∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大
于第三边）
∴AB+AC>2AD。
（常延长中线加倍，构造全等三角形）
旋转法构造全等三角形
1
知识要点：
▪ 判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、 SSS和HL
▪ 如果题目给出的条件不全，就需要根据已知的 条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所 缺的条件然后再证明。
▪ 一些较难的证明题要添加适当的辅助线构造合 适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进 行等量代换，就可以化难为易了。
练习4：如图，AD为三角形ABC 的中线，AE=EF ，求证:BF=AC
8
练习
如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作 为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写 出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知： EG∥AF 求证：
A
E
B
G
D
C F
高
9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
构造辅助线的方法：
倍长中线法：题中条件若有中线，可延长 一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集 中在一个三角形内。
3
▪ 例1、如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD
4
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE
∵AD为△ABC的中线 （已知）
A
∴BD=CD （中线定义）
5
▪ 2，练习；如图1，AD是△ABC的中线，AB=3,AC=5，求中 线AD的取值范围。
6
▪ 例2、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB、∠ADC的 平分线交AB、AC于E、F。求证：BE+CF＞EF
分析：本题中已知D为BC的中点，要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D 将BE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。
在△ACD和△EBD中
BD=CD （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等）
D
B
C
AD=ED （辅助线作法）
∴△ACD≌△EBD （SAS）
E
∴BE=CA（全等三角形对应边相等） 图5 1
∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大
于第三边）
∴AB+AC>2AD。
（常延长中线加倍，构造全等三角形）
旋转法构造全等三角形
1
知识要点：
▪ 判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、 SSS和HL
▪ 如果题目给出的条件不全，就需要根据已知的 条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所 缺的条件然后再证明。
▪ 一些较难的证明题要添加适当的辅助线构造合 适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进 行等量代换，就可以化难为易了。