备战中考数学(一元二次方程提高练习题)压轴题训练含答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．阅读下列材料

计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：

原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝

在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：

（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）

（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4

（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3

【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2

【解析】

【分析】

（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．

（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．

（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．

【详解】

（1）令+＝t，则：

原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝

（2）令a2﹣5a＝t，则：

原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2

（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：

（t+1）（t+3）＝3

t2+4t+3＝3

t（t+4）＝0

∴t1＝0，t2＝﹣4

当x2+4x＝0时，

x（x+4）＝0

解得：x 1＝0，x 2＝﹣4

当x 2+4x ＝﹣4时，

x 2+4x +4＝0

（x +2）2＝0

解得：x 3＝x 4＝﹣2

【点睛】

本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．

2．解下列方程：

（1）x 2﹣3x=1．

（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-=

= ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】

试题分析：（1）利用公式法求解即可；

（2）利用直接开方法解即可；

试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，

∵b 2﹣4ac=13＞0

∴

． ∴12313313,22

x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，

∴12223,223y y =-+=--

3．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．

【答案】x 13x 2=13【解析】

试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.

试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，

解得：x 13，x 2=13

4．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β．

（1）求m 的取值范围；

（2）若1

1

1αβ+=-，则m 的值为多少？

【答案】（1）14m ≥

；（2）m 的值为3． 【解析】

【分析】

（1）根据△≥0即可求解,

（2）化简

11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可. 【详解】

解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，

解得：m≥-34

； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵

111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2

+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，

由（1）知m≥-

34

， ∴m 1=﹣1应舍去，

∴m 的值为3．

【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.

5．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.

(1)求实数m 的取值范围;

(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.

【答案】（1）m>2; (2)17

【解析】

试题分析：（1）由根的判别式即可得；

（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．

试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．

当m=4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；

当m=10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；

故三角形的周长为17．

点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．

6．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．

（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．

【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．

【解析】

【分析】

（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.

（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.

【详解】

（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，

根据题意得：x(32﹣2x)=126，

解得：x1=7，x2=9，

∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，

∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．

（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，

根据题意得：y(36﹣2y)=170，

整理得：y2﹣18y+85=0．

∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，

∴该方程无解，

∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．

7．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

【答案】（1）见详解；（2）410或4＋2.