高二数学基本不等式求最值PPT优秀课件

2021/02/25
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课前练习：
(1)设 a, b R , 且 a b, 求证：a b 2;
ba
(2)设a,b,c是不全相等的正数， 证求 ： (ab)(bc)(ca) 8abc
典型例题：
例1：求证： （1）在所有周长相同的矩形中，
正方形的面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中，
正方形的周长最短。
分析：设矩形的长为 x，宽为 y，那么该矩形的周长 为2(xy)，面积为 xy ，这样问题就转化为： （1）如果2(xy)（从而 xy ）为定值，那么 正数 x,y 有什么关系时，xy 最大。 （2）如果 xy为定值，那么正数x,y 有什么关系时，
依据: 利用函数 y t 1 (t>0)的单调性.
t
t(0,1] 单调递减
三 不 等 ,常 用 单 调 性
t[1,) 单调递增
正解: x25 x241
y
x2 4
x24 x24
令t x2 4
则yt1 (t2) t
当 t2 ,即 :x0 时 ,ym in5 2
1 x2 4
例2：
阅读下题的各种解法，指出有错误的地方
解法 三 11： 2 1，当且 ab 仅 时 "当 "成,立 a b ab
又 a2b1,ab1,112 3 ab
1 1
6.
9
正确解法一 “1”代换法
正确解法二 三角代换法
还有其它方法 吗？
例3：已知 x,yR, 且 1 9 1, 求：x+y的最
小值?
xy
解 1 ： 1 9 1 y9 x 0 x 1 0
的最小值.
错解:
2 yx25x241 x2 4 1
x24 x24
x2 4
当且仅当
x2 4 1 时取等号 x2 4
小结：利用均值不等式求函数最值应注意: ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数取到 = 号.
一正,二定,三相等
3.求函数
y x2 5的最小值. x2 4
若x<0,f(x)= 12 3x 的最大值为__-_1_2___; x
此时x=__-_2____.
2. 函数y=
x
1 x 1(x
≥
0)的最小值为___1___,此时x=__0____.
解:
y x 1 x1
x1x1 11≥2-1=1
当且仅当 x1 1 即 x0 时取“=”号
x1
3.求函数
y x2 5 x2 4
已a， 知 b R ，a 且 2b1 ，1求 1的最 . 小 ab
解 法 a,b 一 R , ： a12 ， 2 b122
a
b
11
11
(a2 b)( )222, 221
ab
ab
解 法a 二 2 b1 及 ： a 、 b 由 R ,11(a2 b)1 (1)
ab
ab
22 ab 21, 11的最4小 2. 值为 aba b
2(Байду номын сангаасy)（从而 xy ）最小。
小结：
对于两个正实数 x, y ，
如果它们的和S是定值，则当且仅当 xy时， 它们的积P取得最大值。
（定和求大积）
如果它们的积P是定值，则当且仅当 xy时，
它们的和S取得最小值。
（定积求小和）
练习：
1)若x>0,f(x)= 12 3x 的最小值为___1_2___; 此时x=___2____. x
xy
x 1
xyx9x x 9 (x 1 ) 9 (x 1 )9 10
x1
x 1
x 1
2 91016
解 2:xy(xy)1 (9) 191y9x102916
xy
xy
还有其他方法 吗？
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FOR WATCHING
演讲人: XXX
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