离散元、有限元和数值流形法的对比

离散元方法也被称为散体单元法最早是1971年由Cundall 提出的一种不连续数值方法模型离散元理论是由分析离散单元的块间接触入手找出其接触的本构关系建立接触的物理力学模型并根据牛顿第二定律建立力、加速度、速度及其位移之间的关系对非连续、离散的单元进行模拟仿真。

离散元法是专门用来解决不连续介质问题的数值模拟方法。该方法把节理岩体视为由离散的岩块和岩块间的节理面所组成,允许岩块平移、转动和变形,而节理面可被压缩、分离或滑动。因此,岩体被看作一种不连续的离散介质。其内部可存在大位移、旋转和滑动乃至块体的分离,从而可以较真实地模拟节理岩体中的非线性大变形特征。离散元法的一般求解过程为:将求解空间离散为离散元单元阵,并根据实际问题用合理的连接元件将相邻两单元连接起来;单元间相对位移是基本变量,由力与相对位移的关系可得到两单元间法向和切向的作用力;对单元在各个方向上与其它单元间的作用力以及其它物理场对单元作用所引起的外力求合力和合力矩,根据牛顿运动第二定律可以求得单元的加速度;对其进行时间积分,进而得到单元的速度和位移。从而得到所有单元在任意时刻的速度、加速度、角速度、线位移和转角等物理量。

离散单元法的特点

岩体或颗粒组合体被模拟成通过角或边的相互接触而产生相互作用。

块体之间边界的相互作用可以体现其不连续性和节理的特性。

使用显式积分迭代算法允许有大的位移、转动和使用。

在岩体计算力学方面，由于离散单元能更真实地表达节理岩体的几何特点，便于处理所有非线性变形和破坏都集中在节理面上的岩体破坏问题，被广泛应用于模拟边坡、滑坡和节理岩体地下水渗流等力学过程

离散单元法的求解过程离散元法具体的求解过程分为显式解法和隐式解法下面分别介绍其适用范围。显式解法显式解法用于动力问题的求解或动态松弛法的静力求解显式算法无须建立像有限元法那样的大型刚度矩阵只需将单元的运动分别求出计算比较简单数据量较少并且允许单元发生很大的平移和转动可以用来求解一些含有复杂物理力学模型的非线性问题时间积分采用中心差分法由于条件收敛的限制使得计算步长不能太大因而增加了计算时间。隐式解法隐式解法用于求解静力问题的静态松弛法隐式解法的动态松弛法式直接找导块体失去平衡后达到再平衡的力位移关系建立隐式方法解联立方程组并通过迭代求解以完全消除块体的残余力和力矩。

有限元方法的基本概念

将介质复杂几何区域离散为具有简单几何形状的单元而单元内的材料性质和控制方程通过单元节点的未知量来进行表达再通过单元集成、外载和约束条件的处理得到方程组求解该

方程组就可以得到该介质行为的近似表达。

有限元法的优点

可以用有限的、相互关联的单元模拟无限的复杂体，无论多么复杂的几何体都能用相应的单元简化，从而建模分析计算出结果。使复杂的、感觉无处下手的工程问题简单化，这是最大的优点。

有限元法采用矩阵形式表达，编程性高

对于线弹性问题当实际结构位移场函数连续光滑时能够得到收敛解。

对于任意复杂结构理论上总是可以通过细分单元的方法获得足够近似的模拟。

长期大量工程应用积累了丰富的经验。

有限元的插值是基于网格的，所以需要人为做好单元，这很耗时间，但是单元就好像人们修了路一样，计算的时候可以节省很多时间，效率比较高。同时，这也是有限元法的一个缺点，大变形问题中的网格畸变问题，本质在于单元插值造成的

缺点：精确度浮动性比较大。基于建模的水平和边界条件、载荷工况的模拟是否真实等等。

数值流形方法简介

由石根华博士提出,在最近几年发展起来的数值流形方法是一种一般的数值方法。这种方法采用有限覆盖体系(一套数学覆盖,一套物理覆盖两者相互独立地定义,但又有一定的依赖关系),特别适合模拟断续介质材料的变形和物体的大位移运动。而以往的有限元方法及非连续变形分析(DDA)可以作为数值流形方法的特殊情况。

数值流形方法具有两套网格,即物理网格和数学网络.物理网格是由分析域的边界、节理、块体及不同材料区域的界面所组成,它是不能人为选择的材料条件.而数学网格可以任意选择,近期研究基本上均采用了有限元网格作为数学网格.数学网格可直接转换为有限数学覆盖;由数学覆盖与物理网络形成物理覆盖系统,而物理覆盖的交集(公共区域)称为流形意义下的单元.数值流形方法是在每个物理覆盖上建立覆盖函数(覆盖位移函数),在几个覆盖的公共区域内(单元),将其上所有覆盖位移函数加权求和即可形成适应于该域的总体位移函数,以此根据总势能变分原理建立求解岩体力学问题(包括一般结构体)的数值流形方法的分析格式.

数值流形方法的特点是:(l)所用有限覆盖系统,可将连续体、节理及块体材料用

这种通用的方法进行计算;(2)由于数学覆盖能够进行移动、分开(分离)和容易地消去和增加,使得通过移动覆盖,逐步计算大变形和移动边值问题(如滑坡问题,节理和块体的运动等).

流形方法具有统一处理不连续介质和连续介质问题的能力,在解决节理、裂隙岩体几何大位移及动力、动静交叉等问题方面有其特点,是一种可用于求解同一系统内不同结构岩体非线性变形尤其是沿弱面产生大位移问题的较好数值方法.

数值流形方法与有限元法数值流形方法与有限元法的根本区别主要有3

个方面:

(l)数值流形方法中覆盖位移函数可以是任意级数形式,而不是常函数,由于这一函数的不同,导致其它方程与有限元法的公式有一定的差异.对于覆盖函数为线性函数的情况,若数学网格采用三角形单元,则在每个单元上未知位移系数为18个,而且这里的基本未知数不再是节点位移,而是单元内总体位移的系数.因而,导致约束条件不再是一种简单地只输入节点位移或赋入零值的形式,而是通过设置约束点弹簧,输入相关单元、节点、已知位移进行计算,以获取约束或已知位移对总体方程的贡献.对于已知的节点荷载也需要经过转换计算等.因此,在处理方式上比有限元复杂,而精度比有限元法要高一些,

(2)接触问题在数值流形方法中,接触理论基本上采用了不连续变形分析法(DDA)中的理论,其中的3个线性不等式为:接触中的物理覆盖不嵌入;接触中的物理覆盖之间无拉伸;接触中的物理覆盖之间滑动摩擦满足库仑摩擦定律.在接触分析中,通过采用法向接触弹簧、切向接触弹簧,摩擦力弹簧来模拟接触状态.既与刚度矩阵有关,又有相应的力的贡献.作者通过一些算例验证发现,各种弹簧刚度的选

择对计算结果影响非常敏感,有时小的变化也可能引起完全相异的结果.这与有限元法在接触问题的处理、公式建立、模拟计算等方面均完全不同;在接触参数的敏感性方面也有较大的差别.

(3)静力问题与动力问题的交融数值流形方法提供了惯性力、速度的计算格式.在静力计算过程中,若有逐渐转化为随时间变化的运动趋势或运动状态,仍可继续分析和模拟,这与静力有限元法的计算格式和动力有限元法的计算方程均不相同.这种方法为岩土工程尤其是边坡工程中遇到的长期蠕滑分析和预测提供了一种较有效的工具和手段.

(l)数值流形方法求解可采用一般求解格式,其关键是要注意接触条件、接触参数,裂隙开、闭的转化及迭代计算.现有资料中关于数值流形的基本方法并没有给出严格的理论及证明,如接触弹簧参数的取值、接触状态变化的模拟问题等,目前的研究对这些问题仍没有给出令人满意的、容易应用的研究成果.

(2)数值流形方法采用时间步长来计算静力学和动力学问题,而且也往往存在着动静转换问题.这种从静力学问题转化到动力学问题,从材料变形转化为刚体位移的转化准则及判定方法仍需在理论上作进一步研究论证.

(3)数值流形方法在分析静力、小变形问题时其未必比有限元先进,其主要优势在于大位移和大变形问题的模拟;而在大位移模拟中,现仅局限于几何大位移问题.虽然材料本身的大变形与几何大位移相比小得多,但在接触面锁住时,材料大变形很可能成为主要变形.

(4)数值流形方法中所涉及的时间问题均是运动问题,流变问题并未涉及.在分析大位移时,特别是不连续体,其蠕滑、材料本身的流变变形也应考虑.另外,自由可动边界的处理、耦合问题等也未见有具体处理的方法.因此,数值流形方法还要做更深入的研究.

(5)岩石力学问题与工程紧密相关,怎样模拟岩土工程的施工过程也是应该值得关注的问题.考虑各种工程因素如开挖、衬砌、锚喷支护等施工活动是分析中必须模拟的过程;各种能量交换和动力问题也是数值流形方法进一步拓宽应用研究的重要方面.