二维形式的柯西不等式大全
二维柯西不等式
变式3:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1, acur urbd ur ur (4)柯西不等式的向量形式 .
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论. 若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
例3 : 求函数y x 1 10 x的最大值.
变式1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
3.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量ar a,b,
r
ur r
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设r
r
, 为平面上的两个向量, 则
ur ur ur ur
二维形式的柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
你能证 明吗？
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式: (1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
| g || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
二维形式的柯西不等式大全
⑵ 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .
另外由这两个结论，你和以前学过的什么知识 会有联想.
根据二维形式的柯西不 等式, 容易得出
a 2 b2 c2 d 2
a
2
b 2 c 2 d 2
变式 2.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 y 2 的最小值. 变式 3.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 2 y 2 的最小值.
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习
课堂练习 1: 已知 a,b R ， a+b=1, x1 , x2 R ,
证
明
根据柯西不等式，有 (a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
反思 在证明不等式时，联系经典不等式， 既可以启发证明思路，又可以简化运算.
例1 已知 a, b 为实数 , 证明
a
4
b
4
a
2
b a b
2 3
3 2
.
分析 虽然 可以作乘法展 开上式的两边 , 然而再比较 它们, 但是如果 注意到这个 不等式的形式与柯西不等 式的一致性 , 就可以避免繁 杂的计算.
证明：因为2x 2 3 y 2 6, 1 4 所以 x 2 y 2 x 3 y 11. 2 3
2 2
因此x 2 y 11.
求特定函数的极值问题
函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值为____________． 【思路分析】 将其配凑成柯西不等式的形式， 然后用它求解， 但要注意等号成立的条件．
柯西不等式
1 x1
x1
x2
2
2
1 x2
x2
2
xn
2
1 xn
xn
2
1 n 1
) x2
2
证明 : ( n 1 ) (
1 x1
1 x2
1 xn x1
2
(1 x 1 1 x 2 1 x n ) ( xn 1 xn
2
1 x1
2 2 2 2 2 2
(1 a 1 1 a 2 1 a n )
2 2 2
2
n(a1 a 2 a n ) (a1 a 2 a n )
1 n (a1 a 2 a n ) a1 a 2 a n
2 2 2 2
2
x 1 y1 2 ( x 1 x 2 y1 y 2 ) x 2 y 2 x 1 2 x1 x 2 x 2 y1 2 y1 y 2 y 2 (x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 )
x 1 y1
2 2
2
2
2
2
2
2
2
x2 y2
构造二次函数 f ( x ) ( a 1 a 2 a n ) x 2 ( a 1 b1 a 2 b 2 a n b n ) x
2 2 2 2
( b1 b 2 b n )
2 2 2
又 f ( x ) ( a 1 x b1 ) ( a 2 x b 2 ) ( a n x b n ) 0
1 x
4 y
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥(ac+ bd ) 2 (a, b, c, d ∈ R) 当且仅当ad = bc时, 等号成立.
( 2) a 2 + b 2 c 2 + d 2 ≥ ac + bd
小结
(3) a 2 + b 2
c 2 + d 2 ≥ ac + bd
利用柯西不等式证明(基础)
1.已知a, b为实数, 证明(a 4 + b 4 )(a 2 + b 2 ) ≥(a 3 + b 3 ) 2 . 1 1 2.设a, b ∈ R+ , a + b = 1,求证 + ≥4. a b 3.设x, y ∈ R, 证明： 2( x 2 + y 2 ) ≥( x + y ) 2 . 4.已知2 x 2 + 3 y 2 ≤6, 求证：x + 2 y ≤ 11. 5.已知a + b = 1, 求证： a cosθ + b sin θ ≤1.
y3 ) 2 + ( x2 y2 ) 2
柯西不等式
(Cauchy inequality)
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式
定理1:(二维形式的柯西不等式)
若a, b, c, d都是实数, 则(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥(ac+ bd) 2 当且仅当ad = bc时, 等号成立 .
证明思路1：(代数证法)
证明: (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = a 2c 2 + b 2 d 2 + a 2 d 2 + b 2c 2 = (ac+ bd) 2 + (ad bc) 2 ≥(ac+ bd) 2
二维形式的柯西不等式
06
二维形式的柯西不等式的拓 展与推广
向高维空间的拓展
高维柯西不等式
对于任意两个n维向量a和b，有 (a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+... +bn^2) ≥ (a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当 且仅当a和b线性相关时取等号。
几何意义
高维柯西不等式在几何上可以理解为两个高 维向量长度的乘积大于等于它们内积的平方。
与其他数学分支的联系与应用
01
线性代数中的应用
柯西不等式在线性代数中可用于证明矩阵的正定性、求解特征值问题等。
02 03
概率论与数理统计中的应用
在概率论与数理统计中，柯西不等式可用于证明某些概率不等式、求解 某些统计量的界等。例如，利用柯西不等式可以证明切比雪夫不等式、 马尔可夫不等式等。
分析学中的应用
柯西不等式二维形式的几何意义
柯西不等式的二维形式可以看作是平面中两个向量的模长之积与它们的内积的 平方之间的关系。当且仅当两个向量共线时，等号成立。
柯西不等式二维形式的性质
• 性质一：正定性。当$a_1, a_2$和$b_1, b_2$均不为零时，柯西不等式的左边 总是大于零，即$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) > 0$。
04
二维形式的柯西不等式在几 何中的应用
在三角形中的应用
面积估计
通过二维形式的柯西不等式，可以对 三角形的面积进行估计，得到面积的 上界和下界。
边长关系
式关系， 如两边之和大于第三边等。
在平行四边形中的应用
对角线性质
二维形式的柯西不等式可用于研究平行四边形的对角线性质，如对角线长度与边 长之间的关系。
二维形式的柯西不等式
变式: 已知a, b∈R,证明（a + b )(a + b ) ≥ (a b + ab )
4 4 2 2 2
2 2
1 1 例2 : 设a, b ∈ R , a + b = 1, 求证 + ≥ 4 a b
+
变式 ：若a>b>c 求证：
1 1 4 + ≥ a−b b−c a−c
bd )
（ ×）
若加上条件a, b, c, d为非负实数？
推论： 推论：
1. a + b ⋅ c + d ≥ ac + bd
2 2 2 2 2 2 2 2
（ad = bc)
| 2. a + b ⋅ c + d ≥ ac | + | bd （ad| = |bc|)
3.( a + b ) ⋅ (c + d ) ≥ ( ac + bd ) （ad = bc) ( a , b, c, d为非负实数）
2
( a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd )
2 2 2 2
2
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
r 如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量a = (a, b ), r r β = (c, d ), α 与β 之间的夹角为θ .
y
β
θ
r
α
r
O
x
( a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd )
例3 : 求函数y = x − 1 + 10 − x的最大值.
变式1 :求函数y = 5 x − 1 + 10 − 2 x的最大值
二维形式的柯西不等式 课件
又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，
( p q)2
( p q)2
∴ 2 ≤p2＋q2≤ 2 p＋q，∴ 2 ≤ 2· p＋q，则(p＋q)4≤8(p＋q)．
又 p＋q>0，∴(p＋q)3≤8，故 p＋q≤2.
使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量． 同时，要注意向量模的计算公式|a|＝ x2＋y2对数学式子变形的影响．
1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配 凑，保证出现常数结果． 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适 当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．
2．若 3x＋4y＝2，试求 x2＋y2 的最小值及最小值点.
【解】 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得 25(x2＋y2)≥4.
【证明】 根据柯西不等式，有
[(2－a)＋(2－b)]2－a2 a＋2－b2 b＝[(
2－a)2＋(2－b)源自]2a－a2＋b2
2－b
≥
2－a· 2a－a＋
2－b· 2b－b2＝(a＋b)2＝4.
∴2－a2a＋2－b2b≥2－a＋4 2－b＝2，
当且仅当 2－a· 2b－b＝ 2－b· 2a－a，
二维形式的柯西不等式
教材整理 二维形式的柯西不等式
内容
等号成立的条件
代数形式
若 a，b，c，d 都是实数，则(a2 当且仅当 ad＝bc 时，等号成立
＋b2)·(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2
向量形式 三角形式
设 α ， β 是 两 个 向 量 ， 则 当且仅当 β是零向量 ，或 存在实数k，
题型二、运用柯西不等式求最值
二维形式的柯西不等式
而f (t ) = (at − c) + (bt − d )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
= (a t − 2act + c ) + (b t − 2bdt + d ) = (a + b )t − 2(ac + bd )t + (c + d )
2 2
因为t取任何实数都有 因为 取任何实数都有f(t)≥0，故有 中的 取任何实数都有 ，故有f(t)中的 判别式必是非正数。 判别式必是非正数。即
的最大值. 变式 3.已知 4 x 2 + 9 y 2 = 36 ,求 x + 6 y 的最大值.
作业： 作业： 上交作业： 上交作业：书P36 ，T1，T3，T4，T5 ， ， ， 作业本： 作业本：P57 T1—T8
2 2 2 2
上面两个不等式等号何时取到
二、二维柯西不等式应用
例1 已知a , b为实数 , 证明(a + b )(a + b ) ≥ (a + b )
4 4 2 2 3
3 2
变式1: a, b ∈ R + ,证明 (a + b)(a 2 + b 2 ) ≥ a a + b b 变式2: a, b ∈ R ,证明 (a + b)(a + b ) ≥ b a + a b
4(ac + bd ) − 4(a + b ) ⋅ (c + d ) ≤ 0
2 2 2 2 2
即(a + b ) ⋅ (c + d ) ≥ (ac + bd )
2 2 2 2
2
证法三:构造向量法 证法三 构造向量法
二维形式的柯西不等式大全(课堂PPT)
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
时,等号成立.
ur
ur
注：若 ( x1, y1)， ( x2, y2 ) ，则
ur ur
cos ,
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
8
三角不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
11
反思 在证明不等式时，联系经典不等式，既 可以启发证明思路，又可以简化运算.
12
例1 已 知 a,b为 实,证 数明 本例说明 , 在证明
a4b4
a2b2
a3b3
2
.
不等式时
, 联系经
分析 虽然 可以作乘 法展
典不等式
, 既可以
开上式的两边 ,然而再比较 它们 ,但是如果 注意到这个 不等式的 形式与柯西不等
你能简明地写出这个定理的证明？
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 思考:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 .
ab
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
思考解答
变形
• 定理1:(二维二形式维的形柯式西的不等柯式西) 不等式
二维形式的柯西不等式CP
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
设f ( x) x , p, q 0,且p q 1,求证： pf ( x1 ) qf ( x2 ) f ( px1 qx2 )
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
分析：我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆，9=1 1 12 ，
x2 x3
x3
L
xn1 xn
xn
xn x1
x1
x1 x2 L xn 2 ,
于是
x12 x2
x22 x3
L
x2 n1 xn
xn2 x1
≥
x1
x2 L
xn
.
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
一 二维形式的 柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）: 若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
柯西不等式及应用
柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+(,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；2(3)()()a b c d ++≥(,,,0)a b c d ≥，当且仅当ad bc =时取等号；三、n 维形式的柯西不等式：设,(1,2,3,)i i a b i n = 为实数，则22212()n a a a +++ 22212()n b b b +++ 21122()n n a b a b a b ≥+++ ，当且仅当0(1,2,3,)i b i n == 或存在一个实数k ，使得(1,2,3,)i i a kb i n == 时等号成立。
四、二维形式的柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤ ，当且仅当0β= 或存在实数k ，使k αβ= 时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知0,1a b ≤≤且1，求证：221a b +=.2、解方程（组）：12(1)x x =++.3、求最值（范围）:若实数x ，y ，z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值.4、证明不等式:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明： 2223333a b c a b c ++++≥.六、巩固练习：1.已知22223102x y z ++=，则32x y z ++的最小值为 .2. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，则a 的最大值为 ，最小值为 .3．在实数集内方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的解为 . 4.设❒ABC 之三边长x ，y ，z 满足20x y z -+=及320x y z +-=，则❒ABC 的最大角的大小是 .5.设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为 ,此时=b .6.设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 .7.空间二向量(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知b = a b ⋅ 的最大值为 ,此时b = .8.设a 、b 、c 为正数，则4936()()a b c a b c++++的最小值为 .9.设x ，y ，z ∈ R ，且满足2225x y z ++=，则23x y z ++之最大值为 ，此时(x ，y ，z) = .10.设,,x y z R ∈，22225x y z ++=，则22x y z -+的最大值为 ，最小值为 .11.设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，则222z y x ++之最小值为 .12.,,x y z R ∈，226x y z --=，则222x y z ++的最小值为 ，此时x = ，y = ，z = .13.设,,x y z R ∈，2280x y z +++=，则222(1)(2)(3)x y z -+++-之最小值为 .14.设,,x y z R ∈，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为 ，又此时=y15.设,,a b c R +∈且a + b + c = 9，则cb a 1694++之最小值为 . 16.设,,a bc R +∈，且232=++c b a ，则c b a 321++之最小值为 ，此时=a . 17.空间中一向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为,,αβγ，则γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值为 .18.空间中一向量a 的方向角分别为,,αβγ，则22292516sin sin sin αβγ++的最小值为 . 19.设,,x y z R ∈，若4)2()1(222=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为 ；又z y x 23--取最小值时，=x20.设,,x y z R ∈且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x y z ++之最大值为 ，最小值为 .21.求2sin sin cos cos θθϕθϕ-的最大值与最小值.22.设a 、b 、c 为正数且各不相等。
二维柯西不等式
二维柯西不等式
二维柯西不等式是数学中一条重要的不等式，它是柯西不等式在二维空间中的推广。
根据二维柯西不等式，对于任意给定的两个函数f(x,y)和g(x,y)，在某个定义域上成立的情况下，有以下不等式关系：
[D] (f(x,y))^2 dA * [D] (g(x,y))^2 dA ≥ ([D] f(x,y)g(x,y) dA)^2
其中，D表示定义域，dA表示面积元素。
该不等式描述了两个函数的平方积与乘积的平方之间的关系。
二维柯西不等式可以用于证明其他数学定理，例如，利用该不等式可以推导出二维傅里叶级数的收敛性。
在实际应用中，二维柯西不等式也常用于证明矩阵的正定性或半正定性等性质。
拓展：柯西不等式是一种广泛应用于数学和物理学中的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出的。
柯西不等式
描述了两个向量之间的内积与它们各自的模的乘积之间的关系。
在n维空间中，柯西不等式可以推广为：
|u, v| ≤ ||u|| ||v||，
其中u和v是n维向量，u, v表示其内积，||u||和||v||分别表示两个向量的模。
柯西不等式的重要性在于它提供了衡量向量之间夹角大小的一种方法。
当两个向量的内积为零时，它们被称为正交向量，此时两个向量互相垂直。
而当两个向量的内积为正时，它们的夹角为锐角；当内积为负时，夹角为钝角。
柯西不等式在函数空间中也有广泛应用，例如在泛函分析中，它用于证明内积空间的完备性与可分性。
此外，柯西不等式也是概率论中的重要工具，用于证明随机变量之间的独立性以及其他概率性质。
柯西不等式学生版
柯西不等式一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++222222222222222)()(bd)(ac ))((:bd ac bc ad c b d a d b c a d c b a +≥-++=+++=++证明二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++ 三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαββαβαk k =≤⋅借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
基本方法 （1）巧拆常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++（3）改变结构：例3、若a >b >c 求证：c a c b b a -≥-+-411 （4）添项： 例4：+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为________；此时=b ________。
人教A版数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》 （共15张PPT）课件
2
+ −
2
.
分析:平方 → 应用柯西不等式
.
2
+ 2
2
+ 2
2
证明：∵
+
= 2 + 2 + 2 2 + 2 • 2 + 2 + 2 + 2
≥ 2 + 2 + 2| + | + 2 + 2
≥ 2 + 2 − 2( + ) + 2 + 2
.
二、讲授新课：
1. 二维形式的柯西不等式：
定理1 (二维形式的柯西不等式
) 若a , b, c , d都是
实数, 则 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
当且仅当ad bc时, 等号成立.
你能简明地写出这个定理的其它证明？
∵(a2+b2)(c2+d2)
当且仅当ad bc时, 等号成立.
( 2) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
( 3) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .当且仅当
是零向量, 或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
证明：
= a2c2+b2d2+a2d2+ b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
∵(ad-bc)2≥0,
∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(1)
当且仅当ad=bc时，等号成立.
）
二维形式的柯西不等式的变式:
二维形式的柯西不等式课件
（x1－x2）2＋（y1－y2）2 ，
(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．
[问题思考]
1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等 号的条件可以写成ba＝dc吗？
提示：不可以．当 b·d＝0 时，柯西不等式成 立，但a＝c不成立．
bd
2 ． 不 等 式 x12＋y21 ＋ x22＋y22 ≥ （x1－x2）2＋（y1－y2）2
≤ 2[（ab＋cd）2＋（bc－ad）2]＋ （b2＋a2）（c2＋d2）
＝ 2· （a2＋c2）（b2＋d2）＋ （a2＋b2）（c2＋d2）
≤ 2·（a2＋c2）＋2 （b2＋d2）＋（a2＋b2）＋2 （c2＋d2）
＝
22＋1(a2＋b2＋c2＋d2)．∴aa2＋b＋b22＋bcc＋2＋cdd2≤
[精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用．解 答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等 式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式：
a2＋b2· 12＋12≥a＋b，
即 2· a2＋b2≥a＋b， 同理： 2· b2＋c2≥b＋c， 2· a2＋c2≥a＋c， 将上面三个同向不等式相加得：
2( a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2)≥2(a＋b＋c)， ∴ a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2·(a＋b＋c)．
2＋1 2.
若 3x＋4y＝2，求 x2＋y2 的最小值．
[精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用．解答本题 需要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构， 然后利用柯西不等式求最值．由柯西不等式得
(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2， 25(x2＋y2)≥4，所以 x2＋y2≥245.
当且仅当x3＝4y时等号成立， 由3x3＝x＋y4.4y＝2，得yx＝＝228655.， 因此，当 x＝265，y＝285时， x2＋y2 取得最小值，最小值为先变形凑成柯西不 等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；
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课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
例1 已知a,b为实数 , 证明
a4 b4
a2 b2
a3 b3
2
.
分析 虽然可以作乘法展
开上式的两边,然而再比较 它们, 但是如果注意到这个 不等式的形式与柯西不等 式 的 一 致 性, 就 可 以 避 免 繁 杂的计算.
证明 根据柯西不等式,有
a4 b4 a2 b2
a2 a b2 b 2
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1,即2x 3 y时取等号.
由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
2
46
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值. 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值.
祝您成功！
证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd)2
证明思路2：(构造向量法) 什么时候“=”成立？
设 (a,b), (c, d ),则 a2 b2 , c2 d 2 ,
ac bd,利用 ,两边平方后得证.
2.已知2x2 3 y2 6,求证x 2 y 11.
证明：因为2x2 3 y2 6,
所以 x 2 y
2x2 3y2
1 2
4 3
11.
因此x 2 y 11.
3.已知x,
y,a,b
R ,且
a x
b y
1,
求x
y的最小值.
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
P1 (x1 , y1 )
y
P1(x1, y1)
证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 =ax1 bx2 ax2 bx1
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
作业:课本 P37 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
知识回顾 Knowledge Review
a2 b2 c2 d 2 | ac bd | , a2 b2 c2 d 2 | ac | | bd | .
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
( a b )2
a x
2
b y
2
当 且 仅 当 x b y a ,即 x a 时 取 等 号.
y
xy b
( x y)min ( a b )2
4.若2x 3y 1,求4x2 9 Байду номын сангаас2的最小值 ,并求最小值点 .
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
| y1 - y2 |
O
P2 (x2 , y2 )
x
这个图中有什么
不等关系?
O
P2 (x2 , y2 )
| x1 - x2 |
x
随堂练习
1.求函数y 3 x 5 4 6 x的最大值.
解：函数定义域为5，6，且y 0.
y 3 x54 6 x
32 42 x 5 6 x 5.
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
这两个结论也是非常有用的.
探究一
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设a,b, c, d都是实数,则比较 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2大小
联想
二维形式的柯西不等式
• 定理1:(二维形式的柯西不等式) 若a,b, c, d都是实数,则(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2 当且仅当ad bc时,等号成立. 证明思路1：(代数证法)
定理 2(柯西不等式的向量形式)
若 , 是两个向量,则 ≥ .
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立.
根据二维形式的柯西不等式, 容易得出
a2 b2 c2 d 2 a2 b2 c2 d 2
ac bd2 | ac bd |,
a2 b2 c2 d 2 | a |2 | b |2 | c |2 | d |2 | a || c | | b || d || ac | | bd |. 所以,对于任何实数a,b, c, d,以下不等式成立:
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
a3 b3
2
.
本例说明, 在证明 不等式时, 联系经 典不等式,既可以 启发证明思路,又 可以简化运算.所 以, 经 典 不 等 式 是 数学研究的有力 工具.
例1中 哪4 个 数分
别对应柯西不等 式①中 的a,b, c, d ?
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
二维形式的柯西不等式
一、复习引入
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.