二维形式的柯西不等式.ppt

证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
变式1：若2x 3y 1,求4x2 9y2的最小值.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3y)2 1,
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
4．一般形式的柯西不等式
定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则 (_a_21_＋__a_22＋__…__＋__a_2n_)_(b_21_＋__b_22＋__…__＋__b_2n_)_≥__(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__…__＋__a_n_b_n)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
2.1 二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典Baidu Nhomakorabea等式.
如均值不等式:
a1
a2
L n
an
≥n
a1a2 L
an (ai
R ,i
1, 2 ,L
, n) .
本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式:柯 西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，感 受数学的美妙，提高数学素养.
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思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习：P36 第1，3，4
课外思考:
已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 .
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
练习2 设a 0,b 0,且a b 1,求证：2a 1 b 1 22
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变形，使之出现
条件中的表达式或表达式的倍数
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3y 1,即2x 3y时取等号.
由22xx
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为 1 2
例2.求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
变形，使之出现常数
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
这两个结论也是非常有用的.
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 2 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值. 36
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明吗？
思考解答
变形
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理： 若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
例1：已知a,b为实数，求证
(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3)2
分清（找准）a,b,c,d
练习 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab