二维形式的柯西不等式.ppt
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3.1二维形式的柯西不等式 课件人教版选修4-5
2
| m n || m | | n |
ac bd a b c d
2 2 2 2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
y
P1(x1,y1)
(a b) (c d ) ( ac bd ) (a, b, c, d为非负实数）。
2
向量形式： m (a, b), n (c, d )
m n | m | | n | cos m n ac bd | m | | n | a b
2 2 2
c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么 1 2 1 2
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y 11 2.已知a b 1,
2 2
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
| m n || m | | n |
ac bd a b c d
2 2 2 2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
y
P1(x1,y1)
(a b) (c d ) ( ac bd ) (a, b, c, d为非负实数）。
2
向量形式： m (a, b), n (c, d )
m n | m | | n | cos m n ac bd | m | | n | a b
2 2 2
c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么 1 2 1 2
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y 11 2.已知a b 1,
2 2
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
(3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
2 2 2 2
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2
2
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)
【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解 的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当 添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解， 这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目 的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一 致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不 等式的方法也是常用技巧之一．
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：(ax＋by)2 ≤ax2＋by2. 证明：设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝ （ ax）2＋（ by）2· （ a）2＋（ b）2 ＝ ax2＋by2· a＋b ＝ ax2＋by2， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋( 2a)2][12＋( b)2]≥(1＋ 2ab)2， 当且仅当 a＝1，b＝2 时取等号． 因为 ab＝2， 所以(1＋ 2ab)2＝9， 所以(1＋2a)(1＋b)≥9.
3.1 二维形式的柯西不等式 课件(人教A选修4-5)
柯西不等式在求最值中的应用是考试的热点.2012年 郑州模拟以解答题的形式考查了柯西不等式在求最值中的 应用，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 郑州模拟)已知实数a、b、c、d满足a2＋b2＝1，c2＋ d2＝2，求ac＋bd的最大值．
[命题立意]
[பைடு நூலகம்]
本题考查柯西不等式在求最值中的应用．
[研一题] [例3] 若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值． [精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用． 解答本题需
要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后 利用柯西不等式求最值． 由柯西不等式 (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2 得 4 25(x ＋y )≥4，所以 x ＋y ≥ . 25
[通一类] 3．如何把一条长为m的绳子截成3段，各围成一个正方 形，使这3个正方形的面积和最小？ 解：设这 3 段的长度分别为 x，y，z，则 x＋y＋z＝m，且 3 个
正方形的面积和 x2 y2 z2 1 2 2 2 S＝( ) ＋( ) ＋( ) ＝ (x ＋y ＋z )． 4 4 4 16 因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝m2， m 等号当且仅当 x＝y＝z＝ 时成立，所以 x2＋y2＋z2 有最小值 3 m2 m2 ，从而 S 有最小值 . 3 48 把绳子三等分后，这 3 段所围成的 3 个正方形的面积和最小．
a c 提示：不可以．当 b· d＝0 时，柯西不等式成立，但b＝d不 成立．
2 2．不等式 x2＋y2＋ x2＋y2≥ x1－x22＋y1－y22 1 1 2
(x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？
提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线， 且P1，P2在原点两旁时，等号成立．
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
证 | | | || |co s | | | || co s | | | | | | |, 即 | | | | | |
2
2
(x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 )
2
2
作业 补充:
1.求 函 数 y 2 1 x 2 x 1的 最 大 值 .
2.已 知 x , y , z R , 且 x y z 8, x y z
2 2 2
24, 求 证 : 4 3 y 4,
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 为 平 面 上 的 两 个 向 量 ,则 | | | || | 其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
2 2
小结:
(1 ) 二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 ( a b )( c d ) ( a c b d )
2 2 2 2 2
(a , b, c , d R )
当 且 仅 当 a d b c时 , 等 号 成 立 .
(2) a
2
b
2
c
2
d
2
ac bd
(3) a b
2
2
(4 ) 柯 西 不 等 式 的 向 量 形 式 .
c d
2
2
ac bd
5.4二维形式的柯西不等式1 课件(人教A版选修4-5)
2
2 a b c a b b c c a 这 样就 给我 们利 用柯 西不等式提供了条件。证明： 1 1 1 1 1 1 2a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca 1 2 1 2 1 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a
2 2
2 2
x x x x2 ≥ x1 x2 xn x2 x3 xn x1 （1984 年全国高中数学联赛题）
作业:课本 P 习题 3.1 第 1、3、7、8 题 37
2 1
2
2 n 1
2 n
已知 a 1 b2 b 1 a 2 1, 求证： a 2 b2 1 。 证明：由柯西不等式，得 2 2 a 2 1 a 2 b2 1 b 2 1 a 1 b b 1 a ≤
1 1 1 2 ≥ a b bc ca 1 1 1 9 ab bc ca 2 2 2 9 ≥ ab bc ca abc a,b,c 各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。
x1 x2 xn ,
2
2 2 2 xn1 xn x1 x22 于是 ≥ x1 x2 xn . x2 x3 xn x1
课堂练习
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
2 a b c a b b c c a 这 样就 给我 们利 用柯 西不等式提供了条件。证明： 1 1 1 1 1 1 2a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca 1 2 1 2 1 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a
2 2
2 2
x x x x2 ≥ x1 x2 xn x2 x3 xn x1 （1984 年全国高中数学联赛题）
作业:课本 P 习题 3.1 第 1、3、7、8 题 37
2 1
2
2 n 1
2 n
已知 a 1 b2 b 1 a 2 1, 求证： a 2 b2 1 。 证明：由柯西不等式，得 2 2 a 2 1 a 2 b2 1 b 2 1 a 1 b b 1 a ≤
1 1 1 2 ≥ a b bc ca 1 1 1 9 ab bc ca 2 2 2 9 ≥ ab bc ca abc a,b,c 各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。
x1 x2 xn ,
2
2 2 2 xn1 xn x1 x22 于是 ≥ x1 x2 xn . x2 x3 xn x1
课堂练习
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
Hale Waihona Puke 例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2
向量形式：
设 (a, b), (c, d ) 2 2 2 2 则 | | a b , | | c d ac bd 柯西不等式可化为: | | | || |
2 2
等号当且仅当 - 与 - 同向时成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 (a , b, c , d R ) 当且仅当ad bc时,等号成立.
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
2 2
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a, b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd
( 3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || | 其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a, b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd
( 3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || | 其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
二维形式的柯西不等式课件
二维形式的柯西不等式
在平面直角坐标系中，设点P1、P2的坐标分别是(x1、y1)、(x2、 y2)，根据△OP1P2的边长关系，你能发现x1、y1、x2、y2这四个 实数蕴涵着何种大小关系吗？
1. 二维形式的柯西不等式 (1)若a、b、c、d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥__(_a_c_＋__b_d_)_2 __，当且仅当 __a_d_＝__b_c___时，等号成立.
思考运用：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写 成ab＝dc吗？
提示：不可以. 当b·d＝0时，柯西不等式成立，但ab＝dc不成立.
● 特别关注： ● 1. 柯西不等式三种形式的关系 ● 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看
作是柯西不等式的向量形式的坐标表示. ● 2. 理解并记忆三种形式取“＝”的条件 ● (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号. ● (2)向量形式中当α＝kβ或β＝0时取等号. ● (3)三角形式中当P1(x1、y1)、P2(x2、y2)、O(0、0)三点共线且P1、P2在原点O两旁时取等号.
[解析] 令α＝( a＋12， b＋13)，β＝( 2，1)，则|α·β|＝ 2a＋1＋
而|α|＝ a＋12＋b＋13＝ 161，
又|β|＝ 3，所以|α||β|＝ 222，
由|α·β|≤|α||β|，得 2a＋1＋
b＋13≤
22 2.
b＋13.
● [方法技巧] 应用二维形式柯西不等式向量形式求最值及证明不等式的技巧
上述不等式中，当且、β是两个向量，则|α·β|≤______|α_|_|β_|__，当且仅当β是___零__向__量___，或存 在实数k，使α＝kβ时，等号成立. 3. 二维形式的三角不等式 (1) x12＋y21＋ x22＋y22≥____x_1_－__x2__2＋___y_1_－__y_2_2__(x1、y1、x2、y2∈R)； (2)推论： x1－x32＋y1－y32＋ x2－x32＋y2－y32 ≥_______x_1－__x_2_2_＋___y_1－__y_2__2 ________________(x1、x2、x3、y1、y2、y3∈R).
在平面直角坐标系中，设点P1、P2的坐标分别是(x1、y1)、(x2、 y2)，根据△OP1P2的边长关系，你能发现x1、y1、x2、y2这四个 实数蕴涵着何种大小关系吗？
1. 二维形式的柯西不等式 (1)若a、b、c、d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥__(_a_c_＋__b_d_)_2 __，当且仅当 __a_d_＝__b_c___时，等号成立.
思考运用：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写 成ab＝dc吗？
提示：不可以. 当b·d＝0时，柯西不等式成立，但ab＝dc不成立.
● 特别关注： ● 1. 柯西不等式三种形式的关系 ● 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看
作是柯西不等式的向量形式的坐标表示. ● 2. 理解并记忆三种形式取“＝”的条件 ● (1)代数形式中当且仅当ad＝bc时取等号. ● (2)向量形式中当α＝kβ或β＝0时取等号. ● (3)三角形式中当P1(x1、y1)、P2(x2、y2)、O(0、0)三点共线且P1、P2在原点O两旁时取等号.
[解析] 令α＝( a＋12， b＋13)，β＝( 2，1)，则|α·β|＝ 2a＋1＋
而|α|＝ a＋12＋b＋13＝ 161，
又|β|＝ 3，所以|α||β|＝ 222，
由|α·β|≤|α||β|，得 2a＋1＋
b＋13≤
22 2.
b＋13.
● [方法技巧] 应用二维形式柯西不等式向量形式求最值及证明不等式的技巧
上述不等式中，当且、β是两个向量，则|α·β|≤______|α_|_|β_|__，当且仅当β是___零__向__量___，或存 在实数k，使α＝kβ时，等号成立. 3. 二维形式的三角不等式 (1) x12＋y21＋ x22＋y22≥____x_1_－__x2__2＋___y_1_－__y_2_2__(x1、y1、x2、y2∈R)； (2)推论： x1－x32＋y1－y32＋ x2－x32＋y2－y32 ≥_______x_1－__x_2_2_＋___y_1－__y_2__2 ________________(x1、x2、x3、y1、y2、y3∈R).
人教A版数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》 （共15张PPT）课件
2
+ −
2
.
分析:平方 → 应用柯西不等式
.
2
+ 2
2
+ 2
2
证明：∵
+
= 2 + 2 + 2 2 + 2 • 2 + 2 + 2 + 2
≥ 2 + 2 + 2| + | + 2 + 2
≥ 2 + 2 − 2( + ) + 2 + 2
.
二、讲授新课：
1. 二维形式的柯西不等式：
定理1 (二维形式的柯西不等式
) 若a , b, c , d都是
实数, 则 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
当且仅当ad bc时, 等号成立.
你能简明地写出这个定理的其它证明？
∵(a2+b2)(c2+d2)
当且仅当ad bc时, 等号成立.
( 2) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
( 3) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .当且仅当
是零向量, 或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
证明：
= a2c2+b2d2+a2d2+ b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
∵(ad-bc)2≥0,
∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(1)
当且仅当ad=bc时，等号成立.
）
二维形式的柯西不等式的变式:
二维形式的柯西不等式课件
x21＋y21＋ x22＋y22≥____x1_－__x_2_2_＋___y1_－__y_2_2__. 推论：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3 为任意实数，则
x1－x22＋y1－y22
＋
≥____x_1－__x_3_2_＋___y_1－__y_3_2_.
x2－x32＋y2－y32
利用柯西不等式证明不等式
【例1】 证明：(x2＋y4)(a4＋b2)≥(a2x＋by2)2. 【解题探究】 虽然可以作乘法展开上式的两边，然后再 进行比较，但是如果注意到这个不等式的形式与柯西不等式的 一致性，就可简化计算． 【解析】根据柯西不等式 ，有(x2＋y4)(a4＋b2)≥(x·a2＋ y2·b)2＝(a2x＋by2)2.(当且仅当xb＝y2a2时取等号)
2．在柯西不等式的应用过程中，常常需要对式子的结构 进行适当的拼凑或变形，构造与柯西不a，b，c，d很重要．
3．有些问题既可用柯西不等式，也可用基本不等式来解 决，需要分清两种不等式的结构特点．
二维形式的柯西不等式
1．定理1：(二维形式的柯西不等式)设a，b，c，d均为实 数，则：
(a2＋b2)(c2＋d2)≥_(_a_c＋__b_d_)_2， 其中等号当且仅当__a_d_＝__b_c_时成立．
推论： ① a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当___a_d_＝__b_c___时，等 号成立)． ②(a＋b)(c＋d)≥___(__a_c_＋___b_d_)_2__(a，b，c，d∈R＋)(当且 仅当___a_d_＝__b_c___时，等号成立)． ③ a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当__|_a_d_|＝__|_b_c|___时， 等号成立)．
【解析】函数的定义域为[1,5]且 y＞0， y＝5× x－1＋ 2× 5－x ≤ 52＋ 22× x－12＋ 5－x2＝6 3. 当且仅当 2× x－1＝5× 5－x时，等号成立，即 x＝12277 时，函数取最大值 6 3.
x1－x22＋y1－y22
＋
≥____x_1－__x_3_2_＋___y_1－__y_3_2_.
x2－x32＋y2－y32
利用柯西不等式证明不等式
【例1】 证明：(x2＋y4)(a4＋b2)≥(a2x＋by2)2. 【解题探究】 虽然可以作乘法展开上式的两边，然后再 进行比较，但是如果注意到这个不等式的形式与柯西不等式的 一致性，就可简化计算． 【解析】根据柯西不等式 ，有(x2＋y4)(a4＋b2)≥(x·a2＋ y2·b)2＝(a2x＋by2)2.(当且仅当xb＝y2a2时取等号)
2．在柯西不等式的应用过程中，常常需要对式子的结构 进行适当的拼凑或变形，构造与柯西不a，b，c，d很重要．
3．有些问题既可用柯西不等式，也可用基本不等式来解 决，需要分清两种不等式的结构特点．
二维形式的柯西不等式
1．定理1：(二维形式的柯西不等式)设a，b，c，d均为实 数，则：
(a2＋b2)(c2＋d2)≥_(_a_c＋__b_d_)_2， 其中等号当且仅当__a_d_＝__b_c_时成立．
推论： ① a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当___a_d_＝__b_c___时，等 号成立)． ②(a＋b)(c＋d)≥___(__a_c_＋___b_d_)_2__(a，b，c，d∈R＋)(当且 仅当___a_d_＝__b_c___时，等号成立)． ③ a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当__|_a_d_|＝__|_b_c|___时， 等号成立)．
【解析】函数的定义域为[1,5]且 y＞0， y＝5× x－1＋ 2× 5－x ≤ 52＋ 22× x－12＋ 5－x2＝6 3. 当且仅当 2× x－1＝5× 5－x时，等号成立，即 x＝12277 时，函数取最大值 6 3.
二维形式的柯西不等式 课件
又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，
( p q)2
( p q)2
∴ 2 ≤p2＋q2≤ 2 p＋q，∴ 2 ≤ 2· p＋q，则(p＋q)4≤8(p＋q)．
又 p＋q>0，∴(p＋q)3≤8，故 p＋q≤2.
使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量． 同时，要注意向量模的计算公式|a|＝ x2＋y2对数学式子变形的影响．
1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配 凑，保证出现常数结果． 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适 当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．
2．若 3x＋4y＝2，试求 x2＋y2 的最小值及最小值点.
【解】 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得 25(x2＋y2)≥4.
【证明】 根据柯西不等式，有
[(2－a)＋(2－b)]2－a2 a＋2－b2 b＝[(
2－a)2＋(2－b)源自]2a－a2＋b2
2－b
≥
2－a· 2a－a＋
2－b· 2b－b2＝(a＋b)2＝4.
∴2－a2a＋2－b2b≥2－a＋4 2－b＝2，
当且仅当 2－a· 2b－b＝ 2－b· 2a－a，
二维形式的柯西不等式
教材整理 二维形式的柯西不等式
内容
等号成立的条件
代数形式
若 a，b，c，d 都是实数，则(a2 当且仅当 ad＝bc 时，等号成立
＋b2)·(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2
向量形式 三角形式
设 α ， β 是 两 个 向 量 ， 则 当且仅当 β是零向量 ，或 存在实数k，
题型二、运用柯西不等式求最值
人教A版高中数学选修45课件：第三讲 3.1二维形式的柯西不等式(共56张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 4:10:19 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of uccess. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 4:10:19 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
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2.1 二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1
a2
L n
anLeabharlann ≥na1a2 Lan (ai
R ,i
1, 2 ,L
, n) .
本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式:柯 西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，感 受数学的美妙，提高数学素养.
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
变式1：若2x 3y 1,求4x2 9y2的最小值.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3y)2 1,
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
4．一般形式的柯西不等式
定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则 (_a_21_＋__a_22＋__…__＋__a_2n_)_(b_21_＋__b_22＋__…__＋__b_2n_)_≥__(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__…__＋__a_n_b_n)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
例1：已知a,b为实数，求证
(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3)2
分清（找准）a,b,c,d
练习 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
11
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习：P36 第1，3，4
课外思考:
已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 .
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明吗？
思考解答
变形
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理： 若a,b,c,d都是实数,则
这两个结论也是非常有用的.
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 2 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值. 36
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
练习2 设a 0,b 0,且a b 1,求证：2a 1 b 1 22
32
变形，使之出现
条件中的表达式或表达式的倍数
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3y 1,即2x 3y时取等号.
由22xx
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为 1 2
例2.求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
变形，使之出现常数
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1
a2
L n
anLeabharlann ≥na1a2 Lan (ai
R ,i
1, 2 ,L
, n) .
本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式:柯 西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，感 受数学的美妙，提高数学素养.
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
变式1：若2x 3y 1,求4x2 9y2的最小值.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3y)2 1,
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
4．一般形式的柯西不等式
定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则 (_a_21_＋__a_22＋__…__＋__a_2n_)_(b_21_＋__b_22＋__…__＋__b_2n_)_≥__(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__…__＋__a_n_b_n)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
例1：已知a,b为实数，求证
(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3)2
分清（找准）a,b,c,d
练习 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
11
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习：P36 第1，3，4
课外思考:
已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 .
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明吗？
思考解答
变形
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理： 若a,b,c,d都是实数,则
这两个结论也是非常有用的.
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 2 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值. 36
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
练习2 设a 0,b 0,且a b 1,求证：2a 1 b 1 22
32
变形，使之出现
条件中的表达式或表达式的倍数
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3y 1,即2x 3y时取等号.
由22xx
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为 1 2
例2.求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
变形，使之出现常数