《一般形式的柯西不等式》课件 (共14张PPT)
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高中数学第二章几何重要的不等式212一般形式的柯西不等式课件北师大版选修4
取到．
第23页
题型三 柯西不等式的综合应用 例 4 (2015·福建)已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x －b|＋c 的最小值为 4. (1)求 a＋b＋c 的值； (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
第24页
【解析】 (1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，
第11页
思考题 1 若 x，y，z∈R＋，且 x2＋y2＋z2＝1，求证：0<xy ＋yz＋zx≤1.
【证明】 (x2＋y2＋z2)(y2＋z2＋x2)≥(xy＋yz＋zx)2，即 1≥(xy ＋yz＋zx)2，又 x，y，z∈R＋，∴0<xy＋yz＋zx≤1.
第12页
题型二 利用柯西不等式求最值 例 2 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值． 【思路】 由题目可获取以下主要信息：①已知变量 x，y，z 之间的关系符合特定条件；②所求式子中含有根式．解答本题的关 键是去掉根号，并且利用好特定条件．
第6页
3．柯西不等式的两个变式 (1)当 ai∈R，bi>0(i＝1，2，…，n)，∑i＝n1 abi2i ≥（∑i∑i＝n＝n11abi）i 2，当且 仅当 bi＝λai 时等号成立． (2)设 ai，bi 同号且不为 0(i＝1，2，…，n)，则i∑＝n1 baii≥（∑i∑＝in＝n11aaibi）i 2， 当且仅当 bi＝λai 时，等号成立.
第9页
≥(
a· b
b＋
b· c
c＋
c· a
a)2
＝(a＋b＋c)2，
即(ab2＋bc2＋ca2)(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.
高二数学人教A版选修4-5课件：3.2 一般形式的柯西不等式
探究一
探究二
探究三
探究四
错因分析:由基本不等式得到 u=ax+by+cz≤5 是正确的,但这只
是能说明 u 的最大值有小于或等于 5 两种可能,并不能得出 u 的最大
值一定是 5.事实上,如果 u 的最大值为 5,错解中的三个不等式应同时
取“=”,于是 a=x,b=y,c=z,从而得出 a2+b2+c2=x2+y2+z2,即 t=5,这是不
=
������������时,等号成立,此时
u=ax+by+cz
的最大值为
3,从
而 t 的最小值为 3.
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
12345
1.已知 x,y,z>0,且 x+y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小值是(
.
解析:由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥12,当a=2b=3c=2时,等号成立,所
以a2+4b2+9c2的最小值为12.
答案:12
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
x=251,y=-1,z= 159或
x=-151,y=-3,z=151
时等号成立.
∴25×1≥(x+y+z-2)2.
数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
≥
(
������
∑
������������)2
������=1
������
∑ ������������
,
当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
变形(2)
������=1
设
������
ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为零,则 ∑
������=1
������������ ������������
名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左
边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式
的柯西不等式类比记忆.
知识拓展柯西不等式的变形和推广:
变形(1) 设 ai,bi∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
������
则∑
������=1
���������2��� ������������
=
������2 ������2
=
⋯
=
������������ ������������
时等号成立.
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4. ∴-2≤a1b1+…+anbn≤2. ∴所求的最大值为2.
答案:C
1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题, 但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与 一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我 们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应 用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等 式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应 该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代 表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与 实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而 不会用柯西不等式.
5.4一般形式的柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)(2)
2
1 x2
x1
2
1 xn
(n 证明： 1 ) ( 1
x1
1 x2
1 xn
(1 x 1 1 x 2 1 x n ) ( xn
2
1 x1
x2
2
1 x2
x2 1 x2
1 xn
) ≥ ( 1 x1 xn 1 xn
2 2 2
2
例 2 已知 a , b , c , d 是不全相等的正数，证明：
a b c d
2 2 2
a b b c cd d a
继续 2答案
例 2 已知 a , b , c , d 是不全相等的正数，证明：
a b c d
2 2 2 2
a b b c cd d a
当且仅当 b i 0 ( i 1 , 2 , , n ) 或存在一个数
k , 使得 a i kb i ( i 1 , 2 , , n )时 , 等号成立 。
同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景， 其应用广泛。
例 1 已知 a 1 , a 2 , , a n 都是实数，求证：
1 4
证法二 : 代入法 1 x 4 y 9 z y x 1 x 4x y ) ( z x
, 且 x y z 1, 求证:
1 x 4 y z 3 z
1 9
4 y
1 x
4 y
9 z
≥ 36
证法一:用柯西不等式
( x y z )( y 2 y
2
9 z
2 2 2 2
( b1 b 2 b n )
1 x2
x1
2
1 xn
(n 证明： 1 ) ( 1
x1
1 x2
1 xn
(1 x 1 1 x 2 1 x n ) ( xn
2
1 x1
x2
2
1 x2
x2 1 x2
1 xn
) ≥ ( 1 x1 xn 1 xn
2 2 2
2
例 2 已知 a , b , c , d 是不全相等的正数，证明：
a b c d
2 2 2
a b b c cd d a
继续 2答案
例 2 已知 a , b , c , d 是不全相等的正数，证明：
a b c d
2 2 2 2
a b b c cd d a
当且仅当 b i 0 ( i 1 , 2 , , n ) 或存在一个数
k , 使得 a i kb i ( i 1 , 2 , , n )时 , 等号成立 。
同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景， 其应用广泛。
例 1 已知 a 1 , a 2 , , a n 都是实数，求证：
1 4
证法二 : 代入法 1 x 4 y 9 z y x 1 x 4x y ) ( z x
, 且 x y z 1, 求证:
1 x 4 y z 3 z
1 9
4 y
1 x
4 y
9 z
≥ 36
证法一:用柯西不等式
( x y z )( y 2 y
2
9 z
2 2 2 2
( b1 b 2 b n )
人教A版选修4-5 第3讲 2 一般形式的柯西不等式 课件(19张)
1,2，…，n)时，等号成立．
题点知识巩固
知识点一 三维形式的柯西不等式的应用
1．设 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，则 a＋ b＋ c的最
大值是( )
A．1
B. 3
C．3
D．9
解 析 ： 由 柯 西 不 等 式 ， 得 (12 ＋ 12 ＋ 12)[( a )2 ＋ ( b )2 ＋ ( c)2]≥( a＋ b＋ c)2，∴( a＋ b＋ c)2≤3(a＋b＋c)
证法二：若 a≤－3 或 a≥－1 不成立，那么－3<a<－1 成立， 则(a＋2)2<1，而[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]·(12＋12＋12)＝(x－2 ＋y－1＋z－a)2 左面等号成立，当且仅当 x－2＝y－1＝z－a，又 因为 x＋y＋z＝1，所以 x－2＝y－1＝z－a＝－a＋3 2.故此时[(x－ 2)2＋(y－1)2＋(z－a)2](12＋12＋12)＝(x－2＋y－1＋z－a)2＝(a＋ 2)2<1，即(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2<13，与原命题矛盾．故假设 错误，即 a≤－3 或 a≥－1.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
二 一般形式的柯西不等式 第10课时 一般形式的柯西不等式
基础知识梳理 题点知识巩固 提能达标过关
基础知识梳理
1．三维形式的柯西不等式
设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋
b
2 3
)≥__(_a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_)_2 ___
，
当
且
仅
当
___b_i_＝__0_(i_＝__1_,2_,_3_) ___
《柯西不等式》课件
感谢您的观看
THANKS
应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。
第3讲2一般形式的柯西不等式课件人教新课标
当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以改变式子的结构，从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以添项.
∴a＋2b＋3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)1a＋b1＋1c ＋1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a＋b＋c＋d)1a＋1b＋1c＋1d
＝[(
a)2＋(
b)2＋(
c)2＋(
d)2]·
1a2＋
1b2＋
1c2＋
1
2
d
≥
a·1a＋
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21 ＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b＋
c·1c＋
d·1d2
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以改变式子的结构，从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以添项.
∴a＋2b＋3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)1a＋b1＋1c ＋1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a＋b＋c＋d)1a＋1b＋1c＋1d
＝[(
a)2＋(
b)2＋(
c)2＋(
d)2]·
1a2＋
1b2＋
1c2＋
1
2
d
≥
a·1a＋
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21 ＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b＋
c·1c＋
d·1d2
2.1.2_一般形式的柯西不等式(精品公开课课件)
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
例1 已知a1 , a2 ,, an都是实数, 求证
a12 a22 a32 b12 b22 b32 a1b1 a2b2 a3b3 2
当且仅当ai kbi时等号成立。 猜想柯西不等式的一般形式
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式)
设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
例4、把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一
个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积最小？
解：设三段绳子的长分别为x、y、z，x y z l
则三个正方形的边长依次为 ：x , y , z 这三个正方形的面积之和为： 4 4 4
求证 : (a 1 )2 (b 1 )2 (c 1)2 100
a
b
c3
练习： P30 第1、2、3题
证明： (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
≥ (ab bc cd da)2 ∵ a,b,c,d 是不全相等的正数， a b c d 不
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
例1 已知a1 , a2 ,, an都是实数, 求证
a12 a22 a32 b12 b22 b32 a1b1 a2b2 a3b3 2
当且仅当ai kbi时等号成立。 猜想柯西不等式的一般形式
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式)
设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
例4、把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一
个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积最小？
解：设三段绳子的长分别为x、y、z，x y z l
则三个正方形的边长依次为 ：x , y , z 这三个正方形的面积之和为： 4 4 4
求证 : (a 1 )2 (b 1 )2 (c 1)2 100
a
b
c3
练习： P30 第1、2、3题
证明： (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
≥ (ab bc cd da)2 ∵ a,b,c,d 是不全相等的正数， a b c d 不
高中数学人教A版选修课件：3.2 一般形式的柯西不等式
21
1 +2
22
2-1
+
+⋯+
2 +3
-1 +
2
+
+1
[(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…+(an-1+an)+(an+a1)]·
2
2 +3
2
+
3
3 +4
2
+…+
-1
-1 +
2
2
1
1 +2
+1
+
=
2
+
1
2
· =
们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应
用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等
式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致起来,然后应用解题.
2.正确利用“1”
剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应
该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代
1 +2
1 +2
.
4
=
1
a≥2 − , 当且仅当a=1
1
2
· 1
2 1 +2
≥
1
2
2-
1 +2
21
时,
= 1 −
22
+
同理,有 + ≥a2 − 2 4 3 ,
2
3
……
2
-1
-1 +
2014年人教A版选修4-5课件 2.一般形式的柯西不等式
定理: (柯西不等式的一般形式) 则 设 a1, a2, a3, …, an, b1, b2, b3, …, bn 是实数,
2 2 2 2 (a12 a2 an )(b12 b2 bn ) (a1b1 a2b2 anbn )2 .
当且仅当 bi=0 (i=1, 2, …, n) 或存在一个数 k, 使得 ai=kbi (i=1, 2, …, n) 时, 等号成立.
2 2 2 2 2 a2 a3 b12 b2 b3 | a1b1 a2b2 a3b3 |, (2) a1 2 2 2 2 2 (a1 a2 a3 )(b12 b2 b3 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2 .
(问: 对照二维形式和三维形式的柯西不等式, 你 能猜想出一般形式的柯西不等式吗?
问题1. 请将下列坐标代入柯西不等式的向量形式 |a||b|≥|a· b|, 得到的是什么样的不等式? (1) 在平面直角坐标系中, a=(a1, a2), b=(b1, b2); (2) 在空间直角坐标系中, a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3).
2 2 2 (1) a1 a2 b12 b2 | a1b1 a2b2 |, 2 2 2 (a1 a2 )(b12 b2 ) (a1b1 a2b2 )2 .
2 2 2 (1) a1 a2 b12 b2 | a1b1 a2b2 |, 2 2 2 (a1 a2 )(b12 b2 ) (a1b1 a2b2 )2 .
2 2 2 2 2 a2 a3 b12 b2 b3 | a1b1 a2b2 a3b3 |, (2) a1 2 2 2 2 2 (a1 a2 a3 )(b12 b2 b3 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2 . 当且仅当 a, b 共线时, 即 b=0, 或存在一个数 k, 使得 ai=kbi (i=1, 2, 3) 时, 等号成立. 以上就是二维, 三维形式的柯西不等式.
2018人教B版数学选修4-52.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明精选优质PPT课件
+
���������2��� ������������+������1
≥
12.
的分不析等:式已的知左条侧件,中为a1���+������1���a+12���+���2…, +���������2a���+2n=������31,,可… 以, ���看���������������+���作��� ������1“1的”的平代方换和,,而所要以证明
������������ -1+������������ ������������ +������1
[(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…+(an-1+an)+(an+a1)]·� Nhomakorabea����1
2
+
������ 1 +������ 2
������2
2
+
������ 2 +������ 3
≥
(
������
∑
������������)2
������=1
������
������=∑1������������������������
,
当且仅当b1=b2=…=bn 时,等号成立.
【做一做1】 已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则a2+b2+c2的最小
值为( )
A.1
B.4
C.
������3
2
+…+
������ 3 +������ 4
������������ -1
高中数学 第三讲 一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修45
n
n i1
ai bi
( ai )2
i1 n
aibi
,
i1
第九页，共39页。
类型 一 三维柯西不等式的应用
【典型例题】
1.(2013·湖南高考)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2
的最小值为_______.
2.△ABC的三边(sān biān)长为a,b,c，其外接圆半径为R，
答案：1
第二十页，共39页。
2.左边(z＝uǒ ab12ian)
a
2 2
a2 n 1
a
2 n
a1 a2 a2 a3
a n1 a n a n a1
[a1 a2 a2 a3 an1 an an a1 ]
[( a1 )2 ( a2 )2 ( an1 )2 ( an )2 ] 1
二 一般(yībān)形式的柯西不等式
第一页，共39页。
第二页，共39页。
名称
形式
等号成立条件
三维形式 设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R则
柯西不等
(a12
a
2 2
a
2 3
)
(b12
b
2 2
b32 )
式
≥_(_a_1_b_1_+_a_2b_2_+a_3_b_3_)_2
当且仅当b1=b2=b3=0或存 在一个实数k使得
从而由柯西不等式中等号成立的条件，得
它－x8与－6y8②x－+,…z264…y－…2…4z…=…39…联…立…，……………………10分
可得
………………………………12分
x － 6 , y 9 , z －18 .
2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式课件新人教A版选修4_5
利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配 凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．
2．已知 x，y，z∈R，且 x－2y＋2z＝5，则(x＋5)2＋(y－1)2＋
(z＋3)2 的最小值是
()
A．20
B．25
C．36
D．47
解析：∵[(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x＋5)
二
一般形式的柯西不等式
名称
形式
等号成立条件
三维形式 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，当且仅当 b1＝b2＝b3
的柯西不
则
(a
2 1
＋
a
2 2
＋
a
2 3
)(b
2 1
＋
b
2 2
＋
＝0 或存在一个实数 k
等式 b23)≥_(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3)_2
使得_a_i＝___k_b_i(_i＝__1_,_2_,3_)
4．把一根长为 12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样
截法，才能使围成的三个正方形面积之和 S 最小，并求此最小值． 解：设三段绳子的长分别为 x，y，z，则 x＋y＋z＝12，三个 正方形的边长分别为x4，4y，4z均为正数，三个正方形面积之和： S＝x42＋4y 2＋4z 2＝116(x2＋y2＋z2)． ∵(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝122， 即 x2＋y2＋z2≥48.从而 S≥116×48＝3. 当且仅当x1＝1y＝1z时取等号，又 x＋y＋z＝12， ∴x＝y＝z＝4 时，Smin＝3.故把绳子三等分时，围成的三个正 方形面积之和最小，最小面积为 3 m2.
高中数学 3.2一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修
2．定理(柯西不等式的推广形式)：设 n 为大于 1 的自然数，ai， bi(i＝1,2，…，n)为任意实数，则：
n
n
n
栏
a2ibi2___≥_____(aibi)2，
i＝1 i＝1
i＝1
目 链
接
其中等号当且仅当ba11＝ab22＝…＝bann时成立(当 ai＝0 时，约定 bi＝
0，i＝1,2，…，n)．
组柯西数组是运用柯西不等式的关键所在．
变式 训练
1．已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：
1111 1 1 1 1
a2＋b2＋c2＋d2＞ab＋bc＋cd＋da.
证明：由柯西不等式知：
栏
目
a12＋b12＋c12＋d12b12＋c12＋d12＋a12≥
链 接
a1b＋b1c＋c1d＋d1a2，
2(xy＋2×3)＋2(xz＋2×4)＋2(yz＋3×4)
接
＝(x＋y＋z)2＋(2＋3＋4)2
＝192＋92
＝442.
∴u≥ 442.
当且仅当xy＝23，xz＝24＝21，yz＝34时，等号成立．
∴umin＝ 442.
答案：B
思考2 求证：a2＋b2＋c2＋d2≥ab＋bc＋cd＋da.
证明：取两组数 a，b，c，d；b，c，d，a，
题型二 最值问题
例 3 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值．
分析：将已知等式变形，直接应用柯西不等式．
解析：由柯西不等式有：
栏 目
120 ＝ 3[(2x ＋ 1) ＋ (3y ＋ 4) ＋ (5z ＋ 6)]≥(1× 2x＋1 ＋
链
1× 3y＋4＋1× 5z＋6)2.
n
n
n
栏
a2ibi2___≥_____(aibi)2，
i＝1 i＝1
i＝1
目 链
接
其中等号当且仅当ba11＝ab22＝…＝bann时成立(当 ai＝0 时，约定 bi＝
0，i＝1,2，…，n)．
组柯西数组是运用柯西不等式的关键所在．
变式 训练
1．已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：
1111 1 1 1 1
a2＋b2＋c2＋d2＞ab＋bc＋cd＋da.
证明：由柯西不等式知：
栏
目
a12＋b12＋c12＋d12b12＋c12＋d12＋a12≥
链 接
a1b＋b1c＋c1d＋d1a2，
2(xy＋2×3)＋2(xz＋2×4)＋2(yz＋3×4)
接
＝(x＋y＋z)2＋(2＋3＋4)2
＝192＋92
＝442.
∴u≥ 442.
当且仅当xy＝23，xz＝24＝21，yz＝34时，等号成立．
∴umin＝ 442.
答案：B
思考2 求证：a2＋b2＋c2＋d2≥ab＋bc＋cd＋da.
证明：取两组数 a，b，c，d；b，c，d，a，
题型二 最值问题
例 3 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的最大值．
分析：将已知等式变形，直接应用柯西不等式．
解析：由柯西不等式有：
栏 目
120 ＝ 3[(2x ＋ 1) ＋ (3y ＋ 4) ＋ (5z ＋ 6)]≥(1× 2x＋1 ＋
链
1× 3y＋4＋1× 5z＋6)2.
高中数学第三讲二一般形式的柯西不等式课件新人教A版选修45
2．一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则 (a21＋a22＋…＋an2)(b21＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2， 当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝ 1,2，…，n)时，等号成立．
第七页，共16页。
≥
1 a1＋a2·
a1＋a2＋
1 a2＋a3·
a2＋a3＋
1 a3＋a1·
Байду номын сангаас
a3＋a12＝9，
当且仅当( a1＋a2)2＝( a2＋a3)2＝( a3＋a1)2，
即 a1＝a2＝a3＝32时，等号成立，
所以a1＋1 a2＋a2＋1 a3＋a3＋1 a1≥1.
第八页，共16页。
法二：因为a1＋1 a2＋a2＋1 a3＋a3＋1 a1[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋(a3
( 2x＋1·1＋ 3y＋4·1＋ 5z＋6·1)2
≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1)
＝3×(2x＋3y＋5z＋11)
＝3×40
＝120.
故 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6≤2 30，
当且仅当 2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，
即 x＝367，y＝298，z＝2125时，等号成立．
3 ＋ a1)]≥3
111 a1＋a2·a2＋a3·a3＋a1
·3
3
a1＋a2a2＋a3a3＋a1
＝
9，
当且仅当 a1＝a2＝a3 时，等号成立，
又 a1＋a2＋a3＝92，所以a1＋1 a2＋a2＋1 a3＋a3＋1 a1·2×92≥9，
所以a1＋1 a2＋a2＋1 a3＋a3＋1 a1≥1.
高中数学 3.2一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4-5
接
a1b＋b1c＋c1d＋d1a2，
于是a12＋b12＋c12＋d12≥a1b＋b1c＋c1d＋d1a.①
精选ppt
7
1111
等号成立⇔a1＝b1＝1c＝d1⇔ba＝bc＝dc＝ad⇔a＝b＝c＝d，
栏
bcda
目
链
由题设 a，b，c，d 不全相等，于是①中有严格等号不成立， 接
即a12＋b12＋c12＋d12＞a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
3．2 一般形式的柯西不等式
精选ppt
1
精选ppt
栏 目 链 接
2
不等式证明
已知 a，b，c∈R＋，求证：
栏
ba＋bc＋acab＋bc＋ac≥9.
目 链 接
分析：对应三维形式的柯西不等式，a1＝ ab，a2＝ bc，a3＝
ac，b1＝ ba，b2＝ bc，b3＝ ac，而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而
得证．
精选ppt
3
证明：由柯西不等式知：
左边＝
ab 2＋
bc2＋
ac2×
栏
目
ba2＋
bc2＋
ac2≥
链 接
ab×
ab＋
bc×
bc＋
ac×
a c
2＝
(1＋1＋1)2＝9.
精选ppt
4
∴原不等式成立．
已知 a1，a2…，an 都是实数．
求证：(a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)．
栏
目
分析：与柯西不等式的结构相比较，发现它符合柯西不等式的结 链
接
构，因此可用柯西不等式来证明．
证明：根据柯西不等式，有
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2 2 2 2 1 2 2 2 n
(1 a1 1 a2 1 an )
2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a 2 a n ) a1 a2 a n n
2
例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a b c d ab bc cd da
2 2 2 2
证明 : (a 2 2 c 2 d 2 )(b 2 c 2 d 2 a 2 ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式，并应用其解决一些不等式的问 题. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等 式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.
一、复习准备： 提问：1、二维形式的柯西不等式？
提问：2、柯西不等式的向量形式？
提问：3、(2)式如何得到(1)式？
二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式：
2. 教学柯西不等式的应用：
例1 已 知a1 , a2 , , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
P 41 6. 设x1 , x 2 ,xn R , 且x1 x2 xn 1,
2 2 2 x1 x2 xn 1 求 证: 1 x1 1 x2 1 xn n 1
2 2 2 x1 x2 xn 证 明: ( n 1) ( ) 1 x1 1 x2 1 xn 2 2 x1 x2 (1 x1 1 x2 1 xn ) ( 1 x1 1 x2 2 xn x1 x2 ) ( 1 x1 1 x2 1 xn 1 x1 1 x2
1 xn
xn )2 ( x1 x2 xn )2 1 1 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2 2 x1 x2 xn 1 1 x1 1 x2 1 xn n 1
三、巩固练习 1. 练习：教材P41 4题 2. 2. 作业：教材P41 5、6题
证 明: ( x 2 y 2 z 2 )(12 2 2 3 2 ) ( x 2 y 3 z ) 2 1 1 2 2 2 x y z 14 x y z 1 1 3 当 且 仅 当 即x , y , z 时 1 2 3 14 7 14 1 2 2 2 x y z 取最小值 14
(1 a1 1 a2 1 an )
2 1 2 2 2 n
2
n(a a a ) (a1 a2 an ) 1 2 2 2 2 (a1 a 2 a n ) a1 a2 a n n
2
例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a b c d ab bc cd da
2 2 2 2
证明 : (a 2 2 c 2 d 2 )(b 2 c 2 d 2 a 2 ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式，并应用其解决一些不等式的问 题. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等 式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想.
一、复习准备： 提问：1、二维形式的柯西不等式？
提问：2、柯西不等式的向量形式？
提问：3、(2)式如何得到(1)式？
二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式：
2. 教学柯西不等式的应用：
例1 已 知a1 , a2 , , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 (a1 a2 an )2 a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
P 41 6. 设x1 , x 2 ,xn R , 且x1 x2 xn 1,
2 2 2 x1 x2 xn 1 求 证: 1 x1 1 x2 1 xn n 1
2 2 2 x1 x2 xn 证 明: ( n 1) ( ) 1 x1 1 x2 1 xn 2 2 x1 x2 (1 x1 1 x2 1 xn ) ( 1 x1 1 x2 2 xn x1 x2 ) ( 1 x1 1 x2 1 xn 1 x1 1 x2
1 xn
xn )2 ( x1 x2 xn )2 1 1 xn
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2 2 x1 x2 xn 1 1 x1 1 x2 1 xn n 1
三、巩固练习 1. 练习：教材P41 4题 2. 2. 作业：教材P41 5、6题
证 明: ( x 2 y 2 z 2 )(12 2 2 3 2 ) ( x 2 y 3 z ) 2 1 1 2 2 2 x y z 14 x y z 1 1 3 当 且 仅 当 即x , y , z 时 1 2 3 14 7 14 1 2 2 2 x y z 取最小值 14