【压轴题】高一数学下期末试卷含答案
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因为
所以当 时, 取得最小值
因而
故答案为:
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.
18．2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A（2-2）代入得m=-2∴代入B得故水面宽为米故答案为米考点：抛物线的应用
解析：2 米
又函数为减函数，
所以 ，
所以g(x)=loga(x+2)
定义域为x>−2，且单调递减，
故选A.
【点睛】
本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题
13．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m的范围【详解】由题意知两个正数xy满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查
故选：C.
【点睛】
本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.
3．A
解析：A
【解析】
试题分Hale Waihona Puke Baidu：由程序框图知第一次运行 ，第二次运行 ，第三次运行 ，第四次运行 ，输出 ，所以判断框内为 ，故选C.
考点：程序框图.
4．C
解析：C
【解析】
分析：由四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．
21．解关于 的不等式 .
22．已知函数 的最小正周期为 ，且该函数图象上的最低点的纵坐标为 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调递增区间及对称轴方程．
23．已知： 是同一平面内的三个向量，其中
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角 .
（3）若 ，且 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
24．已知 ．
（1）若 ，且 ，求k的值；
（2）若 ，且 ，求证： ．
25．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ．
（1）求 ；
（2）求 的值．
26．如图1，在直角梯形 中， ， 是 的中点， 是 与 的交点，将 沿 折起到图2中 的位置，得到四棱锥 .
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）当平面 平面 时，四棱锥 的体积为 ，求 的值.
A． B． C． D．
5．若 均为锐角， ， ，则
A． B． C． 或 D．
6．已知 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．20B．10C．30D．60
8．已知 ，若存在三个不同实数 ， ， 使得 ，则 的取值范围是（）
A．(0,1)B．[-2,0)C． D．（0,1）
故选C．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
由题意首先确定函数g(x)的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像.
【详解】
∵函数 (a>0,a≠1)在R上是奇函数，
∴f(0)=0，∴k=2，
经检验k=2满足题意，
【解析】
【分析】
【详解】
如图建立直角坐标系，设抛物线方程为 ，
将A（2，-2）代入 ，
得m=-2，
∴ ，代入B 得 ，
故水面宽为 米，故答案为 米．
考点：抛物线的应用
19．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答
解析：
【解析】
【分析】
把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得 ，即 角，从而得 角的范围，注意 ，由余弦定理可得结论．
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
则 ，因为 ，所以 ，
而 ，故 .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略 不能等于0.
解析：
【解析】
【分析】
由题意将 代入 进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围．
【详解】
由题意知两个正数x，y满足 ，
则 ，当 时取等号；
的最小值是 ，
不等式 恒成立， ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．
9．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．函数 的图象可能是（）
A． B．
C． D．
11．与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程是
A． B．
C． D．
12．若函数 且 ）在R上既是奇函数,又是减函数,则 的图象是（）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知两个正数 满足 ,则使不等式 恒成立的实数 的范围是__________
∵ ，且 ，
∴ ，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
故选B.
【点睛】
本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
首先运用 求出通项 ，判断 的正负情况，再运用 即可得到答案．
详解：四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ， ，当且仅当 时，取等号．
∴ ．
故选C．
点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之．
【详解】
∵α为锐角， s，∴α＞45°且 ，
【详解】
当 时， ；
当 时， ，
故 ；
所以，当 时， ，当 时， .
因此， .
故选：B．
【点睛】
本题考查了由数列的前 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分 和 两种情形，第二要掌握 这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.
解析：3
【解析】
【分析】
【详解】
故答案为3.
【点评】
本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，
三、解答题
21．a＜0时，不等式的解集是（ ，1）；
a＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）；
【详解】
因为函数 的图象关于 轴对称,所以 ,即 .
又 ,则 ,即 .
又因为 ,所以 ,则当 ,即 时, 取得最大值 .
故答案为： .
【点睛】
判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如：
若 为奇函数,则 ；
若 为偶函数,则 ；
若 为偶函数,则 ；
若 为奇函数,则 .
15．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦
【压轴题】高一数学下期末试卷含答案
一、选择题
1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2D．3
2．已知不等式 对任意实数 、 恒成立，则实数 的最小值为（）
A． B． C． D．
3．
某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为
A．k＞4?B．k＞5?
14．【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数
解析：
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简可得 ,再根据图象关于 轴对称可求得 ,再结合余弦函数的图像求出最值即可.
C．k＞6?D．k＞7?
4．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 ，其中 ，若 ，当“阳马”即四棱锥 体积最大时，“堑堵”即三棱柱 的表面积为
【解析】
【分析】
由题意可知， ，将代数式 展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于 的不等式，解出即可.
【详解】
.
若 ，则 ，从而 无最小值，不合乎题意；
若 ，则 ， .
①当 时， 无最小值，不合乎题意；
②当 时， ，则 不恒成立；
③当 时， ，
当且仅当 时，等号成立.
所以， ，解得 ，因此，实数 的最小值为 .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
由余弦定理得 ，
解得 （ 舍去），故选D.
【考点】
余弦定理
【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
2．C
解析：C
16．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则
解析：2
【解析】
抛物线的准线为 ，与圆相切，则 ， ．
17．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数
解析：
【详解】
函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，函数 为奇函数，排除A、C选项；
当 时， ，此时 ，排除B选项.
故选：D.
【点睛】
本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.
11．C
解析：C
【解析】
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，过圆心 与直线 垂直的直线方程为 ，所求圆的圆心在此直线上，又圆心 到直线 的距离为 ，则所求圆的半径为 ，设所求圆的圆心为 ，且圆心在直线 的左上方，则 ，且 ，解得 （ 不符合题意，舍去），故所求圆的方程为 .
14．已知函数 的图象关于 轴对称,则 在区 , 上的最大值为__.
15．设 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边.已知 ，则 的取值范围为______.
16．已知抛物线 的准线与圆 相切，则 的值为__________．
17．如图，在等腰三角形 中，已知 ， ， 分别是边 上的点，且 ,其中 且 ，若线段 的中点分别为 ，则 的最小值是_____.
解析：
【解析】
【分析】
【详解】
解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，
有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；
其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；
则其概率为 ；
故答案为 ．
解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．
20．3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键
【解析】
【分析】
根据条件及向量数量积运算求得 ,连接 ,由三角形中线的性质表示出 .根据向量的线性运算及数量积公式表示出 ,结合二次函数性质即可求得最小值.
【详解】
根据题意,连接 ,如下图所示:
在等腰三角形 中,已知 ,
则由向量数量积运算可知
线段 的中点分别为 则
由向量减法的线性运算可得
所以
因为 ,代入化简可得
18．如图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.
19．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
20．若两个向量 与 的夹角为 ，则称向量“ ”为向量的“外积”，其长度为 .若已知 ， ， ，则 .
三、解答题
【分析】
画出函数图像，根据图像得到 ， ，得到答案.
【详解】
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知： ， ，故 ，故 .
故选： .
【点睛】
本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
9．C
解析：C
【解析】
由题意可得： ，
则 .
本题选择C选项.
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
分析函数 的定义域、奇偶性及其在 上的函数值符号，可得出结论.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果.
【详解】
由三视图可得几何体直观图如下图所示：
可知三棱锥高： ；底面面积：
三棱锥体积：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.
8．C
解析：C
【解析】
所以当 时, 取得最小值
因而
故答案为:
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.
18．2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A（2-2）代入得m=-2∴代入B得故水面宽为米故答案为米考点：抛物线的应用
解析：2 米
又函数为减函数，
所以 ，
所以g(x)=loga(x+2)
定义域为x>−2，且单调递减，
故选A.
【点睛】
本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题
13．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m的范围【详解】由题意知两个正数xy满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查
故选：C.
【点睛】
本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.
3．A
解析：A
【解析】
试题分Hale Waihona Puke Baidu：由程序框图知第一次运行 ，第二次运行 ，第三次运行 ，第四次运行 ，输出 ，所以判断框内为 ，故选C.
考点：程序框图.
4．C
解析：C
【解析】
分析：由四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．
21．解关于 的不等式 .
22．已知函数 的最小正周期为 ，且该函数图象上的最低点的纵坐标为 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调递增区间及对称轴方程．
23．已知： 是同一平面内的三个向量，其中
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角 .
（3）若 ，且 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
24．已知 ．
（1）若 ，且 ，求k的值；
（2）若 ，且 ，求证： ．
25．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ．
（1）求 ；
（2）求 的值．
26．如图1，在直角梯形 中， ， 是 的中点， 是 与 的交点，将 沿 折起到图2中 的位置，得到四棱锥 .
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）当平面 平面 时，四棱锥 的体积为 ，求 的值.
A． B． C． D．
5．若 均为锐角， ， ，则
A． B． C． 或 D．
6．已知 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．20B．10C．30D．60
8．已知 ，若存在三个不同实数 ， ， 使得 ，则 的取值范围是（）
A．(0,1)B．[-2,0)C． D．（0,1）
故选C．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
由题意首先确定函数g(x)的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像.
【详解】
∵函数 (a>0,a≠1)在R上是奇函数，
∴f(0)=0，∴k=2，
经检验k=2满足题意，
【解析】
【分析】
【详解】
如图建立直角坐标系，设抛物线方程为 ，
将A（2，-2）代入 ，
得m=-2，
∴ ，代入B 得 ，
故水面宽为 米，故答案为 米．
考点：抛物线的应用
19．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答
解析：
【解析】
【分析】
把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得 ，即 角，从而得 角的范围，注意 ，由余弦定理可得结论．
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
则 ，因为 ，所以 ，
而 ，故 .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略 不能等于0.
解析：
【解析】
【分析】
由题意将 代入 进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围．
【详解】
由题意知两个正数x，y满足 ，
则 ，当 时取等号；
的最小值是 ，
不等式 恒成立， ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．
9．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．函数 的图象可能是（）
A． B．
C． D．
11．与直线 和圆 都相切的半径最小的圆的方程是
A． B．
C． D．
12．若函数 且 ）在R上既是奇函数,又是减函数,则 的图象是（）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知两个正数 满足 ,则使不等式 恒成立的实数 的范围是__________
∵ ，且 ，
∴ ，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
故选B.
【点睛】
本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
首先运用 求出通项 ，判断 的正负情况，再运用 即可得到答案．
详解：四棱锥 的体积是三棱柱体积的 ， ，当且仅当 时，取等号．
∴ ．
故选C．
点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之．
【详解】
∵α为锐角， s，∴α＞45°且 ，
【详解】
当 时， ；
当 时， ，
故 ；
所以，当 时， ，当 时， .
因此， .
故选：B．
【点睛】
本题考查了由数列的前 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分 和 两种情形，第二要掌握 这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.
解析：3
【解析】
【分析】
【详解】
故答案为3.
【点评】
本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，
三、解答题
21．a＜0时，不等式的解集是（ ，1）；
a＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）；
【详解】
因为函数 的图象关于 轴对称,所以 ,即 .
又 ,则 ,即 .
又因为 ,所以 ,则当 ,即 时, 取得最大值 .
故答案为： .
【点睛】
判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如：
若 为奇函数,则 ；
若 为偶函数,则 ；
若 为偶函数,则 ；
若 为奇函数,则 .
15．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦
【压轴题】高一数学下期末试卷含答案
一、选择题
1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2D．3
2．已知不等式 对任意实数 、 恒成立，则实数 的最小值为（）
A． B． C． D．
3．
某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为
A．k＞4?B．k＞5?
14．【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数
解析：
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简可得 ,再根据图象关于 轴对称可求得 ,再结合余弦函数的图像求出最值即可.
C．k＞6?D．k＞7?
4．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 ，其中 ，若 ，当“阳马”即四棱锥 体积最大时，“堑堵”即三棱柱 的表面积为
【解析】
【分析】
由题意可知， ，将代数式 展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于 的不等式，解出即可.
【详解】
.
若 ，则 ，从而 无最小值，不合乎题意；
若 ，则 ， .
①当 时， 无最小值，不合乎题意；
②当 时， ，则 不恒成立；
③当 时， ，
当且仅当 时，等号成立.
所以， ，解得 ，因此，实数 的最小值为 .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
由余弦定理得 ，
解得 （ 舍去），故选D.
【考点】
余弦定理
【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
2．C
解析：C
16．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则
解析：2
【解析】
抛物线的准线为 ，与圆相切，则 ， ．
17．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数
解析：
【详解】
函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，函数 为奇函数，排除A、C选项；
当 时， ，此时 ，排除B选项.
故选：D.
【点睛】
本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.
11．C
解析：C
【解析】
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，过圆心 与直线 垂直的直线方程为 ，所求圆的圆心在此直线上，又圆心 到直线 的距离为 ，则所求圆的半径为 ，设所求圆的圆心为 ，且圆心在直线 的左上方，则 ，且 ，解得 （ 不符合题意，舍去），故所求圆的方程为 .
14．已知函数 的图象关于 轴对称,则 在区 , 上的最大值为__.
15．设 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边.已知 ，则 的取值范围为______.
16．已知抛物线 的准线与圆 相切，则 的值为__________．
17．如图，在等腰三角形 中，已知 ， ， 分别是边 上的点，且 ,其中 且 ，若线段 的中点分别为 ，则 的最小值是_____.
解析：
【解析】
【分析】
【详解】
解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，
有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；
其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；
则其概率为 ；
故答案为 ．
解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．
20．3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键
【解析】
【分析】
根据条件及向量数量积运算求得 ,连接 ,由三角形中线的性质表示出 .根据向量的线性运算及数量积公式表示出 ,结合二次函数性质即可求得最小值.
【详解】
根据题意,连接 ,如下图所示:
在等腰三角形 中,已知 ,
则由向量数量积运算可知
线段 的中点分别为 则
由向量减法的线性运算可得
所以
因为 ,代入化简可得
18．如图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.
19．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
20．若两个向量 与 的夹角为 ，则称向量“ ”为向量的“外积”，其长度为 .若已知 ， ， ，则 .
三、解答题
【分析】
画出函数图像，根据图像得到 ， ，得到答案.
【详解】
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知： ， ，故 ，故 .
故选： .
【点睛】
本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
9．C
解析：C
【解析】
由题意可得： ，
则 .
本题选择C选项.
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
分析函数 的定义域、奇偶性及其在 上的函数值符号，可得出结论.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果.
【详解】
由三视图可得几何体直观图如下图所示：
可知三棱锥高： ；底面面积：
三棱锥体积：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.
8．C
解析：C
【解析】