数学思维的培养

（三） 数学创造性思维的培养
1．数学教学要充分揭示数学思维过程
数学创造性思维不仅存在于数学家的创造活动中，也存在于学生的学习活动中。这是因为，学生学习的数学知识虽然是前人创造性思维的结果，但学生作为学习的主体处于再发现的地位，学习活动实质上仍然具有数学发现和创造的性质。因此，采用开放式教学方法，在教学中充分揭示思维过程是培养数学创造性思维的重要途径。
(1) 重视数学思维活动中的认识发生阶段
从教学的阶段观点来看，数学教学中数学思维的活动过程，大致可以分为认识的发生阶段和知识的整理阶段。前者是指概念如何形成、结论如何被发现的过程，后者是指用演绎法进一步理解知识、开拓知识的过程（有些相似于数学创造中的“发现”与“论证”两个阶段），由于前一阶段是引导学生探索知识的过程，它闪耀着创造的火花，是培养创造性思维的有效途径。因此，前一阶段比后一阶段更为重要。在展现数学思维活动的全过程时，应着重前一阶段，使学习与发现同步。然而，在数学教学中，只重结论，不重过程，用结论去替代过程或者只重应用，不重形成，以及教师本末倒置的把新课匆促带过，以腾出时间来复习等种种做法，都是削弱认识发生阶段的表现，不利于创造性思维的培养。
(2)数学教学中应重视协调三种思维活动
数学教学中的思维活动主要包括：数学家的思维活动；数学教师的思维活动；学生的思维活动。教师在教学过程中应协调这三种思维活动。
首先，根据数学知识结构（体现在教材中），重现数学家的思维活动过程；其次，指导、调节、控制学生的思维活动，使之与教师的数学思维活动（也即数学家的思维活动）同步，并逐步实现学生的思维结构向数学家的思维结构转化；最后，帮助学生发现及总结开展数学思维活动的规律、方法及技巧。
著名德国数学家希尔伯特（Hilbert，1862～1943）在哥根庭大学任教时，常常在课堂上即兴提出一些新的数学问题，并立即着手解决．虽然他并非每次都能得到圆满的解答，甚至有时把自己“挂”在黑板上，但他展现的思维过程却使学生受益匪浅。追根溯源，希尔伯特的老师，著名的德国数学家富克斯（Fuchs，1833～19 02）教授在为希尔伯特上线性微分方程时，就采用了这样一种教学风格。富克斯对所讲内容总是现想现推，这使希尔伯特和他的同学们看到了高明的数学家创造性活动的思维过程。我国数学家华罗庚教授在自己的教学生涯中，也一向重视概念产生、命题形成及思路获得的思维过程的教学，并着意回答学生提出的“你是怎样想出来

的”一类问题。这些事例充分说明了展现数学思维过程对于培养学生创造性思维的重要作用。
2、激发学生的好奇心、求知欲
李政道说：“好奇心很重要，有了好奇心，才敢提出问题。法国作家法朗上说：“好奇心造就科学家和诗人”。教师的责任在于把学生的好奇心成功地转移到探求科学知识上去，使这种好奇心升华为求知欲。具体来说，在教学过程中根据学生的特点和水平，采取适当的启发学生积极思维的教学方法，让学生主动地去探索数学真理，培养学生学习数学的兴趣和刻苦钻研数学问题的热情和毅力。引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，爱护、支持和鼓励学生中一切含有创造因素的思想和活动。
3、加强数学直觉思维训练
直觉思维作为数学思维三种基本类型之一，经常与解决数学疑难问题相联系，伴随数学创造性思维出现。在数学创造性思维过程中，人们常常依靠直觉、灵感进行选择、判断形成数学猜想，在数学创造活动中起着重要的作用。培养数学直觉思维的重点是重视数学直觉。直觉尽管“突如其来 ”，但并不是神秘莫测的东西，它是在长期积累起来的知识和经验的基础上所形成的，是可以培养的。徐利治教授就曾说过：“数学直觉是可以后天培养的。实际上每个人的数学直觉也是不断提高的”。他认为数学直觉思维的能力是可以在学习数学的过程中逐步地成长起来的。其中特别重要的一环就是在学数学的过程中应当努力达到“真懂”或“彻悟”的境界。一般认为，在数学教学中加强直觉思维的训练应当从以下几个方面入手：
1）提供丰富的背景材料，恰当地设置教学情境，促使学生做整体思考。数学直觉思维的重要特征之一就是思维形式的整体性。对于面临的问题情境首先从整体上考察其特点，着眼于从整体上揭示出事物的本质与内在联系，往往可以激发直觉思维，从而导致思维的创新。
2）引导学生寻找和发现事物的内在联系。数学直觉思维的另一个重要特征，是思维方向的综合性。在数学教学中，引导学生从复杂的问题中寻找内在的联系，特别是发现隐蔽的联系，从而把各种信息做综合考察并做出直觉判断，是激发直觉思维的重要途径。
3）教学中要安排一定的直觉阶段，给学生留下直觉思维的空间。学生的思维能力是在实践和训练中发展的，在教学中适当推迟做出结论的时机，给学生一定的直觉思维的空间，有利于在整体观察和细部考察的结合中发现事物的内在规律，做出直觉判断，这是发展学生直觉思维能力的必要措施。
4）鼓励学生大胆猜测，养成善于猜想的数学思维习惯。猜想是一种合

情推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成。数学教学中许多命题的发现、思路的形成和方法的创造，都可以由学生通过数学猜想而得到。因此，应当精心安排教材，设计教法，在引导学生开展各种归纳、类比等丰富多彩的探索活动中，鼓励他们提出数学猜想和创见。一般说来，知识经验越多、想象力越丰富，提出数学猜想的方法掌握得越熟练，猜想的置信度就越高，实现数学创造的可能性也就越大。培养敢于猜想，善于探索的思维习惯是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质。下面通过一则生动的教学实例来说明直觉思维训练的途径。
4、加强发散思维训练
发散思维是一种开拓性、创新性的思维，它是创造性思维的主要形式，加强发散思维的训练无疑对创造性思维的培养具有重要的意义。
发散思维的过程包含两个基本环节，一是发散对象（或发散点），二是发散方式。数学中的发散对象是多方面的。如对数学概念的拓广，对数学命题的引伸与推广（包括分别对条件、结论、关系的发散），对数学公式、法则的变形与派生等。发散的方式也是多种多样的，如对命题而言，可以是替换命题的条件或结论；也可以是减弱条件，加强结论；或是予以特殊化、一般化；还可以进行类比、推广等。在解决数学问题时，可以将解题的途径、思想、方法等作为发散点进行发散。因此，在数学教学中，只要能抓住时机，以研究的数学对象作为发散点进行多种方式发散，便能有利于发散思维能力的培养。