(完整版)微积分初步课程期末复习
电大微积分初步专科期末复习题汇编
微积分初步、填空题 20.微分方程y J y, y(0) =1的特解为y=e 的x 次 方1•函数f (x)二1的定义域是 In(x -2) 121.函数 f (x)--In (x + 2)(-2,-1) 一(-1,2] _ •4 - x 2的定义域是答案: (2,3) 一(3,：：) 22若函数f (x)=2.函数 y =XZU 3的间断点是= X +1 •答案：X = -13•曲线 f (x^ . x 1在(0,1)点的斜率是 •答案:4.若 f(x)dx=cos2x ，c ,则 f (x) 答案：-4cos2x 5•微分方程x< (y )3 =0的阶数是 6屈数 2 f(x 1) = x 2x , f(x)二 •答案:x 2 -17 •函数 2xsin- +k, x 2, x 一°在x = 0处连续,x =0 8•曲线 f(x)= x 1在(0,1)点的斜率是 _•答案: 9. ：(3x 3 -5x 2)dx 二•答案：4 10.微分方程x< (y )3 -sin y = 0的阶数是答案：2 11.函数f (x)二——1一 的定义域是 •答案: J4 -x 2— (-2,2)12.若鸣于=2，则“•答案：2 13.已知 f(x) =1 n x ，则 f (x)= •答案: 14.若 sinxdx = •答案：-COSX ■ c 15.微分方程x< (y )4sin x 二的阶数是 316.函数 f (x)= 1• 4-x 的定义域是(-2,-1)ln(x 2) U (-1 , 4】. 皿=2，则C. kx 17.若 limX — 18.曲线y =e x在点(0,1)处的切线方程是_y=x+1__. d e 2 19.In(x 1)dx 二_0dx 1x 2 2, k,x -- 0 x"在x = °处连续，则23.曲线y「x 在点W)处的斜率是一二•2X25.微分方程y ' 2x 满足初始条件y(0) = 1的特解为—f (x)二26.函数l n (x-2)的定义域是 答案：(2,3) - (3, •：：) 1f (x)= 27•函数 答案：(i_5)f (x)二28•函数 ln(x 2)答案：(-2,-1)(-1,2]f(x-1) =x 2 -2x 7 ---- 4「X 2的定义域是 29.函数 答案：x 2则 f(x)二f(x)二x 2 2 xe30•函数 答案：231.函数 f(x -1)= 答案：x 2-1X 2 -2x -3 y32 •函数 答案：x =T1lim xsin —二33 • x —凡 x 答案：1sin 4xlim34 若 x e sin kx 答案：2sin 3xlim35 •若 ％ Rkxx^Ox 0则 f(0)二X -2x ，则 f(X )= 的间断点是二 2，则k =3答案：2 - 136•曲线f (x )iX 1在(1,2)点的斜率是2 . X 37•曲线f (x )二e 在(0,1)点的切线方程是 八X/ .138.曲线y = X 2在点(1, 1)处的切线方程是1 3 y x —2 2 39. x 1ln22X (2X )=2 x40. 若 y = x (x -1)(x -2)(x -3)，则 y(0) = — 6 . 41. 已知 MX)，"则 f (3) =27(1In3).1 42. 已知 f (x )"nx ，则 f (X )J7.43. 若 f (x )=xe 」，则 f (0)二—2 . 44 .函数f (x ) =ax 7在区间(0,=)内单调增加, 10 若 f(x)dx = F(x) c 则 xf(1 — x)dx 二1 2 F(1 - x ) c2 1 2f i (sin xcos2x —x )dx = _______. 2 _ 3兀5為(x —4x 十 cosx)dx = _____ . 55 .答案：256 .已知曲线y = f(x)在任意点x处切线的斜率为 x ，且曲线过(4,5)，则该曲线的方程是 _________答案：y -2x= -313 (5x-3x 2)dx =57 .若」答案: 54.答案: 58 .由定积分的几何意义知,2二 a____ 答案：4a 2 - x 2 dx则a 应满足大于零 45 .若f (x )的一个原函数为In x ，则 f (x)=_______________________ O答案：4 d 59 .，它是1/4半径为a 的圆的面积。
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基本知识复习一、不定积分1．不定积分概念，第一换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数 F x 与 f x 在区间a,b 内有定义，对任意的x a, b ，有F ' x f x 或 dF x f x dx ，就称 F x 是 f x 在 a,b 内的一个原函数。
如果 F x 是函数 f x 的一个原函数,称 f x的原函数全体为 f x 的不定积分 ,记作f x dx F x C ,（2）不定积分得基本性质1．df x dx f x 2。
F 'x dx F x Cdx3。
Af x Bg x dx A f x dx B g x dx.（ 3）基本不定积分公式表一(1) kdx kx C k是常数，（2) x dx x 1C 1 ,1（3）1dx ln x C, x(4)dxarctan x C , 1 x2(5)dxarcsin x C , 1 x2(6) cos xdx sin x C ,(7) sin xdx cos x C ,(8) dxx sec2 xdx tan x C ,cos2(9) dx csc2 xdx cot x C ,sin 2 x(10) secx tan xdx secx C ,(11) csc x cot xdx csc x C ,(12) a x dx a x C,ln a(13) shxdx chx C ,(14) chxdx shx C ,(15)1dx thx C, ch2x(16)1dx cthx C .2sh x（3）第一换元积分法（凑微分法）设 f u 具有原函数, u x 可导 ,则有换元公式f x ' x dx f u du .u x2．第二换元积分法，分部积分法（1）第二换元积分法设 x t 是单调的、可导的函数,并且't0 .又设f t't具有原函数, 则有换元公式f x dx ft ' t dt 1 ,t x其中1 x 是 x t 的反函数.（2）分部积分法设函数 uu x 及 v v x 具有连续导数 ,那么 ,uv ' u ' v uv ' ,移项 ,得uv ''' v.uv u对这个等式两边求不定积分,得uv 'dx uvu 'vdx.这个公式称为 分部积分公式 .它也可以写成以下形式:udv uv vdu.（3）基本积分公式表二(17) tan xdxln cosx ， C（18 cot xdx ln sin x C,)（19） secxdx ln sec tan x C,(20) cscxdx ln cscx cot x C, (21)dxx 21arctanxC,a 2 a a(22)x 2dx2 dx1 ln x a C,a2a x a (23)dx arcsin xC,a 2 x 2a(24)dxln xx 2 a 2C,x 2 a 2(25)dx ln xx 2 a 2C.x 2 a 2（ 3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、 有理函数的积分P x两个多项式的商称为 有理函数 ，又称为 有理分式 .我们总假定分子多项式P xQ x与分母多项式Q x 之间是没有公因式的. 当分子多项式P x 的次数小于分母多项式Q x 的次数时 ,称这有理函数为 真分式 ,否则称为 假分式 .利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式 , 由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式P n xx 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种Q m,首先将 Q mx类型 :一种是k2 l2x a , 另外一种是 xpx q ,是正整数且 p 4q 0 ; ,根其中 k, l 其次 据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和 .具体的做法是 :若Q m xxk,则和式中对应地含有以下 k 个分式之和 :分解后含有因式 aA 1A 2A k,xax 2Lx kaa其中 : A 1,L , A k 为待定常数 .若 Q mxx 2px q ll 个分式之和 :分解后含有因式 ,则和式中对应地含有以下M 1x N 1M 2 x N 2 LM l x N l l,x 2px qx 2 2x 2px qpx q其中 : M i , N i i1,2, L , l 为待定常数 .以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为 把真分式化为部分分式之和 ,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、 可化为有理函数的积分举例例 41 sin x 求dx.sin x 1 cos x解 由三角函数知道 , sin x与 cos x 都可以用 tan x 的有理式表示 ,即2x x 2 tan x2 tan xsin x 2 2 ,2sin cos2 2 2 x 1 tan 2 xsec 2 2cos 2xx1 tan2 x 1 tan 2 xcos x sin 2 2 x 2 2 .2 2 1 tan 2 xsec22 如果作变换 u tanxx,那么22sin x2u 2 ,cos x 1 u2 ,1 u 1 u而 x 2arctan u, 从而dx2 2du .1 u于是1 sin xdxsin x 1 cos x12u 2duu 2 1 u 212u1 u 21 2 1 2u1 u1 u2 1 du2u1 u2 2u ln uC221tan 2x tan x 1ln tanxC.4 2 2 2 2例 5求x 1x dx.解 设 x 1 u ,于是 xu 2 1,dx 2udu, 从而所求积分为x 1dx u 1 2udu 2 u 2 dux u 2 u 212 1 1 2 du 2 u arctanu Cu12x 1 arctan x 1C.例 6求dx.1 3x2解 设 3x 2 u ,于是 x u 3 2, dx 3u 2du , 从而所求积分为1dx23u 2 du3 x 1 u3 u 11 du1 u223 u u ln 1 uC33x33 x 23ln 1 3 x 2 C.222例 7求dx.3x1x解 设 xt 6 ,于是 dx6t 5dt , 从而所求积分为dx6t 5t 213xx1 t2 t 3dt61 t 2dt6 11 dt6 t arctan tC1 t 26 6 x arctan 6 xC.例 8求 11 xdx.xx解1 x1 x212tdt从而所求积分为设t 于是t , x2, dx2,x,2xt 1t11 1 xt 21 t2t2 dt2t 2dx22dtxxt 1t 12 11 1dt2t ln t 1 Ct 2t 12t2ln t 1 ln t21 C2 1 x 2ln 1 x1ln x C.xx二、 定积分（ 1） 定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（ 1） 定积分的概念1。
微积分知识点总结(期末考研笔记)
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
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微积分期末复习总结资料（精品）首先，就是要有正确的复习方法。
在这里，我们也给大家提供几种有效的方法以供参考：第一、大家首先要克服浮躁的毛病，养成看课本的习惯。
其实，所有的考试都是从课本知识中发散来的，所以在复习时就必须看课本，反复的看，细节很重要，特别是基本概念和定理。
详细浏览完课本之后，认真复习课本上的课后习题和学习指导上每章的复习小结，力争复习参考题每题都过关。
复习小结了然于心，然后再复习。
第二、制定复习计划，把时间合理分配到四个章节，尤其是第二章极限尤为重点，是整个上学期微积分理论的基础。
学好极限，对于理解连续还有导数有着重要意义，很多同学觉得越学越吃力的原因还是在于学期初没有扎实的打好知识基础。
第三、理清知识结构网络图（极限、连续、导数、不定积分），然后根据知识结构网络图去发散、联想基础概念和基本定理和每个知识点的应用计算题，对本章节的内容有个清晰的思路，这样就可以在整体上把握书本知识。
从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把握，对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能够做到回答问题的严密性。
第四、将课上老师所讲授的典型例题及做习题过程遇到的难题还有易错的题归纳整理，分析。
数学当中很容易出现同一个问题有几种不同的解决方法的情况，但是经过总结归纳之后在应试时可以选取一个最简单而且效率最高的解法。
比如，求极限的13种方法要分别练习，还有求导、求微分及求不定积分公式表要经常回顾。
第五、有条件的话可以看看往年的考试真题，针对出现较频率较高的题型，适当的做些有针对性的模拟试题。
另外，应该多做那些自己认为知识点理解、应用薄弱的题，对一些难题可在自己思考的基础上加强与同学、老师的交流，对于那些偏题、怪题笑而弃之。
其次，有了好的复习方法，还要注意复习内容，也就是复习要点。
微积分上学期的主要内容及基本要求经过详细整理分类主要包括以下三个部分，希望能够对大家的复习起到事半功倍的效果：函数、极限与连续(一)基本概念1．函数：常量与变量，函数的定义2．函数的表示方法：解析法，图示法、表格法3．函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性4．初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系5．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限6．连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算难点：建立函数关系，极限概念(二)基本要求1. 理解函数的概念，了解分段函数。
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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第一章第一节常用符号介绍一，集合符号1.集合与元素之间符号“W”表示“属于”,符号F “表示”不属于“。
2.集合之间符号” W “表示”包含于“；符号”=“表示”等于“；符号” 0“表示”空集”；符号“U”表示“并”；符号“CI”表示“和”；符号表示“差”或“余”。
二，数集符号自然数集：表示为“N”；整数集：表示为“Z“；有理数集：表示为” Q”。
显然有NCZCQCR区间设a, b WR, a<bo常用的有限区间有开区间 (a, b) ={x I a<x<b }；闭区间【a, b] ={x I aWxWb }；半开半闭区间：(a,, b] ={x I aVxWb }或【a, b) =(x I aWxVb }o常用的无限区间有(a, +oo) ={x I x>a} ； [a, +oo) ={x I xNa}(-oo, a) ={x I xVa} ； (-oo, a] ={x I xWa}邻域设aWR,对任意5>0,记数集U (a, 8) =(x I x-a| <8}= (a-5, a+5),称作以a为中心，以6为半径的邻域。
当不需要证明邻域半径5时，常将它表示为U(a),简称为a的邻域记数集U (a, 8) = (x I 0< x-a | <8}= (a—& a+6) Ta}, 即在a的5的邻域u(a, 5)中去掉a,称为a的6去心邻域。
第二节函数的概念一，函数的定义给定一个数集A,假设其中的元素为xo现对A中的元素x施加对应法则f,记作f (x),得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x之间的等量关系可以用y=f (x)表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
符号函数(1, x>0Y=sgnx< 0, x = 0(-1/ x <ro绝对值函数I . (—X, x<0 Y=|x|=I x, x > 0迪利克雷函数黎曼函数1 V一，X = 一Y 二q qto, x = 0, 1和3D内的无理数第三节数列的极限1.定义：设有数列｛%｝ , a是常数，若对任意的£>0 ,总存在自然数N ,对任意的自然数n>N ,有|a孔-a\ < £ ,则称数列｛%｝的极限是a , 或数列｛%｝收敛于a,表示为ZiTna” = a71T002.重点性质：唯一性，有界性，保序性3.数列收敛的判别方法：两边夹定理（夹逼定理），单调有界定理•夹逼定理:如果数列｛Xn｝,｛Yn｝及｛Zn｝满足下列条件：（1 ）当n>N0 时，其中NOeN* ,有YnWXnWZn ,（2 ）｛Yn｝、｛Zn｝有相同的极限a ,设-»<a<+oo单调性对任一数列｛Xj,如果从某一项Xk开始，满足Xk <X k+l <X k+2 < ......则称数列（从第k项开始）是单调递增的。
微积分Ⅰ总复习 完整版
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x x0 x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
un为常数
un
n 1
un为函数 un ( x )
常数项级数
一 般 项 级 数
在收敛 条件下
取 x x0
函数项级数
正 项 级 数
任 意 项 级 数
级数与数 相互转化
收 敛 半 径 R
幂级数 泰勒展开式
R( x ) 0
三角级数 傅氏展开式
满足狄 氏条件
泰勒级数 数或函数
傅氏级数
函 数
数
a 等式 x n a 都成立,那末就称常数 是数列x n a 的极限,或者称数列x n 收敛于 ,记为
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n
" N "定义
0, N 0, 使n N时, 恒有 xn a .
定义 2
续
定
义
lim y 0
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 )
间断点定义
左右连续
在区间[a,b] 上连续 非初等函数 的连续性
连续的 充要条件
连续函数的 运算性质 初等函数 的连续性
第一类 第二类 可跳 去跃 间间 断断 点点 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的 性 质
关 dy y dy y dx y dy o( x ) 系 dx
大学数学微积分复习重点
大学数学微积分复习重点微积分是大学数学中的重要组成部分，对于理工科和经济类专业的学生来说，掌握微积分知识至关重要。
为了帮助大家更好地复习微积分，以下是一些重点内容。
一、函数与极限函数是微积分的基础，要理解函数的概念，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
掌握常见函数的性质和图像，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
极限是微积分的核心概念之一。
要掌握极限的定义、性质和运算法则。
学会求各种类型的极限，如数列极限、函数极限（包括趋向于无穷大、某一点等情况）。
熟练运用极限的四则运算法则、两个重要极限以及等价无穷小替换等方法来计算极限。
二、导数与微分导数是函数的变化率，要理解导数的定义和几何意义。
掌握基本初等函数的求导公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数。
熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。
微分是导数的应用，理解微分的概念和几何意义。
掌握微分的运算法则，以及利用微分进行近似计算和误差估计。
三、中值定理与导数的应用中值定理是微积分中的重要定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
要理解这些定理的条件和结论，并能够运用它们证明相关的问题。
导数的应用广泛，如函数的单调性与极值、函数的凹凸性与拐点、函数图形的描绘等。
通过求导判断函数的单调性和极值点，利用二阶导数判断函数的凹凸性和拐点，能够准确地描绘出函数的图形。
四、不定积分与定积分不定积分是求导的逆运算，要掌握不定积分的基本公式和积分方法，如换元积分法、分部积分法。
定积分是微积分的重要内容，理解定积分的定义、几何意义和性质。
掌握定积分的计算方法，包括牛顿莱布尼茨公式。
能够运用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
五、反常积分反常积分包括无穷限的反常积分和无界函数的反常积分。
要理解反常积分的收敛和发散的概念，掌握反常积分的计算方法和判别敛散性的方法。
六、多元函数微积分对于多元函数，要理解多元函数的概念、定义域、值域。
微积分初步课程期末复习(1)word资料5页
《微积分》教学大纲（经济、管理类专科各专业）函数函数的概念;函数的几何性质; 反函数;基本初等函数;复合函数;初等函数。
极限与连续数列的极限;函数的极限;无穷小与无穷大;极限的运算。
极限存在准则,两个重要极限;无穷小的比较,等价无穷小。
函数连续的概念,间断点。
基本初等函数和初等函数的连续性。
闭区间上连续函数的最大值最小值定理及介值定理.曲线的渐近线。
导数与微分导数的概念及几何意义;基本初等函数的导数公式;函数的和、差、积、商的求导法则;复合函数的导数;隐函数的导数;对数求导法;高阶导数。
微分的概念;微分的运算法则。
微分中值定理导数的应用微分中值定理;洛必达法则。
函数的单调性;函数的极值;最大值、最小值及其应用问题。
曲线的凹向与拐点;函数作图。
边际概念与函数的弹性;极值的经济应用问题.不定积分原函数与不定积分的概念;基本积分公式与运算性质;换元积分法;分部积分法。
一阶微分方程.定积分及其应用定积分的概念及性质;变上限的定积分;微积分基本定理;牛顿—莱布尼兹公式。
定积分的换元积分法与分部积分法。
无限区间的广义积分;定积分在几何、经济中的应用。
多元函数微分学空间直角坐标系,曲面与方程,平面区域。
多元函数的基本概念;二元函数的极限与连续。
偏导数与全微分方程的概念;复合函数的微分法;隐函数的微分法。
二元函数的极值。
参考教材：高等教育出版社出版的《微积分》(刘书田冯翠莲编)中国人民大学出版社出版的《微积分》及其学习指导书大纲说明一、课程的性质、目的和任务本课程是经济管理类学生必修的基础理论课。
通过学习，使学生获得一元函数学微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能以及多元函数微分学的初步知识。
为学习后继课程奠定必要的数学基础，同时培养学生的自学能力，逐步学会用科学的方法解决问题。
二、课程的内容和基本要求理解下列基本概念以及它们之间的内在联系：函数、极限、连续、导数、微分、不定积分、微分方程、定积分、偏导数、全微分。
电大专科《微积分初步》复习题及答案
电大微积分初步考试小抄一、填空题 ⒈函数xx f -=51)(的定义域是→x ＜5⒉∞→xx x sin lim1sin lim =∞→x x ，01→∞→x 时， ⒊已知xx f 2)(=，则)(x f ''⒋若⎰+=c x F xx f )(d )(，则⎰-x x f d )32(⒌微分方程x y y x =+'''e sin )(y '''6.函数)2ln(1)(+=x x f }{}{}122-1ln )2(ln 2-x 02ln 0≠+⇒≠+⇒≠+x x x x ，＞，＞，＞ ∴{}1- 2-x |≠且＞x 7.→x x x 2sin lim 0 211212lim 2sin lim 00=⋅=→→x x x x x x 21:222sin lim0==→x x x 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0)y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x 2-x)(x 2-5x+6)=x 4-5x 3+6x x 2-6x=x 4-6x 3+11x 2-6x , 622184y 23x-+-='x x ⇐（把0带入X ）,6)0(-='∴y 9.⎰-x x d ed 2)()(x f dx x f ='⎰）（或dx xf dx x f d )())((=⎰ 10.微分方程1)0(,=='y y y y y =' y dxdy= ⎰⎰==∴dx dy dx y dy y 两边积分 e c x y +=∴又y(0)=1 (x=0 , y=1) c x y +=∴ln 010==∴+c e c，11.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是⎩⎨⎧-≠≤-⇒⎩⎨⎧≠+≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠++≥-122122x 21ln )2ln(2-2x 2-0)2(ln 02042x x x x x x x x ＜＜＞＞ 12.若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则k )()(lim00x x f x f x =→ ()(x f 在x 0处连续) ∵k f =)0(113sin 0lim )13sin (0lim =+⋅→=+→∴xx x x x x（无穷小量x 有界函数） 13.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是xx y 2== ， x y 2121-=' 切k y ==='∴211x |2121y)1(11y +=⇒-=-∴∴x x 方程 14.'⎰x x s d )in (15.微分方程y y x y sin 4)(5=+''16.函数)2ln()(-=x x x f {}3x 2x |122)2ln(20)2ln(02≠⇒⎩⎨⎧≠-⇒⎩⎨⎧≠-⇒⎩⎨⎧≠--且＞＞＞＞x x x n x x x x 17.∞→xx x 2sin lim 18.已知x x f 3)(+=，则)3(f '3ln 3)(2xx f +='3ln 2727)3(+='∴f19.⎰2de x 20.微分方程x y xyy sin 4)(7)4(=+ 二、单项选择题⒈设函数2e e xx y +=-，则该函数是（偶函数）．∵所以是偶函数)(2e e )(x f x f xx =+=--⒉函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（2,1==x x ）分母无意义的点是间断点∴2,1,0232===+-x x x x⒊下列结论中（)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导）正确．可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上⒋如果等式⎰+-=c x x f x x 11e d e )(，则=)(x f)()1()()(,1u )(),()(,)()(111'-•='-•'='∴=-=='∴='∴+=⎰---x e xe e e y xe xf x F C x F dx x f u u x u x，令22112121)()()(xx f x e e x f xex e xxxu=∴=∴=•=----⒌下列微分方程中，（x yx y y sin =+' ）是线性微分方程． 6.设函数2e e xx y --=，则该函数是（奇函数）．7.当=k （2 ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k xx x f 在0=x 处连续.8.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（x -3）．9.11.设1)1(2-=+x x f，则(x f 12.若函数f (x )在点x 0处可导，但)(0x f A ≠)是错误的．13.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（先减后增） 14.=''⎰x x f x d )((c x f x f x +-')()(）16.17.当=k （2）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1e )(x k x x f x 在0=x 处连续.18.函数12+=x y 在区间)2,2(-是（先单调下降再单调上升）19.在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x 2+ 3）．20.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为（xy e =）．三、计算题⒈计算极限423lim222-+-→x x x x ． 解:41)2()1(lim 2)2(1(lim22=+-=---→→x x x x x x x ） ⒉设x x y x+=-2e，求y d . 解：x e x e xx 23221x2-+=⨯+-e y x 21-=e y u=1，u= -2x)(11e y u =′·(-2x)′=e u·（-2）= -2·e -2x∴y ′= -2e -2x +x 2123 ∴dy=(-2·e -2x+x2123)dx⒊计算不定积分x xx d sin ⎰解：令u=x21x =,u ′=xx 212121=-∴dx xdu21=∴u sin ·2du=⎰udu sin 2=2(-cos)+cc x x xde 210x∴⎰1u v ′dx=uv x vd u -110|'⎰1)(010101110|||=-'-=-=-⋅=∴⎰⎰e e ee ee e e x dxx dx x x x xx x∴原式=25.计算极限9152lim 223--+→x x x x34353lim )3)(3()3)(5(3lim =++→=+--+→x x x x x x x x6.设x x x y cos ln +=，求y d 解：x x x y xxcos ln cos ln 2321+=+⋅=y 1=lncosxy 1=lnu1,u=cosx ∴xx x u x u ycos sin )sin (1)(cos )(ln 11-=-⋅='⋅'=y 1=xxx cos sin 2321-∴dy=(xx x cos sin 2321-)dx7.计算不定积分x x d )21(9⎰-解：dx x ⎰-)21(9令u=1-2x , u ′= -2 ∴du dx x du 212-=⇒-=c c dudu x u u u+-=++⋅-=-=-⋅-⎰⎰20192121)21()21(1010998.计算定积分x x xd e 1⎰-解：u=x,e e xx v v ---=='， )()(1111010|x d dxx dx x e e e e e xxx x--=--⋅-=⋅⎰⎰⎰-----=1)11(1|11=--=---ee e e x9.计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x3212lim )4)(1()4)(2(lim 44=--=----→→x x x x x x x x 10.设x y x3sin 2+=，求y dy 1=sin3x y 1=sinu , u=3x ,x y3cos 3x 3sinu 1='⋅'='）（）（∴y ′=2xln2+3cos3x ∴dy=(2xln2+3cos3x)dx 11.计算不定积分x x x d cos ⎰⎰xdx x cos u=x , v ′=cosx , v=sinx ⎰⎰+--=-⋅=cx x x xdx x x xdx x )cos (sin sin sin cos12.计算定积分x x x d ln 51e1⎰+⎰⎰⎰⎰+=+=+e e e edxx x dxx x x dxx x dx x 11e111ln 51ln 5ln ln 51|令u=lnx, u ′=x1, du=x 1dx , 1≤x ≤e 0≤lnx ≤1∴2121ln |102101===⎰⎰u udu dx x x e∴原式=1+5·21=2713.计算极限623lim 222-++-→x x x x x解：5131lim )2)(3x ()1)(2(lim22=+-=-+--→→x x x x x x x 14.设xx y 12e =，求y '解：ex xy 12⋅=(ey x11=) ,ey u=1, xu 1= ,xe x e e y xu u x 21211)1()1()(-=-⋅='⋅'=) ee xe x e e x e x x1x12x12x1x12x122)(2)()(y -=-⋅+='⋅+⋅'='∴x x15.计算不定积分x x d )12(10⎰-解：dx x ⎰-)12(10u=2x-1 ,d '=2 du=2dx∴c du du dx u uux +⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰-1121212111101010)12(c x +=-）（121121 16.计算定积分⎰1d e x x x解：dx x e x⎰⋅1u=x , e xv =' , e xv =1)1(1110|=--=-⋅=⎰⎰e e dx x dx x e e e xx x四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h,表面积为s ，且有h=x24所以S(x)=x 2+4xh=x 2+x16'xx S 2162-='令S '（x ）=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。
《微积分初步》期末复习典型例题
《微积分初步》期末复习典型例题一、函数、极限与连续（一）考核要求1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法.2.了解极限概念，会求简单极限.3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点. （二）典型例题 1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 答案：1)(2-=x x f （6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x （7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim=→kxx x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题 （1）设函数2e exxy +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（ ）．A ．x x sinB ．2e exx+- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题 （1）423lim222-+-→x x x x ．解：4121lim)2)(2()1)(2(lim423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x（2）329lim 223---→x x x x解：234613lim)1)(3()3)(3(lim 329lim33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x （4）计算极限xx x 11lim 0--→．解：)11(11lim)11()11)(11(lim11lim00+---=+-+---=--→→→x x x x x x x xx x x x21)11(1lim 0-=+--=→x x（5）计算极限xx x 4sin 11lim 0--→解：xx x 4sin 11lim0--→)11(4sin 11lim)11(4sin )11)(11(lim0+---=+-+---=→→x x x x x x x x x81)11(4sin 44lim)11(4sin lim-=+--=+--=→→x x xx x xx x二、 导数与微分 （一）考核要求1.了解导数概念，会求曲线的切线方程.2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则)，会求简单的隐函数的导数.3.了解微分的概念，掌握求微分的方法.4.了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法. （二）典型例题1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：e x y +=（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：xx f 1)(='，)(x f ''=21x-（5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2答案：C（2）设y x =lg 2，则d y =（ ）．A ．12d xx B ．1d x x ln 10C ．ln 10xx d D ．1d xx答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设x x y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx-+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2c o s s i n 34c o s 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '.解：2121(21exx y x -+='+（4）设x x x y cos ln +=，求y '. 解：)sin (cos 12321x xx y -+=' x x tan 2321-=（5）设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：方程两边对x 求导，得0)(22='+-'+y x y y y xxy x y y --='22于是得到x xy x y y d 22d --=（6）设2e e cos y x y x =++，求y d ． 解：方程两边对x 求导，得y y y x yx'='++-2e e sin yx y yx 2e e sin --='于是得到x yx y yx d 2e e sin d --=三、导数应用 （一）考核要求1.掌握函数单调性的判别方法.2.了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法.3.掌握求函数最大值和最小值的方法. （二）典型例题1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞ （2）函数1)(2+=axx f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．答案：0>a 2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案：Ａ（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．x eC ．2xD ．x -3 答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x ==xx xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x xy ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，361082==h 用料最省.（2）用钢板焊接一个容积为43m 的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh =所以,164)(22xx xh x x S +=+=2162)(xx x S -='令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元） 4.证明题（1）证明函数x x f 23)(-=，在定义区间上是单调下降的.证明 因为x x f 23)(-=的定义区间为),(+∞-∞，且02)(<-='x f ，所以x x f 23)(-=在),(+∞-∞是单调下降的.（2）证明函数x x x f e )(-=在（)0,∞-是单调增加的．证明：因为在（)0,∞-上，有0e 1)(>-='x x f ，所以函数x x x f e )(-=在（)0,∞-是单调增加的.四、 一元函数积分 （一）考核要求1.理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法.2.了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分.3. 了解广义积分的概念，会计算简单的无穷限积分。
大一“微积分”期末复习资料指导
大一“微积分”期末复习资料指导第一章节 函数一．本章节要点复合函数及分解，初等函数的概念。
二．复习基本要求1、 理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。
2、能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。
3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。
其中⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 xy e=互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln vu v ue =⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。
5、 知道分段函数，隐函数的概念。
. 三．参考示例例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2sin x y e = ⑵.21arctan()1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。
解：⑴.2,,sin u y e u v v x===⑵.21arctan ,, 1.y u u v x v===+例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答：cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是(,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=. cot14arc π=四．练习题及参考标准答案1. ()arctan f x x =则f (x )定义域为 ，值域为f (1) = ；(0)f = .2.()arcsin f x x =则f (x )定义域为 ，值域为f (1) =；f = .3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -=⑵.3ln(1)y x =-标准答案：1.（-∞ +∞）, (,)22ππ-,,04π2. []1,1,,,,2223ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.3. ⑴.,3u y e u x ==-⑵.3ln ,1.y u u x ==-自我复习：习题一.（A ）55．⑴、⑵、⑶； 习题一.（B ）.11.第二章节 极限与连续一．本章节要点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。
(完整版)微积分复习资料
基本知识复习一、 不定积分1． 不定积分概念，第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+⎰（2） 不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=⎰2。
()()'F x dx F x C =+⎰ 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（3）基本不定积分公式表一()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dxxdx x C x x μμμμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3） 第一换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰2． 第二换元积分法，分部积分法（1） 第二换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.又设()()'f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2） 分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-⎰⎰（3） 基本积分公式表二(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分 两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式()()n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是()kx a -,另外一种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、可化为有理函数的积分举例 例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++⎰解 由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ 而2arctan ,x u =从而22.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰⎰例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从而所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =⋅=++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 例6求解u =,于是322,3,x u dx u du =-=从而所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰例7 求解 设6x t =,于是56,dx t dt =从而所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰例8求.解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从而所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-⋅=----⎛⎫=-+=--+ ⎪-+⎝⎭=-++--+⎫=-++⎪⎪⎭⎰⎰⎰二、 定积分（1） 定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 （1） 定积分的概念1。
精选-经济数学微积分期末复习资料
经济数学--微积分大一下期末复习资料 考试题型：1.求偏导数5*8’=40’2.求偏弹性1*6’=6’3.条件极值1*6’=6’4.二重积分2*6’=12’5.微分方程与差分方程4*6’=24’6.无穷级数2*6’=12’ a.判断正项级数敛散性判断交错级数敛散性及条件或绝对收敛 b.求和函数（收敛半径、收敛域）求和函数展开式一.求偏导类型1：展开式形式，如：xy z =求解：将求的看做变量，另一个看做常数。
求二阶时，只要对相应的一阶再求一次即可。
Eg ：设13323+--=xy xy y x z ，求22x z ∂∂、x y z ∂∂∂2、yx z∂∂∂2、22y z ∂∂解：y -y 3-y x 3xz322=∂∂x -x y 9-y x 2yz23=∂∂22x z ∂∂=2x y 6x y z ∂∂∂2=1-y 9-y x 622 yx z ∂∂∂2=1-y 9-y x 622 22y z ∂∂=x y 18-x 23类型2:），（y x z f =求解：画链式法则进行求解xEg ：）（z ，，xy y x f w ++=，求zx wx w ∂∂∂∂∂2，解：设u=x+y+z ，v=xyz ，），（v u f w =则链式法则如右图所示参考资料：课本练习册7-16页 二.求偏弹性经济数学-微积分P310 例8 PS ：例8答案中2221222221222P P P Q P P P Q -=∂∂-=∂∂应改为wvx zy y参考资料：练习册21-22页 三.条件极值求解：找出目标函数与约束条件，设出拉格朗日函数，解方程组，得出答案。
参考资料：练习册19-20页 四.二重积分类型1.直角坐标系下 a.X 型 先积x 再积y b.Y 型 先积y 再积x 类型2.极坐标系下 ⎩⎨⎧==θθrsin y rcos x θσrdrd d =：PS求解：1.做出积分区间2.判断适合用直角坐标解答还是极坐标3.如果适合用直角坐标系解答，判断是X 型还是Y 型。
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《微积分初步》课程期末复习第一部分课程的说明《微积分初步》是电大专科数控技术、计算机网络技术、计算机信息管理等专业的一门必修的重要基础课程，通过本课程的学习，使学生对微分、积分有初步认识和了解，使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，并逐步培养学生逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为学习本专业其它课程和今后工作的需要，打下必要的基础。
本课程选用教材是《微积分初步》，中央电大出版社出版，赵坚、顾静相编。
本课程的形成性考核仍采用中央电大统一规定的课程形成性考核作业，一共四次，形成性考核作业挂到网上。
本课程的考核成绩采用期末考试成绩与形成性考核作业相结合的方法，满分为100分：期末考试成绩满分为100分，占期末考核成绩的80％；形成性考核作业满分为100分，占期末考核成绩的20％。
考试要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次．三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5．试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2．期末考试采用闭卷方式，考试时间为90分钟。
期末考试题型：填空题（每小题4分，共5题），单项选择题（每小题4分，共5题），计算题（每题11分，共4题），应用题（1题，共16分）。
填空题和单项选择题共40分，主要考核基本概念、基本性质、重要定理、基本运算、基本结果等。
计算题有：计算极限（1题，共11分）；计算导数或微分（1题，共11分），包括复合函数和隐函数求导数、导数值或微分；计算不定积分和定积分（各1题，共22分），包括凑微分法和分部积分法。
应用题16分，主要考核极值的几何应用（几何形状主要是：长方形、长方体、圆柱体等）。
第二部分考核内容和考核要求考核内容包括函数、极限与连续、导数与微分、导数应用、不定积分与定积分、积分应用等方面的知识．一、函数、极限与连续（一）考核知识点1．函数常量与变量，函数概念，基本初等函数，复合函数，初等函数，分段函数。
2．极限极限的定义，极限的四则运算。
3．连续函数连续函数的定义和四则运算，间断点。
（二）考核要求1．了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念。
熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法。
2．了解极限概念，会求简单极限。
3．了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点。
二、导数与微分（一）考核知识点1．导数导数定义，导数的几何意义。
2．导数公式与求导法则导数的基本公式，四则运算求导法则，复合函数求导法则，隐函数求导方法，3．微分的定义与计算4．高阶导数的概念及求法（二）考核要求1．了解导数概念，会求曲线的切线。
2．熟练掌握求导数的方法（导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则），会求简单的隐函数的导数。
3．了解微分的概念，掌握求微分的方法。
4．了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。
三、导数应用（一）考核知识点1．函数单调性判别，函数极值；2．导数在实际问题中的应用（以几何问题为主）。
（二）考核要求1．掌握函数单调性的判别方法。
2．了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法。
3．掌握求函数最大值和最小值的方法（以几何问题为主）。
四、一元函数积分（一）考核知识点1．原函数与不定积分原函数的概念；不定积分的定义、性质，积分基本公式；求不定积分的直接积分法、第一换元积分法和分部积分法。
2．定积分定积分的定义（用牛顿莱布尼兹公式作定义）、性质和计算。
3．广义积分（简单的无穷限积分）（二）考核要求1．理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质，掌握积分与导数（微分）的关系。
2．熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法。
3．了解定积分概念（定义、几何意义）和定积分的性质。
4．熟练掌握牛顿－莱布尼兹公式，并熟练地用它计算定积分。
5．掌握定积分的换元积分法和分部积分法。
6．了解无穷积分收敛性概念，会计算较简单的无穷积分。
五、积分应用（一）考核知识点1．已知切线斜率求曲线方程。
2．微分方程的基本概念，微分方程及其解、阶以及分类。
3．可分离变量的微分方程与一阶线性微分方程求解举例。
（二）考核要求1．掌握已知切线斜率求曲线方程。
2．了解微分方程，阶，解（通解、特解），线性，齐次，非齐次，初始条件等概念。
3．熟练掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法。
期 终 复 习 题一、填空题 1．函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是___________ 。
2．函数xy -=31＋)1ln(-x 的定义域是__________。
3．设)(x f ＝⎩⎨⎧<-≥-0101e 2x xx x ，则)0(f ＝________。
4．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f _______ 。
5．=→xxx 2sin lim0_______ 。
6．设x x y ln =，则y ''_______。
7．曲线2+=x y 在点2=x 的切线方程是_______ 。
8．函数)1ln(2x y +=在区间__________内是单调减少的。
9．函数1)2(2--=x y 的单调增加区间是 ． 10．若⎰+=c x x x f 2cos d )(，则=)(x f ．11．⎰=x x d 2cos d ___________。
12．='⎰x x d )(sin．13．=+⎰e 12dx )1ln(d d x x . 14．=+⎰x x x -d )1cos (11 .15．微分方程x y y x x sin )(e 3='+''的阶数是 ． 二、单项选择题 1．函数y ＝2421x x -++的定义域是（ ）。
（A ）[－2，2) （B ）(－2，2] （C ）(－2，2) （D ）[－2，2]2．设11)(+=x x f ，则=))((x f f （ ）。
（A ）11++x x （B ）x x +1 （C ）111++x （D ）x+11 3．函数)e e (21)(xx x f -+=的图形关于（ ）对称．（A ）x y = （B ）y 轴（C ）x 轴 （D ）坐标原点 4、当0→x 时，变量（ ）是无穷小量．(A) x 1 (B) xx sin (C) 1e -x(D) 32x x5．函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ()．（A ）-2（B ）-1（C ）1 （D ）26．曲线x x y -=3在点(1,0)处的切线方程是（ ）。
（A ）22+=x y （B ）22+-=x y （C ）22-=x y （D ）22--=x y 7．若x x f xcos e)(-=，则=')0(f （ ）。
（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 8．函数322-+=x x y 在区间)4,2(内满足（ ）．(A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升(C) 先单调下降再单调上升 (D) 单调下降 9．函数y ＝x 2－2x ＋5在区间 (0，1) 上是（ ）。
（A ）单调增加 （B ）先单调增加，后单调减少 （C ）单调减少 （D ）先单调减少，后单调增加 10．下列式子中正确的是（ ）。
（A ）x x f x x f xd )(d )(d d=⎰ （B ）⎰=)()(d x f x f （C ）⎰=')(d )(x f x x f （D ）x x f x x f d )(d )(d =⎰11．以下计算正确的是（ ）（A ）3ln 3d d 3x xx = （B ）)1(d 1d 22x xx +=+ （C ）x xxd d = （D ） )1d(d ln x x x =12．若x x f cos )(=，则='⎰x x f d )(（ ）． (A) c x +sin (B) c x +cos(C) c x +-sin (D) c x +-cos 13．=⎰-)e (d xx （ ）。
（A ）c x x+-e（B ）c x x x ++--e e（C ）c x x+--e（D ）c x x x +---e e14．下列定积分中积分值为0的是（ ）．（A ）x xx d 2e e 11⎰--- （B ）x xx d 2e e 11⎰--+ （C ）x x xd )cos (2⎰-+ππ （D ）x x x d )sin (2⎰-+ππ15．微分方程y y -='的通解是（ ）。
（A ）x c y -=e （B ）xc y e = （C ）c y x+=-e （D ）c y x +-=e三、计算题1．计算极限：69lim 223-+--→x x x x 2．计算极限423lim 222-+-→x x x x3．计算极限32)1sin(lim 21-+-→x x x x 4、计算极限5456lim 221--++-→x x x x x5．设)0(211y xy '+=，求 6．设x y x21sin e +=，求y '7．设y x y x'-=，求2sin 2cos 8．计算不定积分：⎰+x x x d 1)ln (9．计算不定积分：⎰+x x d )12(5 10．计算不定积分：x x x d 1sin2⎰11．计算不定积分：⎰x x x d 3sin 12．计算定积分：x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+13．计算定积分：⎰π20d sin x x x 14．计算定积分：⎰20d 2cos πx x x15．计算定积分：⎰-102d e x x x四、应用题1．用钢板焊接一个容积为34m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？2．某厂要生产一种体积为V 的无盖圆柱形铁桶，问怎样才能使用料最省？3．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？综合练习答案一、填空题1．2>x 且3≠x 2。
)3,1( 3。
0 4。
12-x 5．21 6。
x 1 7。
2341+=x y 8。
)0,(-∞ 9．),2(+∞ 10。
x 2sin 2- 11。
x x d 2cos 12。
c x +sin13．0 14。
2 15。
二阶 二、单项选择题1．B 2。
A 3。
B 4。
C 5。