上海八年级数学第一学期-知识点总结

《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o等 二、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。

注意:a 的双重非负性：a ≥03、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。

表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

三、二次根式计算1、含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。

2、性质：（1）)0()(2≥=a a a（2）==a a 2（3）)0,0(≥≥•=b a b a ab （)0,0(≥≥=•b a ab b a ）（4）)0,0(>≥=b a bab a （)0,0(>≥=b a baba ） 3、化简二次根式：把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。

例：2332182=⨯=。

(字母因式由根号内移到根号外时，必须考虑字母因式隐含的符号） 4、最简二次根式：化简后的二次根式需同时符合以下两个条件：⑴被开方数中各因式的指数都为1；⑵被开方数不含分母。

这样的二次根式叫做最简二次根式。

将一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况：⑴如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的自述平方根的性质把它写成分式的形式，然后再分母有理化；⑵如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，然后把能开方的因式或因数开出来，从而将式子化简。

化二次根式为最简二次根式的步骤： ⑴把被开方数分解质因数，化为积的形式； ⑵把根号内能开方的的因数移到根号外；⑶化去根号内的分母，若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数。

5、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。

例：18、22、221。

（判断是不是同类二次根式：首先，要看它们是不是最简二次根式；其次，看这些最简二次根式的被开方数是否相同） 6、二次根式的加法、减法：⑴化简，化成最简二次根式；⑵合并同类二次根（即将被开方数相同的二次根式的系数进行合并）7、二次根式的乘法、除法：⑴先完成根号内乘除，再化简二次根式；⑵小数化分数，带分数化假分数；⑶字母需考虑取值范围（不要忽视隐含条件）。

8、分母有理化：把分子和分母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号，这种计算叫做分母有理化。

第二章 一元二次方程一、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数是二次的整式方程。

二、一般式：)0(02≠=++a c bX aX 三、一元二次方程的解法：1、开平方法：一般来说，形如d X =2、)0(02≠=+a c aX 的一元二次方程可以用开平方法。

（三种情况：有两个不相等的实数根，等于0,没有实数根）2、因式分解法：提取公因式、公式法（平方差、完全平方公式）、十字相乘法、分组分解法。

3、配方法：⑴移常数项；⑵化二次项系数为1；⑶配方，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；⑷用开平方法求解；⑸结论。

4、公式法：⑴先把方程化为一般形式；⑵写出方程各项的系数a 、b 、c 的值（要注意它们的符号）；⑶计算ac b 42-；⑷当042≥-ac b 时，将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根；⑸当ac b 42-<0时，方程没有实数根，就不必解了。

（开平方法、因式分解法一般适用于特殊形式的方程，而配方法、公式法是使用最普遍的方法，适用任意方程，其中：公式法计算较繁琐。

） 四、一元二次议程根的判别式1、定义：ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bX aX 的根的判别式，通常用符号“△”来表示，即△=ac b 42-。

2、一元二次方程)0(02≠=++a c bX aX 的根的情况与△的关系： ⑴△=⇔〉-042ac b 方程有两个不相等的实数根。

⑵△=⇔=-042ac b 方程有两个相等的实数根。

⑶△=⇔〈-042ac b 方程没有实数根。

3、由方程的情况求字母系数的值或取值范围 ⑴如果说方程有实数根，那么042≥-ac b ；⑵注意：因为是一元二次方程，不要遗漏隐含条件0≠a 。

五、一元二次议程的应用1、二次三项式的概念：形如（a 、b 、c 都不为0）的多项式称为二次三项式。

2、二次三项式的因式分解：⑴首先考虑能否提取公因式；⑵能否运用十字相乘法；⑶最后考虑用公式法。

3、列一元二次方程解应用题的一般步骤： ⑴审题⑵设元⑶列方程⑷解方程⑸检验⑹写答案 4、根据题意列方程时，必须同时满足以下四个条件：⑴方程两边意义相同；⑵方程两边单位一致；⑶方程两边数值相等；⑷方程全面地反映了题中所有数量之间的关系。

5、列一元二次方程解题的类型：⑴几何类问题（利用几何定理、面积公式等作解题依据，列出一元两次方程，解题）； ⑵增长（降低）率问题：如设基数为a ，平均增长率为x ，则第一次增长后为a(1+x),第二次增长后为a(1+x)2；⑶利润（销售）问题：常用等量关系有：利润=售价-进价（成本）、总利润=每件的利润×总件数、利润率=00100⨯进价（或成本）利润、售价=标价×打折数等；注意：解应用题时一定不要忘记检验所求的根是否符合实际问题的要求。

第三章 一次函数一、函数：一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。

二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。

（1）.用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数。

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

三、函数的三种表示法及其优缺点（1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。

（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

四、函数图像函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 用描点法画函数的图象的一般步骤 ：1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。

） 注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。

2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。

3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。

五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，若两个变量x ，y 间的关系可以表示成b kx y +=（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b=0时（即kx y =）（k 为常数，k ≠0），称y 是x 的正比例函数，是一次函数的特例。

2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。

5、一次函数的性质一般地，一次函数b kx y +=有下列性质： （1）当k>0时，y 随x 的增大而增大 （2）当k<0时，y 随x 的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。

确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。

解这类问题的一般方法是待定系数法。

待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。

(1) 一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x 为何值时函数y= ax+b 的值为0。

(2) 求ax+b=0(a, b 是常数，a≠0)的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b 与 x 轴交点的横坐标。

(3) 一次函数与一元一次不等式：解不等式ax+b ＞0(a ，b 是常数，a≠0) 。

从“数”的角度看，x 为何值时函数y= ax+b 的值大于0。

(4)解不等式ax+b ＞0(a ，b 是常数，a≠0)。

从“形”的角度看，求直线y= ax+b 在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围。

7、一次函数与一元一次方程的关系：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b （k 、b 为常数，k ≠0）．当函数值为0时，•即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值． 7、反比例函数定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。