第09章 半非马尔可夫过程,柯尔莫哥洛夫方程求极限
马尔科夫
，i，j = 1，2„
直观意义：要想由 i 状态出发经 k+ l 步由 r 状转移到了 j 状态。
步到达 j 状
l 态，可先经过 k 步到达任意 r 状态，然后再经过
证明：
pij ( k l ) P { X ( m k l ) j | X ( m ) i }
P{ X (m ) i , X (m k l ) j} = P{ X (m ) i }
记为
它表示，已知 n 时刻处于状态 i，经 k 个单位时间 后处于（转移到）状态 j 的概率（条件概率）
一般 pij ( n, n k ) 与 n 有关，如果不依赖于 n，则称过 程{X(n)，n=0，1，2„ }为时齐（齐次）马氏链，即 有 pij ( n, n k ) = pij (k ) ， k≥1 的马氏链是时齐马氏链，
= f(xn；tn | xn-1；tn-1)
例（定理）设{ X(t)，t∈T}是一独立随机过程， 则 P{X(t)，t∈T }是一马氏过程。
独立随机过程的定义为：如果过程{X(t)，t∈T}对 任意有限个不同的实数 t1，t2，„ tn∈T， r.v. X(t1)，X(t2)，„X(tn)是相互独立的，
（3）T 连续
E 连续
是时间连续、状态边续的
马氏过程。如：例 3，布朗运动
§2.
马尔可夫链
一、定义
P185 设随机序列{X(n)，n=0，1，2„}离散状态
E=（1，2„）或（1，2„N）或（„-2，-1，0，1，2„）
若对于任意的 m 个非负整数 n1， 2， m n n （0≤n1<n2<„ <nm）和任意自然数 k，以及任意 i1 , i 2 , , i m , j E ， 满足 P{X(nm+k)=j | X(n1)=i1 ，X(n2)=i2，X(nm)=im }
马尔可夫链-2013
定理2.2 设{Xn,n∈T}为马尔可夫链,则对任意j∈I和n≥ 1,绝对概率pj(n)具有下列性质: (1) pj(n)=pipij(n); (2) pj(n)= pi(n-1)pij ;
iI
iI
(3) PT(n)=PT(0)P(n);
(4) PT(n)=PT(n-1)P. 证明:(1) pj(n)=P{Xn=j}= P{X0=i,Xn=j} =P{Xn=j|X0=i}P{X0=i}= pipij(n).
p0 (0) p
(1) 01
p
(1) 11
p
(1) 11
p
(1) 11
= 1 18 52 52 52 ≈0.28.
26 70 70 70
例2.5 设{Xn,n≥0}是具有3个状态0,1,2的齐次马氏链,一 步转移概率矩阵如右所示: 0 1 2 初始分布pi(0)=P{X0=i}=1/3,i=0,1,2. 0 ¾ ¼ 0 试求(1) P{X0=0,X2=1}; (2) P{X2=1}. 1 ¼ ½ ¼ 解: 先求出二步转移概率矩阵(如右下): 2 0 ¾ ¼ 于是有 0 1 2 (1) P{X0=0,X2=1} 5/16 1/16 0 5/8 =P{X0=0}P{X2=1|X0=0} P2= 1 5/16 1/2 3/16 =p0(0)p01(2)=(1/3)· (5/16)=5/48; 2 3/16 9/16 1/4 (2) p1(2)=P{X2=1} =p0(0)p01(2)+p1(0)p11(2)+p2(0)p21(2) =(1/3)(5/16+1/2+9/16)=11/24.
1,i=j .
例2.1 (一维随机游动) 3 5 1 2 4 设一随机游动的质点, 在如右上图所示的 直线点集I={1,2,3,4,5}作随机游动,并且仅仅在1秒,2秒 …等时刻发生游动.游动的概率规则是:如果Q现在位于点 i(1＜i＜5), 则下一时刻各以1/3的概率向左或向右移动 一格,或以1/3的概率留在原处; 如果Q现在位于点1(或5) 上,则下一时刻就以概率1移动到点2(或4)上.点1与5称为 反射壁.并称上述这种游动为带有两个反射壁的随机游动. 若以Xn表示时刻n时Q的位置, 不同的位置就是Xn的不同
对柯氏向后微分方程解的适定性及渐近解的研究
———＝—＿＝：：堕堕壅塑查兰塑主塑塞竺堂焦堡壅篁！要精确定义如下：设Ｅ为可列集定义２．１一个马尔可夫过程（简称马氏过程或过程），是指具有下列性质的一族实值函数岛（ｒ）（ｆ，－，∈Ｅ，ｔ≥０）：ＰＦ（，）≥０Ｏ，，∈Ｅ，，≥０）：∑岛（，）≤１（ｆ∈Ｅ，，≥ｏ）；ＪｅＥＰｏ（Ｊ＋ｒ）＝∑Ｐｍ（Ｊ）ｐＨ（ｒ）（ｆ，，∈Ｅ，ｓ，，≥ｏ）ｌＥ占删＝岛＝位焉（ｆ＇Ⅲ）记为（岛（ｆ）；ｆ√∈Ｅ）或者（日（，）），或者用矩阵形式表示为Ｐ（ｆ）。
对于一个马尔可夫过程Ｐ（ｆ）＝（岛（ｆ）），如果满足条件：｛ｉ．ｍｏｐ口（ｆ）２ｐ∥（ｏ）则称之为标准马尔可夫过程。
４、若还有∑ＰＦ（，）＝１（ｆ∈Ｅ，，≥ｏ）ＪＥＥ则称（丹（ｒ））为诚实的（或不中断的）马氏过程，否则称为非诚实的（或中断的）。
以上条件可以用矩阵的形式表为：Ｐ（ｔ）≥０（，≥０）；Ｐ（ｔ）１≤１（ｆ≥０）：Ｐ（ｓ＋，）＝Ｐ（ｓ）Ｐ（ｔ）（Ｊ，ｆ≥０）；ＪＰ（Ｏ）＝晟：．＋ａｍ。
Ｐ（ｒ）＝Ｐ（ｏ）：———————————————————————————————一西南交通大学硕士研究生学位论文第６页，（Ｏ）１＝１（ｆ≥０）；其中Ｅ单位矩阵（以，ｉ，Ｊ∈Ｅ），１表示每个分量均为１的列向量，０表示每个分量均为０的矩阵。
定理２．１对任意的马氏过程（ｐＦ（ｆ）），下列条件等价：（ｉ）（Ｐ。
（ｆ））是标准的：（ｉｉ）每一个（ｐ“（ｒ））在【Ｏ，ｏ。
）上一致连续，而且该一致性对，也成立。
定理２．２设（ｐＦ（ｆ））为标准马氏过程，则对于任意ｆＥＥ，极限ｌ，ｉ．ｍ。
！二』≥』堕＝一ｐ：（ｏ）存在（或为＋∞）。
定理２．３对任意Ｌ＿，∈Ｅ，ｉ≠Ｊ，ｐ㈣＝ｌⅢｉｍｐｇｆ（ｔ）存在且有限。
令ｇＦ＝ｐ；（ｏ），ｑ，＝一ｐ：（ｏ）＝一口。
定义２．２设（所（，））是标准马氏过程，（％）＝（ｐ：（ｏ））。
对Ｖｆ∈Ｅ。
若吼＜。
，则称，为尸（，）的稳定状态；若吼＝ｏ。
，则称ｆ为Ｐ（，）的瞬时状态。
第09章半非马尔可夫过程柯尔莫哥洛夫方程求极限
第09章半非马尔可夫过程柯尔莫哥洛夫方程求极限半非马尔可夫过程（Semi-Markov Process）是指在一个随机过程中，每一次转移所需的时间是随机的，而状态的转移则是根据一定的概率分布进行的。
与传统的非马尔可夫过程相比，半非马尔可夫过程更加具有灵活性和适应性。
柯尔莫哥洛夫方程（Kolmogorov Equation）则是用来求解半非马尔可夫过程中的极限分布的方程。
在半非马尔可夫过程中，每一个状态之间的转移时间符合指数分布，即服从参数为λ的指数分布，其中λ表示平均转移时间。
而状态之间的转移概率由转移概率矩阵Q来表示，Q的元素Q(i,j)表示从状态i转移到状态j的转移概率。
那么在给定初始状态概率分布π0和当前状态为i的情况下，经过t个时间单位后，达到状态j的概率可由如下公式计算：π(t)=π0*e^(tQ)其中e^(tQ)表示矩阵的指数函数，即将矩阵Q的每一个元素取指数，然后将结果相加。
这个公式描述了在给定时间后，从初始状态到达其中一状态的概率。
柯尔莫哥洛夫方程则是用来求解半非马尔可夫过程中的极限分布的方程。
它描述了在无限时间后，状态分布趋于稳定时的分布情况。
柯尔莫哥洛夫方程的表达式如下：dπ(t)/dt = π(t)Q其中dπ(t)/dt表示状态分布π(t)关于时间t的导数，π(t)表示在时间t时的状态分布，Q表示转移概率矩阵。
这个方程相当于在求解状态分布的演化，即求解导数等于0的稳定状态分布。
通过求解这个方程，我们可以得到半非马尔可夫过程的极限分布。
具体的求解方法有很多种，其中一种常用的方法是通过求解矩阵方程来得到稳定分布。
这需要我们将柯尔莫哥洛夫方程改写成矩阵形式：0=πQ其中π是一个行向量，Q是一个方阵。
这个方程表示的是状态分布与转移概率矩阵的乘积等于零。
我们可以通过求解这个方程的特征值和特征向量来得到极限分布。
总结起来，半非马尔可夫过程是一种考虑了转移时间的随机过程，柯尔莫哥洛夫方程用来求解半非马尔可夫过程的极限分布。
马尔可夫过程
a4 l , a5 2l 上，游动的概率法则如下：如果游动前
质点在 a 2 , a3 , a 4 位置，则以1/2概率向前或向后移动一 单位L，在 a1 , a5 位置，则以概率1返回，画出状态转移图
并求概率分布列。
2L L
0
t
-L
-2L
计算举例----反射壁
PT (1)p(1) p(1)
12 p1 22 p2 N 2 p N p2
1N p1 2 N p2 NN p N p N
p1 p2 pN 1
例1：具有反射壁的随机游动。设有一质点在线段上游动，
终端设有反射壁。质点只能停留在 a1 2l , a2 l , a3 0,
i 1
p(n) PT (s, n)p(s)
状态转移图—描述马尔可夫链的一种工具
反射壁 1 a1 1/2 a2 1/2
1/2
1/2
1/2 a3
1/2 a4 1/2
1 0 12 0 0
1/2 a5 1
0 12 0 12 0 0 0 12 0 1 0 0 0 1 2 0
i C, j C
自i不能到达j
定义：设C为状态空间的一个子集，如果从C内任 何一个状态i不能到达C以外的任何状态，则称C为
闭集。
闭集的充分必要条件是，iC, j在C外，恒有 Pij(n)=0, n1 如果单个状态i构成一个闭集，则称该闭集为吸状态。 整个状态空间构成一个闭集，这是最大的闭集，吸状 态也构成一个闭集，这是最小的闭集。
在轴上正向或反向移动一个单位距离。
若给定时间n-1，质点偏离原点的距离为k，可表示为 Xn-1=k，则质点在n时刻偏离x轴原点的距离只与n-1 时刻质点所处的状态有关。时刻n质点所处的状态可 以表示
Markov过程
称为n步转移矩阵 规定
1，当i j P0 ( p ) 0，当i j
(0) ij
P{X (n 1) j | X (n) i, X (n 1) in1 , , X (1) i1 , X (0) i0 }
P{X (n 1) j | X (n) i}
则称{ X (t ) ,t T }为一个马尔可夫链（或马氏链）
简记为{ X n ,n 0 }
15/32
故
r r ua c 1 r
a
c
q a q c ( ) ( ) p p
当
q c 1 ( ) p
r 1
u0 uc 1 cd0
c j uj c
而 因此 故
u j (c j ) d 0
ca b ua c c
3/32
注:
马氏链由 P{ X 0 i0 } 和条件概率 P{X n in | X n1 in1} 决定
有限马氏链 状态空间是有限集I={0,1,2,…，k}
2．一步转移概率 马氏链在时刻n处于状态 i 的条件下，到时刻n+1转 移到状态 j 的条件概率， 即
P{ X n1 j | X n i}
且 t1 t 2 t n 1 t n ，有
P( X (t n ) xn | X (t n1 ) xn1 ，„，X (t1 ) x1 )
= P( X (t n ) xn | X (t n1 ) xn1 ） ，
则称 X (t ) 为马尔可夫（Markov）过程
P{ X n in , X s is | X r ir }
= P{ X n in | X r ir } P{ X s is | X r ir }
§5.2科尔莫戈罗夫微分方程
p'ij (0)
称qij为齐次马尔可夫过程从状态i到状态j的转移速率或跳跃强度。
推论 对有限齐次马尔可夫过程有 qii 证明：由定理5.1，有
q
j i
ij
p (t ) 1
ij jI
即
1 pii(t ) pij(t )
j i
由于上式中的求和是在有限集中进行的，去可与极限交换 顺序
pkj (h) 1 p jj (h) lim[ pik (t ) pij (t )] h0 h h k j
k j
再此我们假设这里的极限和求和的顺序能交换顺序，因此上式我们就可以 化简为
pij ' (t ) pik (t )qkj q jj pij (t )
k j
但是上式的极限和求和的交换不是恒成立的，所以上式并不是恒成立 的式子，但是对于我们后面考虑的全部生灭过程和全部有限的状态模 型都是成立的。 定理5.5(科尔莫戈罗夫向前方程) 在适当的正则条件下有
[1 pii (h)] pij (t h) pir (h) prj (t h)
r i
r i
有pij (t ) pij (t h) [1 pii (h)]pij (t h)
[1 pii (h)]
pij (t ) pij (t h) pir (h) prj (t h)
h 0
即pij(t)是关于t的一致连续函数
证毕
以下我们恒假设齐次马尔可夫过程满足正则条件
定理5.3 设pij(t)是齐次马尔可夫过程的转移概率，则 下列极限存在。
1 pii( t ) (1) lim i qii t 0 t pij ( t ) ( 2) lim qij , i j t 0 t
马尔可夫过程及其概率分布
例2 只传输数字0和1的串联系统 ( 0 1 传输系统) 如图:
X 0 1 X1 2 X 2 X n1 n X n
X
是第一级的输入
0
Xn是第n级的输出(n 1)
设一个单位时间传输一级, 设每一级的传真率为 p, 误码率为 q=1-p.
二、马尔可夫过程的概率分布
研究时间和状态都是离散的随机序列
{ Xn X (n), n 0,1, 2,}, 状态空间为 I (a1,a2 ,}, ai R .
1. 用分布律描述马尔可夫性
对任意的正整数n, r 和 0 t1 t2 tr m; ti , m, n m Ti , 有
增量X (t j ) X (0)与X (tn ) X (tn1)相互独立. 根据条件X (0) 0与X (tn1) xn1, 即有
X (t j )与X (tn ) xn1相互独立.
此时X (tn )与X (t j ), j 1,2,,n 2相互独立. 这表明X (t )具有无后效性,即{ X (t ), t 0}是一个 马尔可夫过程. 说明:
状态空间就是I. 且当Xn i,i I为已知时, X n1所处的状态分布只与X n i有关, 而与时刻 n 以前所处的状态无关. 所以它是一个马氏链, 且是齐次的.
一步转移概率 pij P{ Xn1 j | Xn i}
1 3
,
j
i
1,
i,
i
1, 1
i
5
1, i 1, j 2 或 i 5, j 4
p21
状
态
ai
pi1
P(1)
X m1的状态
a2 a j
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
马尔可夫过程
马尔可夫过程 、独立 增量过程及独立随机过程
牛慧芳 2010-122010-12-25
1
7.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，它具有如下特性：当随机过程 在时刻ti所处的状态已知时，过程在时刻t(t>ti)所处的状态仅与过程在ti时刻的 状态有关，而与过程在ti时刻以前所处的状态无关。此特性称为随机过程的 无后效性或马尔可夫性。此特性也可理解为：随机过程X(t)在“现在”状态 已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去”的情况无关。或者说，过去 只影响现在，而不影响将来。 P{将来|现在、过去}=P{将来|现在} 马尔可夫过程分类 按其状态空间I和时间参数集T是连续还是离散可分成四类(如表7-1)。 讨论的内容： 讨论的内容： 定义：转移概率及转移概率矩阵；齐次性；平稳分布；遍历性； 其他性质。
j =1
N
ij
=1
k=n时，n步转移概率pij(n)为： pi j ( n ) = pij ( m , m + 1) = P { X m + n = a j | X m = a i } , n ≥ 1 对应的n步转移概率矩阵为：
11
显然具有如下性质：
0 1、 ≤
N
pij ( n ) ≤ 1
ij
2、
2、马氏链的转移概率及其转移概率矩阵 (1)马氏链的转移概率 (1)马氏链的转移概率 马氏链“在tm时刻出现的状态为ai的条件下，tm+k时刻出现的 状态为aj”的条件概率可用pij(m,m+k)表示，即
齐次马氏链：若pij(m,m+k)与m无关，即pij(m,m+k)= pij (k) k=1时，一步转移概率pij为：
2
随机过程马尔科夫过程 ppt课件
输一局后输光）
2020/11/13
23
4.1 马尔可夫链与转移概率
( p q )u i pu i 1 qu i 1
p(ui1 ui ) q (ui ui1 )
ui1 ui
q p
(ui
ui1 )
i 1,2, , c 1
(1q)1,即 pq1
p
2
ui1ui uiui1ui1ui2 u1u0 ˆ
马尔科夫链_马尔可夫过程
马尔科夫链_马尔可夫过程一、引言1、马尔科夫链的数学背景马尔可夫链，因安德烈?马尔可夫（A.A.Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
马尔可夫链是随机变量X_1,X_2,X_3...的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而X_n的值则是在时间n的状态。
如果X_{n+1}对于过去状态的条件概率分布仅是X_n的一个函数，则PX_{n+1}=x|X_0, X_1, X_2, \ldots, X_n = PX_{n+1}=x|X_n. 这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
2、马尔科夫链的典型应用①马尔科夫链在股指期货投资中的应用马尔科夫链转移矩阵的有效状态以近时点动量策略原时点反转策略为主,有效抓住了上涨和下跌的中期和初期.从而准确的抓住了日内股指波动. ②马尔科夫链在天气预报中的应用通过对马尔科夫链理论和切普曼-柯尔莫哥洛夫方程方程的探讨,,结合天气情况不确定等诸多特点,构想了天气情况预报的马尔科夫链预测模型,给出了马尔科夫链的初始概率和多重转移概率的计算方法,根据此算法可以预报短期天气情况,同时扩展到对未来天气情况趋势的预测。
③马尔科夫链在环境预测中的应用鉴于目前环境质量预测在理论方法和实践上的缺乏，把马尔科夫链引入环境质量的预测中，将各种污染物的浓度变化过程视作马尔科夫过程，通过预测各种污染物的污染负荷系数来推知其浓度值/④马尔科夫链在桥梁状态预测中的研究与应用马尔科夫链以矩阵的形式来表达桥梁状况,通过求解状态转移矩阵,进一步预测桥梁未来数年内的基本状况。
综合考虑了桥梁检修的影响,给出了桥梁检修后不同状态的状态转移矩阵,为进一步引入实际数据做了充分的准备。
3、相关文献《程序设计实践》作者 Brian W.Kernighan程序设计实践并不是只是写代码。
关于非齐次隐马尔科夫模型的强极限定理
( 11 )
n =1
an
在 A 中 a. s. 收敛 。设
Tn = f3n (Xn - 1 , Xn , Yn ) - E [ f3n (Xn - 1 , Xn , Yn )
Xn -
1
] ,
an
易知 , { Tn , n≥1}是一个鞅差序列 。由于
E [ T2n Fn - 1 ] =
{E[ (f3n (Xn - 1, Xn , Yn ) )2 Fn - 1 ] - E2 [f3n (Xn - 1, Xn , Yn ) Fn - 1 ]} a2n
下面给出两个引理 。
引理 1[1 ] 设 { Xn , Fn , n ≥0} 是一个鞅差序列 ,
n
∞
则 Sn = ∑Xk 在集 { ∑ E [ X2k Fk - 1 ] < ∞}上 a. s.
k =1
k =1
收敛 。
引理 2[2 ] 设 { ( Xn , Yn ) , n ≥0 }是如上定义的 非齐次隐马尔科夫模型 , fn ( x, y, z) 是定义在 S × S ×T的三元函数列 , {Φn ( x) , n ≥1 }是一列定义在 R 上的非负可测函数 , 则
∞
∑
( fn
(Xn - 1 ,
Xn ,
Yn )
- f3n
( Xn - 1 , Xn , Yn ) )
( 10 )
n =1
an
在 Ak 中 a. s. 收敛 。由于 A = ∪Ak , 由式 ( 10)知 k
∞
∑
( fn
(Xn - 1 ,
Xn ,
Yn )
- f3n
( Xn - 1 , Xn , Yn ) )
Yn ) )
第0 40讲马尔可夫过程
9马尔可夫过程
马尔可夫过程概论
马尔可夫过程的性质
马尔可夫过程的状态的概率，马尔可夫过程的状态转移概率
参数连续状态离散马尔可夫过程的转移概率和转移概率分布
齐次的参数连续状态离散马尔可夫过程的转移概率和转移概率分布参数连续状态离散马尔可夫过程的状态转移的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
确定马尔可夫过程Q矩阵：跳跃强度、转移概率Q矩阵
参数连续状态离散马尔可夫过程的前进方程和后退方程
柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）
福克-普朗克方程（状态概率的微分方程）
柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）马尔科夫过程的状态分析
状态转换图
马尔科夫过程的暂态研究
求解常微分方程组、解题技巧
马尔科夫过程的稳态研究
判定条件、求解代数方程、递归求解
典型的马尔科夫过程：
计数、
泊松、纯增、尤尔
生灭、排队
更新。
马尔可夫过程
马尔可夫过程Markov process1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。
1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。
流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。
类重要的随机过程,它的原始模型马尔可夫链,由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。
人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态(现在)的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。
这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。
荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。
青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。
如果将荷叶编号并用X0,X1,X2,…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。
液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。
还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。
关于马尔可夫过程的理论研究，1931年Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。
1951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。
1954年前后，W.弗勒将泛函分析中的半群方法引入马尔可夫过程的研究中，Ε.Б.登金（又译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。
50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔可夫过程（亨特过程）与位势的关系。
马尔科夫过程
例2-1 在某数字通信系统中多级传输0、1两种数字信号。由于系统中存在干扰， 在任一级输入0、1数字信号后，其输出不产生错误的概率为p，产生错误的概 率为q=1-p ，求两级传输时的概率转移矩阵。
解：系统每一级的输入状态和输出状态构成一个两状态的马氏链，其一步 转移概率矩阵为
f X (xn1 | xn ) f X (xn ) f X (xn1 )
f X (xn | xn1 )
f X (xn1 | xn ) f (xn ) f X (xn1 )
所以 f X (xn | xn1, , xnk ) f X (xn | xn1 )
3 若 n r s ，并在给定 X r 条件下，随机变量
同理
f X (xn1 , xn2 , , xnk ) f X (xnk | xnk1 ) f X (xn2 | xn1 ) f X (xn1 )
根据条件概率定义和以上两式有
f X (xn | xn1, , xnk )
f X (xn , xn1 , , xnk ) f X (xn1 , xn2 , , xnk )
f X (xr , xr1 , , xrm ) f X (xr | xr1 , xr2 , xrm ) f X (xr1, xr2 , xrm )
f X (xr | xr1 ) f X (xr1 | xr2 ) f X (xrm1 | xrm ) f X (xrm )
所以子序列 {X r , X r1, , X rm} 也是马尔可夫序列。
马尔可夫链；状态有限的马尔可夫链称为有限马尔可夫链。
马尔可夫序列
一、马尔可夫序列的定义
设 X1, X 2 , , X n ,表 示随机过程 在X (t) 为整t 数时刻的取样的随机序列，记为
马尔可夫过程与泊松过程
p11 ( s, n) p1 N ( s, n) 转移矩阵： P ( s , n) pN 1 ( s, n) pNN ( s, n)
6.1 马尔可夫链
一、定义及一般特性 马尔可夫链的性质
(1)
N
p (n) 1
j 1 j
N
四、状态分类
3、常返态和滑过态（非常返态） 定义Tij为自i出发首次到达状态j的时刻
Tij min n : x0 i, xn j; n 1
对于某个状态j,xn可能永远也不为j,那么上式就不存在n, 这时规定
Tij
永不出现 终身等待
Tij 为一随机变量，取值范围为 N 1,2,...,
单位L，在 a1 位置，则以概率1游动到 a2 ，在 a5 位置，则以概率1 游动到 a4 ，画出状态转移图，并求概率分布列。 2 L L 0 -L -2L
t
三、平稳链
平稳链状态概率的计算
计算举例----反射壁
PT (1)p(1) p(1)
1 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 P 1 0 1 2 0 1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 0 0
二、齐次马尔可夫链
T 令 P 1 ，利用切普曼方程，有 PT n n
p(n) PT ( s, n)p( s)
p(n k ) PT (n)p(k ) np(k )
p(n 1) PT (n)p(1) np(1)
• 对于齐次马尔可夫链，状态概率由初始概率和一步转移概率 决定。即利用初始分布和一步转移概率矩阵就能完整地描述齐 次马尔可夫链的统计特性。
状态j，则称自状态i可达状态j，记为 i j
切普曼——柯尔莫哥洛夫方程
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程（Chapman-Kolmogorov方程）是描述动态系统状态转移概率随时间演化的一组偏微分方程。
在概率论和统计物理中，这个方程通常用于描述连续时间的马尔可夫过程。
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程可以表示为：
P(x2, t2|x1, t1) = ∫P(x2, t2|x', t2) P(x', t2|x1, t1) dx'
其中，P(x2, t2|x1, t1) 表示在t1 时刻位于x1 的粒子在t2 时刻位于x2 的概率，P(x', t2|x1, t1) 和P(x2, t2|x', t2) 分别是时间和空间上的转移概率。
这个方程的物理意义是，从一个状态转移到另一个状态的概率等于所有可能的中间状态转移概率的积分和。
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程是描述马尔可夫过程演化的一组基本方程之一，它在许多领域都有广泛的应用，包括统计物理、化学反应动力学、人口动态等。
随机过程-5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程
所以
P{X (5) 0 | X (0) 0} p0 p00 (5)
e ()5
• 类似于离散时间马尔科夫链，极限值称为 稳态概率
例5.3机器维修问题。设例5.2中状态0代表某机 器正常工作，状态1代表机器出故障。状态转移 概率同例5.2，即在h时间内， 机器从正常工作变为出故障的概率为：
p01 (h) h o(h)
从有故障变为经修复后正常工作的概率；
p10 (h) h o(h)
Pm1 (t
)
P12 (t) P22 (t)
Pm2 (t)
P1m (t)
P2m (t)
Pmm (t
)
定理5.4(柯尔莫哥洛夫向后方程)
对一切i,j及t0，有
pij (t ) qik pkj (t ) qii pij (t ), (其中qii vi )
ki
矩阵的形式：
dP(t) QP(t) dt
向后方程的矩阵形式： p (t) QP (t) 向前方程的矩阵形式： p (t) P(t)Q
微分方程的解为：P(t ) e Qt (Qt )n
n0 n!
例5.2 设两个状态的连续时间马尔可夫链， 状态转移概率满足
1
-
e ( )t
e( )t
e( )t
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占的比率。 2018/11/3
4
定理 4.8.3
假设命题 4.8.1 的条件成立，且进一步假设嵌
入马尔可夫链{Xn,n0}是正常返的，则 Pi
i i
j
j
j
证明 定义记号如下： Yi ( j )=第 j 次到达状态 i 后在状态 i 逗留的时间，i，j0。 N i ( m ) =在半马尔可夫过程的前 m 次转移中到达状态 i 的 次数。 利用上述记号可见，在前 m 次转移中处于状态 i 的时间的 比率（记为 Pi m ）如下： Ni ( m ) N i ( m ) N i ( m ) Yi ( j ) Yi ( j ) m j 1 j 1 N i ( m ) （4.8.1） Pi m N i ( m ) Ni (m ) N i (m ) Yi ( j ) Yi ( j ) m i 0 j 1 i 0 j 1 N i ( m )
4．极限状态概率 以Tii 记相继进入状态 i 之间的时间，且令 ii E[Tii ]。运用交 错更新过程理论，导出半马尔可夫过程的极限概率的表达式 命题 4.8.1 若半马尔可夫过程是不可约的，且Tii 具有非格点的分布与 有限的均值， 则 Pi lim P{ Z ( t ) i | Z (0) j }存在且与初始状态
j
以 i 记其均值，即 i xdH i ( x )
0
3．嵌入马尔可夫链 若以 Xn 记第 n 个到达的状态， 则{Xn,n0}是一个转移概率为 Pij 的马尔可夫链， 它称为半马尔可夫过程的嵌入马尔可夫链。 若 此嵌入马尔可夫链是不可约的， 则称此半马尔可夫过程是不可 约的。 2018/11/3 2
Hale Waihona Puke i 无关。更进一步， Pi ii
证明 每当过程进人状态 i 就说一个循环开始， 且当过程处于状 态 i 时就说过程是“开的”，不在状态 i 时则它是“关的”。于是 我们有了一个(当 Z (0) i 时是延迟的)交错更新过程， 它开着的 时间有分布 H i ，而它的循环时间为Tii 。因此，由交错更新过程
2018/11/3 5
N i ( m ) N i ( m ) Yi ( j ) Yi ( j ) m j 1 j 1 N i ( m ) （4.8.1） Pi m N i ( m ) Ni (m ) N i (m ) Yi ( j ) Yi ( j ) m i 0 j 1 i 0 j 1 N i ( m ) 由于 m 时， N i ( m ) ，从强大数定律推得 Ni (m ) Yi ( j ) i ，由更新过程的强极限律得， j 1 N i ( m ) N i (m) ( E[两次到达i之间的转移次数])1 i m
因此， 在 （4.8.1） 中令 m 证明了 lim Pi m
m
Ni ( m )
i i
j
j
， 证毕。
j
从定理 4.8.3 得出，极限概率只依赖于转移概率 Pij 与平均时间 2018/11/3 i , i, j 0. 6
例 4.8(a) 一部机器可能有三种状态：良好，尚好，或损 坏。假设良好状态的机器保持良好的平均时间为 1 ，然后分别 以概率 3/4 与 1/4 转到尚好或损坏的状态，处于尚好状态的机 器保持此状态的平均时间为 2 ，然后损坏，一部损杯的机器将 被修理，修理所用的平均时间为 3 ，修理好的机器以概率 2/3 处于良好状态，以概率 l/3 处于尚好状态。机器处于各状态的 时间的比率是多少? 2 解 设状态是 1，2，3， i 满足 1 2 3 1 1 3 3 1 3 1 4 1 2 2 1 3 3 1 2 其解为 1 , 2 , 3 4 4 3 15 3 5 因此，机器处于状态 i 的时间的比率 Pi 为 63 41 52 , P2 , P3 P1 41 52 63 41 52 63 41 52 63
2018/11/3 的开关极限定理结论得证。 3
t
Pi 也等于长时间之后过程处于状态 i 的时间的比率。 系 4.8.2 若半马尔可夫过程是不可约的，且 ii ，则以概率 1 i [0, t ]中处于状态i 的时间 lim ii t t 即 i / ii 等于长时期之后处于状态 i 的时间的比率。 证明 由第三章的命题 3.7.2（RossP97）可得。
虽然命题 4.8.1 给出了极限概率的表达式，但它并不是一个实 际计算 Pi 的方法。为要计算 Pi ，假设嵌入马尔可夫链{Xn,n0} 不可约正常返，又设它的平稳分布是 j , j 0 。即 j , j 0 是
j i Pij , j 1的唯一解，且 j 可解释为等于 j 的 Xn 所
2018/11/3 1
一个马尔可夫链是一个半马尔可夫过程，其 0, t 1 Fij ( t ) ，即一个马尔可夫链的转移时间恒为 1 1, t 1 2．状态 i 的逗留时间 以 H i 记半马尔可夫过程在转移之前处于状态 i 的时间分 布。对下一个状态取条件可见
H i ( t ) Pij Fij ( t )
第九章 半马尔可夫过程、柯尔莫哥洛夫方程求极限 一、半马尔可夫过程 1．定义： 具有状态 0,1,2,的随机过程，满足以下条件：每当它进入 i,i0 时 (1)下一个进入的状态是 j 的概率为 Pij , i , j 0。 (2)在下一个进入的状态是 j 的条件下，直到发生从 i 到 j 转移为止的时间有分布 Fij 若以 Z (t )记时刻 t 的状态，则{Z(t),t0}称为半马尔可夫过程。 一个半马尔可夫过程是一个随机过程,其状态变化遵循一 个马尔可夫链，而状态变化的时间间隔是随机变量。 一个半马尔可夫过程不具有给定现在的状态时将来与过 去独立的马尔可夫性。 为了预测将来， 不仅要知道现在的状态， 还要知道在此状态已停留了多少时间。当然，在转移的时刻， 我们所需要知道的只是新的状态(而无需关于过去的情况)。