数学分析 第六章 中值定理1

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三、拉格朗日(Lagrange)中值定理
【拉氏定理】如果 f ( x )满足：
[1] f ( x ) C[a , b] [2] f ( x ) D(a , b)
则： (a, b), f (b) f (a ) f ()(b a )
至少存在一个ξ∈(a , b)，使得 f(b) －f(a)= f (ξ)(b－a)
故若不满足第（2）条： 有不可导点
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无水平切线
2
o
2
x
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1 x , x (0,1] ; ［反例2］ y ( x ) 0, x 0
不满足第（1）条：
有不连续点
无水平切线
y
1
y ( x)
o
y
1
1
x
［反例3］ y x , x [0,1].
曲线 f ( x ) 减去弦 AB的纵标 y ,
所得曲线在 a , b两端点的函数值相等.
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【证】 作辅助函数
f (b) f (a ) F ( x ) f ( x ) [ f (a ) ( x a )]. ba
F ( x ) 满足罗尔定理的条件 , （要验证）
在(1,2)内可导, 由罗尔定理, 1(1, 2),使 f(1; 同理, 2(, ), 使 f'(2 ; 又因f'(x 是二次方程, 至多两个实根, 故f'(x 有两个实根, 分别位于(1,2) 和(2,3)内. (1)修改:f (x)=(x1)(x2)(x3)(x4), 结论如何? (2)修改: 不解方程, 问 (x2)(x3)+(x1)(x3) +(x1)(x2)=0 有几个实根, 分别在何区间? (2) 【提示】是补例的导函数；用零点定理
f ( ) 0.
则 至少存在ξ∈(a , b)，使得 f (ξ)=0
［例如］ f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) ( 0),
f ( x ) 2( x 1), 取 1, (1 ( 1,3))
y x
不满足第（3）条：
两端点值不相等
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无水平切线
o
1
x
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5 证明方程 x 5 x 1 0 有且仅有一个小 于 【例1】 1 的正实根 .
【分析】 （1）有— 存在性 （2）仅一个—唯一性
【证】 设 f ( x ) x 5 5 x 1,
则 f ( x )在[0,1]连续,
都有 f ( ) 0.
最值不可能同时在端点 取得. 设 M f (a ), 则在 (a, b) 内至少存在一点 使 f ( ) M .
即 x U (), 有 由Fermat定理立得
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f ( x ) f ( ) M
f ( ) 0.
［证完］
f ( x x ) f ( x ) f ( x x ) x (0 1).
L定理又称为有限增量公式 或 微分中值定理. 尽管不知 的精确位置，但已经很有用了，见例：
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【推论】 如果函数 f ( x ) 在区间 I 上的导数恒为零 ,
但 f ( x ) 5( x 4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
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【例2】 设函数f (x)=(x1)(x2)(x3), 试判断方程f'x 有几个实根, 分别在何区间?
【解】因为 f(1)=f(2)=f(3), 且f (x)在[1, 2]上连续,
由 x1 , x2的任意性立知 f ( x ) 常数 ［证毕］
f ( x ) C f ( x ) 0.
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推论的应用——证明函数为常数函数
【例3】 证明 arcsinx arccosx ( 1 x 1). 2 【证明】 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
f ( x0 x ) f ( x0 ) 0 x f ( x0 x ) f ( x0 ) 0 x 由极限的不等式性及可导条件立得
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 x 0 x f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 x 0 x f ( x0 ) 0 ［证完］ 所以 2015-2-11
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【注意】(1)罗尔定理的条件是充分的，不必要.
(2)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能成立，也可能不成立.
［反例1］
y x , x [2,2];
在 [2,2] 上除 f (0) 不存在外,满足罗尔定理 2]内找不到一点能 的一切条件,但在区间 [-2， 使 f ( x ) 0. y y x
y dy f (a )x
微分近似公式 【注意】拉氏公式精确地表达了函数增量与函数导 数之间的关系.
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增量△y的近似表达式
拉格朗日中值定理几种等价形式
f (b) f (a ) f ( )(b a ) ( (a , b) ).
f ( x ) f (a ) f ( ) ( x a ) ( 介于 x , a 之间).
f (b) f (a ) 或 f () . ba
切线斜率
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弦AB斜率
【几何解释】
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
C
M N
y f ( x)
B
A
D
【证明分析】
o a
1
x
2 b
x
条件中与罗尔定理相差 f (a ) f (b). f (b) f (a ) ( x a ). 弦AB方程为 y f (a ) ba
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f ( x0 ) 0 是可导函数取得极值的必要条件
二、罗尔（Rolle）定理
如果 f (x)满足: [1] f ( x ) C[a , b];
[2] f ( x ) D(a , b);
[3] f (a ) f (b).
则 至少存在ξ∈(a , b)，使得 f (ξ)=0
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该最值点必为极值点。
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Rolle定理
[1] f ( x ) C[a , b];
[2] f ( x ) D(a , b);
如果 f (x)满足:
零点定理
[1] f ( x ) C[a , b];
[2] f (a) f (b) 0.
[3] f (a ) f (b).
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【注】 研究下面两例：
1. y x
3
2. y x
x 0
1. 当 x 0 时 ， y
0, 但x 0 不 是 极 值 点 ；
2. 当 x 0 时 ， y 不 存 在, x 0是 极 值 点.
x 0
说明什么问题？
x0是极值点
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f ( x0 ) 0 或 f ( x0 )不存在。
第六章 导 数 应 用
§1 微分中值定理
一、费马引理 ( Fermat )
二、罗尔 ( Rolle ) 中值定理
三、拉格朗日 ( Lagrange ) 中值定理
四、柯西 ( Cauchy ) 中值定理
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一、费马引理( Fermat )
定义1（极值概念）
y
y f ( x)
设函数 f ( x ) 在点 x0 的 某邻域 U ( x0 ) 内有定义，
则在(a, b)内至少存在一点 , 使得 F ( ) 0.
即
f (b) f (a ) f ( ) 0 ba f (b) f (a ) f ( ) . ba
或 f (b) f (a ) f ( )(b a ).
拉格朗日中值公式
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o
如果对x U ( x0 ) ， 有
f ( x ) f ( x0 )
x0
x
(或 f ( x ) f ( x0 ))
则 称 x0 为 f ( x) 的极大值点 , f ( x0 )为极大值. ( x0 为 f ( x) 的极小值点 , f ( x0 )为极小值)
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定理1 [Fermat定理] （极值的必要条件）
o
x0
x
【定义】 通常称导数等于零的点为函数的驻点
（或稳定点、临界点）
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【证】 仅证极大值的情形，即 f ( x)
则
f ( x0 ) [ x U ( x0 ) 时 ]
f ( x0 x) f ( x0 ) 0
定 当 x 0 时 理 证 明 当 x 0 时
（可导函数取得极值的必要条件）
设函数 f ( x) 在点 x x0 取得极值,
并且在 x0 处可导， 则 f ( x0 ) 0 .
【几何意义】
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【几何意义】
1.若曲线在点 x 0 处取得极值, 2.曲线在点 x 0处具有切线， 则该切线必是水平的.
y
水平切线
y f ( x)
那末 f ( x ) 在区间 I 上是一个常数 .
【证】
x1 , x2 I , x1 x2
在 [ x1 , x2 ] 上应用拉氏定理得 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )
( x1 x2 )
由假定
f () 0 f ( x1 ) f ( x2 )
由零点定理
且 f (0) 1, f (1) 3.
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条件
至少存在一个 (在 x0 , x1 之间), 使得 f ( ) 0.
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【几何解释】
y
[1] f ( x ) C[a , b]; [2] f ( x ) D(a , b); [3] f (a ) f (b).

y f ( x)
f () 0
o
a
1
2
b
x
在曲线弧 AB上至少有一点 , 在该点处的切线是水平 的.
连续、可导、端点值相等函数必有一最值点在 区间内部取得。
【注意】
与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a ) f (b).
此条件太苛刻
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y
L中值定理 f ( x )满足：
[1] f ( x ) C[a , b] [2] f ( x ) D(a , b)
o
A
C
y f ( x)
B
1
x
(a, b), f (b) f (a ) f ()(b a )
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f () 0.
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【证】 f ( x ) 在 [a, b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m .
( 2) 若 M m .பைடு நூலகம்
则 f ( x) M .
由此得 f ( x ) 0. (a , b),
f (a ) f (b ),
f (b) f (a) f ( )(b a).
在区间 [a, x] 上用 L 定理得
拉格朗日公式
f ( x ) f (a ) f ( ) ( x a ).
微分中值定理
即： y f ()x
增量y的精确表达式.
同时注意到：
y f (a )x o(x ) dy f (a )x
f ( x ) 1 1 x
2
(
1 1 x
2
) 0.
x0 ( 1,1)
x [1,1] 又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 arcsin x arccos x . 2 同理可证 arctan x arc cot x . 2 2015-2-11