初中数学竞赛辅导资料三点共线

初中数学竞赛辅导资料（36）

三点共线

甲内容提要

1.要证明A，B，C三点在同一直线上，A。B。C。常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角

②连结AB，AC证明AB，AC重合

③连结AB，BC，AC证明AB＋BC＝AC

④连结并延长AB证明延长线经过点C

2.证明三点共线常用的定理有：

①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行

②经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

③三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半

④梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半

⑤两圆相切，切点在连心线上

⑥轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上乙例题

例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB，PN⊥CD

求证：M，N，P三点在同一直线上

证明：过点P作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴EF∥CD

∠1＋∠2＝180，∠3＋∠4＝180

∵PM⊥AB，PN⊥CD

∴∠1＝90，∠3＝90∴∠1＋∠3＝180

∴M，N，P三点在同一直线上

例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上

已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点

求证：M，O，N三点在同一直线上

证明一：连结MO，NO

∵MO，NO分别是△DAB和△CAB的中位线

∴MO∥AB，NO∥AB

根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行

∴M，O，N三点在同一直线上

证明二：连结MO并延长交BC于N，

∵MO是△DAB的中位线

∴MO∥AB

在△CAB中

∵AO＝OC，ON，∥AB

∴BN，＝N，C，即N，是BC的中点

∵N也是BC的中点，

∴点N，和点N重合

∴M，O，N三点在同一直线上

例3.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90，M，N分别是AB 和CD的中点，BC，AD的延长线相交于P

求证：M，N，P三点在同一直线上

证明：∵∠A＋∠B＝90，

∠APB＝Rt∠

连结PM，PN

根据直角三角形斜边中线性质

PM＝MA＝MB，PN＝DN＝DC

∴∠MPB＝∠B，∠NPC＝∠B

∴PM和PN重合

∴M，N，P三点在同一直线上

例4.在平面直角坐标系中，点A关于横轴的对称点为B，关于纵轴的对称点是C，求证B和C是关于原点O的对称点Y

解：连结OA，OB，OC

∵A，B关于X轴对称，C A

∴OA＝OB，∠AOX＝∠BOX

同理OC＝OA，∠AOY＝∠COY

∴∠COY＋∠BOX＝90O X

∴B，O，C三点在同一直线上

∵OB＝OC

∴B和C是关于原点O的对称点B

例5.已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过点B的直线EF分别交⊙O1和⊙O2于E，F。

求证：AE，AF和⊙O1和⊙O2的直径成比例

证明：作⊙O1和⊙O2的直径AM，AN，连结AB，BM，BN

∵AM，AN分别是⊙O1和⊙O2的直径

∴∠ABM＝Rt∠，∠ABN＝Rt∠

∴M，B，N在同一直线上

∴∠M＝∠E，∠N＝∠F

∴△AMN∽△AEF

∴

丙练习36

1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M，N，P分别是AD，BC，AC的中

点求证：M，N，P三点在同一直线上

2.已知：△ABC中，BE，CF是中线，延长BE到G，使EG＝BE，延长

CF到H，使FH＝CF，

求证：G，A，H三点共线

3.已知：正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，DE⊥AN于E，

求证：点M在DE的延长线上（同33第5）

4.求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同一直线上

5.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A和∠D的平分线相交于O，

求证：点O在梯形的中位线上

6.已知：△ABC中，∠ABM，∠ACN分别是∠B，∠C的邻补角，从点

A作∠B，∠C，∠ABM，∠CAN四个角平分线的垂线段AD，AE，AF，AG，垂足是D，E，F，G

求证：D，E，F，G四点在同一直线上

7.已知：点P在等边△ABC外，PA=PB+PC，以PA为一边作等边△APQ

使点Q和点C在PA的同一侧

求证：PQ必过点C

8.已知：△ABC中，AB=AC，直线AP∥BC，点D和点C是关于直线

AP的对称点

求证：点D和点B是关于点A的对称点

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