高中数学圆锥曲线与方程测试题

圆锥曲线与方程

一、选择题

1．双曲线3x 2－y 2＝9的实轴长是 ( )

A ．2 3

B ．22

C ．4 3

D ．4 2

2．以x 24－y 212

＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 ( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216

＝1 3．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是 ( )

A ．开口向上，焦点为(0,1)

B ．开口向上，焦点为⎝⎛⎭

⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1,0)

D ．开口向右，焦点为⎝⎛⎭

⎫0，116 4．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2

k ＋3

＝1表示双曲线的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

5．若双曲线x 23－16y 2

p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px (p >0)的准线上，则p 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．4 2

6．设双曲线x 2a 2－y 29

＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为 ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

7．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率

的取值范围是 ( )

A ．(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭

⎫22，1 8．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ( )

A.⎝⎛⎭⎫14，－1

B.⎝⎛⎭⎫14，1

C.⎝⎛⎭⎫12，－1

D.⎝⎛⎭

⎫12，1 9．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是 ( ) A.254 B.252 C.258

D ．25 10．设双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ) A.54 B ．5 C.52

D. 5 11．若双曲线x 29－y 24

＝1的渐近线上的点A 与双曲线的右焦点F 的距离最小，抛物线y 2＝2px (p >0)通过点A ，则p 的值为 ( )

A.92 B ．2 C.21313 D.1313

12．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为 ( )

A ．[2，＋∞)

B ．[2，＋∞)

C ．(1,2]

D ．(1，2]

二、填空题

13．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心

率为______．

14．椭圆x 24

＋y 2＝1的两个焦点F 1，F 2，过点F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，其中一个交点为P ，则|PF 2|＝______.

15．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21

＋y 22的最小值是________．

16．F 1，F 2分别是椭圆x 22＋y 2＝1的左，右两个焦点，过F 2作倾斜角为π4

的弦AB ，则△F 1AB 的面积为________．

三、解答题

17．已知双曲线x 29－y 2

16

＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．

18.如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .

(1)求实数b 的值；

(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．

19．已知双曲线的方程为x 2－y 22

＝1，试问：是否存在被点B (1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．

20．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．

(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；

(2)已知点M (355，455

)，F (5，0)，且P 为L 上的动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．

21．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点．求证：△AOB 不是直角三

角形．

22．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63

，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．

(1)求椭圆G 的方程；(2)求△P AB 的面积．

圆锥曲线与方程测试题答案 1．A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7．C 8.A 9.A 10.D 11.C 12.C

13.12 14.72 15.32 16.43

17.16 18．(1)－1 (2)(x －2)2＋(y －1)2＝4

19．解 如图所示，设被B (1,1)平分的弦所在的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，

代入双曲线方程x 2－y 22

＝1， 得(k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0，

∴Δ＝[－2k (k －1)]2－4(k 2－2)(k 2－2k ＋3)>0.

解得k <32

，且k ≠±2， ∴x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2

. ∵B (1,1)是弦的中点，∴k (k －1)k 2－2

＝1. ∴k ＝2>32

.故不存在被点B (1,1)所平分的弦． 20．解 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r .

圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2，

圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2.

由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

|CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2 或⎩⎪⎨⎪⎧

|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2， ∴||CF 1|－|CF ||＝4.

∵|F 1F |＝25>4.

∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲

线，其方程为x 24

－y 2＝1. (2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且

点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值|MF |，

且|MF |＝(355－5)2＋(455

－0)2＝2. 直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得

⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－2x ＋25，

x 24

－y 2＝1， 整理得15x 2－325x ＋84＝0.

解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655.此时y ＝－255

. ∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为(655，－255

)． 21．证明 ∵焦点F 为(1,0)，过点F 且与抛物线交于点A 、B 的直线可设为ky ＝x －1，代入