初二数学专题
全国初二初中数学专题试卷带答案解析
全国初二初中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．2.如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由．3.如图，在¨ABCD中，过点D作DE⊥AB与点E，点F在边CD上，DF=BE,连接AF,BF（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB.4.如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．5.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）四边形ADCE是菱形；（2）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）6.如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O.连接AD，BC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数；(3)在(2)的条件下，若AB＝1，求菱形ABCD的对角线AC，BD的长．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）求证：四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．9.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．10.（8分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连结DF、AE，AE的延长线交于DF于点M，求证：AM⊥DF．11.如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．12.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.13.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：(1)四边形OCED是矩形；(2)OE＝BC.14.如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点(不与B，C重合)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC.垂足分别为E，F，D.(1)求证：BD＝PE＋PF.(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．15.已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（1）求证：AE=EC；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．16.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．＝15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移17.(1)如图，纸片□ABCD中，AD＝5，S□ABCD至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为( )A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如图，在(1)中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．①求证：四边形AFF'D是菱形；②求四边形AFF'D的两条对角线的长．18.如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．19.两个长为2 cm，宽为1 cm的矩形摆放在直线l上(如图①)，CE＝2 cm，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．(1)当旋转到顶点D，H重合时(如图②)，连接AE，CG，求证：△AED≌△GCD；(2)当α＝45°时(如图③)，求证：四边形MHND为正方形．全国初二初中数学专题试卷答案及解析一、解答题1.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．【答案】5cm【解析】首先利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形为矩形，得到接下来结合全等三角形的判定证明，根据全等三角形的对应边相等得到然后通过线段之间的转换得到由勾股定理得到的长，进而求得的长.试题解析：由折叠的性质知同理可得∴四边形为矩形．又又2.如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由．【答案】PE＋PF＝AB,理由见解析【解析】首先过作于，交于，证明四边形是矩形，进而得到接下来根据已知求出推出根据的判定定理证最后再结合全等三角形的对应边相等得到并结合线段的和差关系即可证明结论.试题解析：理由如下：过点作于，交于，如图所示：∴四边形是矩形．又在和中，3.如图，在¨ABCD中，过点D作DE⊥AB与点E，点F在边CD上，DF=BE,连接AF,BF（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．4.如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】由为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到与平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由为的中点，得到两条线段相等，再由对应角相等，利用可得出进而得出即可得出四边形是平行四边形，再判定对角线相等，即可得出平行四边形是矩形．由等边三角形的性质得出得出由矩形的性质得出得出即可得出四边形的面积试题解析：∵四边形为平行四边形，又∵点为的中点，在和中，又∴四边形为平行四边形．为的外角，又即∴四边形为矩形．解：∵四边形是矩形，又是等边三角形，5.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）四边形ADCE是菱形；（2）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）【答案】（1）证明见试题解析；（2）．【解析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再证明邻边相等，即可得出结论；（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F；可得出△BCD是等边三角形，得出∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由CE∥AB，得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt△CDF中，由三角函数求出DF即可．试题解析：（1）∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD=AB=BD=AD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，∵∠B=60°，CD=BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，∵CE∥AB，∴∠DCE=∠BDC=60°，又∵CD=BC=6，∴在Rt△CDF中，DF=CDsin60°=6×=．【考点】菱形的判定与性质．6.如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O.连接AD，BC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数；(3)在(2)的条件下，若AB＝1，求菱形ABCD的对角线AC，BD的长．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）BD＝1，AC＝【解析】根据垂直平分线的性质，可以得到由矩形的性质，得到根据平行线的性质，利用证明从而得到，结合上步所求，由四边相等的四边形是菱形即可得出结论.由题意，可以得到垂直平分从而得出结合题意可得的度数，进而求得的度数；根据菱形的性质，得到由此在中，求得的值，进而可得的值.试题解析：垂直平分∵四边形是矩形，∴四边形是菱形．为的中点，垂直平分又为等边三角形，由菱形性质知，在中，7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）28．【解析】（1）根据旋转可得AE=CE，DE=EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形；（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．试题解析：（1）∵将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ， ∴AE=CE ，DE=EF ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵D 、E 分别为AB ，AC 边上的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ， ∵∠ACB=90°， ∴∠AED=90°， ∴DF ⊥AC ，∴四边形ADCF 是菱形；（2）在Rt △ABC 中，BC=8，AC=6， ∴AB=10，∵D 是AB 边上的中点， ∴AD=5，∵四边形ADCF 是菱形， ∴AF=FC=AD=5，∴四边形ABCF 的周长为8+10+5+5=28．【考点】1.菱形的判定与性质；2.旋转的性质．8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点， 过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：△AEF ≌△DEB ；（2）求证：四边形ADCF 是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）根据AAS 证明即可判定．（2）先证明四边形ADCF 是平行四边形，再证明DA=DC 即可． （3）利用S 菱形ADCF =2S △ADC =S △ABC 即可求解． 试题解析：（1）∵AF ∥BD ， ∴∠AFE=∠DBE ， ∵E 是AD 中点， ∴AE=ED ，在△BDE 和△FAE 中，，∴△AFE ≌△DBE ．（2）连接CF ．∵△AFE ≌△DBE ， ∴AF=BD ∵∠BAC=90°，BD=CD ， ∴AD=DC=DB ，∴AF ∥CD ，AF=DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形， ∵DA=CD ，∴四边形ADCF 是菱形． （3）∵S △ABC =×AB×AC=10，∵四边形ADCF 是菱形，BD=DC ，S △ABC =2S △ADC ，∴S菱形ADCF =2S△ADC=10．【考点】1.全等三角形的判定与性质；2.菱形的判定与性质．9.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．【答案】(1)BM+DN=MN成立．(2)DN-BM=MN.【解析】（1）、在MB的延长线上，截得BE=DN，连接AE得到△ABE≌△AND，从而得到AE=AN，然后证明△AEM≌△ANM，得到ME=MN，从而得出答案；（2）、在DC上截取DF=BM，连接AF得到△ABM≌△ADF，然后证明△MAN≌△FAN，得到所求的答案.试题解析：（1）、BM＋DN=MN成立．如下图1，在MB的延长线上，截得BE=DN，连接AE，易证：△ABE≌△AND，∴AE=AN．∴∠EAB=∠NMD．∴∠BAD=90°,∠NAM=45°∴∠BAM+∠NMD=45°．∴∠EAB+∠BAM=45°．∴∠EAM=∠NAM又AM为公共边，∴△AEM≌△ANM，∴ME=MN，∴ME=BE＋BM=DN＋BM.∴DN+BM=MN.（2）、DN－BM＝MN．如图2，在DC上截取DF=BM，连接AF．∵AB=AD，∠ABM=∠ADF=90°，∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AM=AF，∠MAB=∠FAD．∴∠MAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．又∠MAN=45°，∴∠NAF=∠MAN=45°．∵AN=AN，∴△MAN≌△FAN．∴MN=FN，即MN=DN－DF=DN－BM；【考点】三角形全等的证明与应用.10.（8分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连结DF、AE，AE的延长线交于DF于点M，求证：AM⊥DF．【答案】证明见试题解析．【解析】根据DE=CF，可得出OE=OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论．试题解析：∵四边形ABCD是正方形，∴CO=DO，又∵DE=CF，∴OD﹣DE=OC﹣CF，即OF=OE，在△AOE和△DOF中，∵AO=DO，∠AOD=∠DOF，OE=OF，∴△AOE≌△DOF（SAS），∴∠OAE=∠ODF，∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，∴∠ODF+∠DEM=90°，即可得AM⊥DF．【考点】1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．11.如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最大；（3）当P，Q，R，S四点运动到正方形ABCD各边中点时，四边形PQRS的面积为原正方形面积的一半.【解析】根据已知可确定进而根据正方形的性质，可判定之间是否全等，从而可初步判断四边形的形状，判断出四边形为菱形后，只需证明其中有一个角等于，便可证明四边形为正方形.当在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形的面积．当四点运动到正方形四边中点时，四边形的面积是原正方形面积的一半．试题解析：∵四边形是正方形，.又∵不管滚动多长时间，∴不管滚动多长时间，四边形是菱形．又∴不管滚动多长时间，四边形总是正方形．当在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形的面积．当四点运动到正方形四边中点时，四边形的面积是原正方形面积的一半．理由：设原正方形的边长为当时，在中，由勾股定理，得即解得同理可得∴当四点运动到正方形各边中点时，四边形的面积为原正方形面积的一半．12.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.【答案】（1）△AED≌△CEB′；证明见解析；（2）4.【解析】（1）由折叠的性质知，CB′=BC=AD，∠B=∠B′=∠D=90°，∠B′EC=DEA，则由AAS得到△AED≌△CEB′；（2）延长HP交AB于M，则PM⊥AB，PG=PM，PG+PH=HM=AD，∵CE=AE=CD-DE=8-3=5在Rt△ADE中，由勾股定理得到AD=4，∴PG+PH=HM=AD=4．试题解析：（1）△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD为矩形，∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，又∵∠B′EC=∠DEA，∴△AED≌△CEB′；（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC=8-3=5．在△ADE中，AD==4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB，∴PG=PM．∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．【考点】1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形全等的判定；3.矩形的性质．13.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：(1)四边形OCED是矩形；(2)OE＝BC.【答案】见解析【解析】根据菱形的定义即可证得；根据平行四边形的对边相等即可证得．试题解析：∴四边形是平行四边形．∵四边形是菱形，∴四边形是矩形．(2)∵四边形是菱形，∵四边形是矩形，14.如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点(不与B，C重合)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC.垂足分别为E，F，D.(1)求证：BD＝PE＋PF.(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不成立，此时PE＝BD＋PF，理由见解析【解析】过点作交的延长线于点.可得矩形所以再由证明得出不成立，此时试题解析：如图，过点作交的延长线于点.∴四边形是矩形．又.即不成立，此时理由：过过点作交的延长线于点.与(1)同理可得15.已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（1）求证：AE=EC；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．【答案】解：（1）证明：连接AC，∵BD，AC是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC。
初二数学倍长中线专题
初二数学倍长中线专题一．求边的数量关系分析：本题中，要求三角形一边的范围，不难想到在三角形三边关系中是有所涉及的。
但这里的AC与AB，AD不在同一三角形中，无法直接来求，必须进行适当转换．由于题目中明确给出中线，则倍长中线，构造全等，将AC转化至某一条线段，与AB、AD组成三角形．分析：本题中，要直接发现BE，EF，CF 间的大小关系，是很困难的，三条线段不在同一个三角形中．受上一题启发，可能有同学会想到倍长中线AD．但是，这样只能将AC转化至某一条线段，与CF没有关系，因此看到中点D，我们也要想到倍长“隐藏的”中线FD．再联系到DE，DF为角平分线，“邻补角的角平分线互相垂直”，∠EDF为90°，想到转化EF，以达到将三条线段转化至同一个三角形的目的．小结：以上两题，均是探究边之间的数量关系，借助倍长中线，构造旋转180°的SAS 型全等，将不是同一三角形的边转化，使之能构成三角形，从而求解．这对学生的思维能力要求还是比较高的．不光看到中线，有时，看到中点也要想到这种辅助线作法．二．证明边等分析：本题是经典老题，解法多样．显然图中△BDF和△ECF不全等，不能直接得到BD＝CE．那就需要对其中一条边进行转化．考虑到F为DE中点，加之有对顶角的存在，已经有一对边，一对角等，要构造全等很容易，可以再添一对角等，或者一对边等，这里提供2种方法．分析：要证边等，第一步分析能否直接通过证明全等得到，显然不能．想到AD为△ABC中线，则应该倍长中线，尝试将AC转化到与BF在同一三角形中．分析：本题其实是在上一题的基础上，去掉了边BF，即擦除了“中线”，只留了中点E，再多加了一条AD，所以方法应该不变．小结：例2和例3及变式，都是证明边等。
但都不能直接通过全等得到，需要用倍长中线进行转化。
而在证明过程中，其实都借助了双等腰三角形的八字形，有一组对顶角作为中间桥梁。
通过四个角等，最后得边等。
初二数学函数基础专题
初二数学函数复习专题一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）1. 在平面直角坐标系中，直线y=1-x经过（）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限2. 已知y=(2m-1)x 是正比例函数，且图像经过一、三象限，则函数的解析式( )A. y=-5xB. y=2 xC. y=3 xD. y=-2 x3. 下列关于x 的函数中，是正比例函数的为（）2 B. y= C. y= D. y=A. y=x4. 直角三角形两个锐角∠A 与∠B 的函数关系是（）A. 正比例函数B. 一次函数C. 反比例函数D. 二次函数5. 下列问题中，两个变量成正比例的是（）A. 圆的面积S与它的半径rB. 正方形的周长 C 与它的边长 aC. 三角形面积一定时，它的底边 a 和底边上的高hD. 路程不变时，匀速通过全程所需要的时间t 与运动的速度v6. 若方程组没有解，则一次函数y=2- x与y= -x 的图象必定( )A. 重合B. 平行C. 相交D. 无法确定7. 在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b 两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b 所对应的函数图象分别是（）A. ③、②B. ②、③C. ①、③D. ③、①8. 如图①，四边形ABCD 中，BC∥AD，∠A=90 °，点P 从A 点出发，沿折线AB→BC→CD 运动，到点 D 时停止，已知△PAD的面积s与点P运动的路程x 的函数图象如图②所示，则点P 从开始到停止运动的总路程为（）A. 4B. 2+C. 5D. 4+0 有意义，则一次函数y=（a-2）x 2-a 的图象可能是（）9. 若式子（a-2）A. B. C. D.10. 已知函数y= k x+b（k≠0）的图象如图，则y=-2kx+b（k≠0）的图象可能是（）11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b 和一次函数y= b x+ a图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）12. 若直线y=（k-2）x+2k-1 与y 轴交于点（0，1），则k的值等于______ ．13. 若一条直线经过点（-1，1）和点（1，5），则这条直线与x 轴的交点坐标为______ ．14. 已知函数y=（k-2）x+2k+1，当k ______ 时，它是正比例函数；当k ______ 时，它是一次函数．15. 直线向上平移 3 个单位，得到的直线是.2a+ b16. 已知函数y=2x +a+2 b 是正比例函数，则a= ______ ．17. 如图，一次函数y= k x+ b的图象与x 轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：①y 随x 的增大而减小；②b＞0；③关于x 的方程kx+b=0 的解为x=2；④不等式kx+b＞0 的解集是x＞2．其中说法正确的有______（把你认为说法正确的序号都填上）．18. 有一棵树苗，刚栽下去时树高 1.2米，以后每年长高0.2 米，设x 年后树高为y 米，那么y 与x 之间的函数解析式为______ ．19. 如图，已知一次函数y1=k1x+ b1 和y2=k2x+ b2 的图象交于点P（2，4），则关于x 的方程k1x+b1=k2x+ b2 的解是______ ．20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），B（6，3），连结AB，如果点P 在直线y=x-1 上，且点P 到直线AB 的距离小于1，那么称点P 是线段AB 的“邻近点”．（1）判断点C（，）是否是线段AB 的“邻近点”______ ．（2）若点Q（m，n）是线段AB 的“邻近点”，则m 的取值范围______ ．三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）21. 已知A、B 两地相距80km，甲、乙二人沿同一条公路从 A 地到 B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车，DB、OC 分别表示表示甲、乙二人离开 A 地距离S（km）与时间t（h）的函数关系，根据题中的图象填空：（1）乙先出发______ h 后，才出发；（2）大约在乙出发______ h 后，两人相遇，这时他们离 A 地______ km；（3）甲到达 B 地时，乙离开 A 地______ km；（4）甲的速度是______ km/h；乙的速度是______ km/h．22. 已知一次函数解析式是，当x=2 时，y=—3.(1) 求一次函数的解析式；(2) 将该函数的图像向上平移 5 个，求平移后的图像与x 轴交点的坐标.23.在平面直角坐标系上画出y=2x-2 的图象（1）判断A（5，7），B（）是否在这一条直线上．（2）若M（-5，m），N（n，2）在y=2x-2 上，求的值．24.已知一次函数y=2x+4（1）求图象与x 轴的交点 A 的坐标，与y 轴交点 B 的坐标；（2）在（1）的条件下，求出△AOB 的面积．25.已知：正比例函数y=kx（k≠0）过A（-2，3），求：（1）比例系数k 的值；（2）在x 轴上找一点P，使S△PAO=6，并求点P 的坐标．26.如图，直线y= x+2 分别与x轴、y轴相交于点A、点B．（1）求点 A 和点B的坐标；（2）若点P是y轴上的一点，设△AOB、△ABP的面积分别为S△AOB 与S△ABP ，且S△ABP=2 S△AOB，求点P 的坐标．。
初二数学 证明线段数量关系专题
初二数学证明线段数量关系专题1. 题目：已知$a > b > 0$，$c > d > 0$，则一定有( )A.$a^{2} > b^{2}$B.$c^{2} > d^{2}$C.$ac > bd$D.$a/d > b/c$2. 题目：已知$a > b > 0$，则下列不等式正确的是( )A.$1/a < 1/b$B.$ac^{2} > bc^{2}$（$c \neq 0$）C.$a^{3} > b^{3}$D.$a^{2} > b^{2}$3. 题目：已知$a > b > 0$，则下列不等式正确的是( )A.$a^{3} < b^{3}$B.$a^{2} > b^{2}$C.$ac^{2} > bc^{2}$（$c \neq 0$）D.$ac > bc$4. 题目：已知$a > b > 0$，则下列不等式中正确的是( )A.$a^{2} < ab$B.$ac < bc$（$c < 0$）C.$ac^{2} > bc^{2}$（$c \neq 0$）D.$ac > bc$（$c > 0$）5. 题目：已知 a，b，m 都是正实数，则不等式 a + m > 2b 的一个充分不必要条件是 ( )A. a + m/2 > bB. a + m/2 ≥ bC. a > bD. a ≥ b6. 题目：已知 a，b，m 都是正实数，则下列不等式中恒成立的是 ( )A. a + m > 2bB. a + m/2 ≥ bC. a^2 + m^2 > 2bmD. a^2 + m^2 ≥ 2bm7. 题目：已知 a，b，m 都是正实数，且 a < b，则下列不等式中一定成立的是 ( )A. a^2 + m < b^2 + mB. a^2 + m < (a + m)^2C. (a + m)/2 < (b + m)/2D. a/b < (a + m)/(b + m)。
初中八年级数学上册专题及期末复习(附答案解析)
小专题(一) 构造全等三角形的方法技巧类型1 连结线段构造全等三角形【例1】 如图，已知AB ＝AD ，BC ＝CD ，求证：∠B ＝∠D.证明：连结AC ，在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS )． ∴∠B ＝∠D.【方法归纳】 通过连结两点，构造出三角形，再证明两个三角形全等，然后利用全等三角形的性质说明角相等或边相等．1．如图，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，求证：∠A ＝∠C.证明：连结BD ， ∵AB ∥CD ， ∴∠ABD ＝∠CDB. ∵AD ∥BC ， ∴∠ADB ＝∠CBD. 又∵BD ＝DB ，∴△ABD ≌△CDB(ASA )．∴∠A ＝∠C.2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点M 为BC 中点，MD ⊥AB 于点D ，ME ⊥AC 于点E.求证：MD ＝ME.证明：连结AM.在△ABM 和△ACM 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AM ＝AM ，BM ＝CM ，∴△ABM ≌△ACM(SSS )． ∴∠BAM ＝∠CAM.∵MD ⊥AB ，ME ⊥AC ，∴MD ＝ME.类型2 利用“截长补短”构造全等三角形【例2】 如图，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE ＝∠CDE ，∠DCE ＝∠ECB.求证：CD ＝AD ＋BC.证明：在CD 上截取DF ＝DA ，连结FE.在△ADE 和△FDE 中，⎩⎨⎧AD ＝FD ，∠ADE ＝∠FDE ，DE ＝DE ，∴△ADE ≌△FDE. ∴∠A ＝∠DFE.又∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°. ∵∠DFE ＋∠EFC ＝180°. ∴∠B ＝∠EFC.在△EFC 和△EBC 中，⎩⎨⎧∠EFC ＝∠B ，∠ECF ＝∠ECB ，EC ＝EC ，∴△EFC ≌△EBC. ∴FC ＝BC.∴CD ＝DF ＋FC ＝AD ＋BC.【方法归纳】 遇到证明线段的和差倍分问题时，通常利用截长法或补短法，具体的作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者延长某条线段，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质解决．3．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明．解：BC ＝BE ＋CD.证明：在BC 上截取BF ＝BE ，连结OF. ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠EBO ＝∠FBO. 又∵BO ＝BO ， ∴△EBO ≌△FBO.∴∠EOB ＝∠FOB.∵∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A)＝120°.∴∠EOB ＝∠DOC ＝60°.∴∠BOF ＝60°，∠FOC ＝∠DOC ＝60°. ∵CE 平分∠DCB ，∴∠DCO ＝∠FCO.又∵CO ＝CO ，∴△DCO ≌△FCO.∴CD ＝CF.∴BC ＝BF ＋CF ＝BE ＋CD.4．(德州中考)问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°.点E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG.先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是EF ＝BE ＋DF ；(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．解：EF ＝BE ＋DF 仍然成立．证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连结AG ，∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADC ＋∠ADG ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG.在△ABE 和△ADG 中，⎩⎨⎧BE ＝DG ，∠B ＝∠ADG ，AB ＝AD ，∴△ABE ≌△ADG(SAS )． ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG . ∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF. ∴∠EAF ＝∠GAF.在△AEF 和△AGF 中，⎩⎨⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ，AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AGF(SAS )．∴EF ＝FG .∵FG ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF.类型3 利用“中线倍长”构造全等三角形【例3】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AC>AB ，求证：AB ＋AC>2AD>AC －AB.证明：延长AD 至E ，使AD ＝DE ，并连结CE ， ∵D 是BC 上的中点，∴CD ＝BD.又∵AD ＝DE ，∠ADB ＝∠CDE ， ∴△ADB ≌△EDC(SAS )． ∴AB ＝CE.∵AC ＋CE>2AD>AC －CE ，∴AB ＋AC>2AD>AC －AB.【方法归纳】 当题目中出现中线时，常常延长中线，使所延长部分与中线的长度相等，然后连结相应的端点，便可以得到全等三角形．5．已知：如图，AD ，AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA ＝BD.求证：AE ＝12AC.证明：延长AE 至F ，使EF ＝AE ，连结DF. ∵AE 是△ABD 的中线， ∴BE ＝DE.又∵∠AEB ＝∠FED ，∴△ABE ≌△FDE.∴∠B ＝∠BDF ，AB ＝DF. ∵BA ＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA ，BD ＝DF.∵∠ADF ＝∠BDA ＋∠BDF ，∠ADC ＝∠BAD ＋∠B ， ∴∠ADF ＝∠ADC.∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD. ∴DF ＝CD. 又∵AD ＝AD ，∴△ADF ≌△ADC(SAS )． ∴AC ＝AF ＝2AE ，即AE ＝12AC.6．如图，AB ＝AE ，AB ⊥AE ，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE ＝2AM.证明：延长AM至点N，使MN＝AM，连结BN，∵M为BC中点，∴BM＝CM.又∵AM＝MN，∠AMC＝∠NMB，∴△AMC≌△NMB(SAS)．∴AC＝BN，∠C＝∠NBM.∴∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD. ∵AD＝AC，AC＝BN，∴AD＝BN.又∵AB＝AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA.又∵AM＝MN，∴DE＝2AM.小专题(二) 等腰三角形中的分类讨论类型1 对顶角和底角的分类讨论对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．1．等腰三角形中有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°； ②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°. 故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.类型2 对腰长和底长的分类讨论在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边． 2．(1)已知等腰三角形的一边长等于6 cm ，一边长等于7 cm ，求它的周长；(2)等腰三角形的一边长等于8 cm ，周长等于30 cm ，求其他两边的长． 解：(1)周长为19 cm 或20 cm .(2)其他两边的长为8 cm ，14 cm 或11 cm ，11 cm .3．若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm 和12 cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长．解：如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是9 cm 、哪一部分是12 cm ，因此，应有两种情形．设这个等腰三角形的腰长为x cm ，底边长为y cm ，根据题意，得⎩⎨⎧x ＋12x ＝9，12x ＋y ＝12或⎩⎨⎧x ＋12x ＝12，12x ＋y ＝9.解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝5.故腰长是6 cm ，底边长是9 cm 或腰长是8 cm ，底边长是5 cm .类型3 几何图形之间的位置关系不明确的分类讨论4．已知C 、D 两点在线段AB 的中垂线上，且∠ACB ＝50°，∠ADB ＝80°，求∠CAD 的度数．解：①如图1，当C 、D 两点在线段AB 的同侧时， ∵C 、D 两点在线段AB 的垂直平分线上，∴CA ＝CB.∴△CAB 是等腰三角形． 又∵CE ⊥AB ，∴CE 是∠ACB 的平分线．∴∠ACE ＝∠BCE. ∵∠ACB ＝50°，∴∠ACE ＝25°. 同理可得∠ADE ＝40°，∴∠CAD ＝∠ADE －∠ACE ＝40°－25°＝15°；图1 图2②如图2，当C 、D 两点在线段AB 的两侧时，同①的方法可得∠ACE ＝25°，∠ADE ＝40°，∴∠CAD ＝180°－(∠ADE ＋∠ACE)＝180°－(40°＋25°)＝180°－65°＝115°. 故∠CAD 的度数为15°或115°.类型4 运动过程中等腰三角形中的分类讨论5．(下城区校级期中)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，在射线BC 上一动点D ，从点B 出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为258或5或8秒． 解析：①当AD ＝BD 时，在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得AD 2＝AC 2＋CD 2，即BD 2＝(8－BD)2＋62， 解得BD ＝254cm .则t ＝2542＝258(秒)；②当AB ＝BD 时，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得 AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10(cm )， 则t ＝102＝5(秒)；③当AD ＝AB 时，BD ＝2BC ＝16 cm ，则t ＝162＝8(秒)．综上所述，t 的值可以是：258，5，8.6．(杭州期中)如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A →B 方向运动，且速度为每秒1 cm ，点Q 从点B 开始沿B →C 方向运动，且速度为每秒2 cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．(1)当t ＝2秒时，求PQ 的长；(2)求出发时间为几秒时，△PQB 是等腰三角形？(3)若Q 沿B →C →A 方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使△BCQ 成为等腰三角形的运动时间．解：(1)BQ ＝2×2＝4(cm )，BP ＝AB －AP ＝8－2×1＝6(cm )， ∵∠B ＝90°，∴PQ ＝BQ 2＋BP 2＝42＋62＝213(cm )． (2)根据题意，得BQ ＝BP ， 即2t ＝8－t ， 解得t ＝83.∴出发时间为83秒时，△PQB 是等腰三角形．(3)分三种情况：①当CQ ＝BQ 时，如图1所示， 则∠C ＝∠CBQ ， ∵∠ABC ＝90°，∴∠CBQ ＋∠ABQ ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°. ∴∠A ＝∠ABQ. ∴BQ ＝AQ.∴CQ ＝AQ ＝5 cm . ∴BC ＋CQ ＝11 cm . ∴t ＝11÷2＝5.5(秒)．②当CQ ＝BC 时，如图2所示， 则BC ＋CQ ＝12 cm . ∴t ＝12÷2＝6(秒)．③当BC ＝BQ 时，如图3所示， 过B 点作BE ⊥AC 于点E ， 则BE ＝AB·BC AC ＝6×810＝4.8(cm )．∴CE ＝BC 2－BE 2＝3.6 cm .∴CQ ＝2CE ＝7.2 cm . ∴BC ＋CQ ＝13.2 cm . ∴t ＝13.2÷2＝6.6(秒)．由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形．小专题(三) 利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题1．如图所示，有一张直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为(A )A ．1 cmB ．1.5 cmC ．2 cmD ．3 cm第1题图 第2题图2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于(B )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为(D )A .252cmB .152cm C .254cmD .154cm第3题图 第4题图4．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为(B )A ．3B .154C ．5D .1525．(上城区期末)在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A′处，折痕为PQ ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段AB 、AD 边上移动，则点A′在BC 边上可移动的最大距离为(B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：如图1，当点D 与点Q 重合时，根据翻折对称性可得 A′D ＝AD ＝5.在Rt △A ′CD 中，A ′D 2＝A′C 2＋CD 2， 即52＝(5－A′B)2＋32，解得A′B ＝1.如图2，当点P 与点B 重合时，根据翻折对称性可得A′B ＝AB ＝3. ∵3－1＝2，∴点A′在BC 边上可移动的最大距离为2. 故选B .6．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为7．第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是6_cm 2．8．如图，长方形ABCD 中，CD ＝6，BC ＝8，E 为CD 边上一点，将长方形沿直线BE 折叠，使点C 落在线段BD 上C′处，求DE 的长．解：∵在长方形ABCD 中，∠C ＝90°，DC ＝6，BC ＝8， ∴BD ＝62＋82＝10.由折叠可得BC ′＝BC ＝8，EC ′＝EC ，∠BC ′E ＝∠C ＝90°， ∴C ′D ＝2，∠DC ′E ＝90°. 设DE ＝x ，则C ′E ＝CE ＝6－x . 在Rt △C ′DE 中，x 2＝(6－x )2＋22， 解得x ＝103.∴DE 的长为103.类型2 利用勾股定理解决立体图形的最短路径问题9．如图是一个封闭的正方体纸盒，E 是CD 中点，F 是CE 中点，一只蚂蚁从一个顶点A 爬到另一个顶点G ，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是(C )A ．A ⇒B ⇒C ⇒G B ．A ⇒C ⇒G C ．A ⇒E ⇒GD ．A ⇒F ⇒G10．如图，在一个长为2 m ，宽为1 m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2 m 的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是2.60m .(精确到0.01 m )第10题图第11题图11．(凉山中考)如图，圆柱形玻璃杯，高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为20cm.12．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？解：把长方体的面DCC′D′沿棱CD展开至面ABCD上，如图．构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连结AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC，即O为DC的中点．由勾股定理得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O(或A′B′中点O′)，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.13．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97；蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2＝（4＋4）2＋52＝89. ∵l1>l2，∴最短路径的长是89.小专题(四) 全等三角形的基本模型类型1 平移型把△ABC 沿着某一条直线l 平行移动，所得到△DEF 与△ABC 称为平移型全等三角形．图1，图2是常见的平移型全等三角形．在证明平移型全等的试题中，常常要碰到移动方向的边加(减)公共边．如图1，若BE ＝CF ，则BE ＋EC ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF.如图2，若BE ＝CF ，则BE －CE ＝CF －CE ，即BC ＝EF.1．如图，已知EF ∥MN ，EG ∥HN ，且FH ＝MG ，求证：△EFG ≌NMH.证明：∵EF ∥MN ，EG ∥HN ， ∴∠F ＝∠M ，∠EGF ＝∠NHM. ∵FH ＝MG ，∴FH ＋HG ＝MG ＋HG ， 即GF ＝HM.在△EFG 和△NMH 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠M ，GF ＝HM ，∠EGF ＝∠NHM ，∴△EFG ≌△NMH(ASA )．2．(金华六校10月联考)如图，A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个选项作为条件，余下一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明.①AB ＝CD ；②∠ACE ＝∠D ；③∠EAG ＝∠FBG ；④AE ＝BF. 你选择的条件是：①②③，结论是：④．(填写序号)证明：∵∠EAG ＝∠FBG ， ∴∠EAD ＝∠FBD. ∵AB ＝CD ，∴AB ＋BC ＝BC ＋CD ， 即AC ＝BD.在△ACE 和△BDF 中，⎩⎨⎧∠ACE ＝∠D ，AC ＝BD ，∠EAD ＝∠FBD ，∴△ACE ≌△BDF(ASA)．类型2翻折型将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为翻折型全等三角形．此类图形中要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．3．(下城区校级期中)如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD、EB.(1)不添加辅助线，找出图中其他的全等三角形；(2)求证：CF＝EF.解：(1)图中其他的全等三角形为：△ACD≌△AEB，△DCF≌△BEF.(2)证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD.∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE.又∵∠ADE＝∠ABC，∴∠CDF＝∠EBF.又∵∠DFC＝∠BFE，∴△CDF≌△EBF(AAS)．∴CF＝EF.类型3旋转型将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．识别旋转型三角形时，如图1，涉及对顶角相等；如图2，涉及等角加(减)等角的条件．4．已知：如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE.证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°.∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE.5．如图，△ABC ，△CDE 是等边三角形，B ，C ，E 三点在同一直线上．(1)求证：AE ＝BD ；(2)若BD 和AC 交于点M ，AE 和CD 交于点N ，求证：CM ＝CN ； (3)连结MN ，猜想MN 与BE 的位置关系，并加以证明． 解：(1)证明：∵△ABC 和△DCE 均为等边三角形， ∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°. ∴∠BCD ＝∠ACE ＝120°.在△ACE 和△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD(SAS )． ∴AE ＝BD.(2)证明：∵△ACE ≌△BCD ，∴∠CBD ＝∠CAE.∵∠ACN ＝180°－∠ACB －∠DCE ＝60°， ∴∠BCM ＝∠ACN.在△BCM 和△ACN 中，⎩⎨⎧∠CBM ＝∠CAN ，CB ＝CA ，∠BCM ＝∠ACN ，∴△BCM ≌△ACN(ASA )． ∴CM ＝CN.(3)MN ∥BE.证明：∵CM ＝CN ，∠MCN ＝60°， ∴△MCN 为等边三角形． ∴∠CMN ＝60°. ∴∠CMN ＝∠ACB. ∴MN ∥BE.类型4 双垂型基本图形如图：此类图形通常告诉BD ⊥DE ，AB ⊥AC ，CE ⊥DE ，那么一定有∠B ＝∠CAE. 6．如图，AD ⊥AB 于点A ，BE ⊥AB 于点B ，点C 在AB 上，且CD ⊥CE ，CD ＝CE.求证：AD ＝CB.证明：∵AD ⊥AB ，BE ⊥AB ， ∴∠A ＝∠B ＝90°. ∴∠D ＋∠ACD ＝90°. ∵CD ⊥CE ，∴∠ACD ＋∠BCE ＝180°－90°＝90°. ∴∠D ＝∠BCE .在△ACD 和△BEC 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠B ，∠D ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BEC (AAS)． ∴AD ＝CB . 7．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，直线l 经过点A 且绕点A 在△ABC 所在平面内转动，作BD ⊥l ，CE ⊥l ，D 、E 为垂足．求证：DA ＋DB ＝2DE.证明：在l 上截取FA ＝DB ，连结CD 、CF.∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD ⊥l ， ∴AC ＝BC ，∠BDA ＝90°.∴∠CBD ＋∠CAD ＝360°－∠BDA －∠ACB ＝360°－90°－90°＝180°. 又∵∠CAF ＋∠CAD ＝180°， ∴∠CBD ＝∠CAF.在△CBD 和△CAF 中，⎩⎨⎧CB ＝CA ，∠CBD ＝∠CAF ，BD ＝AF ，∴△CBD ≌△CAF(SAS )． ∴CD ＝CF. ∵CE ⊥l ，∴DE ＝EF ＝12DF ＝12(DA ＋FA)＝12(DA ＋DB)．∴DA ＋DB ＝2DE.小专题(五) 一元一次不等式(组)的解法1．解下列不等式(组)：(1)(金华金东区期末)5x ＋3＜3(2＋x)； 解：去括号，得5x ＋3＜6＋3x. 移项，得5x －3x ＜6－3. 合并同类项，得2x ＜3. 系数化为1，得x ＜32.(2)(黄冈中考)x ＋12≥3(x －1)－4；解：去分母，得x ＋1≥6(x －1)－8. 去括号，得x ＋1≥6x －6－8. 移项，得x －6x ≥－6－8－1. 合并同类项，得－5x ≥－15. 两边都除以－5，得x ≤3.(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥2，①3（x ＋1）>x ＋5；② 解：由①，得x ≥1. 由②，得x>1.所以，不等式组的解集为x>1.(4)(莆田中考)⎩⎪⎨⎪⎧x －3（x －2）≥4，①1＋2x 3>x －1；②解：由①，得x ≤1.由②，得x ＜4.所以原不等式组的解集为x ≤1.(5)(金华金东区期末)⎩⎪⎨⎪⎧5x －2>3（x ＋1），①12x －1≤7－32x.② 解：解不等式①，得x ＞52.解不等式②，得x ≤4. 故不等式组的解集为52＜x ≤4.2．(苏州中考)解不等式2x －1＞3x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．解：去分母，得4x －2＞3x －1. 移项，得4x －3x ＞2－1. 合并同类项，得x ＞1.将不等式解集表示在数轴上如图：3．(萧山区校级月考)解不等式x3<1－x －36，并求出它的非负整数解．解：去分母，得2x<6－(x －3)．去括号，得2x<6－x ＋3. 移项，得x ＋2x<6＋3. 合并同类项，得3x<9. 系数化为1，得x<3.所以，非负整数解为0，1，2.4．(杭州经济开发区期末)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥3（x －2），①x ＋113－1>－x.②并把它的解在数轴上表示出来．解：解不等式①，得x ≤1.解不等式②，得x ＞－2. ∴原不等式组的解为－2＜x ≤1. 在数轴上表示为：5．(十堰中考)x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x ≤2－32x 都成立？解：根据题意解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2>3（x －1），①12x ≤2－32x.② 解不等式①，得x ＞－52.解不等式②，得x ≤1. 所以－52＜x ≤1.故满足条件的整数有－2、－1、0、1.小专题(六) 一元一次不等式的实际应用1．建设“新丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的战略构想，强调相关各国要打造互利共赢的“利益共同体”和共同发展繁荣的“命运共同体”．某国有企业在“一带一路”的战略合作中，向东南亚销售A 、B 两种外贸产品共6万吨．已知A 种外贸产品每吨800元，B 种外贸产品每吨400元．若A 、B 两种外贸产品销售额不低于3 200万元，则至少销售A 产品多少万吨？解：设销售A 产品x 万吨．根据题意，得 800x ＋400(6－x)≥3 200. 解得x ≥2.答：至少销售A 产品2万吨．2．(来宾中考)已知购买一个足球和一个篮球共需130元，购买2个足球和一个篮球共需180元．(1)求每个足球和每个篮球的售价；(2)如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4 000元，问最多可买多少个篮球？ 解：(1)设每个足球的售价为x 元，每个篮球的售价为y 元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝130，2x ＋y ＝180. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝80. 答：每个足球和每个篮球的售价分别为50元、80元． (2)设可购买z 个篮球．根据题意，得 50(54－z)＋80z ≤4 000.解得z ≤1303.∵z 取整数，∴z 最大可取43.答：最多可买43个篮球．3．2017年的5月20日是第17个中国学生营养日，我市某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况，他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)，若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，这份快餐最多含有多少克的蛋白质？信 息1．快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其他． 2．快餐总质量为400克．3．碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍．解：设这份快餐含有x 克的蛋白质．根据题意，得x ＋4x ≤400×70%.解得x ≤56.答：这份快餐最多含有56克的蛋白质．4．(玉林中考)蔬菜经营户老王近两天经营的是青菜和西兰花．(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表，老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤，当天售完后老王一共能赚多少钱？(2)今天因进价不变，老王仍用10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，应怎样给青菜定售价？(精确到0.1元)解：(1) 设老王批发青菜x 市斤，西兰花y 市斤，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝200，2.8x ＋3.2y ＝600.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝100. (4－2.8)×100＋(4.5－3.2)×100＝250(元)． 答：当天售完后老王一共能赚250元钱． (2)设青菜的售价定为a 元，根据题意，得 100×(1－10%)a ＋4.5×100－600≥250. 解得a ≥409≈4.44.答：青菜售价至少定为4.5元/市斤．小专题(七) 一次函数的图象与性质类型1 一次函数的图象与字母系数的关系1．在平面直角坐标系中，正比例函数y ＝kx(k<0)的图象可能是(C )2．(怀化中考)一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)在平面直角坐标系中的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是(C )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＜0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＞0，b ＜0第2题图 第3题图3．(江山期末)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则下列语句中不正确的是(B )A ．函数值y 随x 的增大而增大B ．当x ＞0时，y ＞0C ．k ＋b ＝0D ．kb ＜04．已知函数y ＝kx ＋b 的图象如图，则y ＝2kx ＋b 的图象可能是(C )5．已知一次函数y ＝(2k －1)x ＋b －1的图象经过第一、二、四象限，则k ，b 的取值范围为(B )A ．k>12，b>1B ．k<12，b>1C ．k>12，b<1D ．k<12，b<16．对于一次函数y ＝kx ＋b ，其中b 实际是该函数的图象与y 轴交点的纵坐标．在画图实践中我们发现当k>0，b>0时，其图象经过第一、二、三象限．请你随意画几个一次函数的图象继续探究：(1)当b>0时，图象与y 轴的交点在x 轴上方；当b<0时，图象与y 轴的交点在x 轴下方；(2)当k 、b 取何值时，图象经过第一、三、四象限？第一、二、四象限？第二、三、四象限？请写出你的探究结论和同伴交流．解：当k>0，b<0时，图象经过第一、三、四象限； 当k<0，b>0时，图象经过第一、二、四象限； 当k<0，b<0时，图象经过第二、三、四象限．7．一次函数y ＝mx ＋n 的图象如图所示．(1)试化简代数式：m 2－|m －n|；(2)若点(－2，a)，(3，b)在函数图象上，比较a ，b 的大小．解：(1)由图象可知，m ＜0，n ＞0， 所以m －n<0.所以m 2－|m －n|＝－m ＋m －n ＝－n.(2)因为一次函数y ＝mx ＋n 的图象从左往右逐渐下降， 所以y 随x 的增大而减小．又因为点(－2，a)，(3，b)在函数图象上，且－2＜3，所以a ＞b.类型2 一次函数图象上点的坐标特征8．(遂宁中考)直线y ＝2x －4与y 轴的交点坐标是(D )A ．(4，0)B ．(0，4)C ．(－4，0)D ．(0，－4)9．一次函数y ＝5x －2的图象经过点A(1，m)，如果点B 与点A 关于y 轴对称，那么点B 所在的象限是(B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知点(－2，y 1)，(－1，y 2)，(1，y 3)都在直线y ＝－3x ＋2上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(A )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 3＞y 2＞y 111．(钦州中考)一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象经过A(1，0)和B(0，2)两点，则它的图象不经过第三象限．12．(株洲中考)已知直线y ＝2x ＋(3－a)与x 轴的交点在A(2，0)，B(3，0)之间(包括A ，B 两点)，则a 的取值范围是7≤a ≤9．类型3 一次函数表达式的确定13．(金华金东区期末)将直线y ＝2x 向右平移2个单位长度所得的直线的表达式是(C )A ．y ＝2x ＋2B ．y ＝2x －2C ．y ＝2(x －2)D ．y ＝2(x ＋2)14．如图，A 、B 两点在坐标平面上，已知A(－3，0)，B(0，－4)，那么直线AB 关于y 轴对称的直线表达式为(B )A ．y ＝－43x －4B ．y ＝43x －4C ．y ＝43x ＋4D ．y ＝－43x ＋415．(江山期末)一次函数的图象经过M(3，2)，N(－1，－6)两点．(1)求函数表达式；(2)请判定点A(1，－2)是否在该一次函数图象上，并说明理由． 解：(1)设y ＝kx ＋b(k ≠0)，将点(3，2)(－1，－6)代入，得⎩⎨⎧2＝3k ＋b ，－6＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－4. ∴y ＝2x －4.(2)当x ＝1时，y ＝2×1－4＝－2， ∴点A(1，－2)在一次函数图象上．16．(益阳中考)如图，直线l 上有一点P 1(2，1)，将点P 1先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到像点P 2，点P 2恰好在直线l 上．(1)写出点P 2的坐标；(2)求直线l 所表示的一次函数的表达式；(3)若将点P 2先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到像点P 3.请判断点P 3是否在直线l 上，并说明理由．解：(1)P 2(3，3)．(2)设直线l 所表示的一次函数的表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)． 因为点P 1(2，1)，P 2(3，3)在直线l 上，所以⎩⎨⎧2k ＋b ＝1，3k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－3.所以直线l 所表示的一次函数的表达式为y ＝2x －3.(3)点P 3在直线l 上．由题意知点P 3的坐标为(6，9)． 因为2×6－3＝9， 所以点P 3在直线l 上．小专题(八) 一次函数与方程、不等式的综合应用类型1 一次函数与一元一次方程的综合应用 1．方程2x ＋12＝0的解是直线y ＝2x ＋12(C )A ．与y 轴交点的横坐标B ．与y 轴交点的纵坐标C ．与x 轴交点的横坐标D ．与x 轴交点的纵坐标2．已知方程kx ＋b ＝0的解是x ＝3，则函数y ＝kx ＋b 的图象可能是(C )A B C D3．一次函数y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，且k ≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为(A )A ．x ＝－1B ．x ＝2C ．x ＝0D ．x ＝3第3题图 第4题图4．如图，已知直线y ＝3x ＋b 与y ＝ax －2的交点的横坐标为－2，则关于x 的方程3x ＋b ＝ax －2的解为x ＝－2． 5．已知方程3x ＋9＝0的解是x ＝－3，则函数y ＝3x ＋9与x 轴的交点坐标是(－3，0)，与y 轴的交点坐标是(0，9)．类型2 一次函数与二元一次方程组的综合应用6．如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解是(B )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－2 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝2第6题图 第7题图7．如图，两条直线l 1和l 2的交点坐标可以看作下列哪个方程组中的解(B )A .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y ＝x ＋2B .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝3x －5C .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋1y ＝x －1D .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋1y ＝x ＋1 8．体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x 人，进3个球的有y 人，若(x ，y)恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的表达式是(C )A .y ＝x ＋9与y ＝23x ＋223B ．y ＝－x ＋9与y ＝23x ＋223C ．y ＝－x ＋9与y ＝－23x ＋223D ．y ＝x ＋9与y ＝－23x ＋2239．利用一次函数的图象解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x －y ＝5.解：根据图象可得出方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝2x －5的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.10.在平面直角坐标系中，直线l 1经过点(2，3)和点(－1，－3)，直线l 2经过原点O ，且与直线l 1交于点P(－2，a)．(1)求a 的值；(2)(－2，a)可看成怎样的二元一次方程组的解？(3)设直线l 1与y 轴交于点A ，试求出△APO 的面积． 解：(1)设直线l 1的表达式为y ＝kx ＋b ， ∵直线l 1经过(2，3)和(－1，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，－k ＋b ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1. ∴直线l 1的表达式为y ＝2x －1.把P(－2，a)代入y ＝2x －1，得a ＝2×(－2)－1＝－5.(2)设直线l 2的表达式为y ＝mx ，把P(－2，－5)代入，得－5＝－2m ，解得m ＝52.∴直线l 2的表达式为y ＝52x.∴(－2，－5)可以看作是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝52x 的解．(3)对于y ＝2x －1，令x ＝0，解得y ＝－1，则A 点坐标为(0，－1)． ∴S △APO ＝12×2×1＝1.11．(青岛中考)甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起跑．图中l 1和l 2分别表示甲、乙两人跑步的路程y(m )与甲跑步的时间x(s )之间的函数关系，其中l 1的关系式为y 1＝8x ，问甲追上乙用了多长时间？解：设l 2的关系式为y 2＝kx ＋b(k ≠0)，根据题意，可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧10＝b ，22＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝10.∴y 2＝6x ＋10.当y 1＝y 2时，8x ＝6x ＋10，解得x ＝5.答：甲追上乙用了5 s .类型3 一次函数与不等式的综合应用12．一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象如图所示，当kx ＋b ＜0时，x 的取值范围是(D )A ．x ＜0B ．x ＞0C ．x ＜2D ．x ＞2第12题图 第14题图 13．对于函数y ＝－x ＋4，当x ＞－2时，y 的取值范围是(D )A ．y ＜4B ．y ＞4C ．y ＞6D ．y ＜614．如图，函数y ＝2x －4与x 轴、y 轴分别交于点(2，0)，(0，－4)，当－4＜y ＜0时，x 的取值范围是(C )A ．x ＜－1B ．－1＜x ＜0C ．0＜x ＜2D ．－1＜x ＜215．(杭州开发区期末)一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象如图所示，当y ＜0时，自变量x 的取值范围是(A )A ．x ＜－2B ．x ＞－2C ．x ＞2D ．x ＜2第15题图 第16题图16．(绍兴五校联考期末)直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b<k 2x ＋c 的解集为x<1．17．已知函数y 1＝kx －2和y 2＝－3x ＋b 相交于点A(2，－1)．(1)求k 、b 的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象；(2)利用图象求出：当x 取何值时有：①y 1<y 2；②y 1≥y 2；(3)利用图象求出：当x 取何值时有：①y 1<0且y 2<0；②y 1>0且y 2<0. 解：(1)k ＝12，b ＝5.图象略．(2)①当x<2时，y 1<y 2. ②当x ≥2时，y 1≥y 2.(3)①当53<x<4时，y 1<0且y 2<0.②当x>4时，y 1>0且y 2<0.小专题(九)分段函数1．某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是(A )第1题图第2题图2．如图是某复印店复印收费y(元)与复印面数(8开纸)x(面)的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费(A )A．0.4元B．0.45 元C．约0.47元D．0.5元3．如图是某工程队在一项修筑公路的工程中，修筑的公路长度y(米)与时间x(天)之间的关系函数(图象为折线)．根据图象提供的信息，可知到第七天止，该工程队修筑的公路长度为(D )A．630米B．504米C．480米D．450米第3题图第4题图4．(绍兴五校联考期末)小波、小威从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小波步行一段时间后，小威骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s(米)与小波出发时间t(分)之间的函数关系如图所示．下列说法：①小威先到达青少年宫；②小威的速度是小波速度的2.5倍；③a＝24；④b＝480.其中正确的是(B ) A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④5．(江山期末)在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间x(小时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．。
初二数学最值问题例题
初二数学专题——最值问题一．将军饮马（共7小题）1．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 、CE 是ABC ∆的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP EP +最小值的是( )A ．BCB ．CEC ．AD D ．AC2．如图，在Rt ABO ∆中，90OBA ∠=︒，(4,4)A ，点C 在边AB 上，且13AC CB =，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，P 为对角线BD 上的一个动点，则下列线段的长等于AP EP +最小值的是( )A ．AB B ．DEC ．BD D ．AF4．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE ∆是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为( )A．B．C．3D5．如图，在边长为2的等边ABC∆中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE DE+的最小值为．6．如图，在矩形ABCD中，5AB=，3AD=，动点P满足13PAB ABCDS S∆=矩形，则点P到A、B两点距离之和PA PB+的最小值为()A B C．D7．如图，矩形ABCD中，4AB=，6BC=，点P是矩形ABCD内一动点，且12PAB PCDS S∆∆=，则PC PD+的最小值为．二．垂线段最短（共4小题）8．如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，6AC=，8BC=，AD是BAC∠的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC PQ+的最小值是()A ．125B ．4C ．245D ．59．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为( )A ．403B ．154C ．245D ．610．如图，在锐角ABC ∆中，AB =45BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是 ．11．如图，30BAC ∠=︒，M 为AC 上一点，2AM =，点P 是AB 上的一动点，PQ AC ⊥，垂足为点Q ，则P M P Q+的最小值为 ．三．胡不归（共4小题）12．已知等边ABC ∆中AD BC ⊥，12AD =，若点P 在线段AD 上运动，当12AP BP +的值最小时，AP 的长为( )A ．4B ．8C ．10D ．1213．如图，在ABC ∆中，30CAB ∠=︒，90ACB ∠=︒，3AC =，D 为AB 的中点，E 为线段AC 上任意一点（不与端点重合），当E 点在线段AC 上运动时，则12DE CE +的最小值为 ．14．如图，在ABC ∆中，15A ∠=︒，2AB =，P 为AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），连接BP ，A P P B +的最小值是( )A B C D ．215．如图，已知点A 坐标为，1)，B 为x 轴正半轴上一动点，则AOB ∠度数为 ，在点B 运动的过程中12AB OB +的最小值为 ．参考答案与试题解析一．将军饮马（共7小题）1．【解答】解：如图连接PC，AB AC=，BD CD=，AD BC∴⊥，PB PC∴=，PB PE PC PE∴+=+，PE PC CE+，P∴、C、E共线时，PB PE+的值最小，最小值为CE的长度，故选：B．2．【解答】解：在Rt ABO∆中，90OBA∠=︒，(4,4)A，4AB OB∴==，45AOB∠=︒，13ACCB=，点D为OB的中点，3BC∴=，2OD BD==，(2,0)D∴，(4,3)C，作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，(0,2)E，直线OA的解析式为y x=，设直线EC的解析式为y kx b=+，∴243bk b=⎧⎨+=⎩，解得：142kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线EC的解析式为124y x=+，解124y x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩得，8383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 8(3P ∴，8)3， 故选：C ．3．【解答】解：如图，连接CP ，由AD CD =，45ADP CDP ∠=∠=︒，DP DP =，可得ADP CDP ∆≅∆， AP CP ∴=，AP PE CP PE ∴+=+，∴当点E ，P ，C 在同一直线上时，AP PE +的最小值为CE 长， 此时，由AB CD =，ABF CDE ∠=∠，BF DE =，可得ABF CDE ∆≅∆， AF CE ∴=，AP EP ∴+最小值等于线段AF 的长，故选：D ．4．【解答】解：设BE 与AC 交于点()F P '，连接BD ，点B 与D 关于AC 对称，P D P B ∴'='，P D P E P B P E BE ∴'+'='+'=最小．即P 在AC 与BE 的交点上时，PD PE +最小，为BE 的长度； 正方形ABCD 的面积为12，AB ∴=．又ABE ∆是等边三角形，BE AB ∴==故所求最小值为故选：A ．5．【解答】解：作B 关于AC 的对称点B '，连接BB '、B D '，交AC 于E ，此时BE ED B E ED B D +='+='，根据两点之间线段最短可知B D '就是BE ED +的最小值， B 、B '关于AC 的对称，AC ∴、BB '互相垂直平分，∴四边形ABCB '是平行四边形， 三角形ABC 是边长为2， D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，AD ∴1BD CD ==，2BB AD '== 作B G BC '⊥的延长线于G ，B G AD ∴'=在Rt △B BG '中，3BG ==， 312DG BG BD ∴=-=-=，在Rt △B DG '中，B D '=故BE ED +6．【解答】解：设ABP ∆中AB 边上的高是h ．13PAB ABCD S S ∆=矩形， ∴1123AB h AB AD =， 223h AD ∴==， ∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离． 在Rt ABE ∆中，5AB =，224AE =+=，BE ∴=，即PA PB +故选：D ．7．【解答】解：如图，作PM AD ⊥于M ，作点D 关于直线PM 的对称点E ，连接PE ，EC ．设AM x =．四边形ABC 都是矩形，//AB CD ∴，4AB CD ==，6BC AD ==， 12PAB PCD S S ∆∆=， ∴11144(6)222x x ⨯⨯=⨯⨯⨯-，2x ∴=，2AM ∴=，4DM EM ==，在Rt ECD ∆中，EC =， PM 垂直平分线段DE ，PD PE ∴=，PC PD PC PE EC ∴+=+， 45PD PC ∴+，PD PC ∴+的最小值为二．垂线段最短（共4小题）8．【解答】解：如图，过点C 作CM AB ⊥交AB 于点M ，交AD 于点P ，过点P 作PQ AC ⊥于点Q ， AD 是BAC ∠的平分线．PQ PM ∴=，这时PC PQ +有最小值，即CM 的长度， 6AC =，8BC =，90ACB ∠=︒，10AB ∴=． 1122ABC S AB CM AC BC ∆==， 6824105AC BC CM AB ⨯∴===， 即PC PQ +的最小值为245． 故选：C ．9．【解答】解：如图所示：在AB 上取点F '，使AF AF '=，过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ．在Rt ABC ∆中，依据勾股定理可知10BA =． 245AC BC CH AB ==， EF CE EF EC +='+，∴当C 、E 、F '共线，且点F '与H 重合时，FE EC +的值最小，最小值为245 故选：C ．10．【解答】解：如图，在AC 上截取AE AN =，连接BE ． BAC ∠的平分线交BC 于点D ，EAM NAM ∴∠=∠，在AME ∆与AMN ∆中，AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AME AMN SAS ∴∆≅∆，ME MN ∴=．BM MN BM ME BE ∴+=+．BM MN +有最小值．当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE AC ⊥，又AB =45BAC ∠=︒，此时，ABE ∆为等腰直角三角形， 4BE ∴=，即BE 取最小值为4，BM MN ∴+的最小值是4．故答案为：4．11．【解答】解：作点M 关于AB 的对称点N ，过N 作NQ AC ⊥于Q 交AB 于P ， 则NQ 的长即为PM PQ +的最小值， 连接MN 交AB 于D ，则MD AB ⊥，DM DN =， NPB APQ ∠=∠，30N BAC ∴∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，2AM =，112MD AM ∴==，2MN ∴=，cos 2NQ MN N ∴=∠==三．胡不归（共4小题）12．【解答】解：如图，作BE AC ⊥于点E ，交AD 于点P ，ABC ∆是等边三角形，AD BC ⊥，30DAC ∴∠=︒12PE AP ∴=当BP AC ⊥时，12AP BP PE BP +=+的值最小， 此时，283AP AD ==．故选：B ．13．【解答】解：如图，在ABC ∆中，30CAB ∠=︒，90ACB ∠=︒，3AC =，作//CG AB30GCA CAB ∴∠=∠=︒过点D 作DF CG ⊥交AC 于点E ，12EF CE ∴= 所以12DE CE DE EF DF +=+=最小， 30CAB ∠=︒，90ACB ∠=︒，3AC =，3cos30AB ∴==︒D 为AB 的中点，12CD AD AB ∴==60DCF ∠=︒3cos602DF DC ∴=⋅︒= 所以12DE CE +的最小值为32． 故答案为32． 14．【解答】解：如图，在ABC ∆内作30MBA ∠=︒过点A 作AE BM ⊥于点E ，BM 交AC 于点P ，15BAC ∠=︒，45APE ∴∠=︒EP AP ∴=当BP AE ⊥AP PB PE PB +=+的值最小， 最小值是BE 的长，在Rt ABE ∆中，30ABE ∠=︒，2AB =cos30BE AB ∴=⋅︒=．∴AP PB + 故选：B ．15．【解答】解：过A 作AC x ⊥轴于点C ，延长AC 到点D ，使AC CD =，过D 作DE OA ⊥于点E ，与x 轴交于点F ，点A 坐标为1)，1AC CD ∴==，OC =tanAC AOB OC ∴∠===， 30AOB ∴∠=︒，60DAE ∴∠=︒，12EF OF =，sin 60DE AD ∴=⋅︒当点B 与点F 重合时，1122AB OB AF OF DF EF DE +=+=+==根据垂线段最短定理知，此时12AB OB +=故答案为30︒。
初二下册数学专题试卷答案
一、选择题（每题3分，共15分）1. 若a、b、c是等差数列的前三项，且a + b + c = 15，a + c = 9，则该等差数列的公差是（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：由等差数列的性质知，a + c = 2b，所以2b = 9，解得b = 4.5。
又因为a + b + c = 15，所以a + 4.5 + c = 15，即a + c = 10.5。
由此可知公差d = (a + c - 2b) / 2 = (10.5 - 2 4.5) / 2 = 2。
2. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. 0C. 1D. 2答案：B解析：绝对值表示一个数与0的距离，所以绝对值最小的数就是距离0最近的数，即0。
3. 若x² - 5x + 6 = 0，则x的取值范围是（）A. x > 3 或x < 2B. 2 < x < 3C. x ≤ 2 或x ≥ 3D. x ≠ 2 且x ≠ 3答案：A解析：将方程因式分解得(x - 2)(x - 3) = 0，解得x = 2 或 x = 3。
因此，x的取值范围是x > 3 或 x < 2。
4. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于y轴的对称点坐标是（）A. (-2, 3)B. (2, -3)C. (-2, -3)D. (2, 3)答案：A解析：关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，所以对称点坐标为(-2, 3)。
5. 若a、b、c、d是等比数列的前四项，且a + b + c + d = 16，a b c d = 64，则该等比数列的公比是（）A. 1B. 2C. 4D. 8答案：B解析：由等比数列的性质知，a d = b c，且a + b + c + d = 16，a b c d = 64。
将 a d = b c代入等比数列的乘积中，得(a c)² = 64，解得 a c = 8。
又因为a + b + c + d = 16，所以a + d = 8。
初二数学第一学期代数、几何专题复习
初二数学第一学期代数、几何专题复习代数复代数是数学中的重要分支，也是初二数学的核心内容之一。
在代数中，你将研究如何使用字母和符号来表示和解决各种数学问题。
线性方程和不等式- 线性方程是代数中最基本的方程类型，通常可以用形如`ax +b = c`的方式表示，其中a、b、c是已知数字，x是未知数。
你需要研究如何解线性方程，包括使用逆运算和方程的变形。
- 不等式是描述数值关系的不等式表达式，例如`x > 5`。
你需要熟悉不等式的基本性质和解不等式的方法。
因式分解和整式运算- 因式分解是将多项式分解为较简单的乘积形式的过程。
你需要研究如何因式分解各种类型的多项式，包括二元一次式和三项式。
- 整式运算是对多项式进行加减乘除等运算。
你需要掌握整式运算的基本法则，例如乘法分配律和合并同类项。
比例和比例式- 比例是用来描述两个或多个数之间的关系的表达式，通常可以写成`a:b`或`a/b`的形式。
你需要了解比例的基本性质，包括比例的相等性和比例的变化。
- 比例式是用比例来表示各种实际问题的关系式，例如速度、密度和利润等。
你需要研究如何解比例式，并应用到实际问题中。
几何复几何是研究图形、形状和空间之间关系的数学分支。
初二数学的几何部分主要包括二维几何和三维几何两个方面。
二维几何- 直线和角是二维几何的基本要素，你需要了解直线的性质和角的基本概念，包括补角、余角和对顶角等。
- 三角形和四边形是二维几何中常见的图形，你需要熟悉它们的性质和分类，以及计算它们的周长和面积的方法。
三维几何- 空间中的图形包括立体和曲面，你需要研究如何描述和计算它们的体积和表面积。
- 正交投影和棱柱等概念也是三维几何中的重要内容，你需要理解它们的基本原理和应用。
复建议- 首先，复前要检查自己的研究笔记和教材，确保对代数和几何的基本概念和公式有一定的理解。
- 其次，做大量的练题，这有助于巩固知识和提高解题能力。
可以使用教材中的题、参考书的题，或者在网上寻找相关练资源。
初二数学全等三角形经典题型
专题训练：全等三角形专题一全等三角形的性质及应用1.如图,△ABC ≌△EBD ,问∠1与∠2相等吗?若相等请证明,若不相等说出为什么?解析:由三角形全等,得到对应角相等,然后再沟通∠1和∠2之间的关系.2.如图,已知△EAB ≌△DCE ,AB 、EC 分别是两个三角形的最长边，∠A =∠C =35°，∠CDE =100°，∠DEB =10°，求∠AEC 的度数.专题二全等三角形的探究题3.全等三角形又叫合同三角形， 平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形．假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等（合同）三角形，且点A 与A 1对应，点B 与B 1对应，点C 与点C 1对应，当沿周界A →B →C →A 及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形，如图1；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图2．C 1B 1A 1C B AC 1B 1A 1CB A (1)(2)BA E 21FC D O两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻折180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（）．DC B A 4.如图所示，A ，D ，E 三点在同一直线上，且△BAD ≌△ACE ．（1）试说明BD =DE +CE ；（2）△ABD 满足什么条件时，BD ∥CE ？5.如图所示，△ABC 绕着点B 旋转（顺时针）90°到△DBE ，且∠ABC ＝90°.（1）△ABC 和△DBE 是否全等？指出对应边和对应角;（2）直线AC 、直线DE 有怎样的位置关系？AB C DE【知识要点】1.能够完全重合的两个图形叫全等形,能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.全等三角形的对应边相等,对应角相等.【温馨提示】1.利用全等三角形的性质解决问题时,一定要找准对应元素.2.全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等,但周长、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.【方法技巧】1.全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,准确的找出两个全等三角形的对应元素是解决全等三角形问题的关键.在表示两个三角形全等时,对应的顶点要写在对应的位置上.2.全等三角形的对应边相等,对应角相等,利用这两个性质可以说明线段或角相等,以及线段的平行或垂直等.3.一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置发生了变化,但形状和大小都没有改变,即经过平移、翻折、旋转前后的图形全等.像这样只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小的变换叫全等变换,常见的有平移变换,翻折变换,旋转变换.参考答案：1.解：∠1和∠2∵△ABC≌△EBD,∴∠A=∠E(全等三角形对应角相等),又∵∠A+∠AOF+∠1=180°,∠E+∠EOB+∠E=180°(三角形内角和定理),∠AOF=∠BOE(对顶角相等),∴∠1=∠2(等式的性质).2.解:因为AB、EC是对应边，所以∠AEB=∠CDE=100°，又因为∠C=35°，所以∠CED=180°-35°-100°=45°，又因为∠DEB=10°，所以∠BEC=45°-10°=35°，所以∠AEC=∠AEB-∠BEC=100°-35°=65°.3.B提示:A与C中的两个三角形可以通过旋转，使它们重合．D中的两个三角形可以用平移、旋转相结合的方式使之重合．而B中的两个三角形可以用翻折的方法使之重合，故B 中的三角形是镜面合同三角形．4.解:（1）因为△BAD≌△ACE，所以BD=AE，AD=CE，又因为AE=AD+DE=CE+DE，所以BD=DE+CE．（2）∠ADB=90°,因为△BAD≌△ACE,所以∠ADB=∠CEB，若BD ∥CE，则∠CED=∠BDE，所以∠ADB=∠BDE，又因为∠ADB+∠BDE=180°，所以∠ADB=90°.5.解:（1）由题知可得：△ABC≌△DBE,AC和DE，AB和DB，BC和BE是对应边；∠A和∠D，∠ACB和∠DEB，∠ABC和∠DBE是对应角;（2）延长AC交DE于F.∵△ABC≌△DBE∴∠A＝∠D，又∵∠ACB＝∠DCF（对顶角相等）,∠A＋∠ACB＝90°,∴∠D＋∠DCF＝90°,即∠AFD ＝90°.∴AC与DE是垂直的位置关系.。
初二数学勾股难题专题训练
初二数学勾股难题专题训练在初二的数学世界里，勾股定理是一块难啃的骨头。
不知道你们有没有这种感觉，每当看到这类问题，总觉得自己像掉进了无底洞。
不过，别怕，今天我们就来细细剖析，看看如何能从容应对这些难题！1. 勾股定理基础知识1.1 定理介绍勾股定理，简单来说，就是说在一个直角三角形里，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
用公式表达就是：( a^2 + b^2 = c^2 )。
看起来是不是很简单？但当问题变得复杂时，这个定理就成了难题的钥匙。
1.2 应用场景勾股定理可不止是在课本上有用。
生活中很多地方都能用上，比如说你要挂一幅画，画的中心到墙角的距离就可以用勾股定理来计算。
或者你在健身房里测量器械的距离，也能用到哦。
2. 解题技巧2.1 分析题目解题前，最重要的是搞清楚题目的要求。
通常，题目会给你三角形的某些边长，或者让你求某一边的长度。
千万不要被题目弄晕了，要冷静分析，看看哪些数据是你能用的，哪些又是多余的。
2.2 设立方程搞清楚题意之后，就要设立方程。
记住，勾股定理的核心就是要用到平方和的关系。
如果题目给的是实际长度，就把这些长度代入公式中，解出所需的边长。
如果方程比较复杂，可以尝试分步解答，确保每一步都准确无误。
3. 实战练习3.1 简单题目比如说，给你一个直角三角形，两边长分别是3厘米和4厘米，让你求斜边的长度。
这种问题可以直接用公式：( 3^2 + 4^2 = c^2 )，算出来就是 ( 9 + 16 = 25 )，所以 ( c= sqrt{25} = 5 ) 厘米。
很简单吧？3.2 复杂题目再看看稍微复杂点的题目，比如说，给你两个直角三角形，它们的一个直角边是一样长的，但其他边不同。
你可能需要用勾股定理分别求出两个三角形的斜边，再比较它们的差异。
这时候，分步骤来计算会更清晰，比如先求出两个直角三角形的斜边长度，然后再进行比较。
4. 常见错误4.1 忽视单位有时候我们在计算时会忽略单位的问题，比如长度单位不统一，这样很容易出错。
中考数学八年级专题训练50题含答案
中考数学八年级专题训练50题含答案一、单选题1．不等式23x -<的解集是（ ）A ．23x <-B ．23x >-C ．32x <-D ．32x >- 2．下列各式中，一定是二次根式的是（）A ．BCD 3．下列各组数中，能组成勾股数的是（ ）A ．0.2，0.3，0.4B ．1，4，9C ．5，12，13D ．5，11，124．设a =a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是( )A ．-1和-2B ．-2和-3C ．-3和-4D ．-4和-5 5．从下列不等式中选择一个与x ＋1≥2组成不等式组，如果要使该不等式组的解集为x ≥1，那么可以选择的不等式是( )A ．x ＞－1B ．x ＞2C ．x ＜－1D ．x ＜26．如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转50°得△DBE ，点C 的对应点恰好落在AB 的延长线上，连接AD ，下列结论不一定成立的是（ ）A ．AB =DB B ．△CBD =80°C ．△ABD =△E D ．△ABC △△DBE 7．规定一种新的运算“JQx →+∞A B ”，其中A 和B 是关于x 的多项式．当A 的次数小于B 的次数时，JQx →+∞0A B =；当A 的次数等于B 的次数时，JQx →+∞A B的值为A 和B 的最高次项的系数的商；当A 的次数大于B 的次数时，JQx →+∞A B 不存在．例：JQx →+∞21x -＝0，JQx →+∞22212312x x x +=+-．若223615(2)11A x xB x x -=-÷--，则JQx →+∞A B的值为（ ）A ．0B ．12C ．13D ．不存在8．在227，π-，0，3.14，，0.333，0.1010010001⋯（两个“1”之间依次多一个“0”）中，无理数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＜﹣bB ．|a|＞|b|C ．|a|＜|b|D ．﹣a ＞b 10．下列说法中正确的是（ ）A ．若||a b >，则22a b >B ．若a ＞b ，则11a b <C ．若a b >，则22ac bc >D ．若,a b c d >>，则a c b d ->- 11．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A ．a b >B ．a b =C ．a b <D ．a b =- 12．如图，E ，F 分别是 □ABCD 的边AB ，CD 的中点，则图中平行四边形的个数共有（ ）.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个13．如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ．ABC ∆的周长为19，ACE ∆的周长为13，则AB 的长为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．1614．下列说法： △已知△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，则中线AD 的取值范围是1≤AD≤7；△两边和一角对应相等的两个三角形全等；△如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形；△一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3D ．4个15．如图，在矩形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，5,3ED EC ==，则矩形的周长为（ ）A ．18B ．20C ．21D ．22 16．关于x 的方程32211x m x x --=++有增根，则m 的值为（ ） A ．2 B ．7- C ．5 D ．5-17．两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示给出以下结论：△8a =；△72b =；△98c =．其中正确的是（ ）A ．△△B ．△△△C ．△△D ．△△18．如图，ABC 是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，90BAD ∠=︒，AE BD ⊥于点E ，连接CD ，分别交、AE AB 于点F 、G ，过点A 作AH CD ⊥交BD 于点H ，1EH =，则下列结论：△15ACD =︒∠；△AFG 是等腰三角形；△ADF BAH △△≌；△2DF =．其中正确的有（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△19．正方形111A B C O 、2221A B C C 、3332A B C C …按如图所示的方式放置.点1A 、2A 、3A …和点1C 、2C 、3C …别在直线1y x =+和x 轴上，则点2019A 的坐标是（ ）A ．()201820192,2B ．()2018201821,2-C ．()201920182,2D ．()2018201921,2-二、填空题20．如果等腰三角形腰上的高是腰长的一半，那么它顶角的度数是_____．21．“迎面穿梭接力”是北关中学历届校运动会最具吸引力的集体项目之一，单程100米，该比赛项目要求班级超过半数的学生参加，是衡量一个班级整体田径实力的重要项目，取胜的一个至关重要的因素是接力棒交接时不掉棒．今年运动会上，初二21班和初二22班两个班级在比赛中出现了惊心动魄的一幕，21班最后一个参赛同学甲在接棒时掉棒，掉棒的同时22班倒数第二位参赛同学乙距离下一个接棒同学丙还有一段距离，并随后顺利与丙交接棒（交接棒时间忽略不计），最后冲刺中丙反超甲赢得了比赛，在比赛过程中，甲乙丙均匀速前进，两个班跑步中的队员之间的距离y（米）与甲成功接棒后出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则丙到达终点时，甲距终点的距离是______米．22．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝18，则△BOC的周长为_____．23a，小数部分为b，则2a b+_________．24．已知正方形的对角线长为______．1），则点25．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点CA的坐标是______________．26．如图，将5个边长为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，……，An分别是正方形的中心，则5个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为______．27．如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针方向旋转30°后所得的图形，点C 恰好在AB 上，则△A 的度数为______．28．将矩形添加一个适当的条件：_____，能使其成为正方形．29．已知钝角三角形的三边分别为2，3，4，则该三角形的面积为__________． 30．如图，将ABC ∆沿BC 所在的直线平移得到DEF ∆．如果2GC =， 4.5DF =， 那么AG =____．31．一等腰三角形的一条边长为6,一个外角为120° , 则这个三角形的周长为_____. 32．已知直线y ＝kx ﹣3与y ＝（3k ﹣1）x +2互相平行，则直线y ＝kx ﹣3不经过第_____象限．33．菱形的周长是24，两邻角比为1﹕2，较短的对角线长为_________34．已知在△ABC 和△A 1B 1C 1中，AB ＝A 1B 1，△A ＝△A 1，要使△ABC △△A 1B 1C 1，还需添加一个条件，这个条件可以是____________________．35．如图，直线4y x =+与y 轴交于1A ，按如图方式作正方形11122213332A B C O A B C C A B C C ⋯，，，，点123A A A ⋯，，在直线4y x =+上，点123C C C ⋯，，，在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为123n S S S S ⋯，，，，则1S =_________，n S = __（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．36．已知关于x 的一元一次不等式组21x m n x m-≥⎧⎨-≤⎩的解集为35x ≤≤，则n m 的值是_____．37．若关于x 的方程3101ax x +-=-无解，则a 的值为__________． 38．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 、F 在BD 上，请你添加一个条件_____使四边形AECF 是平行四边形（填加一个即可）．39．如图，在正方形ABCD 中，AD ＝5，点E 、F 是正方形ABCD 外的两点，且AE ＝FC ＝3， BE ＝DF ＝4，则EF 的长为_______．三、解答题40．已知2a ﹣1的平方为9，b ﹣1的算术平方根是2，c a ﹣b +c 的值．41．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、BC 的延长线上，且AD ＝BE ，联结DC 、AE ．(1)试说明△BCD △△ACE 的理由；(2)如果BE ＝2AB ，求△BAE 的度数．42小数部分我们不可能全部写出来，而12<<1分．请解答下列问题：（1__________，小数部分是__________；（2a b ，求a b +43．两张矩形纸片ABCD 和CEFG 完全相同，且AB=CE ，AD ＞AB ．操作发现：（1）如图1，点D 在GC 上，连接AC 、CF 、CG 、AG ，则AC 和CF 有何数量关系和位置关系？并说明理由．实践探究：（2）如图2，将图1中的纸片CEFG 以点C 为旋转中心逆时针旋转，当点D 落在GE 上时停止旋转，则AG 和GF 在同一条直线上吗？请判断，并说明理由．44．先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：对于三个数a 、b 、c 的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定M {a ，b ，c }表示a ，b ，c 这三个数的平均数，m i n {a ，b ，c }表示a ，b ，c 这三个数中最小的数，max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 这三个数中最大的数．例如：M {﹣1，2，3}＝123433-++=，m i n {﹣1，2，3}＝﹣1，max {﹣1，2，3}＝3；M {﹣1，2，a }＝12133a a -+++=，m i n {﹣1，2，a }＝()()111a a a ⎧≤-⎪⎨->-⎪⎩．（1）请填空：max{c﹣1，c，c＋1}＝；若m＜0，n＞0，m i n{3m，（n＋3）m，﹣mn}＝；（2）若m i n{2，2x＋2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；（3）若M{2，x＋1，2x}＝m i n{2，x＋1，2x}，求x的值．45．计算：（1（2）+46．如图，BAD是由BEC在平面内绕点B逆时针旋转60︒而得，且⊥=，，连接DE．求证：BDE≌BCE．AB BC BE CE47．（1）解方程（1）(x+5)=16 (2x-1)=64（2）解下列不等式，并将它解集在数轴上表示出来：48．如图，中，，是上一点，是延长线上一点，且，若与相交于，求证：．答案第1页，共26页 参考答案：1．D【分析】不等式的两边都除以2-，即可得到答案．【详解】解：23x -<，两边都除以2-得：32x >-，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“利用不等式的基本性质解一元一次不等式”是解本题的关键．2．D0a ≥，的式子称为二次根式，利用定义解题即可．【详解】解：A 中根号里面为负数，不是二次根式；B 中是三次根，不是二次根式；C 中未说明1a ≥，可能不是二次根式；D 中210a +>，故一定是二次根式．故选D ．【点睛】本题主要考查二次根式的定义，注意0a ≥的条件是否满足．3．C【分析】根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．【详解】A 、不是，因为它们不是正整数；B 、不是，12＋42≠92 ；C 、是，满足勾股数的定义；D 、不是，因为52＋112≠122；故选：C ．【点睛】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，已知三角形ABC 的三边满足a 2＋b 2＝c 2，则三角形ABC 是直角三角形．4．D【分析】先确定19的大小，再根据算术平方根的定义、不等式的性质即可得到答案.【详解】△16<19<25,△45<，△54-<-，故选：D.【点睛】此题考查算术平方根的定义、不等式的性质、实数的大小比较.5．A【详解】试题分析：x+1≥2，解得：x≥1，根据大大取大可得另一个不等式的解集一定是x不大于1．故选A．考点：不等式的解集．6．C【分析】利用旋转的性质得△ABC△△DBE，BA=BD，BC=BE，△ABD=△CBE=50°，△C=△E，再由A、B、E三点共线，由平角定义求出△CBD=80°，由三角形外角性质判断出△ABD＞△E．【详解】解：△△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，△AB=DB，BC=BE，△ABD=△CBE=50°，△ABC△△DBE，故选项A、D一定成立；△点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，△△ABD+△CBE+△CBD =180°，.△△CBD=180°-50°-50°=80°，故选项B一定成立；又△ △ABD=△E+△BDE，△△ABD＞△E，故选项C错误，故选C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．C【分析】先对223615211A x xB x x-⎛⎫=-÷⎪--⎝⎭进行计算，然后再根据规定的新运算，解答即可．【详解】解：223615211A x xB x x-⎛⎫=-÷⎪--⎝⎭＝()()()325 25111x xxx x x--÷-+-＝()()()11251325x x x x x x +--⨯-- ＝13x x+， △A 的次数等于B 的次数，△JQx →+∞A B ＝13， 故选：C ．【点睛】本题考查了新定义，以及分式的混合运算，理解已知规定的新运算是解题的关键．8．C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：在227，π-，0，3.14，，0.333，0.1010010001⋯（两个“1”之间依次多一个“0”）中，227，0，3.14，0.32-，33是有理数， π-， ，0.1010010001⋯（两个“1”之间依次多一个“0”）是无理数，共3个， 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数、无理数的概念，求一个数的立方根．以下几类无理数应知道：π或含有π的式子；开不尽方的数以及它们与有理数的和、差、积、商也都是无理数；还有如0.070070007⋯（每两个7之间依次多一个0）这样的数也是无理数． 9．C【分析】根据绝对值的定义可求解．【详解】由图可得：﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2△|a|＜|b|故选：C ．【点睛】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是熟练掌握绝对值的定义.10．A【分析】利用两个非负数的平方性质可判断A ，利用不等式性质可判断B ，C ，利用举反例可判断D ．【详解】解：A . 若||a b >，则22a b >，故选项A 正确；B . 若a ＞b ＞0，则11a b <；若0＞a ＞b ，则11a b <；若a ＞0＞b ，则11a b＞，故选项B 不正确；C . 若a b >，c≠0，则22ac bc >；若a b >，c=0则22=ac bc ,故选项C 不正确；D . 若,a b c d >>，例如0＞-2，-3＞-7，则0-（-3）＜-2-（-7），则a c b d ->-不一定成立，故选项D 不正确．故选择A ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质以及举反例方法是解题关键． 11．C【分析】根据数轴上点的特点，进行判断即可．【详解】ABC.根据数轴上点a 、b 的位置可知，0a ＜，0b ＞，△a b ＜，故AB 错误，C 正确；根据数轴上点a 、b 的位置可知，a b -＜，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查了数轴上点的特点，熟练掌握数轴上点表示的数，越向右越大，是解题的关键．12．C【分析】首先根据四边形ABCD 是平行四边形，可得DC△AB ，DC=AB ，再根据E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，可得DF=FC=12DC ，AE=EB=12AB ，进而可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DFBE 和CFAE 都是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得DE△FB ，AF△CE ，进而可证出四边形FHEG 是平行四边形．【详解】解：△四边形ABCD 是平行四边形， △DC△AB ，DC=AB ，△E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，△DF=FC=DC，AE=EB=AB，△DC=AB，△DF=FC=AE=EB，△四边形DFBE和CFAE都是平行四边形，△DE△FB，AF△CE，△四边形FHEG是平行四边形，故选C．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的性质定理和判定定理．13．B【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】△AB的垂直平分线交AB于点D，△AE=BE，△△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC的周长=AC+BC+AB=19，△AB=△ABC的周长-△ACE的周长=19-13=6，故答案为：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．14．B【分析】根据三角形的三边关系，全等三角形的判定，等边三角形的判定，轴对称的性质一一判断即可．【详解】解：△已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，则中线AD的取值范围是1≤AD≤7，错误，应该是中线AD的取值范围是1＜AD＜7．△两边和一角对应相等的两个三角形全等，错误，SSA不一定全等．△如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，正确．△一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形，正确．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．D【分析】根据勾股定理求出DC=4；证明BE=AB=4，即可求出矩形的周长．【详解】解：△四边形ABCD 是矩形，△△C=90°，AB=CD ，AD△BC ，AD=BC ，△ED=5，EC=3，△DC 2=DE 2-CE 2=25-9=16，△DC=4，AB=4；△AD△BC ，△△AEB=△DAE ；△AE 平分△BAD ，△△BAE=△DAE ，△△BAE=△AEB ，△BE=AB=4，△BC=BE+EC=7，△矩形ABCD 的周长=2（4+7）=22．故选：D ．【点睛】该题主要考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识；解题的关键是灵活运用矩形的性质和等腰三角形的判定．16．D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．【详解】分式方程去分母得：322(1)x m x --=+，解得，4x m =+，由分式方程有增根，得到x+1=0，即x=-1，△4+1m =-解得，m=-5；故选：D ．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：△让最简公分母为0确定增根；△化分式方程为整式方程；△把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 17．B【分析】易得乙出发时，两人相距8m ，除以时间2即为甲的速度；由于出现两人距离为0的情况，那么乙的速度较快．乙80s 跑完总路程400可得乙的速度，进而求得80s 时两人相距的距离可得b 的值，同法求得两人距离为0时，相应的时间，让两人相距的距离除以甲的速度，减2即为c 的值．【详解】由函数图象可知，甲的速度为824÷=（米/秒），乙的速度为400805÷=（米/秒），8(54)8∴÷-=（秒），8a ∴=，故△正确；5804(802)400328b =⨯-⨯+=-72=（米）故△正确；4004298c =÷-=（秒）故△正确；∴正确的是△△△．故选B ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，得到甲乙两人的速度是解决本题的突破点，得到相应行程的关系式是解决本题的关键．18．C【分析】△由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD 是等腰三角形且顶角△CAD =150°，据此可判断；△求出△AFG 和△F AG 度数，从而得出△AGF 度数，据此得出答案；△根据ASA 证明△ADF △△BAH 即可判断；△由△BAE =45°，△ADC =△BAH =15°，则△EAH =30°，DF =2EH 即可得出．【详解】解：△△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，△△BAC =60°，△BAD =90°，AC =AB =AD ，△ADB =△ABD =45°，△△CAD 是等腰三角形，且顶角△CAD =150°，△△ADC =15°，故△正确；△AE △BD ，即△AED =90°，△△DAE =45°，△△AFG =△ADC ＋△DAE =60°，△F AG =45°，△△AGF =75°，△△AFG 三个内角都不相等，△△AFG 不是等腰三角形，故△错误；由AH △CD 且△AFG =60°知△F AH =30°，则△BAH =△ADC =15°，在△ADF 和△BAH 中，△ADF =△BAH ，DA =AB ，△△ADF △△BAH （ASA ），故△正确；△△ABE =△EAB =45°，△ADF =△BAH =15°，△DAF =△ABH =45°，△△EAH =△EAB －△BAH =45°－15°=30°，△AH =2EH ，△EH =1，△ADF △△BAH （ASA ）△DF =AH ，△DF =AH =2EH =2，故△正确；故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点的应用．19．B【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点1234,,,B B B B 的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“点n B 的坐标为()n n-12-12，（n 为正整数）”，再代入n=2019即可得出n B 的坐标，然后再将其横坐标减去纵坐标得到n A 的横坐标，n A 和n B 的纵坐标相同．【详解】解：当0x=时，y=x+1=0+1=1，△点A 1的坐标为（0，1）．△四边形A 1B 1C 1O 为正方形，△点B 1的坐标为（1，1），点C 1的坐标为（1，0）．当x=1时，y=x+1=1+1=2，△点A 2的坐标为（1，2）．△A 2B 2C 2C 1为正方形，△点B 2的坐标为（3，2），点C 2的坐标为（3，0）．同理，可知：点B 3的坐标为（7，4），点B 4的坐标为（15，8），点B 5的坐标为（31，16），…，△点n B 的坐标为()n n-12-12，（n 为正整数）， △点2019B 的坐标为()2019201821,2- ，△点2019A 的坐标为()2019201820182-1-22，，即为()201820182-12， ． 故选B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键．20．30°或150°．【分析】利用等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，分三角形是锐角三角形和钝角三角形，两种情况，即可求解．【详解】解：△如图，△ABC 中，AB ＝AC ，CD △AB 且CD ＝12AB ， △△ABC 中，CD △AB 且CD ＝12AB ，AB ＝AC ， △CD ＝12AC ， △△A ＝30°．△如图，△ABC 中，AB ＝AC ，CD △BA 的延长线于点D ，且CD ＝12AB ， △△CDA ＝90°，CD ＝12AB ，AB ＝AC ， △CD ＝12AC ， △△DAC ＝30°，△△A ＝150°．故答案为30°或150°．【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，注意要分三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况.21．10【分析】由图可知甲乙相距10m ，在1s 时两人相遇，当x=2.5s 时乙丙完成交接，然后x=15s时，丙到达终点，进而可根据此信息求出乙的速度，设甲的速度为am/s，然后可求解．【详解】解：由图可知：甲乙相距10m，在1s时两人相遇，当x=2.5s时乙丙完成交接，然后x=15s时，丙到达终点，△乙跑完10m用时2.5s，则速度为：10 2.54÷=m/s，设甲的速度为a m/s，则有：()4110a+⨯=，a=，故甲的速度为6m/s，解得：6-⨯=；则丙到达终点时，甲距终点的距离为：10061510m故答案为10．【点睛】本题主要考查函数图像，关键是根据函数图像得到相关信息，然后求解即可．22．15【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题．【详解】解：△四边形ABCD是平行四边形，△AD＝BC＝6，OA＝OC，OB＝OD，△AC＋BD＝18，△OB＋OC＝9，△△BOC的周长＝BC＋OB＋OC＝6＋9＝15．故答案为：15．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，属于中考常考题型．23．6【分析】根据题意表示出a和b的值，进而得出答案．【详解】解：3<13<4∴=，33ab=2∴+a b2=33=6故答案为：6．【点睛】本题考查了估计无理数的大小，代数式求值等知识点的应用，解题的关键是求出无理数的取值范围．24．25算出边长，从而求算面积．【详解】△正方形的对角线长为△正方形的边长为5=△正方形的面积为25故答案为：25是解题关键．25．(-【分析】分别过点A 作AD x ⊥轴于点,D CE x ⊥于点E ，由“一线三等角”证明()ADO OEC AAS ≅，结合正方形的性质解得1AD OE DO EC ====，由此解题．【详解】解：如图，分别过点A 作AD x ⊥轴于点,D CE x ⊥于点E ，90AOC ∠=︒90AOD COE ∴∠+∠=︒+90DAO AOD ∠∠=︒DAO COE ∴∠=∠在正方形AOCB 中，ADO OEC AO OC ∠=∠=，()ADO OEC AAS ∴≅,AD OE DO EC ∴== (3,1)C1AD OE DO EC ∴====(A ∴-故答案为：(-．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质、坐标与象限等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．26．21cm【分析】过正方形ABCD 的中心O 作OM △CD 于M ，作ON △BC 于N ，则易证△OEM △△OFN ，根据已知可求得一个阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n 个这样的正方形重叠部分即为n −1阴影部分的和，即可得出结果．【详解】解：如图，过正方形ABCD 的中心O 作OM △CD 于M ，作ON △BC 于N ，则△EOM ＝△FON ，OM ＝ON ，在△OEM 和△OFN 中，OME ONF OM ONEOM FON ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△OEM △△OFN （ASA ），则四边形OECF 的面积就等于正方形OMCN 的面积，如正方形ABCD 的边长是1，则OMCN 的面积是214cm ， △得阴影部分面积等于正方形面积的214cm ，△5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为21414cm ⨯=， 故答案为：21cm ． 【点睛】考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是找到规律，难点是求得一个阴影部分的面积．27．75°【分析】由旋转的性质可得AO ＝CO ，△AOC ＝30°，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：△△COD 是△AOB 绕点O 顺时针方向旋转30°后所得的图形，△AO ＝CO ，△AOC ＝30°，△△A ＝△ACO ＝280013︒-︒＝75°， 故答案为：75°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 28．邻边相等（或对角线互相垂直）【分析】根据正方形的性质及判定方法在矩形的基础上只要邻边相等或对角线互相垂直就可以．【详解】解：当邻边相等（或对角线互相垂直）时，矩形就是正方形．故答案为：邻边相等（或对角线互相垂直）．【点睛】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解答的关键．29 【分析】首先利用勾股定理列方程求出AD 的长，再代入求BD ，进而利用三角形的面积公式即可．【详解】解：如图，2AB =，3BC =，4AC =，过点B 作BD AC ⊥于D ，设AD x =，4CD x =-，BD AC ⊥，90ADB BDC ︒∴∠=∠=，222223(4)x x ∴-=--，解得118x =， 118AD ∴=，BD ∴=11422S AC BD ∴=⨯=⨯=，． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是根据题意求出三角形的高．30．2.5【分析】根据平移的性质可得AC DF =，从而由AG AC GC =-求解即可．【详解】由平移的性质可得：45AC DF .==，△45225AG AC GC ..=-=-=，故答案为：2.5．【点睛】本题考查图形平移的性质，理解基本性质是解题关键．31．18【分析】由等腰三角形的一个外角为120°，则这个外角所对的内角为60°，即可判定这个等腰三角形是等边三角形，由此求得该三角形的周长即可.【详解】一个外角为120°，则这个外角所对的内角为60°，又因为是等腰三角形，所以这个三角形为等边三角形，所以周长为6×3=18.故答案为18.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，证得这个三角形为等边三角形是解决问题的关键.32．二【分析】根据两直线平行一次项系数相等，可列出关于k 的方程，求出k ，即可判断y=kx-3经过的象限；【详解】△y=kx-3与y=（3k-1）x+2互相平行，△ k=3k-1，解得：k=12， △ y=kx-3=12x-3，经过一、三、四象限，不经过第二象限；故答案为：二．【点睛】本题考查了一次函数图象的性质与系数之间的关系，熟练掌握知识点是解题的关键；33．6【详解】画出图形如下所示：△菱形的周长为24，△菱形的边长为6，△两邻角之比为1:2，△较小角为60°，△△ABC=60°，AB=BC=6，△△ABC 是等边三角形，△AC=6，故答案为：6.34．AC=A 1C 1（或△B=△B 1，△C=△C 1，答案不唯一）.【分析】根据全等三角形的判定定理添加即可.【详解】添加AC=A 1C 1后可根据SAS 判定ABC△△A 1B 1C 1，添加△B=△B 1后可根据ASA 判定ABC△△A 1B 1C 1，添加△C=△C 1后可根据AAS 判定ABC△△A 1B 1C 1，故答案为：AC=A 1C 1（或△B=△B 1，△C=△C 1，答案不唯一）.【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并运用解题是关键.35． 8 212n +【分析】设直线4y x =+与x 轴交于H ，求出14OA OH ==，得到145A HO =︒∠，则直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出第n 个正方形的边长为12n +，再根据三角形面积公式进行求解即可．【详解】解：设直线4y x =+与x 轴交于H ，当0x =时，4y =，当0y =时，4x =-，△14OA OH ==，△145A HO =︒∠，△直线4y x =+与x 轴的夹角为45°，△直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，△14OA =，即第一个正方形的边长为4，△114OC OA ==，△2118A C HC ==，即第二个正方形的边长8，同理可得3316A C =，即第三个正方形的边长为16，…，△可知第n 个正方形的边长为12n +， △41124422S =⨯⨯=， 62128822S =⨯⨯=， 8212161622S =⨯⨯=， …，2211211222222n n n n n S ++++=⨯⨯== 故答案为：8；212n +．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．36．23-【分析】根据不等式组的解集情况列方程求,m n 的值，从而求解．【详解】解：21x m n x m -≥⎧⎨-≤⎩①②， 由△得x m n ≥+，由△得()112x m ≤+， 关于x 的一元一次不等式组21x m n x m -≥⎧⎨-≤⎩的解集为35x ≤≤， ()31152m n m +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩，解得96m n =⎧⎨=-⎩， 6293n m -∴==-． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及到解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．37．1或-3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】3101ax x +-=-， ()310ax x +-=﹣即：()14a x -=-△当1a =时，整式方程无解，分式方程无解；当1a ≠时，41x a -=- 1x =时，分式的分母为0，方程无解， 即411a --，解得：3a =-, 因此3a =-时，方程无解.故答案为：1或－3．【点睛】本题主要考查解分式方程，去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．38．BE ＝DF【分析】添加BE ＝DF ，证明四边形AECF 的对角线互相平分即可．【详解】添加BE ＝DF ，△四边形ABCD 是平行四边形，△AO ＝CO ，BO ＝DO ，△BE ＝DF ，△BO −BE ＝DO −DF ，△EO ＝FO ，△四边形AECF 是平行四边形．故答案为BE ＝DF .【点睛】本题考查的是平行四边形．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键. 39．【分析】延长EA 交FD 的延长线于点M ，可证明EMF 是等腰直角三角形，而EM=MF=AE+DF=7，所以利用勾股定理即可求出EF 的长．【详解】解：如图所示，延长EA 交FD 的延长线于点M ，△四边形ABCD 是正方形，△AB=BC=CD=AD=5，又△AE=FC=3，BE=DF=4，△222AE BE =AB +，222FC DF =CD +， △ABE 和CDF 皆是直角三角形， 在ABE 和CDF 中，AE=CF BE=DF AB=CD ⎧⎪⎨⎪⎩△ABE△CDF （SSS ），△△EAB=△FCD ，△EBA=△FDC ，△EAB+△EBA=90°，△CDF+△FDC=90°，△△EAB+△CDF=90°，△MAD+△MDA=90°，故△M=90°， △EMF 是直角三角形，△△EAB+△MAD=90°，△MAD +△MDA=90°，△△EAB=△MDA ，在ABE 和DMA 中，AEB=M=90EAB=MDA AB=DA ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩△ABE△DMA （AAS ），△AM=BE=4，MD=AE=3，△EM=MF=7，△故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，证明出EMF 是等腰直角三角形是解题的关键．40．-3【分析】先依据平方根算术平方根的定义得到2a−1＝±3，b−1＝4小，于是可得到c 的值．【详解】2a ﹣1的平方为9，△2a ﹣1＝±3，解得：a ＝2或a ＝﹣1．△b ﹣1的算术平方根是2，△b ﹣1＝4，解得b ＝5．△c△c ＝3． 当a ＝2时，a ﹣b +c ＝2﹣5+3＝0；当a ＝﹣1时，ab +c ＝﹣1﹣5+3＝﹣3．【点睛】本题考查估算无理数的大小，求得a 、b 、c 的值是解题的关键．41．(1)见解析(2)90°【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB ＝BC ＝AC ，△ABC ＝△ACB ＝60°．可证明△BCD △△ACE ；（2）证得AC ＝CE ，得出△CAE ＝△E ，可求出△E ＝30°，由三角形的内角和定理可求出答案．(1)解：△△ABC 是等边三角形，△AB ＝BC ＝AC ，△ABC ＝△ACB ＝60°．△△DBC ＝△ECA =120°．△AD ＝BE ，△AD ﹣AB ＝BE ﹣BC ，即BD ＝CE ．在△BCD 和△ACE 中，BC CA DBC ECA BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BCD △△ACE （SAS ）；(2)解△△BE ＝2BC ，△BC ＝CE ，△AC ＝BC ，△AC ＝CE ，△△CAE ＝△E ，△△ACB ＝△CAE +△E ＝60°，△△E ＝30°，△△ABE +△E +△BAE ＝180°，△ABE =60°，△△BAE ＝180°﹣△ABE ﹣△E ＝90°．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．42．（1）55；（2）0【分析】（1的取值范围进而得出答案；（2【详解】解：（1）<56∴<，55；故答案为：55；。
初二数学平行线专题
2017-12八下初中数学期末复习平行线专题练习 1. 如图，在条件：①∠5=∠6，②∠7=∠2，③∠3+∠8=180°，④∠3=∠2，⑤∠4+∠1=180°中，能判定a ∥b 的条件有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，∠1=55°，下列条件能推出a ∥b 的是（ ）A. ∠3=55°B. ∠2=55°C. ∠4=55D. ∠5=55°3. 如图，若∠∠180°，则下列结论正确的是（ ）A.∠1=∠2B. ∠2=∠3C. ∠1=∠3D. ∠2=∠4二、解答题（本大题共11小题，共88.0分）第1题图 第2题图第3题图4.完成下面的证明如图，平分∠，平分∠，且∠α+∠β=90°，求证：∥．完成推理过程平分∠（已知），∴∠2∠α（）．∵平分∠（已知），∴∠2∠β （）∴∠∠2∠α+2∠β=2（∠α+∠β）（）∵∠α+∠β=90°（已知），∴∠∠180°（）．∴∥（）．5.（1）问题发现：如图①，直线∥，E是与之间的一点，连接，，可以发现∠∠∠．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作∥，∵∥（已知），∥（辅助线的作法）．∴∥（）．∴∠∠（）∵∥，∴∠∠（同理）．∴∠∠（等量代换）即∠∠∠．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠∠360°-∠，请说明理由．（3）解决问题：如图③，∥，∠120°，∠80°，请直接写出∠A 的度数．6.补全证明过程，即在横线处填上遗漏的结论或理由．已知：如图，∠1=∠2，∠∠D．求证：∠∠F．证明：∵∠1=∠2（已知）又∠1=∠（）∴∠2=∠（等量代换）∴∥（）∴∠∠（）∵∠∠D（已知）∴∠∠（）∴（内错角相等，两直线平行）∴∠∠F（）7.如图，平分∠交于点D，∠∠，∠70°，∠30°，求∠E和∠的度数．8.9.（1）有一条纸带如图甲所示，怎样检验纸带的两条边线是否平行？说明你的方法和理由．（2）如图乙，将一条上下两边互相平行的纸带折叠，设∠1为x度，请用x的代数式表示∠α的度数．。
初二数学平面直角坐标系专题
初二数学平面直角坐标系专题1. 引言大家好，今天咱们来聊聊平面直角坐标系。
这可是数学里一个非常基础、又很重要的概念，绝对能帮助咱们在生活中找到方向，简直就像一把万能钥匙！有没有觉得，坐标系就像是数学的GPS，帮助我们在数字的海洋中畅游？那么，让我们一起“深入”这个神奇的世界吧！2. 坐标系的基本概念2.1 坐标系的组成首先，平面直角坐标系的“主角”就是那两条互相垂直的轴线：x轴和y轴。
简单来说，x轴是水平的，y轴是竖直的。
想象一下，咱们的生活中也有很多这样的交叉点，比如十字路口。
两条轴线的交点叫原点，记得哦，它的坐标是(0, 0)，就像家里的起点，无论你往哪儿去，都是从这儿出发的。
2.2 坐标的表示接下来，咱们来看看坐标是怎么表示的。
每一个点在坐标系里都用一个有序数对来表示，比如说点A的坐标是(3, 2)，这就意味着A在x轴上走了3步，在y轴上走了2步。
是不是特别形象？就像你和朋友约好在某个地方见面，事先定好地点，确保不迷路！3. 坐标的应用3.1 生活中的坐标系坐标系可不仅仅是数学课堂上的玩意儿哦，咱们生活中到处都能找到它的影子！想想咱们的城市地图，街道、商店、学校，都是用坐标来标记的。
如果你想找到一个新餐馆，首先要知道它的坐标，然后根据地图一步步前进，最后大功告成，美食就在眼前！这就像“千里之行，始于足下”，每一步都至关重要。
3.2 游戏中的坐标系而在游戏中，坐标系更是必不可少的。
无论是打怪升级，还是探索新世界，角色的每一步都是在坐标系里“舞动”。
如果你在一个游戏里迷路了，看看地图上的坐标，迅速调整方向，简直就是游戏小达人！这样不仅能节省时间，还能提高胜率，让你在游戏中如鱼得水，乐趣无穷。
4. 总结好啦，今天咱们围绕平面直角坐标系聊了很多，从基础概念到生活应用，希望大家对这个看似简单但又极其重要的知识点有了更深入的理解。
记住，数学不只是课本上的公式，它就在我们的日常生活中，时时刻刻影响着我们。
初二数学培优专题(5)——折叠问题(答案详解)
折叠问题(一)正方形内的十字架结构结论1：在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，若EF⊥GH，则GH=EF【例1】如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F 在AD边，求折痕FG的长；【变式2】如图,将边长为的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN.(1)求线段CN的长;(2)求以线段MN为边长的正方形的面积;(3)求线段AM的长度.（二）折痕垂直于对称点的连线结论：折痕上的点到对应点距离相等【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，将矩形折叠使得点D 与BC 上的点E 重合，折痕分别交AB 、CD 于点G 、F ，若BE=1，求AG 的长．【变式1】如图,四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片,将其沿MN 折叠,使点B 落在CD 边上的B'处,点A 对应点为A',且,则AM 的长是______________．【变式2】（2016年山东威海中考题）如图,在矩形ABCD 中,4AB = ,6BC = ,点E 为BC 的中点,将ABE ∆沿AE 折叠,使点B 落在矩形内点F 处,连接CF ,则CF 的长为( )A.95 B.125 C.165 D.185(三) 折叠中动点轨迹与最值【例3】(2015四川自贡)如图，在矩形ABCD 中，4AB = ，6AD = ，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将EBF ∆沿EF 所在直线折叠得到'EB F ∆，连接'B D ，则'B D 的最小值是（ ）。
A. 2B. 6C. 2-D.4【变式】（2014成都）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60A ∠=︒ ，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将AMN ∆ 沿MN 所在直线翻折得到'A MN ∆，连接'A C ，则'A C 长度的最小值是_____ 。
初二数学解方程专题练习题
初二数学解方程专题练习题题1：解一元一次方程1) 3x + 4 = 132) 2(5x - 3) = 10解：1) 首先将方程变形，得到3x = 13 - 4然后计算得出x = 32) 首先展开括号，得到10x - 6 = 10然后将常数项移到另一侧，得到10x = 10 + 6最后计算得出x = 2题2：解一元二次方程1) x^2 + 5x + 6 = 02) 2x^2 - 3x - 2 = 0解：1) 首先使用因式分解法，得到(x + 2)(x + 3) = 0然后根据零因子法则，得到x + 2 = 0 或者 x + 3 = 0最后计算得出x = -2 或者 x = -32) 首先使用配方法，得到x = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4(2)(-2))) / (2(2))然后计算得出x = (3 ± √(9 + 16)) / 4= (3 ± √25) / 4= (3 ± 5) / 4因此，x = 2 或者 x = -1/2题3：解含分式的方程1) (2/x) + (3/x^2) = 12) (1/x) - (1/(x + 2)) = 1/3解：1) 首先将分式通分，并移项，得到2x + 3 = x^2然后将方程化为二次方程形式，移项得到x^2 - 2x - 3 = 0使用因式分解法或者配方法解方程，得到x = -1 或者 x = 32) 首先将分式通分，并移项，得到(x + 2) - x = (x(x + 2))/3然后将方程化为二次方程形式，移项得到(x + 2) - (3x/3) = (x(x + 2))/3化简得到，3(x + 2) - 3x = x(x + 2)= 3x + 6 - 3x = x^2 + 2x= 6 = x^2 + 2x最后将方程移项，得到x^2 + 2x - 6 = 0使用因式分解法或者配方法解方程，得到x = -3 或者 x = 1题4：解问题求解方程小明比他的弟弟大3岁，爸爸比小明大20岁，他们三个人的年龄加起来是95岁。
初二数学专题测试卷练习册
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）。
A. -3B. -2C. 0D. 22. 若a、b是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两根，则a+b的值为（）。
A. 5B. -5C. 6D. -63. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点的对称点是（）。
A.（-2，-3）B.（2，3）C.（2，-3）D.（-2，3）4. 若sinα = 1/2，则α的度数是（）。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 一个长方形的长是8cm，宽是4cm，它的周长是（）cm。
A. 16B. 24C. 32D. 40二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知x + y = 7，xy = 10，则x^2 + y^2 = ______。
7. 若tanα = 3/4，则cosα的值是 ______。
8. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 90°，则∠C = ______°。
9. 一个圆的半径增加了20%，则它的面积增加了 ______%。
10. 一个数的平方根是2，那么这个数是 ______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程：2x^2 - 4x - 6 = 0。
12. 已知三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，求这个三角形的面积。
13. 在直角坐标系中，点P的坐标为（-1，2），点Q的坐标为（3，-4），求线段PQ的长度。
四、应用题（每题15分，共30分）14. 小明家准备装修，需要购买瓷砖。
瓷砖的形状是正方形，每块瓷砖的边长为30cm。
小明家的客厅长5m，宽4m，需要购买多少块瓷砖？15. 学校举行篮球比赛，甲队和乙队进行比赛。
甲队先得到2分，然后乙队追平，比分变为4：4。
接着甲队连得6分，比分变为10：4。
此时，甲队和乙队还剩下多少分才能使甲队获胜？答案一、1.C 2.A 3.C 4.A 5.B二、6.49 7.4/5 8.45 9.44 10.4或-4三、11. x = -1 或 x = 3 12.6cm^2 13.5四、14. 80块 15. 甲队还需要再得5分才能获胜。
初中数学初二专题考试卷精品考试卷考点.doc
初中数学初二专题考试卷精品考试卷考点姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、判断题评卷人得分3．等腰三角形底边中线是等腰三角形的对称轴.21．已知：y与x-3成正比例，且x=4时y=3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当y=-12时，求x的值．18．解下列方程组（1）（2）22．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长是，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角线）的顶点，的坐标分别为，.（1）请在如图所示的网格平面内做出平面直角坐标系.（2）请作出关于轴对称的.（3）写出点的坐标.18．解方程：（1）（2）x2-5 =4x20．（本题6分）计算:28．．25．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．19．计算（1）5﹣9+（2）（2+）2﹣2．13．如图，，，，，．则阴影部分的面积=_________.18．2014年8月26日，第二届青奥会在南京举行，甲、乙、丙、丁四位跨栏运动员在为该运动会积极准备．在某天“110米跨栏”训练中，每人各跑5次，据统计，他们的平均成绩都是13.2秒，甲、乙、丙、丁的成绩的方差分别是0.11，0.03，0.05，0.02.则当天这四位运动员“110米跨栏”的训练成绩最稳定的是________．11．点A(2，a)关于x轴的对称点是B(b，－3)，则ab＝________.5．已知关于x的不等式3m-2x<5的解集是x>2,则m的值是____.9．已知：如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______.21．已知，如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．17．(1)如图，纸片□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE’的位置，拼成四边形AEE’D，则四边形AEE’D的形状为( )A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形(2)如图，在(1)中的四边形纸片AEE’D中，在EE’上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，剪下△AEF，将它平移至△DE’F’的位置，拼成四边形AFF’D．①求证：四边形AFF’D是菱形；②求四边形AFF’D的两条对角线的长．18．已知斜边为10的直角三角形的两条直角边长a，b为方程x2－mx＋3m＋6＝0的两个根．(1)求m的值；(2)求直角三角形的面积和斜边上的高．25．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一动点（不与点A、C重合）,过D作DE⊥AB于E. （1）当BD平分∠ABC时①若AC=8，BC=6，求线段AE的长度；②在①的条件下,求△ADB的面积；（2）延长BC、ED相交于点F,若CD=CB,∠CDF=60°，求∠DBE的度数.2．在平面直角坐标系中，点P(－2，－3)所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．当时，的值为（）A．B．C．D．4．计算的值( )A．在l到2之间B．在2到3之间C．在3到4之间D．在4到5之间3．下列各组数中，两数相乘，积为1的是( )A．2和－2B．－2和C．和D．和－10．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1B．a2+aC．（a+1）2-a-1D．（a-2）2+2（a-2）+12．下列函数（1），（2），（3），（4），（5）中，是一次函数的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．下列条件中，不能判断△ABC△DEF的是（）A．AB=DE,∠B=∠E，∠C=∠FB．AC=DF,BC=EF,∠C=∠FC．AB=FE,∠A=∠D,∠B=∠ED．AB=DE,BC=EF,AC=DF3．在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限1．平面图形的旋转一般情况下会改变图形的（）A．位置B．大小C．形状D．性质1．下列计算的结果正确的是（）A．a3·a3=a9B．（a3）2=a5C．a2+a3=a5D．（a2）3=a6。
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学好初二数学的四种学习方法零口初中李雄同学们：初二年级是初中三年非常关键的一年，为了能打好基础，迎接初三备考，我和大家共同探讨一下数学学习方面的知识。
一、该记的记，该背的背，不要以为理解了就行有的同学认为，数学不像英语、史地，要背单词、背年代、背地名，数学靠的是智慧、技巧和推理。
我说你只讲对了一半。
数学同样也离不开记忆。
试想一下，小学的加、减、乘、除运算要不是背熟了“乘法九九表”，你能顺利地进行运算吗?尽管你理解了乘法是相同加数的和的运算，但你在做9乘9时用九个9去相加得出81就太不合算了。
而用“九九八十一”得出就方便多了。
同样，是运用大家熟记的法则做出来的。
同时，数学中还有大量的规定需要记忆，比如规定(a≠0)等等。
因此，我觉得数学更像游戏，它有许多游戏规则(即数学中的定义、法则、公式、定理等)，谁记住了这些游戏规则，谁就能顺利地做游戏;谁违反了这些游戏规则，谁就被判错，罚下。
因此，数学的定义、法则、公式、定理等一定要记熟，有些最好能背诵，朗朗上口。
比如大家熟悉的“整式乘法三个公式”，我看在座的有的背得出，有的就背不出。
在这里，我向背不出的同学敲一敲警钟，如果背不出这三个公式，将会对今后的学习造成很大的麻烦，因为今后的学习将会大量地用到这三个公式，特别是初二即将学的因式分解，其中相当重要的三个因式分解公式就是由这三个乘法公式推出来的，二者是相反方向的变形。
对数学的定义、法则、公式、定理等，理解了的要记住，暂时不理解的也要记住，在记忆的基础上、在应用它们解决问题时再加深理解。
打一个比方，数学的定义、法则、公式、定理就像木匠手中的斧头、锯子、墨斗、刨子等，没有这些工具，木匠是打不出家具的;有了这些工具，再加上娴熟的手艺和智慧，就可以打出各式各样精美的家具。
同样，记不住数学的定义、法则、公式、定理就很难解数学题。
而记住了这些再配以一定的方法、技巧和敏捷的思维，就能在解数学题，甚至是解数学难题中得心应手。
举例说明：1、下列说法错误的是（）A、1的平方根是1B、-1的立方根是-1C、2是2的算术平方根D、-4是2)16( 的平方根2、下列说法正确的是( )A. 带根号的数是无理数B. 无限小数是无理数C. 43是分数 D. 数轴上的点与实数一一对应3、下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④有一条边上的高和中线重合的三角形.其中是等边三角形的有（ ）.A 、①②③④B 、②③④C 、①②③D 、①②二、几个重要的数学思想1、“方程”的思想数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。
最常见的等量关系就是“方程”。
比如等速运动中，路程、速度和时间三者之间就有一种等量关系，可以建立一个相关等式：速度*时间=路程，在这样的等式中，一般会有已知量，也有未知量，像这样含有未知量的等式就是“方程”，而通过方程里的已知量求出未知量的过程就是解方程。
我们在小学就已经接触过简易方程，而初一则比较系统地学习解一元一次方程，并总结出解一元一次方程的五个步骤。
如果学会并掌握了这五个步骤，任何一个一元一次方程都能顺利地解出来。
初二、初三我们还将学习解一元二次方程、二元二次方程组、简单的三角方程等。
解这些方程的思维几乎一致，都是通过一定的方法将它们转化成一元一次方程或一元二次方程的形式，然后用大家熟悉的解一元一次方程的五个步骤或者解一元二次方程的求根公式加以解决。
物理中的能量守恒，初三化学中的化学平衡式，现实中的大量实际应用，都需要建立方程，通过解方程来求出结果。
因此，同学们一定要将解一元一次方程和解一元二次方程学好，进而学好其它形式的方程。
所谓的“方程”思想就是对于数学问题，特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系，善于用“方程”的观点去构建有关的方程，进而用解方程的方法去解决它。
例如：1、已知方程3)2(1+=+-a x a a 是关于x 的一元一次方程，试求字母a 的值；2、要使4-=x 是方程0))(3(=+-a x x 的解，则=a ；3、若25+x 与92+-x 互为相反数，则x 的值为 ；4、若2522-n b a 与m n m b a +-313是同类项，则=+n m 32 ；5、若0)3(12=++-b a ，则关于x 的方程03=+a bx 的解是（ ）6、1 B 、－1 C 、3ab D 、－27、要使多项式221523102x kxy y xy x --+--中，不含xy 项，则k 应取（ ）A 、―1B 、1C 、―14 D 、148、若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角．2、“数形结合”的思想大千世界，“数”与“形”无处不在。
任何事物，剥去它的质的方面，只剩下形状和大小这两个属性，就交给数学去研究了。
初中数学的两个分支棗-代数和几何，代数是研究“数”的，几何是研究“形”的。
但是，研究代数要借助“形”，研究几何要借助“数”，“数形结合”是一种趋势，越学下去，“数”与“形”越密不可分，建立平面直角坐标系后，研究初中三种函数的问题就离不开图象了。
往往借助图象能使问题明朗化，比较容易找到问题的关键所在，从而解决问题。
在今后的数学学习中，要重视“数形结合”的思维训练，任何一道题，只要与“形”沾得上一点边，就应该根据题意画出草图来分析一番，这样做，不但直观，而且全面，整体性强，容易找出切入点，对解题大有益处。
尝到甜头的人慢慢会养成一种“数形结合”的好习惯。
1、最小的正整数是_____最大的负整数是 ______绝对值最小的数是 ______2、大于-2.5而不大于4的整数有________个，分别是__________3、绝对值小于3的非负整数是_________绝对值不大于4的整数是________4、设把连接起来”号用“且b b a a b a b a --<<<>,,,.0,0。
点拨：借助数轴可以让此类题形象直观，简便准确5、线段AB,延长AB 到C ，使BC=13AB ，D 为AC 的中点，若AB ＝9cm ，则DC 的长为 。
6、已知，线段AB=6cm ，在直线AB 上截取线段BC=4cm ，若M ，N 分别是AB ，BC 中点（1）求M ，N 两点间的距离。
（2）AB=a cm ，BC=b cm ，其他条件不变，此时MN 是多少？（3）由（1），（2），你发现什么规律？7、平面内，若45A O C ∠=︒，65B O C ∠=︒，则A O B ∠= ；点拨：正确画出图形是突破此类题的关键3、 分类讨论思想初中阶段，等腰三角形、绝对值、动态问题、二次函数等方面往往用到分类讨论思想。
例题：1、已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则_______.2、已知a 为有理数且a 0，则+a a2=________变式1、、已知a 、b 均为不等于0的有理数，则代数式ab ab b b a a ++的值为 变式2、求代数式a a bb ab ab++2的值为___________ 变式3、若c cb ba aabc 32,0++≠的所有可能值是__________ 点拨：合理分类是解决这类题的关键3、如果A 、B 、C 在同一条直线上，线段AB=6 cm ，BC=2 cm ，则A 、C 两点间的距离是（ ）A 、8 cmB 、4 cmC 、8cm 或4cmD 、无法确定变式1：如果在同一条直线上顺次截取A 、B 、C ，线段AB=6 cm ，BC=2 cm ，则A 、C 两点间的距离是（ ）变式2、线段AB=6 cm ，BC=2 cm ，则A 、C 两点间的距离是（ ）A 、8 cmB 、4 cmC 、8cm 或4cmD 、无法确定4、“对应”的思想“对应”的思想由来已久，比如我们将一支铅笔、一本书、一栋房子对应一个抽象的数“1”，将两只眼睛、一对耳环、双胞胎对应一个抽象的数“2”;随着学习的深入，我们还将“对应”扩展到对应一种形式，对应一种关系，等等。
比如我们在计算或化简中，将对应公式的左边，对应a ，y 对应b ，再利用公式的右边直接得出原式的结果即。
这就是运用“对应”的思想和方法来解题。
初二、初三我们还将看到数轴上的点与实数之间的一一对应，直角坐标平面上的点与一对有序实数之间的一一对应，函数与其图象之间的对应。
“对应”的思想在今后的学习中将会发挥越来越大的作用。
5、转化思想所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．1、 20052004)135()513(-⨯-2、 20001999)2()2(-+-点拨：根据乘方的意义转化为乘法解决3、①下图中共有 条线段， 个三角形。
点拨：一条直线上的线段条数可以有序思考后转化为等差数列的求和。
数三角形和角可以转化为数线段问题。
生活中很多问题也可以用此法解决。
变式、一条汽车线路上共．有7个站，用于这条线路上的车票最多________种。
B C D E F G A②时钟在12点、1点、1点半、1点20分、1点57分时，时针和分针的夹角分别是、、、、。
点拨：钟表夹角问题可以转化为追及问题解决三、自学能力的培养是深化学习的必由之路在学习新概念、新运算时，老师们总是通过已有知识自然而然过渡到新知识，水到渠成，亦即所谓“温故而知新”。
因此说，数学是一门能自学的学科，自学成才最典型的例子就是数学家华罗庚。
我们在课堂上听老师讲解，不光是学习新知识，更重要的是潜移默化老师的那种数学思维习惯，逐渐地培养起自己对数学的一种悟性。
我去佛山一中开家长会时，一中校长的一番话使我感触良多。
他说：我是教物理的，学生物理学得好，不是我教出来的，而是他们自己悟出来的。
当然，校长是谦虚的，但他说明了一个道理，学生不能被动地学习，而应主动地学习。
一个班里几十个学生，同一个老师教，差异那么大，这就是学习主动性问题了。
自学能力越强，悟性就越高。
随着年龄的增长，同学们的依赖性应不断减弱，而自学能力则应不断增强。
因此，要养成预习的习惯。
在老师讲新课前，能不能运用自己所学过的已掌握的旧知识去预习新课，结合新课中的新规定去分析、理解新的学习内容。
由于数学知识的无矛盾性，你所学过的数学知识永远都是有用的，都是正确的，数学的进一步学习只是加深拓广而已。
因此，以前的数学学得扎实，就为以后的进取奠定了基础，就不难自学新课。
同时，在预习新课时，碰到什么自己解决不了的问题，带着问题去听老师讲解新课，收获之大是不言而喻的。