初二数学对称极值问题专题训练一解析

初二数学对称极值问题专题训练一

一．填空题（共18小题）

1．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC=cm．

2．若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，则PB=．

3．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有．（填序号）．

①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为．

4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为．

5．如图，l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：

（1）AB∥CD；（2）AB=CD；（3）AB⊥BC；（4）AO=OC

其中正确的结论是（把你认为正确的结论的序号都填上）．

6．如图，锐角三角形ABC中，直线PL为BC的垂直平分线，射线BM为∠ABC的平分线，PL与BM相交于P点．若∠PBC=30°，∠ACP=20°，则∠A的度数为°．

7．如图，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：

①∠1=∠2；

②△ANC≌△AMB；

③CD=DN．

其中正确的结论是．（填序号）

8．如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，如果BC=10，△BDC的周长为22，那么AC=．

9．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为．

10．如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°．∠BAC的平分线交BC于点D，M、N 分别是AD和AB上的动点．则BM+MN的最小值是．

11．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC 边的中点，则EM+CM的最小值为．

12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，

（1）点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是；

（2）点E、F、P分别在线段AB、BC、AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是．

13．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF 交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为cm．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．

15．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD=°．

16．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AB=5，D是AC的中点，P是AB上一动点，则CP+PD的最小值为．

17．如图，点A（0，4），点B（3，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，则MN的最小值为．

18．如图，在△ABC中，AB⊥EC于点E，∠ABC=45°，BD平分∠ABC且与CE交于点F，BE=a，FE=b，点M，N分别是BD，BC上的动点，当MN+MC最小时，此时动点N与点C 的距离为．

二．解答题（共12小题）

19．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．

20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．

21．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm．

（1）求BC的长；

（2）若∠A=36°，并且AB=AC．求证：BC=BE．

22．△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°．

（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；

（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

23．如图所示，MP和NQ分别垂直平分AB 和AC．

（1）若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数；

（2）若∠PAQ=25°，求∠BAC的度数．

24．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．（1）求证：∠FAD=∠FDA；

（2）若∠B=50°，求∠CAF的度数．

25．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于D，垂足为E，△ABD的周长为13cm，AC=5cm，求△ABC的周长．

26．如图，P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，MN分别交OA、OB于E、F．

（1）若△PEF的周长是10cm，求MN的长．

（2）若∠AOB=30°，试求∠MON的度数．

27．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD 垂直平分EF．

28．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P，探究：点P是否也在边AC的垂直平分线上．

29．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若BD=4cm，△AEC 的周长为15cm，求△ABC的周长．

30．在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=30°，AB的垂直平分线OD交BC边于点D，连结AD （1）求∠DAC的度数；

（2）若AC=4cm，求△ABC的面积（结果保留根号）